蘇科版七年級數(shù)學上冊?？键c微專題提分精練專題33與線段中點有關的動點問題(原卷版+解析)

專題33與線段中點有關的動點問題1．如圖，直線l上有A，B，C，D四點，點P從點A的左側沿直線l從左向右運動，當出現(xiàn)點P與A，B，C，D四點中的至少兩個點距離相等時，點P就稱為這兩個點的黃金伴侶點，例：若PA＝PB，則在點P從左向右運動的過程中，點P成為黃金伴侶點的機會有（）A．4次 B．5次 C．6次 D．7次2．如圖，C為線段AB上一點，，AC比BC的多5，P，Q兩點分別從A，B兩點同時出發(fā)，分別以3個單位/秒和1.5個單位/秒的速度在射線AB上沿AB方向運動，運動時間為秒，M為BP的中點，N為QM的中點，以下結論：①；②；③當時，．其中正確的結論是________．3．如圖，數(shù)軸上有兩點，點C從原點O出發(fā)，以每秒的速度在線段上運動，點D從點B出發(fā)，以每秒的速度在線段上運動．在運動過程中滿足，若點M為直線上一點，且，則的值為_______．4．如圖所示．點A，B，C是數(shù)軸上的三個點，且A，B兩點表示的數(shù)互為相反數(shù)，，．(1)點A表示的數(shù)是______；(2)若點P從點B出發(fā)沿著數(shù)軸以每秒2個單位的速度向左運動，則經(jīng)過______秒時，點C恰好是BP的中點；(3)若點Q從點A出發(fā)沿著數(shù)軸以每秒1個單位的速度向右運動，線段QB的中點為M，當時，則點Q運動了多少秒？請說明理由．5．數(shù)軸是初中數(shù)學的一個重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美地結合，研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律：若數(shù)軸上點A、點B表示的數(shù)分別為a、b，則A、B兩點之間的距離AB＝|a﹣b|．線段AB的中點表示的數(shù)為．如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)為﹣2，點B表示的數(shù)為8，點P從點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，同時點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向左勻速運動，設運動時間為t秒（t＞0）．(1)填空：①A、B兩點之間的距離AB＝，線段AB的中點表示的數(shù)為．②用含t的代數(shù)式表示：t秒后，點P表示的數(shù)為；點Q表示的數(shù)為．③當t＝時，P、Q兩點相遇，相遇點所表示的數(shù)為．(2)當t為何值時，PQ＝AB．(3)若點M為PA的中點，點N為PB的中點，點P在運動過程中，線段MN的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出線段MN的長．6．如圖，線段厘米，點D和點C在線段AB上，且，．點P從點A出發(fā)以4厘米/秒的速度沿射線AD向點C運動，點P到達點C所在位置后立即按照原路原速返回，到達點D所在位置后停止運動，點Q從點B出發(fā)以1厘米/秒的速度沿著射線BC的方向運動，點Q到達點D所在的位置后停止運動．點P和點Q同時出發(fā)，點Q運動的時間為t秒．（1）求線段AD的長度；（2）當點C恰好為PQ的中點時，求t的值；（3）當厘米時，求t的值．7．【新知理解】如圖①，點C在線段AB上，若BC=πAC，則稱點C是線段的圓周率點，線段AC、BC稱作互為圓周率伴侶線段．（1）若AC=2，求AB的長；（2）在（1）的條件下，若點D也是圖①中線段AB的圓周率點（不同于點C），試求出線段BD的長，并判斷AC與BD的數(shù)量關系；【解決問題】（3）如圖②，現(xiàn)有一個直徑為1個單位長度的圓片，將圓片上的某點與數(shù)軸上表示1的點重合，并把圓片沿數(shù)軸向右無滑動性的滾動1周，該點到達C的位置，求點C所表示的數(shù)；若點M、N是線段OC的圓周率點，求MN的長；（4）圖②中，若點D在射線OC上，且線段CD與O、C、D中某兩個點為端點的線段互為圓周率伴侶線段，請直接寫出點D所表示的數(shù)（答案保留π）．8．（理解新知）如圖①，點M在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AM和BM，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點M是線段AB的“奇妙點”，（1）線段的中點這條線段的“奇妙點”（填“是”或“不是”）（2）（初步應用）如圖②，若，點N是線段CD的“奇妙點”，則；（3）（解決問題）如圖③，已知，動點P從點A出發(fā)，以速度沿AB向點B勻速移動，點從點B出發(fā)，以的速度沿BA向點A勻速移動，點P、同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，運動停止．設移動的時間為t，請求出為何值時，A、P、三點中其中一點恰好是另外兩點為端點的線段的“奇妙點”．9．如圖，已知數(shù)軸上點A表示的數(shù)為a，B表示的數(shù)為b，且a、b滿足．動點P從點A出發(fā)，以每秒8個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設運動時間為t（t＞0）秒．（1）寫出數(shù)軸上點A表示的數(shù)是____________，點B表示的數(shù)是______，點P表示的數(shù)是____________（用含t的式子表示）；（2）當點P在點B的左側運動時，M、N分別是PA、PB的中點，求PM－PN的值（3）動點Q從點B出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，若點P、Q同時出發(fā)，點P運動多少秒時P、Q兩點相距4個單位長度？10．如圖，已知數(shù)軸上A、B兩點所表示的數(shù)分別為﹣2和6（1）求線段AB的長；（2）已知點P為數(shù)軸上點A左側的一個動點，且M為PA的中點，N為PB的中點．請你畫出圖形，并探究MN的長度是否發(fā)生改變？若不變，求出線段MN的長；若改變，請說明理由．11．【新知理解】如圖①，點在線段上，圖中共有三條線段、和，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點是線段的“奇點”．（1）線段的中點______這條線段的“奇點”（填“是”或“不是”）【初步應用】（2）如圖②，若，點是線段的奇點，則；【解決問題】（3）如圖③，已知動點從點出發(fā)，以速度沿向點勻速移動：點從點出發(fā)，以的速度沿向點勻速移動，點、同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，運動停止，設移動的時間為，請直接寫出為何值時，、、三點中其中一點恰好是另外兩點為端點的線段的奇點？12．如圖1，數(shù)軸上點A表示的數(shù)為－2，點B表示的數(shù)為6，點P從點A出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，點Q從點B出發(fā)以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，點M、N分別為PA、QB的中點．P、Q兩點同時出發(fā)，當點P到達點B時，運動停止，設點P、Q運動時間為t秒．（1）當點P、Q相遇時，t＝，MN＝．（2）當PQ之間的距離為4個單位長度時，求線段MN的長．[知識遷移]學校數(shù)學社團學員自制了一個圓形轉盤，如圖2，O為轉盤圓心，A、O、B在一條直線上，指針OP從OA出發(fā)繞點O順時針方向轉動，指針OQ也以相同的速度從OB出發(fā)繞點O逆時針方向轉動．OP、OQ同時出發(fā)，當OP、OQ分別到達OB、OA時，運動停止．已知OM平分∠AOP，ON平分∠BOQ，設∠MON＝α，∠POQ＝β．試探索α與β的關系．（直接寫出答案）13．（1）如圖1，已知點C在線段AB上，線段AC＝10厘米，BC＝6厘米，點M，N分別是AC，BC的中點，求線段MN的長度；（2）在（1）的條件下，動點P、Q分別從A、B同時出發(fā)，點P以2cm/s的速度沿AB向右運動，終點為B，點Q以1cm/s的速度沿AB向左運動，終點為A，當一個點到達終點，另一個點也隨之停止運動，求運動多少秒時，C、P、Q三點有一點恰好是以另兩點為端點的線段的中點？14．如圖，數(shù)軸上有A、B、C、D、O五個點，點O為原點，點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是5，線段CD的長度為6個單位，線段AB的長度為2個單位，且B、C兩點之間的距離為13個單位，請解答下列問題：（1）點D在數(shù)軸上表示的數(shù)是___，點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是___；（2）若點B以每秒2個單位的速度向右勻速運動t秒運動到線段CD上，且BC的長度是3個單位，根據(jù)題意列出的方程是______________，解得t=___；（3）若線段AB、CD同時從原來的位置出發(fā)，線段AB以每秒2個單位的速度向右勻速運動，線段CD以每秒3個單位的速度向左勻速運動，把線段CD的中點記作P，求出點P與線段AB的一個端點的距離為2個單位時運動的時間．15．如圖，已知數(shù)軸上點A表示的數(shù)為6，B是數(shù)軸上在A左側的一點，且A，B兩點間的距離為18．動點P從點A出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設運動時間為t（t>0）秒，（1）數(shù)軸上點B表示的數(shù)是____________，點P表示的數(shù)是____________（用含t的代數(shù)式表示）；（2）動點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸勻速運動，若點P、Q時出發(fā)．求：①若點Q向右運動，當點P運動多少秒時，點P與點Q相遇?②若點Q向左運動，當點P運動多少秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度?16．如圖，點、、在數(shù)軸上對應的數(shù)分別是、、，且、滿足，動點從點出發(fā)以單位/秒的速度向右運動，同時點從點出發(fā)，以個單位/秒速度向左運動，、兩點之間為“變速區(qū)”，規(guī)則為從點運動到點期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话?，之后立刻恢復原速，從點運動到點期間速度變?yōu)樵瓉淼谋?，之后立刻恢復原速，設運動時間為秒．（1）____，____，、兩點間的距離為____個單位；（2）①若動點從出發(fā)運動至點時，求的值；②當、兩點相遇時，求相遇點在數(shù)軸上所對應的數(shù)；（3）當___時，、兩點到點的距離相等．專題33與線段中點有關的動點問題1．如圖，直線l上有A，B，C，D四點，點P從點A的左側沿直線l從左向右運動，當出現(xiàn)點P與A，B，C，D四點中的至少兩個點距離相等時，點P就稱為這兩個點的黃金伴侶點，例：若PA＝PB，則在點P從左向右運動的過程中，點P成為黃金伴侶點的機會有（）A．4次 B．5次 C．6次 D．7次【答案】C【分析】由題意知，點P與A，B，C，D四點中的至少兩個點距離相等時，恰好點P是其中一條線段的中點，根據(jù)線段中點定義解答即可．【詳解】解：由題意知，點P與A，B，C，D四點中的至少兩個點距離相等時，恰好點P是其中一條線段的中點，圖中共有六條線段：AB、BC、CD、AC、AD、BD，∴點P成為黃金伴侶點的機會有六次，故選：C．【點睛】此題考查了線段中點的定義，確定線段的數(shù)量，正確理解題意得到線段中點定義是解題的關鍵．2．如圖，C為線段AB上一點，，AC比BC的多5，P，Q兩點分別從A，B兩點同時出發(fā)，分別以3個單位/秒和1.5個單位/秒的速度在射線AB上沿AB方向運動，運動時間為秒，M為BP的中點，N為QM的中點，以下結論：①；②；③當時，．其中正確的結論是________．【答案】①②##②①【分析】根據(jù)AC比BC的多5，可得，從而得到，進而得到AC=15，可得到BC=2AC，故①正確；根據(jù)題意得：AP=3t，BQ=1.5t，可得BP=45-3t，再由M為BP的中點，可得到，進而得到，再由N為QM的中點，可得到AB=4NQ，故②正確；然后分兩種情況：當點P沒有到達點B之前，當點P沒有到達點B之前，可得當時，或20，故③錯誤，即可求解．【詳解】解：∵AC比BC的多5，∴，∵，∴，解得：，∴AC=15，∴BC=2AC，故①正確；根據(jù)題意得：AP=3t，BQ=1.5t，∴BP=45-3t，∵M為BP的中點，∴，∴，∵N為QM的中點，∴，∴AB=4NQ，故②正確；當時，當點P在線段AB上，∵，∴，解得：；當時，點P在點B右側，位于點Q左側，，∵，∴，解得：；當時，點P位于點Q右側，不成立，綜上所述，當時，或20，故③錯誤，∴正確的結論是①②．故答案為：①②【點睛】本題主要考查了兩點間的距離，線段間的數(shù)量關系，動點問題，利用數(shù)形結合思想和分類討論討論思想解答是解題的關鍵．3．如圖，數(shù)軸上有兩點，點C從原點O出發(fā)，以每秒的速度在線段上運動，點D從點B出發(fā)，以每秒的速度在線段上運動．在運動過程中滿足，若點M為直線上一點，且，則的值為_______．【答案】1或【分析】設點A在數(shù)軸上表示的數(shù)為a，點B在數(shù)軸上表示的數(shù)為b，設運動的時間為t秒，由OD=4AC得a與b的關系，再根據(jù)點M在直線AB的不同的位置分4種情況進行解答，①若點M在點B的右側時，②若點M在線段BO上時，③若點M在線段OA上時，④若點M在點A的左側時，分別表示出AM、BM、OM，由AM-BM=OM得到t、a、b之間的關系，再計算的值即可．【詳解】設運動的時間為t秒，點M表示的數(shù)為m則OC=t，BD=4t，即點C在數(shù)軸上表示的數(shù)為-t，點D在數(shù)軸上表示的數(shù)為b-4t，∴AC=-t-a，OD=b-4t，由OD=4AC得，b-4t=4（-t-a），即：b=-4a，①若點M在點B的右側時，如圖1所示：由AM-BM=OM得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a；∴②若點M在線段BO上時，如圖2所示：由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b；∴③若點M在線段OA上時，如圖3所示：由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=-m，即：∵此時m＜0，a＜0，∴此種情況不符合題意舍去；④若點M在點A的左側時，如圖4所示：由AM-BM=OM得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a；而m＜0，b-a＞0，因此，不符合題意舍去，綜上所述，的值為1或．【點睛】考查數(shù)軸表示數(shù)的意義，掌握數(shù)軸上兩點之間距離的計算方法是正確解答的關鍵，分類討論和整體代入在解題中起到至關重要的作用．4．如圖所示．點A，B，C是數(shù)軸上的三個點，且A，B兩點表示的數(shù)互為相反數(shù)，，．(1)點A表示的數(shù)是______；(2)若點P從點B出發(fā)沿著數(shù)軸以每秒2個單位的速度向左運動，則經(jīng)過______秒時，點C恰好是BP的中點；(3)若點Q從點A出發(fā)沿著數(shù)軸以每秒1個單位的速度向右運動，線段QB的中點為M，當時，則點Q運動了多少秒？請說明理由．【答案】(1)-6(2)8(3)秒或秒【分析】（1）根據(jù)，且，兩點表示的數(shù)互為相反數(shù)，直接得出即可；（2）設經(jīng)過秒點是的中點，根據(jù)題意列方程求解即可；（3）設點運動了秒時，分情況列方程求解即可．（1）AB=12，且，兩點表示的數(shù)互為相反數(shù)，點表示的數(shù)是，故答案為：；（2）AB=12，，，，設經(jīng)過秒點是的中點，根據(jù)題意列方程得，解得，故答案為：8；（3）設點運動了秒時，①當點在點左側時，即，根據(jù)題意列方程得，解得；②當點在點右側時，即，根據(jù)題意列方程得，解得；綜上，當運動了秒或秒時．【點睛】本題主要考查一元一次方程的知識，熟練根據(jù)題中等量關系列方程求解是解題的關鍵．5．數(shù)軸是初中數(shù)學的一個重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美地結合，研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律：若數(shù)軸上點A、點B表示的數(shù)分別為a、b，則A、B兩點之間的距離AB＝|a﹣b|．線段AB的中點表示的數(shù)為．如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)為﹣2，點B表示的數(shù)為8，點P從點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，同時點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向左勻速運動，設運動時間為t秒（t＞0）．(1)填空：①A、B兩點之間的距離AB＝，線段AB的中點表示的數(shù)為．②用含t的代數(shù)式表示：t秒后，點P表示的數(shù)為；點Q表示的數(shù)為．③當t＝時，P、Q兩點相遇，相遇點所表示的數(shù)為．(2)當t為何值時，PQ＝AB．(3)若點M為PA的中點，點N為PB的中點，點P在運動過程中，線段MN的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出線段MN的長．【答案】(1)①10，3；②，；③2；4；(2)當t＝1或3時，；(3)不發(fā)生變化，，理由見解析．【分析】（1）①根據(jù)題目所給的兩點距離公式以及兩點中點公式進行求解即可；②根據(jù)數(shù)軸上點A表示的數(shù)為﹣2，點B表示的數(shù)為8，點P從點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，同時點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向左勻速運動，進行求解即可得到結果；③當P、Q兩點相遇時，P、Q表示的數(shù)相等，根據(jù)此及②中結論得出方程求解即可；（2）由（1）②得t秒后，點P表示的數(shù)，點Q表示的數(shù)為，則，再由，可得，由此求解即可；（3）根據(jù)兩點中點公式，分別求出點M表示的數(shù)，點N表示的數(shù)，即可得出線段MN的長度．(1)解：①由題意得：，線段AB的中點為，故答案為：10，3；②由題意得：t秒后，點P表示的數(shù)為：，點Q表示的數(shù)為：；故答案為：，；③∵當P、Q兩點相遇時，P、Q表示的數(shù)相等，∴，解得：，∴當時，P、Q相遇，此時，，∴相遇點表示的數(shù)為4；故答案為：2；4；(2)解：∵t秒后，點P表示的數(shù)，點Q表示的數(shù)為，∴，又∵，∴，解得：t＝1或3，∴當t＝1或3時，；(3)解：不發(fā)生變化，理由如下：∵點M為PA的中點，點N為PB的中點，∴點M表示的數(shù)為，點N表示的數(shù)為，∴．【點睛】本題主要考查了用數(shù)軸表示有理數(shù)，數(shù)軸上兩點的距離，數(shù)軸上的動點問題，數(shù)軸上兩點之間的中點表示方法，解題的關鍵在于理解題意，能夠熟練掌握數(shù)軸上兩點的距離計算公式．6．如圖，線段厘米，點D和點C在線段AB上，且，．點P從點A出發(fā)以4厘米/秒的速度沿射線AD向點C運動，點P到達點C所在位置后立即按照原路原速返回，到達點D所在位置后停止運動，點Q從點B出發(fā)以1厘米/秒的速度沿著射線BC的方向運動，點Q到達點D所在的位置后停止運動．點P和點Q同時出發(fā)，點Q運動的時間為t秒．（1）求線段AD的長度；（2）當點C恰好為PQ的中點時，求t的值；（3）當厘米時，求t的值．【答案】（1）；（2）或；（3）、、8，【分析】（1）先求出AC，再求出DC，根據(jù)AD=AC-DC即可；（2）表示出CP、CQ的長度，再根據(jù)CP=CQ列方程即可，需要注意P到C之前和之后兩種情況討論；（3）表示出BP、BQ的長度，再根據(jù)列方程即可，需要注意P到C之前和之后以及P到D之前之后的多種情況討論；【詳解】（1）∵，∴∵∴∴（2）∵點Q從點B出發(fā)以1厘米/秒的速度沿著射線BC的方向運動，∴，P到達C之前時∵點C恰好為PQ的中點∴此時P在C左邊，Q在C右邊，且CP=CQ∴解得P到達C之后時∵點C恰好為PQ的中點∴此時P在C左邊，Q在C右邊，且CP=CQ∴解得故當點C恰好為PQ的中點時或（3）當P、Q到達C之前時，，∴解得當P到達C之后、Q到達C之前時，，∴解得當P到達D點時此時，，，當P到達D點以后、Q到達D之前，，解得綜上當厘米時，、、8，【點睛】此題考查線段和差計算、列一元一次方程解應用題等知識與方法，解題的關鍵是弄清點在運動時的出發(fā)點、方向、速度以及兩個動點的運動屬于相遇問題還是追及問題等．7．【新知理解】如圖①，點C在線段AB上，若BC=πAC，則稱點C是線段的圓周率點，線段AC、BC稱作互為圓周率伴侶線段．（1）若AC=2，求AB的長；（2）在（1）的條件下，若點D也是圖①中線段AB的圓周率點（不同于點C），試求出線段BD的長，并判斷AC與BD的數(shù)量關系；【解決問題】（3）如圖②，現(xiàn)有一個直徑為1個單位長度的圓片，將圓片上的某點與數(shù)軸上表示1的點重合，并把圓片沿數(shù)軸向右無滑動性的滾動1周，該點到達C的位置，求點C所表示的數(shù)；若點M、N是線段OC的圓周率點，求MN的長；（4）圖②中，若點D在射線OC上，且線段CD與O、C、D中某兩個點為端點的線段互為圓周率伴侶線段，請直接寫出點D所表示的數(shù)（答案保留π）．【答案】（1）AB的長為（）；（2）BD長為2，；（3）C表示的數(shù)為（），的長為（）；（4）點D表示的數(shù)是1或或或．【分析】（1）利用BC=πAC求出BC的長度，進而求出AB的長．（2）設AC的長為x，BD的長為y，利用圓周率點的定義，得到關于x與y的關系式，進而得到x=y，故此時有．（3）利用旋轉一周即為圓的周長，得到C點表示的數(shù)，假設M點離O點最近，設，利用圓周率點及題（2）的結論，求出，最后求出MN的長度即可．.（4）設點D表示的數(shù)為m，根據(jù)條件分四類情況：，，，，進行分類討論，設出對應的方程進行求解m的值．【詳解】（1）,，，．（2）點D、C都是線段AB的圓周率點且不重合，，．設，，則有，，，，，．（3）由題意可知：C點表示的數(shù)是均為線段OC的圓周率點，不妨設M點里O點近，且，，，解得，，，，由（2）可知：．（4）解：設點D表示的數(shù)為m，根據(jù)題意可知，共分為四種情況．①若，則有，解得．②若，則有，解得．③若，則有，解得．④若，則有，解得．綜上所述，點D表示的數(shù)是1或或或．【點睛】本題是新定義題型，主要考察了列方程和分類討論的思想，讀懂題目中的新定義，并且正確找到分類討論的所有情況，是解決本題的關鍵．8．（理解新知）如圖①，點M在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AM和BM，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點M是線段AB的“奇妙點”，（1）線段的中點這條線段的“奇妙點”（填“是”或“不是”）（2）（初步應用）如圖②，若，點N是線段CD的“奇妙點”，則；（3）（解決問題）如圖③，已知，動點P從點A出發(fā)，以速度沿AB向點B勻速移動，點從點B出發(fā)，以的速度沿BA向點A勻速移動，點P、同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，運動停止．設移動的時間為t，請求出為何值時，A、P、三點中其中一點恰好是另外兩點為端點的線段的“奇妙點”．【答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）當點P為AQ的“奇妙點”時，或4或；當點Q為AP的“奇妙點”時，或6或．【分析】（1）根據(jù)線段的中點平分線段長的性質，以及題目中所給的“奇妙點”的定義，進行判斷即可．（2）由“奇妙點”定義，此題分為三種情況，情況1：，即N為CD的中點；情況2：，即N為靠近C點的三等分點；情況3：，即N為靠近D點的三等分點，根據(jù)以上三種情況，分別求出CN的長度．（3）由題意可知，A不可能是“奇妙點”，故此題分兩大類情況，情況1：當P、Q未相遇之前，P是“奇妙點”時，根據(jù)第（2）題的思路，又可以分為3種情況，根據(jù)每種情況，利用線段長度關系列方程，分別求出對應時間；情況2：當P、Q相遇之后，Q是“奇妙點”時，同樣根據(jù)第（2）題的思路，又分成3種情況討論，利用線段長度關系列方程，求出每種情況對應的時間．【詳解】（1）由線段中點的性質可知：被中點平分的兩條線段長度是線段總長的一半，根據(jù)“奇妙點”定義可知：線段的中點是“奇妙點”．故答案是：是；（2）是線段CD的“奇妙點”根據(jù)定義，此題共分為三種情況．當，即N為CD的中點時，有CN=12cm．當，即N為靠近C點的三等分點時，有CN=8cm．當，即N為靠近D點的三等分點時，有CN=16cm．故答案為：8或12或16．（3）解：由題意可知，A點不可能是“奇妙點”，故P或Q點是“奇妙點”．t秒后，，．當P點是“奇妙點”時，．由“奇妙點”定義可分三種情況．當時，有解得當時，有解得當時，有解得當Q點是“奇妙點”時，．當時，有解得當時，有解得當時，有解得綜上所述：當點P為AQ的“奇妙點”時，或4或；當點Q為AP的“奇妙點”時，或6或．【點睛】本題屬于新定義題，主要是考察了線段中點、線段長度、列方程等知識點，本題討論情況較多，從側面考察了數(shù)學中比較重要的分類討論思想，根據(jù)題意，能夠正確地進行分類討論，把每一種情況列舉完全，是解決該題的關鍵．9．如圖，已知數(shù)軸上點A表示的數(shù)為a，B表示的數(shù)為b，且a、b滿足．動點P從點A出發(fā)，以每秒8個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設運動時間為t（t＞0）秒．（1）寫出數(shù)軸上點A表示的數(shù)是____________，點B表示的數(shù)是______，點P表示的數(shù)是____________（用含t的式子表示）；（2）當點P在點B的左側運動時，M、N分別是PA、PB的中點，求PM－PN的值（3）動點Q從點B出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，若點P、Q同時出發(fā)，點P運動多少秒時P、Q兩點相距4個單位長度？【答案】（1）10，-6，10-8t；（2）8；（3）t=3或5【分析】（1）根據(jù)非負數(shù)的和等于0，則=0，=0，進而即可求解；（2）分別用含t的代數(shù)式表示PM=4t，PN=4t-8，進而即可求解；（3）分別表示出P、Q所在點表示的數(shù)，再列出方程，即可求解．【詳解】解：（1）∵，≥0，≥0，∴=0，=0，即：a=10，b=-6，∴A表示的數(shù)是10，點B表示的數(shù)是-6，∵動點P從點A出發(fā)，以每秒8個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，∴點P表示的數(shù)是：10-8t，故答案是：10，-6，10-8t；（2）當點P在點B的左側運動時，PA=8t，PB=8t-16，∵M、N分別是PA、PB的中點，∴PM=PA=4t，PN=PB=4t-8，∴PM－PN=4t-（4t-8）=8；（3）設運動t秒，P所在點表示的數(shù)為：10-8t，Q所在點表示的數(shù)為：-6-4t，∴（10-8t）-（-6-4t）=±4，解得：t=3或5．【點睛】本題主要考查數(shù)軸上兩點間的距離，一元一次方程的應用，用代數(shù)式表示出兩點間的距離公式，是解題的關鍵．10．如圖，已知數(shù)軸上A、B兩點所表示的數(shù)分別為﹣2和6（1）求線段AB的長；（2）已知點P為數(shù)軸上點A左側的一個動點，且M為PA的中點，N為PB的中點．請你畫出圖形，并探究MN的長度是否發(fā)生改變？若不變，求出線段MN的長；若改變，請說明理由．【答案】（1）8；（2）見解析；MN的長度不會發(fā)生改變，線段MN＝4．【分析】（1）數(shù)軸上兩點之間的距離等于較大數(shù)與較小數(shù)的差；（2）根據(jù)中點的意義，利用線段的和差可得出答案．【詳解】解：（1）AB＝|﹣2﹣6|＝8，答：AB的長為8；（2）MN的長度不會發(fā)生改變，線段MN＝4，理由如下：如圖，因為M為PA的中點，N為PB的中點，所以MA＝MP＝PA，NP＝NB＝PB，所以MN＝NP﹣MP＝PB﹣PA＝（PB﹣PA）＝AB＝×8＝4．【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點之間的距離，數(shù)軸上線段中點的意義，熟練掌握兩點間距離計算方法，靈活運用中點的意義是解題的關鍵．11．【新知理解】如圖①，點在線段上，圖中共有三條線段、和，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點是線段的“奇點”．（1）線段的中點______這條線段的“奇點”（填“是”或“不是”）【初步應用】（2）如圖②，若，點是線段的奇點，則；【解決問題】（3）如圖③，已知動點從點出發(fā)，以速度沿向點勻速移動：點從點出發(fā)，以的速度沿向點勻速移動，點、同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，運動停止，設移動的時間為，請直接寫出為何值時，、、三點中其中一點恰好是另外兩點為端點的線段的奇點？【答案】（1）是；（2）6或9或12；（3）或或或或或6【分析】（1）根據(jù)“奇點”的定義即可求解；（2）分當N為中點時,當N為CD的三等分點，且N靠近C點時，當N為CD的三等分點，且N靠近D點時，進行討論求解即可；（3）分由題意可知A不可能為P、Q兩點的巧點，此情況排除；當P為A、Q的巧點時；當Q為A、P的巧點時；進行討論求解即可．【詳解】（1）一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱這個點為該線段的“奇點”，線段的中點是這條線段的“奇點”，（2），點N是線段CD的奇點，可分三種情況，當N為中點時，,當N為CD的三等分點，且N靠近C點時，,當N為CD的三等分點，且N靠近D點時，（3）,秒后，，由題意可知A不可能為P、Q兩點的巧點，此情況排除；當P為A、Q的巧點時，有三種情況；1）點P為AQ中點時，則，即，解得：2）點P為AQ三等分點，且點P靠近點A時，則,即，解得：3）點P為AQ三等分點，且點P靠近點Q時,則，即，解得：當Q為A、P的巧點時，有三種情況；1）點Q為AP中點時，則，即，解得：2）點Q為AP三等分點，且點Q靠近點A時，則,即，解得：3）點Q為AP三等分點，且點Q靠近點P時,則，即，解得：【點睛】考查了兩點間的距離,一元一次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思,根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系列出方程，再求解．12．如圖1，數(shù)軸上點A表示的數(shù)為－2，點B表示的數(shù)為6，點P從點A出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，點Q從點B出發(fā)以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，點M、N分別為PA、QB的中點．P、Q兩點同時出發(fā)，當點P到達點B時，運動停止，設點P、Q運動時間為t秒．（1）當點P、Q相遇時，t＝，MN＝．（2）當PQ之間的距離為4個單位長度時，求線段MN的長．[知識遷移]學校數(shù)學社團學員自制了一個圓形轉盤，如圖2，O為轉盤圓心，A、O、B在一條直線上，指針OP從OA出發(fā)繞點O順時針方向轉動，指針OQ也以相同的速度從OB出發(fā)繞點O逆時針方向轉動．OP、OQ同時出發(fā)，當OP、OQ分別到達OB、OA時，運動停止．已知OM平分∠AOP，ON平分∠BOQ，設∠MON＝α，∠POQ＝β．試探索α與β的關系．（直接寫出答案）【答案】（1）2，4；（2）6或2；[知識遷移]或【分析】（1）根據(jù)運動速度分別表示出點P和點Q在數(shù)軸上所對應的數(shù)，然后根據(jù)相遇時刻列方程求解，結合線段中點的定義求MN的長度；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點間距離列方程求解，然后分別確定點P和點Q在數(shù)軸上所對應的數(shù)，結合中點和兩點間的距離公式求線段MN的長度；[知識遷移]分OP與OQ相遇前及相遇后兩種情況，結合角平分線的定義和角的數(shù)量關系分析求解【詳解】解：（1）由題意可得點P：－2＋t，點Q：6－3t，當P與Q相遇時，－2＋t=6－3t，解得：t=2此時P點表示0，Q點表示0∵M、N分別為PA、QB的中點∴MP=，NP=∴MN＝MP+NP=4故答案為：2；4（2）點P：－2＋t，點Q：6－3t，則PQ＝，即，解得t＝1或3①當t＝1時，點P：－1，點Q：3，則點M：，點N：，∴MN＝=6②當t＝3時，點P：1，點Q：－3，則點M：，點N：，∴MN＝2∴線段MN的長為6或2[知識遷移]①如圖∵OM平分∠AOP，ON平分∠BOQ，∴∠AOM=∠POM=；設∠MON＝α，∠POQ＝β∴∴∴②如圖∵OM平分∠AOP，ON平分∠BOQ，∴∠AOM=∠POM=；設∠MON＝α，∠POQ＝β∴∴∴綜上，或【點睛】本題考查一元一次方程的應用及線段中點、角平分線的定義、角的數(shù)量關系，，解題的關鍵是理解題意，學會設未知數(shù)列方程解決問題，屬于中考?？碱}型．13．（1）如圖1，已知點C在線段AB上，線段AC＝10厘米，BC＝6厘米，點M，N分別是AC，BC的中點，求線段MN的長度；（2）在（1）的條件下，動點P、Q分別從A、B同時出發(fā)，點P以2cm/s的速度沿AB向右運動，終點為B，點Q以1cm/s的速度沿AB向左運動，終點為A，當一個點到達終點，另一個點也隨之停止運動，求運動多少秒時，C、P、Q三點有一點恰好是以另兩點為端點的線段的中點？【答案】（1）8cm；（2）4s或或【分析】（1）根據(jù)中點的定義、線段的和差，可得答案；（2）根據(jù)中點的定義、線段的和差，列出關于t的方程，問題可解．【詳解】（1）∵線段AC＝10厘米，BC＝6厘米，點M，N分別是AC，BC的中點，∴CM＝AC＝5厘米，CN＝BC＝3厘米，∴MN＝CM+CN＝8厘米；（2）設點P、Q運動時間為ts，由題意得，下面分別討論之．①當0＜t≤5時，C是線段PQ的中點，如圖1由圖得PC=AC-AP=10-2t，CQ=CB-QB=6-t由PC=CQ得10﹣2t＝6﹣t，解得t＝4；②當5＜t≤時，P為線段CQ的中點，如圖2由圖得PC=AP-AC=2t-10，PQ=PB-QB=(16-2t)﹣t，由PC=PQ得2t﹣10＝(16-2t)﹣t，解得t＝；③當＜t≤6時，Q為線段PC的中點，如圖3由圖得，CQ=BC-BQ=6-t，PQ=AP-CQ=2t-10-(6-t)，由CQ=PQ得6﹣t＝2t-10-(6-t)，解得t＝；④當6＜t≤8時，C為線段PQ的中點，如圖4由圖得，PC=AP-AC=2t-10，CQ=BQ-BC=t-6，由QC=PC得2t﹣10＝t﹣6，解得t＝4＜6（舍去），綜上所述：t＝4或或．【點睛】本題考查了兩點間的距離，利用線段中點的性質得出關于t的方程是解題關鍵，要分類討論，以防遺漏．14．如圖，數(shù)軸上有A、B、C、D、O五個點，點O為原點，點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是5，線段CD的長度為6個單位，線段AB的長度為2個單位，且B、C兩點之間的距離為13個單位，請解答下列問題：（1）點D在數(shù)軸上表示的數(shù)是___，點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是___；（2）若點B以每秒2個單位的速度向右勻速運動t秒運動到線段CD上，且BC的長度是3個單位，根據(jù)題意列出的方程是______________，解得t=___；（3）若線段AB、CD同時從原來的位置出發(fā)，線段AB以每秒2個單位的速度向右勻速運動，線段CD以每秒3個單位的速度向左勻速運動，把線段CD的中點記作P，求出點P與線段AB的一個端點的距離為2個單位時運動的時間．【答案】（1）11，-10；（2）2t-13=3，8；（3）t=2.8或3.6或4【分析】（1）根據(jù)題意以及數(shù)軸上所表示的數(shù)字寫出點D、A表示的數(shù)字；（2）根據(jù)等量關系：點B運動的距離-13=3，列方程求解；（3）線段CD的中點P的位置為8，分情況討論即可．【詳解】（1）∵點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是5，CD=6，AB=2，BC=13，∴點D在數(shù)軸上表示的數(shù)是11，點B在數(shù)軸上表示的數(shù)是﹣8，點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是﹣10；（2）B運動到CD上時，走過的路程為，減去BC的距離即為此時BC的長度，故：2t-13=3，解得：t=8；（3）由題意得，線段CD的中點P的位置為8，分三種情況討論：①當點P在點B右側2個單位時，16﹣2t﹣3t=2，解得：t=2.8；②當點P在點B左側2個單位時，2t+3t﹣16=2，解得：t=3.6，此時P與A重合；③當點P在點A左側2個單位時，2t+3t﹣18=2，解得：t=4；綜上，當t=2.8或3.6或4時，點P與線段AB的一個端點的距離為2個單位．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用和數(shù)軸．解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系列出方程，再求解．15．如圖，已知數(shù)軸上點A表示的數(shù)為6，B是數(shù)軸上在A左側的一點，且A，B兩點間的距離為18．動點P從點A出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設運動時間為t（t>0）秒，（1）數(shù)軸上點B表示的數(shù)是____________，點P表示的數(shù)是____________（用含t的代數(shù)式表示）；（2）動點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸勻速運動，若點P、Q時出發(fā)．求：①若點Q向右運動，當點P運動多少秒時，點P與點Q相遇?②若點Q向左運動，當點P運動多少秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度?【答案】（1）-12，6-4t；（2）①3；②5或13．【分析】（1）由已知得OA＝6，B是數(shù)軸上在A左側的一點，則可得OB＝AB?OA＝12，因為點B在原點左邊，從而可得點B所表示的數(shù)；動點P從點A