專題23 二次函數(shù)壓軸綜合（8大考點）2022-2024中考數(shù)學真題分類匯編（全國用）（解析版）

第第頁試卷第=page2424頁，共=sectionpages2525頁專題23二次函數(shù)壓軸綜合（8大考點）（解析版）【考點歸納】TOC\o"1-2"\h\z\u一、考點01線段周期問題 1二、考點02面積問題 11三、考點03角度問題 44四、考點04特殊三角形問題 77五、考點05特殊四邊形問題 99六、考點06相似三角形問題 132七、考點07交點問題 140八、考點08定值定點問題 167考點01線段周長問題一、考點01線段周期問題1．（2024·湖南·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，點Px1,y1(1)求此二次函數(shù)的表達式；(2)如圖1，此二次函數(shù)的圖像與x軸的正半軸交于點B，點P在直線的上方，過點P作軸于點C，交AB于點D，連接．若，求證的值為定值；(3)如圖2，點P在第二象限，，若點M在直線上，且橫坐標為，過點M作軸于點N，求線段長度的最大值．【答案】(1)(2)為定值3，證明見解析(3)【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出直線的解析式，，則，，表示出，，代入即可求解；（3）設，則，求出直線的解析式，把代入即可求出線段長度的最大值．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，∴，∴，∴；（2）當時，，∴，∴，設直線的解析式為，∴，∴，∴，設，則，，∴，．∴，∴的值為定值；（3）設，則，設直線的解析式為，∴，∴，∴，當時，，∴當時，線段長度的最大值．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)與幾何綜合，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．2．（2024·四川雅安·中考真題）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點，與y軸交于點C．(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)如圖①，若點P是線段上的一個動點（不與點B，C重合），過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q，當線段的長度最大時，求點Q的坐標；(3)如圖②，在（2）的條件下，過點Q的直線與拋物線交于點D，且．在y軸上是否存在點E，使得為等腰三角形？若存在，直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點或或或或【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）由，即可求解；（3）先求出點，再分類求解即可．【詳解】（1）解：由題意得：，則，則拋物線的表達式為：；（2）解：由拋物線的表達式知，點，由點B、C的坐標得，直線的表達式為：，設點，則點，則，∵，故有最大值，此時，則，即點；（3）解：存在，理由：設直線的表達式為，由點的坐標得，，解得：，∴直線的表達式為：，令，，故，過點作軸交軸于點，則，，則，即直線和關(guān)于直線對稱，故，設直線的表達式為，代入，，得，解得：，則直線的表達式為：，聯(lián)立上式和拋物線的表達式得：，解得：(舍去)或5，即點；設點，由的坐標得，，當時，則，解得：，即點或；當或時，同理可得：或，解得：或，即點或或；綜上，點或或或或．【點睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．3．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），頂點為C．(1)求A、B、C三點的坐標；(2)一個二次函數(shù)的圖像經(jīng)過B、C、三點，其中，該函數(shù)圖像與x軸交于另一點D，點D在線段上（與點O、B不重合）．①若D點的坐標為，則_________；②求t的取值范圍：③求的最大值．【答案】(1)，，(2)①6；②且；③4【分析】本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的對稱性，二次函數(shù)的最值問題等相關(guān)知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題基礎(chǔ)．（1）根據(jù)頂點式可直接得出點的坐標；令，解方程，可得出點，的坐標；（2）①根據(jù)函數(shù)的對稱性，可得出對稱軸為直線，再根據(jù)點，的坐標可得出，關(guān)于對稱軸對稱，由此可得出的值；②由對稱軸的性質(zhì)可知，二次函數(shù)圖象的對稱軸與軸的交點坐標為，，再由對稱性可知，，由點在線段上，且與端點不重合，可得，即，而當時，過點，，三點的二次函數(shù)不存在，由此可得且；③，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】（1）解：二次函數(shù)的圖象的頂點為，；令，解得或，，；（2）解：①由題知，該函數(shù)過點，，，函數(shù)的解析式為：，函數(shù)的對稱軸為直線，，，點，關(guān)于對稱軸對稱，，，故答案為：6；②設二次函數(shù)的解析式為：，將，，兩點代入，得，，，，二次函數(shù)圖象的對稱軸與軸的交點坐標為，，，兩點關(guān)于對稱軸對稱，點，，點在線段上，且與端點不重合，，即，時，過點，，三點的二次函數(shù)不存在，且；③，，．，且，時，有最大值，最大值為4．4．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過原點和點．經(jīng)過點的直線與該二次函數(shù)圖象交于點，與軸交于點．(1)求二次函數(shù)的解析式及點的坐標；(2)點是二次函數(shù)圖象上的一個動點，當點在直線上方時，過點作軸于點，與直線交于點，設點的橫坐標為．①為何值時線段的長度最大，并求出最大值；②是否存在點，使得與相似．若存在，請求出點坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)①當時，有最大值為；②當P的坐標為或時，與相似【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系數(shù)法求出直線解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐標；（2）①根據(jù)P、D的坐標求出，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；②先利用等邊對等角，平行線的判定與性質(zhì)等求出，然后分，兩種情況討論過，利用相似三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等求解即可．【詳解】（1）解：把，，代入，得，解得，∴二次函數(shù)的解析式為，設直線解析式為，則，解得，∴直線解析式為，當時，，∴；（2）解：①設，則，∴，∴當時，有最大值為；②∵，，∴，又，∴，又軸，∴軸，∴，當時，如圖，∴，∴軸，∴P的縱坐標為3，把代入，得，解得，，∴，∴，∴P的坐標為；當時，如圖，過B作于F，則，，又，∴，∴，∴，∴，∴，解得，（舍去），∴，∴P的坐標為綜上，當P的坐標為或時，與相似．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，明確題意，添加合適輔助線，合理分類討論是解題的關(guān)鍵．二、考點02面積問題5．（2023·山西·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的正半軸交于點A，經(jīng)過點A的直線與該函數(shù)圖象交于點，與軸交于點C．

(1)求直線的函數(shù)表達式及點C的坐標；(2)點是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個動點，過點作直線軸于點，與直線交于點D，設點的橫坐標為．①當時，求的值；②當點在直線上方時，連接，過點作軸于點，與交于點，連接．設四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達式，并求出S的最大值．【答案】(1)，點的坐標為(2)①2或3或；②，S的最大值為【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求得直線的函數(shù)表達式，再求得點C的坐標即可；（2）①分當點在直線上方和點在直線下方時，兩種情況討論，根據(jù)列一元二次方程求解即可；②證明，推出，再證明四邊形為矩形，利用矩形面積公式得到二次函數(shù)的表達式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：由得，當時，．解得．∵點A在軸正半軸上．∴點A的坐標為．設直線的函數(shù)表達式為．將兩點的坐標分別代入，得，解得，∴直線的函數(shù)表達式為．將代入，得．∴點C的坐標為；（2）①解：點在第一象限內(nèi)二次函數(shù)的圖象上，且軸于點，與直線交于點，其橫坐標為．∴點的坐標分別為．∴．∵點的坐標為，∴．∵，∴．如圖，當點在直線上方時，．

∵，∴．解得．如圖2，當點在直線下方時，．

∵，∴．解得，∵，∴．綜上所述，的值為2或3或；②解：如圖3，由（1）得，．

∵軸于點，交于點，點B的坐標為，∴．∵點在直線上方，∴．∵軸于點，∴．∴，，∴．∴．∴．∴．∴．∴四邊形為平行四邊形．∵軸，∴四邊形為矩形．∴．即．∵，∴當時，S的最大值為．【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知識點，第二問難度較大，需要分情況討論，畫出大致圖形，用含m的代數(shù)式表示出是解題的關(guān)鍵．6．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點．點坐標為，與軸交于點，點為拋物線頂點，點為AB中點．

(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)在直線上方的拋物線上存在點，使得，求點的坐標；(3)已知，為拋物線上不與，重合的相異兩點．①若點與點重合，，且，求證：，，三點共線；②若直線AD，交于點，則無論，在拋物線上如何運動，只要，，三點共線，，，中必存在面積為定值的三角形．請直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明理由．【答案】(1)(2)(3)①見解析；②的面積為定值【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式，即可求解；（2）根據(jù)題意得出，過點作交拋物線于點，過點作軸于點，則是等腰直角三角形，根據(jù)，建立方程，解方程，即可求解；（3）①根據(jù)題意得出，得出直線的解析式為，聯(lián)立得出，在直線上；②設，，設的解析式y(tǒng)=kx?1，聯(lián)立拋物線解析式，可得，根據(jù)題意，設直線解析式為，直線的解析式為，求得到軸的距離是定值，即可求解．【詳解】（1）解：將，代入得，解得：∴拋物線解析式為（2）解：對于，令，解得：∴∴∴是等腰直角三角形，∴∵∴如圖所示，過點作交拋物線于點，過點作軸于點，

∴∴是等腰直角三角形，∴，設，則∴，∴解得：（舍去）或∴（3）①點與點重合，則，∵點為AB中點，，∴,設直線的解析式為y=kx+bk≠0，代入,∴解得：∴聯(lián)立解得：或∴，在直線上即，，三點共線；②設，∵，，三點共線；∴設的解析式y(tǒng)=kx?1，聯(lián)立消去得，∴∵，設直線解析式為，直線的解析式為聯(lián)立解得：∴∵，∴，∴而不為定值，∴在直線上運動，∴到軸的距離為定值，∵直線AD，交于點，則無論，在拋物線上如何運動，只要，，三點共線，，，中必存在面積為定值的三角形，到的距離是變化的，∴的面積為是定值．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應用，待定系數(shù)法求解析式，角度問題，面積問題，一次函數(shù)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．7．（2024·山東濟寧·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過，兩點，其中a，b，c為常數(shù)，且．(1)求a，c的值；(2)若該二次函數(shù)的最小值是，且它的圖像與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．①求該二次函數(shù)的解析式，并直接寫出點A，B的坐標；②如圖，在y軸左側(cè)該二次函數(shù)的圖像上有一動點P，過點P作x軸的垂線，垂足為D，與直線交于點E，連接，，．是否存在點P，使？若存在，求此時點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)①該二次函數(shù)的解析式為：；，②存在，P點橫坐標為：或或【分析】（1）先求得，則可得和關(guān)于對稱軸對稱，由此可得，進而可求得；（2）①根據(jù)拋物線頂點坐標公式得，由此可求得，進而可得拋物線的表達式為，進而可得，；②分兩種情況進行討論：當點P在點A右側(cè)時，當點P在點A左側(cè)時，分別畫出圖形，求出點P的坐標即可．【詳解】（1）解：∵的圖像經(jīng)過，∴，∴和關(guān)于對稱軸對稱，∴，，，∴，．（2）解：①∵，，∴，∵，∵解得，∵，且，∴，∴，∴該二次函數(shù)的解析式為：，當時，，解得，，∴，．②設直線的表達式為：，則，解得，∴直線的表達式為：，當點P在點A右側(cè)時，作于F，如圖所示：設，則，，則，,，∵，，，∴，∵，，解得：，，∴點P橫坐標為或；當點P在點A左側(cè)時，作于F，如圖所示：設，則，，則，,，∵，，，∴，∵，，解得：，（舍去），∴點P橫坐標為，綜上所述，P點橫坐標為：或或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，二次函數(shù)與幾何綜合，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的表達式．熟練掌握“三角形面積水平寬鉛錘高”是解題的關(guān)鍵．8．（2024·四川遂寧·中考真題）二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點，與軸交于點C0,?3，為拋物線上的兩點．(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)當兩點關(guān)于拋物線對稱軸對稱，是以點為直角頂點的直角三角形時，求點的坐標；(3)設的橫坐標為，的橫坐標為，試探究：的面積是否存在最小值，若存在，請求出最小值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，最小值為【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理，已知兩點坐標表示兩點距離，二次函數(shù)最值，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）可求，設，由，得，則，解得，（舍去），故；（3）分當點P、Q在x軸下方，且點Q在點P上方時，當點P、Q在x軸下方，且點P在點Q上方時，當點P、Q都在x軸上方或者一個在x軸上方，一個在x軸下方，得到這個面積是關(guān)于m的二次函數(shù)，進而求最值即可．【詳解】（1）解：把，代入得，，解得，∴二次函數(shù)的表達式為；（2）解：如圖：由得拋物線對稱軸為直線，∵兩點關(guān)于拋物線對軸對稱，∴，設，∵，∴，∴，整理得，，解得，（舍去），∴，∴；（3）存在，理由：當點P、Q在x軸下方，且點Q在點P上方時，設點，則點，設直線交軸于點，設直線表達式為：，代入，得：，解得：，∴直線的表達式為：，令，得則，則，則，即存在最小值為；當點P、Q在x軸下方，且點P在點Q上方時，同上可求直線表達式為：，令，得則，則，則即存在最小值為；當點P、Q都在x軸上方或者一個在x軸上方，一個在x軸下方同理可求，即存在最小值為，綜上所述，的面積是否存在最小值，且為．9．（2024·海南·中考真題）如圖1，拋物線經(jīng)過點A?4,0、，交y軸于點，點P是拋物線上一動點．(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)當點P的坐標為時，求四邊形的面積；(3)當時，求點P的坐標；(4)過點A、O、C的圓交拋物線于點E、F，如圖2．連接，判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)(2)16(3)或(4)是等邊三角形，理由見解析【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）過點P作于T，根據(jù)列式求解即可；（3）取，連接，易證明，則線段與拋物線的交點即為所求；求出直線的解析式為，聯(lián)立，解得或（舍去），則；如圖所示，取，連接，同理可得，則直線與拋物線的交點即為所求；同理可得；則符合題意的點P的坐標為或；（4）由90度的圓周角所對的弦是直徑得到為過三點的圓的直徑，如圖所示，取中點R，連接，則，；設與拋物線交于，聯(lián)立得，解得，則，由勾股定理可得，則是等邊三角形．【詳解】（1）解：將點代入，得解得∴拋物線解析式為；（2）解:如圖所示，過點P作于T，∵，A?4,0，，∴，∴，∴；（3）解：如圖所示，取，連接，∵A?4,0、，，∴，∴，∴線段與拋物線的交點即為所求；設直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，聯(lián)立，解得或（舍去），∴；如圖所示，取，連接，同理可得，∴直線與拋物線的交點即為所求；同理可知直線的解析式為，聯(lián)立，解得或（舍去），∴；綜上所述，符合題意的點P的坐標為或；（4）解：是等邊三角形，理由如下：∵三點共圓，且，∴為過三點的圓的直徑，如圖所示，取中點R，連接，∵，∴，∴；設與拋物線交于，聯(lián)立得，∴，解得，在中，當時，當時，∴，∴，，，∴，∴是等邊三角形．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，勾股定理，圓的相關(guān)知識，解題的關(guān)鍵在于正確作出輔助線并利用數(shù)形結(jié)合的思想求解．10．（2024·山東東營·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，點是拋物線上的一個動點．

(1)求拋物線的表達式；(2)當點在直線下方的拋物線上時，過點作軸的平行線交于點，設點的橫坐標為t，的長為，請寫出關(guān)于的函數(shù)表達式，并寫出自變量的取值范圍；(3)連接，交于點，求的最大值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）先求出，再用待定系數(shù)法求出直線的解析式為：，可得出，，從而可得，再求出自變量取值范圍即可；（3）分四種情形：當時，作，交于，可得出，從而，進而得出，進一步得出結(jié)果；當，和時，可得出沒有最大值．【詳解】（1）解：拋物線與軸交于，兩點，，解得，該拋物線的解析式為：；（2）解：二次函數(shù)中，令，則，，設直線的解析式為：．將，代入得到：，解得，直線的解析式為：，過點作軸的平行線交于點，設點的橫坐標為t，，，，點在直線下方的拋物線上，；（3）解：如圖1，

當時，作，交于，，，把代入得，，，，當時，，，，如圖2，當時，此時，，時，隨著的增大而增大，沒有最大值，沒有最大值，如圖3，當時，，當時，隨著的增大而減小，沒有最大值，沒有最大值，如圖4，

當時，由上可知，沒有最大值，綜上所述：當時，．【點睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是分類討論．11．（2024·廣東廣州·中考真題）已知拋物線過點和點，直線過點，交線段于點，記的周長為，的周長為，且．(1)求拋物線的對稱軸；(2)求的值；(3)直線繞點以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)秒后得到直線，當時，直線交拋物線于，兩點．①求的值；②設的面積為，若對于任意的，均有成立，求的最大值及此時拋物線的解析式．【答案】(1)對稱軸為直線：；(2)(3)①，②的最大值為，拋物線為；【分析】（1）直接利用對稱軸公式可得答案；（2）如圖，由，可得在的左邊，，證明，可得，設，建立，可得：，，再利用待定系數(shù)法求解即可；（3）①如圖，當時，與拋物線交于，由直線，可得，可得，從而可得答案；②計算，當時，可得，則，，可得，可得當時，的最小值為，再進一步求解可得答案．【詳解】（1）解：∵拋物線，∴拋物線對稱軸為直線：；（2）解：∵直線過點，∴，如圖，∵直線過點，交線段于點，記的周長為，的周長為，且，∴在的左邊，，∵在拋物線的對稱軸上，∴，∴，設，∴，解得：，∴，∴，∴，解得：；（3）解：①如圖，當時，與拋物線交于，∵直線，∴，∴，解得：，②∵，當時，，∴，∴，，∴，∵，∴當時，的最小值為，∴此時，∵對于任意的，均有成立，∴的最大值為，∴拋物線為；【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，坐標與圖形面積，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．12．（2024·四川南充·中考真題）已知拋物線與軸交于點，．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，拋物線與軸交于點，點為線段上一點（不與端點重合），直線，分別交拋物線于點，，設面積為，面積為，求的值；(3)如圖，點是拋物線對稱軸與軸的交點，過點的直線（不與對稱軸重合）與拋物線交于點，，過拋物線頂點作直線軸，點是直線上一動點．求的最小值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（）利用待定系數(shù)法即可求解；（）設，直線為，求出，直線為，求出，聯(lián)立方程組得，，再根據(jù)，即可求解；（）設直線為，由得，得，設，，聯(lián)立直線與拋物，得，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，作點關(guān)于直線的對稱點，連接，則有，過點作于F，則，則，，根據(jù)勾股定理得，即可求出最小值．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點，，，

解得，∴拋物線的解析式為；（2）設，直線為，據(jù)題意得，，解得，∴，聯(lián)立得，解得或，∴，設，直線為，據(jù)題意得，，解得，∴，聯(lián)立得，解得或，∴，

，

，∴；（3）設直線為，由得，∴，∴，

設，，聯(lián)立直線與拋物線，得，，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，作點關(guān)于直線的對稱點，連接，

由題意得直線，則，∴，過點作于F，則．則，，

在中，，

即當時，，此時，故的最小值為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解一元二次方程，根的判別式，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握知識點的應用是解題的關(guān)鍵．13．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線：與軸交于A，B兩點（點在點的左側(cè)），其頂點為，是拋物線第四象限上一點．(1)求線段的長；(2)當時，若的面積與的面積相等，求的值；(3)延長交軸于點，當時，將沿方向平移得到．將拋物線平移得到拋物線，使得點，都落在拋物線上．試判斷拋物線與是否交于某個定點．若是，求出該定點坐標；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)拋物線與交于定點【分析】（1）根據(jù)題意可得，整理得，即可知則有；（2）由題意得拋物線：，則設，可求得，結(jié)合題意可得直線解析式為，設直線與拋物線對稱軸交于點E，則，即可求得，進一步解得點，過D作于點H，則，即可求得；（3）設可求得直線解析式為，過點D作，可得，結(jié)合題意得設拋物線解析式為，由于過點，可求得拋物線解析式為，根據(jù)解得，即可判斷拋物線與交于定點．【詳解】（1）解：∵拋物線：與軸交于A，B兩點，∴，整理得，解得∴則；（2）當時，拋物線：，則設，則，設直線解析式為，∵點D在直線上，∴，解得，則直線解析式為，設直線與拋物線對稱軸交于點E，則，∴，∵的面積與的面積相等，∴，解得，∴點，過點D作于點H，則，則；（3）設直線解析式為，則，解得，那么直線解析式為，過點D作，如圖，則，∵，∴，∵將沿方向平移得到，∴由題意知拋物線平移得到拋物線，設拋物線解析式為，∵點，都落在拋物線上

∴，解得，則拋物線解析式為∵整理得，解得，∴拋物線與交于定點．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、兩點之間的距離、一次函數(shù)的性質(zhì)、求正切值、二次函數(shù)的平移、等腰三角形的性質(zhì)和拋物線過定點，解題的關(guān)鍵是熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)和平移過程中數(shù)形結(jié)合思想的應用．三、考點03角度問題14．（2024·湖北·中考真題）如圖1，二次函數(shù)交軸于和，交軸于．(1)求的值．(2)為函數(shù)圖象上一點，滿足，求點的橫坐標．(3)如圖2，將二次函數(shù)沿水平方向平移，新的圖象記為與軸交于點，記，記頂點橫坐標為．①求與的函數(shù)解析式．②記與軸圍成的圖象為與重合部分（不計邊界）記為，若隨增加而增加，且內(nèi)恰有2個橫坐標與縱坐標均為整數(shù)的點，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)；(2)或；(3)①；②的取值范圍為或．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求得，，作軸于點，設，分當點在軸上方和點在軸下方時，兩種情況討論，利用相似三角形的判定和性質(zhì)，列式求解即可；（3）①利用平移的性質(zhì)得圖象的解析式為，得到圖象與軸交于點的坐標，據(jù)此列式計算即可求解；②先求得或，中含0,1，0,2，三個整數(shù)點（不含邊界），再分三種情況討論，分別列不等式組，求解即可．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)交軸于，∴，解得；（2）解：∵，∴，令，則，解得或，令，則，∴，，，作軸于點，設，當點在軸上方時，如圖，∵，∴，∴，即，解得或（舍去）；當點在軸下方時，如圖，∵，∴，∴，即，解得或（舍去）；∴或；（3）解：①∵將二次函數(shù)沿水平方向平移，∴縱坐標不變是4，∴圖象的解析式為，∴，∴，由題意知：C、D不重合，則，∴；②由①得，則函數(shù)圖象如圖，∵隨增加而增加，∴或，中含0,1，0,2，三個整數(shù)點（不含邊界），當內(nèi)恰有2個整數(shù)點0,1，0,2時，當時，，當時，，∴，∴，或，∴；∵或，∴；當內(nèi)恰有2個整數(shù)點0,1，時，當時，，當時，，∴，∴或，，∴；∵或，∴；當內(nèi)恰有2個整數(shù)點0,2，時，此情況不存在，舍去，綜上，的取值范圍為或．【點睛】本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式及二次函數(shù)與線段的交點問題，也考查了二次函數(shù)與不等式，相似三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合法是解題的關(guān)鍵．15．（2023·江蘇無錫·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像與軸交于點，且經(jīng)過點和點．(1)請直接寫出，的值；(2)直線交軸于點，點是二次函數(shù)圖像上位于直線AB下方的動點，過點作直線AB的垂線，垂足為．①求的最大值；②若中有一個內(nèi)角是的兩倍，求點的橫坐標．【答案】(1)，(2)①；②2或【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）①過點作軸平行線分別交、于、．令，求得，勾股定理求得，得出，則，進而可得，求得直線的解析式為，設，則，進而表示出，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．②根據(jù)已知，令，，在上取點，使得，得出，然后根據(jù)，設，．進而分兩種情況討論，ⅰ當時，，則相似比為，得出代入拋物線解析式，即可求解；ⅱ當時，，同理可得，代入拋物線解析式即可求解．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖像與軸交于點，且經(jīng)過點和點∴解得：∴，，；（2）①如圖1，過點作軸平行線分別交、于、．∵，當時，，∴，∴，，∴，∴．∵，，∴，∴，∴，∴．∵設直線的解析式為∴解得：直線解析式為．設，，，當時，取得最大值為，的最大值為．②如圖2，已知，令，則，在上取點，使得，∴，設，則，則，解得，∴，即．如圖3構(gòu)造，且軸，相似比為，又∵，設，則．分類討論：ⅰ當時，則，∴與的相似比為，∴，，∴，代入拋物線求得，（舍）．∴點橫坐標為．ⅱ當時，則，∴相似比為，∴，，∴，代入拋物線求得，（舍）．∴點橫坐標為．綜上所示，點的橫坐標為2或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，線段長的最值問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，正切的定義．利用分類討論的思想并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2024·湖北·中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點C．(1)求b的值；(2)如圖，M是第一象限拋物線上的點，，求點M的橫坐標；(3)將此拋物線沿水平方向平移，得到的新拋物線記為L，L與y軸交于點N．設L的頂點橫坐標為n，的長為d．①求d關(guān)于n的函數(shù)解析式；②L與x軸圍成的區(qū)域記為U，U與內(nèi)部重合的區(qū)域（不含邊界）記為W．當d隨n的增大而增大，且W內(nèi)恰好有兩個橫、縱坐標均為整數(shù)的點時，直接寫出n的取值范圍．【答案】(1)(2)點M的橫坐標為(3)①；②或【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）設，作軸于點，構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)或者相似建立關(guān)于的方程求解即可；（3）①由二次函數(shù)平移可得出圖象的解析式為，從而得到，再分類討論去絕對值即可；②根據(jù)題干條件得出整數(shù)點，，，再分別兩兩進行分類討論，建立二次函數(shù)不等式即可解決．【詳解】（1）解：二次函數(shù)與軸交于，，解得：；（2），二次函數(shù)表達式為：，令，解得或，令得，，，，設，作軸于點，如圖，，，即，解得或（舍去），的橫坐標為；（3）①將二次函數(shù)沿水平方向平移，縱坐標不變?yōu)?，圖象的解析式為，，，；②由①得，畫出大致圖象如下，隨著增加而增加，或，中含，，三個整點（不含邊界），當內(nèi)恰有2個整數(shù)點，時，當時，，當時，，，，或，，或，；當內(nèi)恰有2個整數(shù)點，時，當時，，當時，，，或，，，或，；當內(nèi)恰有2個整數(shù)點，時，此種情況不存在，舍去．綜上所述，的取值范圍為或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，包括用待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達式及二次函數(shù)與線段交點的問題，也考查了二次函數(shù)與不等式，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合法是解題關(guān)鍵．17．（2024·四川資陽·中考真題）已知平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸的正半軸交于C點，且B4,0，．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點P是拋物線在第一象限內(nèi)的一點，連接，過點P作軸于點D，交于點K．記，的面積分別為，，求的最大值；(3)如圖2，連接，點E為線段的中點，過點E作交x軸于點F．拋物線上是否存在點Q，使？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或【分析】（1）先求點坐標，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）求出的解析式，設，則：，將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可；（3）易得垂直平分，設，勾股定理求出點坐標，三線合一結(jié)合同角的余角相等，推出，分別作點關(guān)于軸和直線的對稱點，直線，與拋物線的交點即為所求，進行求解即可．【詳解】（1）解：∵B4,0∴，∵，∴，∴，把B4,0，，代入函數(shù)解析式得：∴，解得：；∴；（2）∵B4,0，，∴設直線的解析式為：，把B4,0，代入，得：，∴，設，則：，∴，，，∴，∴，∴當時，的最大值為；（3）存在：令，解得：，∴A?2,0∵，點為的中點，∴，∵，，∴，∴，設，則：，在中，由勾股定理，得：，∴，∴，，∵，，∴，∴，①取點關(guān)于軸的對稱點，連接，交拋物線與點，則：，，設的解析式為：，則：，解得：，∴，聯(lián)立，解得：（舍去）或，∴；②取關(guān)于的對稱點，連接交于點，連接交拋物線于點，則：，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，過點作軸，則：，，∴，∴，∴，設直線的解析式為：，則：，解得：，∴，聯(lián)立，解得：（舍去）或，∴；綜上：或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，中垂線的判定和性質(zhì)，等積法求線段的長，坐標與軸對稱，勾股定理，解直角三角形，等知識點，綜合性強，難度大，計算量大，屬于中考壓軸題，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想，進行求解，是解題的關(guān)鍵．18．（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，，，對稱軸為直線，將拋物線繞點旋轉(zhuǎn)后得到新拋物線，拋物線與軸交于點，頂點為，對稱軸為直線．(1)分別求拋物線和的表達式；(2)如圖，點的坐標為，動點在直線上，過點作軸與直線交于點，連接，．求的最小值；(3)如圖，點的坐標為，動點在拋物線上，試探究是否存在點，使？若存在，請直接寫出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，或【分析】（1）先求出點A、B、C坐標，再用待定系數(shù)法求出拋物線的表達式，求出其頂點坐標，由旋轉(zhuǎn)可知拋物線的二次項系數(shù)為原來的相反數(shù)，頂點坐標與拋物線的頂點坐標關(guān)于原點對稱，即可求解；（2）將點F向右平移2個單位至，則，，過點D作直線的對稱點為，連接，則四邊形為平行四邊形，則，，因此，即可求解；（3）當點P在直線右側(cè)拋物線上時，可得，作H關(guān)于直線的對稱點，則點在直線上，可求直線的表達式為，聯(lián)立，解得：或（舍），故；當點P在直線左側(cè)拋物線上時，延長交y軸于點N，作的垂直平分線交于點Q，交y軸于點M，過點E作軸于點K，則，可得，可證明出，由，得，設，則，，在和中，由勾股定理得，解得：或（舍），所以，可求直線表達式為：，聯(lián)立，解得：或（舍），故．【詳解】（1）解：設對稱軸與x軸交于點G，由題意得，∵對稱軸為直線，∴，∴，∴，將A、B、C分別代入，得：，解得：，∴，∴，頂點為∵拋物線繞點旋轉(zhuǎn)后得到新拋物線，∴拋物線的，頂點為，∴的表達式為：，即（2）解：將點F向右平移2個單位至，則，，過點D作直線的對稱點為，連接，∴，∵，∴直線為直線，∵軸，∴，對于拋物線，令，則，∴，∵點D與點關(guān)于直線對稱，∴點，∵軸，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，當點三點共線時，取得最小值，而，∴的最小值為；（3）解：當點P在直線右側(cè)拋物線上時，如圖：∵拋物線，∴∵軸，∴，∵，∴，∴，作H關(guān)于直線的對稱點，則點在直線上，∵點的坐標為，直線：，∴，設直線的表達式為：y=kx+bk≠0，代入，,得：，解得：，∴直線的表達式為，聯(lián)立，得：，解得：或（舍），∴；②當點P在直線左側(cè)拋物線上時，延長交y軸于點N，作的垂直平分線交于點Q，交y軸于點M，過點E作軸于點K，則，如圖：∵垂直平分，∴，∴，∴，∵∴，∴，由點得：，∵，∴，∴，∴，設，∴，，在和中，由勾股定理得，∴，解得：或（舍）∴，∴，∴，設直線表達式為：，代入點N，E，得：，解得：∴直線表達式為：，聯(lián)立，得：，整理得：解得：或（舍），∴，綜上所述，或．【點睛】本題是一道二次函數(shù)與角度有關(guān)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形三邊關(guān)系求最值，平行四邊形的判定與性質(zhì)，中心對稱圖形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵．19．（2024·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點，與軸交于點，與軸交于兩點（在的左側(cè)），連接．(1)求拋物線的表達式；(2)點是射線上方拋物線上的一動點，過點作軸，垂足為，交于點．點是線段上一動點，軸，垂足為，點為線段的中點，連接．當線段長度取得最大值時，求的最小值；(3)將該拋物線沿射線方向平移，使得新拋物線經(jīng)過（2）中線段長度取得最大值時的點，且與直線相交于另一點．點為新拋物線上的一個動點，當時，直接寫出所有符合條件的點的坐標．【答案】(1)；(2)的最小值為；(3)符合條件的點的坐標為或．【分析】（1）利用正切函數(shù)求得，得到，再利用待定系數(shù)法即可求解；（2）求得A?4,0，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，設，求得最大，點，再證明四邊形是平行四邊形，得到，推出當共線時，取最小值，即取最小值，據(jù)此求解即可；（3）求得，再利用平移的性質(zhì)得到新拋物線的解析式，再分兩種情況討論，計算即可求解．【詳解】（1）解：令，則，∴，∴，∵，∴，∴，∴，將和代入得，解得，∴拋物線的表達式為；（2）解：令，則，解得或，∴A?4,0設直線的解析式為，代入A?4,0，得，解得，∴直線的解析式為，設（），則，∴，∵，∴當時，最大，此時，∴，，，∴，，連接，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴當共線時，取最小值，即取最小值，∵點為線段的中點，∴，∴，∴的最小值為；（3）解：由（2）得點的橫坐標為，代入，得，∴，∴新拋物線由向左平移2個單位，向下平移2個單位得到，∴，過點作交拋物線于點，∴，同理求得直線的解析式為，∵，∴直線的解析式為，聯(lián)立得，解得，，當時，，∴，作關(guān)于直線的對稱線得交拋物線于點，∴，設交軸于點，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，過點作軸，作軸于點，作于點，當時，，解得，∴∵A?4,0，，∴，∴，∵軸，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，同理直線的解析式為，聯(lián)立，解得或，當時，，∴，綜上，符合條件的點的坐標為或．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合問題，考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．20．（2024·江蘇連云港·中考真題）在平面直角坐標系中，已知拋物線（a、b為常數(shù)，）．

(1)若拋物線與軸交于、兩點，求拋物線對應的函數(shù)表達式；(2)如圖，當時，過點、分別作軸的平行線，交拋物線于點M、N，連接．求證：平分；(3)當，時，過直線上一點作軸的平行線，交拋物線于點．若的最大值為4，求的值．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）連接，根據(jù)題意，求得，，進而求出，，利用勾股定理求出，求出，從而得到，結(jié)合平行線的性質(zhì)即可證明結(jié)論；（3）設，則，，求出當時，，得到點在的上方，設，故，其對稱軸為，分為和兩種情況討論即可．【詳解】（1）解：分別將，代入，得，解得．函數(shù)表達式為；（2）解：連接，

，．當時，，即點，當時，，即點．，，，，，在中，．，，．，．．平分．（3）解：設，則，．當時，．令，解得，．，，點在的上方（如圖1）．

設，故，其對稱軸為，且．①當時，即．由圖2可知：

當時，取得最大值．解得或（舍去）．②當時，得，由圖3可知：

當時，取得最大值．解得（舍去）．綜上所述，的值為．【點睛】本題考查拋物線與角度的綜合問題，拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的解析式及最值等問題，關(guān)鍵是利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．21．（2024·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，交軸于點，拋物線的對稱軸是直線．(1)求拋物線的表達式；(2)點是直線下方對稱軸右側(cè)拋物線上一動點，過點作軸交拋物線于點，作于點，求的最大值及此時點的坐標；(3)將拋物線沿射線方向平移個單位，在取得最大值的條件下，點為點平移后的對應點，連接交軸于點，點為平移后的拋物線上一點，若，請直接寫出所有符合條件的點的坐標．【答案】(1)(2)最大值為；；(3)或【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式即可；（2）如圖，延長交軸于，過作軸于，求解，可得，證明，設，，，再建立二次函數(shù)求解即可；（3）由拋物線沿射線方向平移個單位，即把拋物線向左平移2個單位，再向下平移1個單位，可得新的拋物線為：，，如圖，當在軸的左側(cè)時，過作軸于，證明，可得，證明，如圖，當在軸的右側(cè)時，過作軸的垂線，過作過的垂線于，同理可得：，再進一步結(jié)合三角函數(shù)建立方程求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于，兩點，交軸于點，拋物線的對稱軸是直線，∴，解得，∴；（2）解：如圖，延長交軸于，過作軸于，∵當時，解得：，，∴，當時，，∴C0,?3∴，∴，∵軸，∴，∴，∴，∵，C0,?3，設為，∴，解得：，∴直線為：，設，∴，∴，∵拋物線的對稱軸為直線，∴，∴，當時，取得最大值，最大值為；此時；（3）解：∵拋物線沿射線方向平移個單位，即把拋物線向左平移2個單位，再向下平移1個單位，∴新的拋物線為：，，如圖，當在軸的左側(cè)時，過作軸于，∵，同理可得：直線為，當時，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，設，∴，解得：或（舍去）∴；如圖，當在軸的右側(cè)時，過作軸的垂線，過作過的垂線于，同理可得：，設，則，同理可得：，∴或（舍去），∴．【點睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，難度很大，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應用，關(guān)鍵是做出合適的輔助線進行轉(zhuǎn)化，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．四、考點04特殊三角形問題22．（2023·江蘇·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點，其頂點是C．

(1)_______；(2)D是第三象限拋物線上的一點，連接OD，；將原拋物線向左平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過點D，過點作x軸的垂線l．已知在l的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，求k的取值范圍；(3)將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點Q，且其頂點P落在原拋物線上，連接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求點P的坐標．【答案】(1)；(2)；(3)或．【分析】（1）把代入即可求解；（2）過點D作DM⊥OA于點M，設，由，解得，進而求得平移后得拋物線，平移后得拋物線為，根據(jù)二次函數(shù)得性質(zhì)即可得解；（3）先設出平移后頂點為，根據(jù)原拋物線，求得原拋物線的頂點，對稱軸為x=1，進而得，再根據(jù)勾股定理構(gòu)造方程即可得解．【詳解】（1）解：把代入得，，解得，故答案為；（2）解：過點D作DM⊥OA于點M，

∵，∴二次函數(shù)的解析式為設，∵D是第三象限拋物線上的一點，連接OD，，∴，解得m=或m=8（舍去），當m=時，，∴，∵，∴設將原拋物線向左平移后的拋物線為，把代入得，解得a=3或a=（舍去），∴平移后得拋物線為∵過點作x軸的垂線l．已知在l的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，在的對稱軸x=的左側(cè)，y隨x的增大而減小，此時原拋物線也是y隨x的增大而減小，∴；（3）解：由，設平移后的拋物線為，則頂點為，∵頂點為在上，∴，∴平移后的拋物線為，頂點為，∵原拋物線，∴原拋物線的頂點，對稱軸為x=1，∵平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點Q，∴，∵點Q、C在直線x=1上，平移后的拋物線頂點P在原拋物線頂點C的上方，兩拋物線的交點Q在頂點P的上方，∴∠PCQ與∠CQP都是銳角，∵是直角三角形，∴∠CPQ=90°，∴，∴化簡得，∴p=1（舍去），或p=3或p=，當p=3時，，當p=時，，∴點P坐標為或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（2023·湖南·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，與軸交于點，其中，．

(1)求這個二次函數(shù)的表達式；(2)在二次函數(shù)圖象上是否存在點，使得？若存在，請求出點坐標；若不存在，請說明理由；(3)點是對稱軸上一點，且點的縱坐標為，當是銳角三角形時，求的取值范圍．【答案】(1)(2)或或(3)或．【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)，可得到的距離等于到的距離，進而作出兩條的平行線，求得解析式，聯(lián)立拋物線即可求解；（3）根據(jù)題意，求得當是直角三角形時的的值，進而觀察圖象，即可求解，分和兩種情況討論，分別計算即可求解．【詳解】（1）解：將點，代入，得解得：∴拋物線解析式為；（2）∵，頂點坐標為，當時，解得：∴，則∵，則∴是等腰直角三角形，∵∴到的距離等于到的距離，∵，，設直線的解析式為∴解得：∴直線的解析式為，如圖所示，過點作的平行線，交拋物線于點，

設的解析式為，將點代入得，解得：∴直線的解析式為，解得：或∴，∵∴∴是等腰直角三角形，且，如圖所示，延長至，使得，過點作的平行線，交軸于點，則，則符合題意的點在直線上，∵是等腰直角三角形，∴∴是等腰直角三角形，∴∴設直線的解析式為∴解得：∴直線的解析式為聯(lián)立解得：或∴或綜上所述，或或；（3）①當時，如圖所示，過點作交于點，當點與點重合時，是直角三角形，當時，是直角三角形，

設交于點，∵直線的解析式為，則，∴,∵，∴是等腰直角三角形，∴∴，設，則∵∴解得：（舍去）或∴∵是銳角三角形∴；當時，如圖所示，同理可得即∴解得：或（舍去）由（2）可得時，

∴綜上所述，當是銳角三角形時，或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，面積問題，角度問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（2023·四川·中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點，，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)已知為拋物線上一點，為拋物線對稱軸上一點，以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，且，求出點的坐標；(3)如圖，為第一象限內(nèi)拋物線上一點，連接交軸于點，連接并延長交軸于點，在點運動過程中，是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)或或或(3)，理由見解析【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解析式即可；（2）先求得拋物線的對稱軸為直線，設與交于點，當點F在x軸上方時，過點作于點，證明，設，則，，進而得出點的坐標，代入拋物線解析式，求得的值即可求出點F的坐標；當點F在x軸上方，且點E與點A重合時，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出，即可求出點F的坐標；同理可求得當點F在x軸下方時的坐標；當點與點重合時，求得另一個解，進而即可求解；（3）設，直線的解析式為，的解析式為，求得解析式，然后求得，即可求解．【詳解】（1）解：將點A?2,0，B4,0，代入中得，解得：，∴拋物線解析式為；（2）解：∵點A?2,0，B∴拋物線的對稱軸為直線：，如圖所示，當點F在x軸上方時，設與交于點，過點作于點，

∵以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，且，∴，∵，∴，∴，設，則，∴，∵點在拋物線上∴解得：（舍去）或,∴；如圖所示，當點F在x軸上方時，且點E與點A重合時，設直線l與x軸交于G，∵是等腰直角三角形，且，∴，∴；如圖所示，當點F在x軸下方時，，設與交于點，過點作于點

∵以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，且，∴，∵，∴，∴，設，則，∴，∵點在拋物線上∴解得：（舍去）或，∴，如圖所示，當點F在x軸下方，當點與點重合時，

∵，是等腰直角三角形，且，∴∴，綜上所述，或或或；（3）解：設，直線的解析式為，的解析式為，∵點A?2,0，B4,0，∴，解得：，∴直線的解析式為，的解析式為，對于，當時，，即，對于，當時，，即，∵在拋物線上，則∴∴為定值．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標軸交點問題，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)并利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．25．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，拋物線的圖象經(jīng)過點，與軸交于點A，點．(1)求拋物線的表達式；(2)將拋物線向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到拋物線，求拋物線的表達式，并判斷點是否在拋物線上；(3)在軸上方的拋物線上，是否存在點，使是等腰直角三角形．若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)，點在拋物線上(3)存在，點的坐標為：或【分析】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)與幾何的綜合、二次函數(shù)圖像的平移等知識點，靈活利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來成為解題的關(guān)鍵．（1）將點D的坐標代入拋物線表達式，求得a的值即可；（2）由題意得：，當x=1時，，即可判斷點是否在拋物線上；（3）分為直角、為直角、為直角三種情況，分別運用全等三角形的判定與性質(zhì)，進而確定點E的坐標，進而確定點P的坐標．【詳解】（1）解：將點的坐標代入拋物線表達式得：，解得：，則拋物線的表達式為：．（2）解：由題意得：，當時，，故點在拋物線上．（3）解：存在，理由如下：①當為直角時，如圖1，過點作且，則為等腰直角三角形，，，，，，∴，，∴點，當時，，即點在拋物線上，∴點即為點；②當為直角時，如圖2，同理可得：，∴，，∴點，當時，，∴點在拋物線上，∴點即為點；③當為直角時，如圖3，設點Ex,y同理可得：，∴且，解得：且，∴點，當時，，即點不在拋物線上；綜上，點的坐標為：或．26．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點在拋物線上．

(1)求該拋物線的解析式；(2)當點在第二象限內(nèi)，且的面積為3時，求點的坐標；(3)在直線上是否存在點，使是以為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線的解析式為(2)的坐標為或(3)的坐標為或或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；（2）過作軸交于，求出直線解析式，根據(jù)列式求解；（3）先求出點A，B坐標，再求出直線解析式，過作軸于，過作軸于，分以下情況分別討論即可：①與重合，與重合時；②當在第一象限，在第四象限時；③當在第四象限，在第三象限時；④當在第四象限，在第一象限時．【詳解】（1）解：把，代入得：，解得，拋物線的解析式為；（2）解：過作軸交于，如圖：

由，得直線解析式為，設，則，，的面積為3，，即，解得或，的坐標為或?2,3；（3）解：在直線上存在點，使是以為斜邊的等腰直角三角形，理由如下：在中，令得，解得或，，，由，得直線解析式為，設，，過作軸于，過作軸于，①，當與重合，與重合時，是等腰直角三角形，如圖：

此時；②當在第一象限，在第四象限時，

是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，，，，，，解得（小于0，舍去）或，，的坐標為；③當在第四象限，在第三象限時，如圖：

是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，，，，，同理可得，解得或（大于0，舍去），，的坐標為；④當在第四象限，在第一象限，如圖：

是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，，，，，，解得（舍去）或，，的坐標為；綜上所述，的坐標為0,3或或或．【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)中三角形面積計算、特殊三角形存在性問題、等腰直角三角形的性質(zhì)等，難度較大，熟練運用數(shù)形結(jié)合及分類討論思想是解題的關(guān)鍵．27．（2024·四川達州·中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點．點是拋物線的頂點．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，連接，，直線交拋物線的對稱軸于點，若點是直線上方拋物線上一點，且，求點的坐標；(3)若點是拋物線對稱軸上位于點上方的一動點，是否存在以點，，為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，請直接寫出滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)或；(3)或或或【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式，即可求解；（2）先求得的坐標，根據(jù)勾股定理的逆定理得出是等腰三角形，進而根據(jù)得出，連接，設交軸于點，則得出是等腰直角三角形，進而得出，則點與點重合時符合題意，，過點作交拋物線于點，得出直線的解析式為，聯(lián)立拋物線解析式，即可求解；（3）勾股定理求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分類討論解方程，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點和點，∴解得：∴拋物線的解析式為；（2）由，當時，，則C0,?3∵，則，對稱軸為直線設直線的解析式為，代入，C0,?3∴解得：∴直線的解析式為，當時，，則∴∴∴是等腰三角形，∴連接，設交軸于點，則∴是等腰直角三角形，∴，，又∴∴∴點與點重合時符合題意，如圖所示，過點作交拋物線于點，設直線的解析式為，將代入得，解得：∴直線的解析式為聯(lián)立解得：，∴綜上所述，或；（3）解：∵，C0,?3，∴∵點是拋物線對稱軸上位于點上方的一動點，設其中∴，①當時，，解得：或②當時，，解得：③當時，，解得：或（舍去）綜上所述，或或或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，待定系數(shù)法求解析式，面積問題，特殊三角形問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．五、考點05特殊四邊形問題28．（2023·湖南·中考真題）我們約定：若關(guān)于x的二次函數(shù)與同時滿足，則稱函數(shù)與函數(shù)互為“美美與共”函數(shù)．根據(jù)該約定，解答下列問題：(1)若關(guān)于x的二次函數(shù)與互為“美美與共”函數(shù)，求k，m，n的值；(2)對于任意非零實數(shù)r，s，點與點始終在關(guān)于x的函數(shù)的圖像上運動，函數(shù)與互為“美美與共”函數(shù)．①求函數(shù)的圖像的對稱軸；②函數(shù)的圖像是否經(jīng)過某兩個定點？若經(jīng)過某兩個定點，求出這兩個定點的坐標；否則，請說明理由；(3)在同一平面直角坐標系中，若關(guān)于x的二次函數(shù)與它的“美美與共”函數(shù)的圖像頂點分別為點A，點B，函數(shù)的圖像與x軸交于不同兩點C，D，函數(shù)的圖像與x軸交于不同兩點E，F(xiàn)．當時，以A，B，C，D為頂點的四邊形能否為正方形？若能，求出該正方形面積的取值范圍；若不請說明理由．【答案】(1)k的值為，m的值為3，n的值為2；(2)①函數(shù)y2的圖像的對稱軸為；②函數(shù)的圖像過兩個定點，，理由見解析；(3)能構(gòu)成正方形，此時．【分析】（1）根據(jù)題意得到即可解答；（2）①求出的對稱軸，得到，表示出的解析式即可求解；②，令求解即可；（3）由題意可知，得到A、B的坐標，表示出，根據(jù)且，得到，分和兩種情況求解即可．【詳解】（1）解：由題意可知：，∴．答：k的值為，m的值為3，n的值為2．（2）解：①∵點與點始終在關(guān)于x的函數(shù)的圖像上運動，∴對稱軸為，∴，∴，∴對稱軸為．答：函數(shù)的圖像的對稱軸為．②，令，解得，∴過定點，．答：函數(shù)y2的圖像過定點，．（3）解：由題意可知，，∴，∴，，∵且，∴；①若，則，要使以A，B，C，D為頂點的四邊形能構(gòu)成正方形，則為等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴；

②若，則A、B關(guān)于y軸對稱，以A，B，C，D為頂點的四邊形不能構(gòu)成正方形，綜上，以A，B，C，D為頂點的四邊形能構(gòu)成正方形，此時．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用、正方形的性質(zhì)等知識點，解題的關(guān)鍵是利用分類討論的思想解決問題．29．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）在平面直角坐標系中，已知平移拋物線后得到的新拋物線經(jīng)過和．(1)求平移后新拋物線的表達式；(2)直線（）與新拋物線交于點P，與原拋物線交于點Q．①如果小于3，求m的取值范圍；②記點P在原拋物線上的對應點為，如果四邊形有一組對邊平行，求點P的坐標．【答案】(1)或；(2)①；②．【分析】（1）設平移拋物線后得到的新拋物線為，把和代入可得答案；（2）①如圖，設，則，，結(jié)合小于3，可得，結(jié)合，從而可得答案；②先確定平移方式為，向右平移2個單位，向下平移3個單位，由題意可得：在的右邊，當時，可得，結(jié)合平移的性質(zhì)可得答案如圖，當時，則，過作于，證明，可得，設，則，，，再建立方程求解即可.【詳解】（1）解：設平移拋物線后得到的新拋物線為，把和代入可得：，解得：，∴新拋物線為；（2）解：①如圖，設，則，∴，∵小于3，∴，∴，∵，∴；②∵，∴平移方式為，向右平移2個單位，向下平移3個單位，由題意可得：在的右邊，當時，∴軸，∴，∴，由平移的性質(zhì)可得：，即；如圖，當時，則，過作于，∴，∴，∴，設，則，，，∴，解得：（不符合題意舍去）；綜上：；【點睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，拋物線的平移，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵.30．（2024·江蘇無錫·中考真題）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點．(1)求這個二次函數(shù)的表達式；(2)若點，都在該二次函數(shù)的圖象上，試比較和的大小，并說明理由；(3)點在直線上，點在該二次函數(shù)圖象上．問：在軸上是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是正方形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)時，；時，；時，(3)存在，或或或或或【分析】（1）將點A和點B的坐標代入，求出a和c的值，即可得出這個二次函數(shù)的表達式；（2）根據(jù)題意得出，，再用作差法得出，進行分類討論即可；（3）求出直線的函數(shù)解析式為，然后進行分類討論：當為正方形的邊時；當為正方對角線時，結(jié)合正方形的性質(zhì)和三角形全等的判定和性質(zhì)，即可解答．【詳解】（1）解：把，B2,1代入得：，解得：，∴這個二次函數(shù)的表達式為；（2）解：∵，都在該二次函數(shù)的圖象上，∴，，∴，當時，即時，；當時，即時，；當時，即時，；（3）解：設直線的函數(shù)解析式為，把，B2,1代入得：，解得：，∴直線的函數(shù)解析式為，當為正方形的邊時，①∵B2,1∴，過點M作y軸的垂線，垂足為點G，過點P作的垂線，垂足為點H，∵軸，∴，∴，則，設，則，∴，∴點N的縱坐標為，即，∵以，，，為頂點的四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，把代入得：，解得：，（舍去），∴；②如圖：構(gòu)造，和①同理可得：，，設，則，∴，，，把代入得：，解得：（舍去），∴；③如圖：構(gòu)造，和①同理可得：，，設，則，∴，，，把代入得：，解得：（舍去），∴；④如圖：構(gòu)造，和①同理可得：，，設，則，∴，，，把代入得：，解得：，（舍去），∴；當為正方形對角線時，⑤如圖：構(gòu)造矩形，過點P作于點K，易得，∴，設，則，和①同理可得：，∴，∴四邊形為正方形，∴，∴，則，∴，設，則，∴，，，把代入得：，解得：（舍去），∴；⑥如圖：構(gòu)造，同理可得：，設，則，∴，，，把代入得：，解得：（舍去），∴；綜上：或或或或或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，解直角三角形，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理，正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形解答．31．（2024·山東濟南·中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點，頂點為；拋物線，頂點為．(1)求拋物線的表達式及頂點的坐標；(2)如圖1，連接，點是拋物線對稱軸右側(cè)圖象上一點，點是拋物線上一點，若四邊形是面積為12的平行四邊形，求的值；(3)如圖2，連接，點是拋物線對稱軸左側(cè)圖像上的動點（不與點重合），過點作交軸于點，連接，求面積的最小值．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解出拋物線的解析式，再轉(zhuǎn)化為頂點式，即可得到頂點坐標；（2）連接，過點作軸，交延長線于點，過點作，垂足為，與軸交于，設點的橫坐標為．設直線的表達式為，解方程組得到直線的表達式為，則，求得，求得于是得到，解方程得到，根據(jù)平移的性質(zhì)得到，將代入，解方程即可；（3）過作軸，垂足為，過點作軸，過點作軸，與交于點，設且，求得拋物線的頂點，得到，推出，解方程得到當時，，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：拋物線過點得解得拋物線的表達式為頂點；（2）解：如圖，連接，過點作軸，交延長線于點，過點作，垂足為，與軸交于，設點的橫坐標為．設直線的表達式為由題意知解得直線的表達式為的面積為12，，解得（舍）點先向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到點將代入得解得．（3）解：如圖，過作軸，垂足為，過點作軸，過點作軸，與交于點，設且拋物線的頂點，易得當時，點橫坐標最小值為，此時點到直線距離最近，的面積最小最近距離即邊上的高，高為：面積的最小值為．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積的計算，正確地找出輔助線是解題的關(guān)鍵．32．（2024·河北·中考真題）如圖，拋物線過點，頂點為Q．拋物線（其中t為常數(shù)，且），頂點為P．(1)直接寫出a的值和點Q的坐標．(2)嘉嘉說：無論t為何值，將的頂點Q向左平移2個單位長度后一定落在上．淇淇說：無論t為何值，總經(jīng)過一個定點．請選擇其中一人的說法進行說理．(3)當時，①求直線PQ的解析式；②作直線，當l與的交點到x軸的距離恰為6時，求l與x軸交點的橫坐標．(4)設與的交點A，B的橫坐標分別為，且．點M在上，橫坐標為．點N在上，橫坐標為．若點M是到直線PQ的距離最大的點，最大距離為d，點N到直線PQ的距離恰好也為d，直接用含t和m的式子表示n．【答案】(1)，(2)兩人說法都正確，理由見解析(3)①；②或(4)【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，再化為頂點式即可得到頂點坐標；（2）把向左平移2個單位長度得到對應點的坐標為：，再檢驗即可，再根據(jù)函數(shù)化為，可得函數(shù)過定點；（3）①先求解的坐標，再利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式即可；②如圖，當（等于6兩直線重合不符合題意），可得，可得交點，交點，再進一步求解即可；（4）如圖，由題意可得是由通過旋轉(zhuǎn)，再平移得到的，兩個函數(shù)圖象的形狀相同，如圖，連接交于，連接，，，，可得四邊形是平行四邊形，當點M是到直線PQ的距離最大的點，最大距離為d，點N到直線PQ的距離恰好也為d，此時與重合，與重合，再進一步利用中點坐標公式解答即可．【詳解】（1）解：∵拋物線過點，頂點為Q．∴，解得：，∴拋物線為：，∴；（2）解：把向左平移2個單位長度得到對應點的坐標為：，當時，∴，∴在上，∴嘉嘉說法正確；∵，當時，，∴過定點；∴淇淇說法正確；（3）解：①當時，，∴頂點，而，設為，∴，解得：，∴為；②如圖，當（等于6兩直線重合不符合題意），∴，∴交點，交點，由直線，設直線為，∴，解得：，∴直線為：，當時，，此時直線與軸交點的橫坐標為，同理當直線過點，直線為：，當時，，此時直線與軸交點的橫坐標為，（4）解：如圖，∵，，∴是由通過旋轉(zhuǎn)，再平移得到的，兩個函數(shù)圖象的形狀相同，如圖，連接交于，連接，，，，∴四邊形是平行四邊形，當點M是到直線PQ的距離最大的點，最大距離為d，點N到直線PQ的距離恰好也為d，此時與重合，與重合，∵，，∴的橫坐標為，∵，，∴的橫坐標為，∴，解得：；【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的綜合應用，二次函數(shù)的平移與旋轉(zhuǎn)，以及特殊四邊形的性質(zhì)，理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．33．（2024·甘肅·中考真題）如圖1，拋物線交x軸于O，兩點，頂點為．點C為的中點．(1)求拋物線的表達式；(2)過點C作，垂足為H，交拋物線于點E．求線段的長．(3)點D為線段上一動點（O點除外），在右側(cè)作平行四邊形．①如圖2，當點F落在拋物線上時，求點F的坐標；②如圖3，連接，，求的最小值．【答案】(1)(2)(3)①②【分析】（1）根據(jù)頂點為．設拋物線，把代入解析式，計算求解即可；（2）根據(jù)頂點為．點C為的中點，得到，當時，，得到．結(jié)合，垂足為H，得到的長．（3）①根據(jù)題意，得，結(jié)合四邊形是平行四邊形，設，結(jié)合點F落在拋物線上，得到，解得即可；②過點B作軸于點N，作點D關(guān)于直線的對稱點G，過點G作軸于點H，連接，，，利用平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形判定和性質(zhì)，計算解答即可．【詳解】（1）∵拋物線的頂點坐標為．設拋物線，把代入解析式，得，解得，∴．（2）∵頂點為．點C為的中點，∴，∵，∴軸，∴E的橫坐標為1，設，當時，，∴．∴．（3）①根據(jù)題意，得，∵四邊形是平行四邊形，∴點C，點F的縱坐標相同，設，∵點F落在拋物線上，∴，解得，(舍去)；故．②過點B作軸于點N，作點D關(guān)于直線的對稱點G，過點G作軸于點H，連接，，，則四邊形是矩形，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，故當三點共線時，取得最小值，∵，∴的最小值，就是的最小值，且最小值就是，延長交y軸于點M，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故的最小值是．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，中點坐標公式，平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，利用軸對稱的性質(zhì)求線段和的最小值，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．34．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過點，與y軸交于點B，且關(guān)于直線對稱．(1)求該拋物線的解析式；(2)當時，y的取值范圍是，求t的值；(3)點C是拋物線上位于第一象限的一個動點，過點C作x軸的垂線交直線于點D，在y軸上是否存在點E，使得以B，C，D，E為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在點以B，C，D，E為頂點的四邊形是菱形，邊長為或2【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，菱形的性質(zhì)，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進行求解，是解題的關(guān)鍵．（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）分和，兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的增減性進行求解即可．（3）分為菱形的邊和菱形的對角線兩種情況進行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點，與y軸交于點B，且關(guān)于直線對稱，∴，解得：，∴；（2）∵拋物線的開口向下，對稱軸為直線，∴拋物線上點到對稱軸上的距離越遠，函數(shù)值越小，∵時，，①當時，則：當時，函數(shù)有最大值，即：，解得：或，均不符合題意，舍去；②當時，則：當時，函數(shù)有最大值，即：，解得：；故；（3）存在；當時，解得：，當時，，∴，B0,3，設直線的解析式為，把代入，得：，∴，設，則：，∴，，，當B，C，D，E為頂點的四邊形是菱形時，分兩種情況：①當為邊時，則：，即，解得：（舍去）或，此時菱形的邊長為；②當為對角線時，則：，即：，解得：或（舍去）此時菱形的邊長為：；綜上：存在以B，C，D，E為頂點的四邊形是菱形，邊長為或2．35．（2024·四川廣元·中考真題）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線F：經(jīng)過點，與y軸交于點．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)在直線AB上方拋物線上有一動點C，連接交AB于點D，求的最大值及此時點C的坐標；(3)作拋物線F關(guān)于直線上一點的對稱圖象，拋物線F與只有一個公共點E（點E在y軸右側(cè)），G為直線AB上一點，H為拋物線對稱軸上一點，若以B，E，G，H為頂點的四邊形是平行四邊形，求G點坐標．【答案】(1)；(2)最大值為，C的坐標為；(3)點G的坐標為，，．【分析】（1）本題考查了待定系數(shù)法解拋物線分析式，根據(jù)題意將點坐標分別代入拋物線解析式，解方程即可；（2）根據(jù)題意證明，再設的解析式為，求出的解析式，再設，則，再表示出利用最值即可得到本題答案；（3）根據(jù)題意求出，再分情況討論當為對角線時，當為邊時繼而得到本題答案．【詳解】（1）解：，代入，得：，解得：，∴拋物線的函數(shù)表達式為．（2）解：如圖1，過點C作x軸的垂線交于點M．∴軸，∴，∴，設的解析式為，把，代入解析式得，解得：，∴．設，則，∴，∵，，∴當時，最大，最大值為．∴的最大值為，此時點C的坐標為．（3）解：由中心對稱可知，拋物線F與的公共點E為直線與拋物線F的右交點，∴，∴（舍），，∴．∵拋物線F：的頂點坐標為，∴拋物線的頂點坐標為，∴拋物線的對稱軸為直線．如圖2，當為對角線時，由題知，∴，∴．如圖3，當為邊時，由題知，∴，∴．如圖4，由題知，∴，∴，綜上：點G的坐標為，，．36．（2024·黑龍江綏化·中考真題）綜合與探究如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與直線相交于，兩點，其中點，．(1)求該拋物線的函數(shù)解析式．(2)過點作軸交拋物線于點，連接，在拋物線上是否存在點使．若存在，請求出滿足條件的所有點的坐標；若不存在，請說明理由．（提示：依題意補全圖形，并解答）(3)將該拋物線向左平移個單位長度得到，平移后的拋物線與原拋物線相交于點，點為原拋物線對稱軸上的一點，是平面直角坐標系內(nèi)的一點，當以點、、、為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出點F的坐標．【答案】(1)(2)存在，點坐標為，，補圖見解析(3)、、、【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，求得，進而分別求得，，根據(jù)可得，設直線交軸于點，則，．進而可得，的解析式為，，連接交拋物線于，連接交拋物線于，進而聯(lián)立拋物線與直線解析式，解方程，即可求解．（3）①以BD為對角線，如圖作BD的垂直平分線交BD于點交直線于，設，根據(jù)兩點距離公式可得，根據(jù)中點坐標公式可得，②以BD為邊，如圖以為圓心，BD為半徑畫圓交直線于點，；連接，，根據(jù)勾股定理求得，進而得出，，根據(jù)平移的性質(zhì)得出，，③以BD為邊，如圖以點為圓心，BD長為半徑畫圓交直線于點和，連接，，則，過點作于點，則，在和中，由勾股定理得，則、，根據(jù)，可得，過點作，過作，和相交于點，的中點．根據(jù)中點坐標公式可得；【詳解】（1）解：∵把點，代入得，解得，∴．（2）存在．理由：∵軸且，∴，∴（舍去），，∴．過點作于點，在中，∵，∴，∵，∴．設直線交軸于點，，，∴，．連接交拋物線于，連接交拋物線于，∴，的解析式為，，∴，解得，或，解得．∴把，代入得，，∴，．綜上所述，滿足條件的點坐標為，．（3）、、、．方法一：①以BD為對角線，如圖作BD