2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 43 第六章 微專(zhuān)題 尋找球心解決與球有關(guān)的問(wèn)題

微專(zhuān)題尋找球心解決與球有關(guān)的問(wèn)題球的切、接問(wèn)題，是歷年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn)．一般圍繞球與其他幾何體的內(nèi)切、外接命題，考查球的體積與表面積，其關(guān)鍵點(diǎn)是確定球心．類(lèi)型一定義法【例1】已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為()A．3172 B．C．132 D．3C解析：如圖，過(guò)球心O作平面ABC的垂線(xiàn)，則垂足為BC的中點(diǎn)M，連接AM，OA.因?yàn)锳B＝3，AC＝4，AB⊥AC，所以BC＝5.又AM＝12BC＝52，OM＝12AA1＝【例2】(2024·宣城模擬)在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝2，AB＝22，AC＝4，∠BAC＝45?，則三棱錐P-ABC外接球的表面積是()A．14π B．16πC．18π D．20πD解析：如圖，在△ABC中，∠BAC＝45?，AB＝22，AC＝4，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos45?＝8＋16－2×22×4×22＝8，則BC2＋AB2＝AC2由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB.因?yàn)镻B?平面PAB，所以BC⊥PB，所以△PBC為直角三角形．又△PAC為直角三角形，所以PC是三棱錐P-ABC外接球的直徑．設(shè)O是PC的中點(diǎn)，即為球心，又AC＝4，PA＝2，所以PC＝AC2所以外接球的半徑為5，所求外接球的表面積S＝4π×52＝20π.1．到各個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)為外接球的球心．2．方法：借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線(xiàn)，則球心一定在垂線(xiàn)上，再根據(jù)到其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系式求解．3．結(jié)論：(1)正方體或長(zhǎng)方體的外接球的球心是其體對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)；(2)棱柱的外接球的球心是上、下底面多邊形外心連線(xiàn)的中點(diǎn)；(3)正棱錐的外接球球心在高線(xiàn)上．類(lèi)型二補(bǔ)形法【例3】在四面體ABCD中，AB⊥BC，AB⊥AD，向量BC與AD的夾角為2π3.若AB＝6，BC＝AD＝3，則該四面體外接球的表面積為(A．18π B．36πC．54π D．72πD解析：將四面體ABCD補(bǔ)成如圖所示的直三棱柱ADE-BFC.因?yàn)橄蛄緽C與AD的夾角為2π3，所以∠EAD＝2π在△ADE中，由余弦定理得DE2＝AD2＋AE2－2AD·AE·cos∠EAD＝27，所以DE＝33，△ADE外接圓的半徑r＝DE2sin該四面體外接球的半徑R＝32+32＝32，所以該【例4】棱長(zhǎng)為a的正四面體的體積與其內(nèi)切球體積之比為_(kāi)_______.63π顯然正四面體內(nèi)切球的球心O(也是外接球的球心)、△BCD的中心O1都在正方體的體對(duì)角線(xiàn)上．因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為a，所以|DO1|＝33a，|O1A|＝a2－33a21．補(bǔ)形法的解題策略：(1)側(cè)面為直角三角形，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ秃驼拿骟w，可以還原到正方體或長(zhǎng)方體中去求解；(2)將直三棱錐補(bǔ)成三棱柱求解．2．常用結(jié)論：(1)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R，若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝3a；若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；若球與正方體的各棱相切，則2R＝2a.(2)若長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝a2類(lèi)型三截面法【例5】(多選題)(2024·廣東一模)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的各個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為3π的球面上，點(diǎn)P為該球面上的任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(ACD)A．有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)P，使得AP∥平面BDC1B．有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)P,使得AP⊥平面BDC1C．若點(diǎn)P∈平面BCC1B1，則四梭錐P-ABCD的體積的最大值為2D．若點(diǎn)P∈平面BCC1B1，則AP＋PC1的最大值為6【例6】為慶祝國(guó)慶，某中學(xué)將舉行全校師生游園活動(dòng)，其中有一個(gè)游戲項(xiàng)目是夾彈珠．如圖，四個(gè)半徑都是1cm的玻璃彈珠放在一個(gè)半球面形狀的容器中，每顆彈珠的頂端恰好與容器的上沿處于同一水平面，則這個(gè)容器的容積是()A．25+B．45+C．25+3D．85+B解析：分別作出四個(gè)小球和容器的正視截面圖和俯視截面圖，如圖所示．正視截面圖中小球球心B，半球球心O與切點(diǎn)A構(gòu)成直角三角形，則有OA2＋AB2＝OB2.俯視截面圖中，四個(gè)小球球心的連線(xiàn)圍成正方形，正方形的中心到小球球心的距離O1A1與正視截面圖中的OA相等．設(shè)半球的半徑為R，已知小球半徑r＝1cm，所以O(shè)A＝2cm，AB＝1cm，OB＝3cm，R＝OB＋r＝3+因此，半球面形狀的容器的容積是V＝12×43πR3＝12×43π×1．與球截面有關(guān)的解題策略(1)定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為半徑；如果是外接球，