滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期考試滿(mǎn)分全攻略第01講二次根式的概念和性質(zhì)(4大考點(diǎn)6種解題方法)(原卷版+解析)

第01講二次根式的概念和性質(zhì)（4大考點(diǎn)6種解題方法）考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向1.二次根式2.最簡(jiǎn)二次根式：化簡(jiǎn)后的二次根式同時(shí)滿(mǎn)足，那么這個(gè)二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式.3.同類(lèi)二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫做同類(lèi)二次根式.考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講一．二次根式的定義（共2小題）1．（2021秋?普陀區(qū)期中）若是二次根式，那么x的取值范圍是．2．（2021秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）當(dāng)x＝時(shí)，二次根式有最小值，最小值為．二．二次根式有意義的條件（共4小題）3．（2021秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）二次根式有意義，則x的取值范圍是．4．（2021秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）使有意義的條件是．5．（2021秋?普陀區(qū)校級(jí)月考）若a，b滿(mǎn)足b＝﹣3，則平面直角坐標(biāo)系中P（a，b）在第象限．6．（2021秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）若x，y為實(shí)數(shù)，且y＝++．求﹣的值．三．二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)（共8小題）7．（2021秋?浦東新區(qū)期中）計(jì)算：．8．（2021秋?普陀區(qū)期末）化簡(jiǎn)：＝．9．（2021秋?普陀區(qū)校級(jí)月考）已知實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)﹣|c﹣a|+10．（2021秋?崇明區(qū)校級(jí)期末）當(dāng)a＜﹣2時(shí)，化簡(jiǎn)＝．11．（2021秋?松江區(qū)期末）當(dāng)1≤a≤2化簡(jiǎn)：+|a﹣2|＝．12．（2021秋?閔行區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：．13．（2021秋?虹口區(qū)校級(jí)期末）將根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)：．14．（2019秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）有這樣一類(lèi)題目：化簡(jiǎn)，如果你能找到兩個(gè)數(shù)m、n，使m2+n2＝a，并且mn＝，那么將a±2變成m2+n2±2mn＝（m±n）2開(kāi)方，從而將化簡(jiǎn)．例如：化簡(jiǎn)因?yàn)樗苑抡丈侠?jiǎn)下列各式：（1）；（2）．四．最簡(jiǎn)二次根式（共2小題）15．（2021秋?崇明區(qū)校級(jí)期末）下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．16．（2021秋?徐匯區(qū)校級(jí)期末）下列根式中是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．五．同類(lèi)二次根式（共4小題）17．（2021秋?普陀區(qū)期末）下列二次根式中，與是同類(lèi)二次根式的是（）A． B． C． D．18．（2021秋?金山區(qū)校級(jí)期中）下列各組二次根式中，屬于同類(lèi)二次根式的是（）A．和 B．和 C．和 D．和19．（2021秋?閔行區(qū)校級(jí)期中）下列各式中，能與合并的是（）A． B． C． D．20．（2018秋?普陀區(qū)校級(jí)月考）若最簡(jiǎn)二次根式與是同類(lèi)二次根式，求a，b的值．六、綜合應(yīng)用21.已知的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，那么的值是多少?22.已知的值是多少？23.已知的值．24.已知非零實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足條件，求的值．25.設(shè)等式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立，且 是兩兩不同的實(shí)數(shù)，則值等于 __________．26.求滿(mǎn)足的自然數(shù)的值．鞏固提升鞏固提升一、選擇題1.（2019浦東一署10月考1）當(dāng)時(shí)，下列式子中無(wú)意義的是（）A.；B.；C.；D..2.（浦東四署2019期中1）下列各式中，一定是二次根式的是（）A.;B.;C.;D..3.（浦東南片2020期末1）下列二次根式中，與是同類(lèi)二次根式的是（）A. B. C. D.4.（西延安2019期中16）與根式不是同類(lèi)二次根式的是（）A. B. C. D.5.（川中南2019期中1）下列二次根式中，不能與合并的是（）A.；B.；C.；D..6.（浦東南片2019期中1）下列根式中與不是同類(lèi)二次根式的是（）A.B.C.D.7.（松江區(qū)2020期末2）在下列各組二次根式中，是同類(lèi)二次根式的是（）A．和； B．和； C．和； D．和.8.（徐教院附2019期中1）下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是()A. B. C. D.9.（2019曹楊10月考1）若，則a的取值范圍是（）A.;B.;C.;D.一切實(shí)數(shù).10.（2019浦東四署10月考6）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A.；B.；C.0；D..11.（徐匯龍華2019期中15）下列各式計(jì)算正確的是（）A. B.C. D.二、填空題12.（2019華理附10月考7）當(dāng)x滿(mǎn)足時(shí)，二次根式有意義.13.（2019建平南9月考7）當(dāng)x時(shí)，代數(shù)式有意義.14.（浦東南片2019期中7）當(dāng)______________時(shí)，無(wú)意義．15.（2019大同10月考9）如果，則m的取值范圍是.16.（松江區(qū)2019期中1）化簡(jiǎn)：QUOTE．17.（2019浦東一署10月考10）化簡(jiǎn)的結(jié)果為..18.（金山2020期末7）化簡(jiǎn):=__________19.（2019寶山實(shí)驗(yàn)10月考11）將式子化為最簡(jiǎn)二次根式為.20.（2019位育10月考8）化簡(jiǎn)：=.21.（2019浦東四署10月考7）比較大?。?（填“”、“=”或“”）22.（2019曹楊10月考8）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)=.23.（2019寶山實(shí)驗(yàn)10月考9）若，化簡(jiǎn)=.24.（2019浦東一署10月考11）已知，則=.25.（嘉定區(qū)2019期中4）若最簡(jiǎn)二次根式與是同類(lèi)二次根式，則a=_____．三、解答題26.已知為非零實(shí)數(shù)，且=________．27.若代數(shù)式的立方根．28.是的小數(shù)部分，求的值．29.已知為有理數(shù)，且等式成立，的值．30.已知的值．31.已知的值．32.化簡(jiǎn)：（1）； （2）．33.（2019浦東四署10月考26）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)式子的平方，如：.善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：若設(shè)（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有.這樣小明就找到了一種把類(lèi)似的式子化為平方式的方法.請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題：（1）若，當(dāng)a、b、m、n均為整數(shù)時(shí)，用含m、n的式子分別表示a、b，得a=，b=;（2）若，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值;（3）化簡(jiǎn)：.第01講二次根式的概念和性質(zhì)（4大考點(diǎn)6種解題方法）考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向1.二次根式2.最簡(jiǎn)二次根式：化簡(jiǎn)后的二次根式同時(shí)滿(mǎn)足，那么這個(gè)二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式.3.同類(lèi)二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫做同類(lèi)二次根式.考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講一．二次根式的定義（共2小題）1．（2021秋?普陀區(qū)期中）若是二次根式，那么x的取值范圍是x≤2．【分析】二次根式要求被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，即10﹣5x≥0，從而解得x的取值范圍．【解答】解：∵是二次根式，∴10﹣5x≥0，∴x≤2．故答案為：x≤2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的定義：一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，關(guān)鍵是注意到a≥0這個(gè)條件．2．（2021秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）當(dāng)x＝﹣1時(shí)，二次根式有最小值，最小值為2．【分析】根據(jù)算術(shù)平方根具有非負(fù)性解答即可．【解答】解：∵＝，∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，的最小值為2，故答案為：﹣1；2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是算術(shù)平方根的性質(zhì)，掌握算術(shù)平方根具有非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．二．二次根式有意義的條件（共4小題）3．（2021秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）二次根式有意義，則x的取值范圍是x≤3．【分析】直接利用二次根式有意義的條件，即二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，進(jìn)而得出答案．【解答】解：二次根式有意義，則9﹣3x≥0，故x的取值范圍是x≤3．故答案為：x≤3．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．4．（2021秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）使有意義的條件是x≤3且x≠1．【分析】根據(jù)分式有意義可得x﹣1≠0，根據(jù)二次根式有意義的條件可得3﹣x≥0，再解即可．【解答】解：由題意得：x﹣1≠0，且3﹣x≥0，解得：x≤3且x≠1，故答案為：x≤3且x≠1．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式有意義的條件和二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握分式有意義的條件是分母不等于零，二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．5．（2021秋?普陀區(qū)校級(jí)月考）若a，b滿(mǎn)足b＝﹣3，則平面直角坐標(biāo)系中P（a，b）在第四象限．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件（被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)）可得a的值，進(jìn)而得出b的值，再根據(jù)各個(gè)象限的點(diǎn)的坐標(biāo)特征判斷即可．【解答】解：∵a，b滿(mǎn)足b＝﹣3，∴，解得a＝2，∴b＝﹣3，∴P（a，b）為P（2，3）在第四象限．故答案為：四．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的性質(zhì)以及點(diǎn)的坐標(biāo)，熟知二次根式有意義的條件為被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．6．（2021秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）若x，y為實(shí)數(shù)，且y＝++．求﹣的值．【分析】根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)求得x的值，進(jìn)而得到y(tǒng)的值，代入求值即可．【解答】解：依題意得：x＝，則y＝，所以＝＝，＝＝2，所以﹣＝﹣＝﹣＝．【點(diǎn)評(píng)】考查了二次根式的意義和性質(zhì)．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性質(zhì)：二次根式中的被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無(wú)意義．三．二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)（共8小題）7．（2021秋?浦東新區(qū)期中）計(jì)算：．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．【解答】解：原式＝a+2﹣3＝a+（2﹣）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，立方根，解決本題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)．8．（2021秋?普陀區(qū)期末）化簡(jiǎn)：＝2a．【分析】利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)．【解答】解：由題意可得：20a3≥0，∴a≥0，∴原式＝2a，故答案為：2a．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的化簡(jiǎn)，理解二次根式有意義的條件（被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)），掌握二次根式的性質(zhì)＝|a|是解題關(guān)鍵．9．（2021秋?普陀區(qū)校級(jí)月考）已知實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)﹣|c﹣a|+【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：由數(shù)軸可知：a＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，∴原式＝|a|﹣|c﹣a|+|b﹣c|＝﹣a﹣（c﹣a）﹣（b﹣c）＝﹣a﹣c+a﹣b+c＝﹣b【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．10．（2021秋?崇明區(qū)校級(jí)期末）當(dāng)a＜﹣2時(shí)，化簡(jiǎn)＝﹣a﹣2．【分析】先判斷出a+2＜0，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可．【解答】解：∵a＜﹣2，∴a+2＜0，∴＝|a+2|＝﹣a﹣2．故答案為：﹣a﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，根據(jù)a的取值范圍判斷出a+2＜0是解題的關(guān)鍵．11．（2021秋?松江區(qū)期末）當(dāng)1≤a≤2化簡(jiǎn)：+|a﹣2|＝1．【分析】直接利用a的取值范圍，結(jié)合二次根式以及絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案．【解答】解：∵1≤a≤2，∴+|a﹣2|＝a﹣1+2﹣a＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式以及絕對(duì)值的性質(zhì)，正確把握相關(guān)性質(zhì)化簡(jiǎn)是解題關(guān)鍵．12．（2021秋?閔行區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：．【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而得出答案．【解答】解：原式＝4a+3×2a＝4a+6a．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．13．（2021秋?虹口區(qū)校級(jí)期末）將根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)：．【分析】根據(jù)已知可得x＜0，所以把x轉(zhuǎn)化為﹣（﹣x），然后再把（﹣x）的平方移到根號(hào)內(nèi)，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算即可．【解答】解：由題意得：≥0，∴≤0，∵x≠0，∴＜0，∴x3＜0，∴x＜0，∴將＝﹣（﹣x）＝﹣＝﹣，故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，確定根號(hào)外x的取值范圍是解題的關(guān)鍵．14．（2019秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）有這樣一類(lèi)題目：化簡(jiǎn)，如果你能找到兩個(gè)數(shù)m、n，使m2+n2＝a，并且mn＝，那么將a±2變成m2+n2±2mn＝（m±n）2開(kāi)方，從而將化簡(jiǎn)．例如：化簡(jiǎn)因?yàn)樗苑抡丈侠?jiǎn)下列各式：（1）；（2）．【分析】（1）利用完全平方公式把9+4變形為（2+）2，然后利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可；（2）利用完全平方公式把18﹣2變形為（﹣）2，然后利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可．【解答】解：（1）＝＝＝＝；（2）＝＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，應(yīng)用完全平方公式時(shí)，要注意：①公式中的a，b可是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式；②對(duì)形如兩數(shù)和（或差）的平方的計(jì)算，都可以用這個(gè)公式．四．最簡(jiǎn)二次根式（共2小題）15．（2021秋?崇明區(qū)校級(jí)期末）下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】利用最簡(jiǎn)二次根式的定義：被開(kāi)方數(shù)不含分母，分母中不含根號(hào)，且被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)的盡方的因數(shù)，判斷即可．【解答】解：A、是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)符合題意；B、，故此選項(xiàng)不符合題意；C、＝|a|，故此選項(xiàng)不符合題意；D、，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了最簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握最簡(jiǎn)二次根式的定義是解本題的關(guān)鍵．16．（2021秋?徐匯區(qū)校級(jí)期末）下列根式中是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義逐一判斷即可．【解答】解：A.＝，故A不符合題意；B.＝2，故B不符合題意；C.是最簡(jiǎn)二次根式，故C符合題意；D.＝|x+3y|，故D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握最簡(jiǎn)二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．五．同類(lèi)二次根式（共4小題）17．（2021秋?普陀區(qū)期末）下列二次根式中，與是同類(lèi)二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】化簡(jiǎn)二次根式，然后根據(jù)同類(lèi)二次根式的概念進(jìn)行判斷．【解答】解：A、＝2，2與不是同類(lèi)二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；B、＝2，2與是同類(lèi)二次根式，故此選項(xiàng)符合題意；C、＝3，3與不是同類(lèi)二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；D、＝2，2與不是同類(lèi)二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了同類(lèi)二次根式，以及二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，熟練掌握同類(lèi)二次根式的定義是解本題的關(guān)鍵．18．（2021秋?金山區(qū)校級(jí)期中）下列各組二次根式中，屬于同類(lèi)二次根式的是（）A．和 B．和 C．和 D．和【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)同類(lèi)二次根式的概念判斷即可．【解答】解：A、＝2，與屬于同類(lèi)二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；B、與不屬于同類(lèi)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；C、＝與不屬于同類(lèi)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；D、2與3不屬于同類(lèi)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是同類(lèi)二次根式的概念、二次根式的化簡(jiǎn)，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開(kāi)方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類(lèi)二次根式．19．（2021秋?閔行區(qū)校級(jí)期中）下列各式中，能與合并的是（）A． B． C． D．【分析】先求出＝2，再根據(jù)同類(lèi)二次根式的定義逐個(gè)判斷即可．【解答】解：＝2，A．＝＝，與2的被開(kāi)方數(shù)不同，不是同類(lèi)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；B．＝2，與2的被開(kāi)方數(shù)不同，不是同類(lèi)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；C．＝8，與2的被開(kāi)方數(shù)不同，不是同類(lèi)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；D．＝7，與2的被開(kāi)方數(shù)相同，是同類(lèi)二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)和同類(lèi)二次根式的定義，能熟記同類(lèi)二次根式的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫同類(lèi)二次根式．20．（2018秋?普陀區(qū)校級(jí)月考）若最簡(jiǎn)二次根式與是同類(lèi)二次根式，求a，b的值．【分析】直接利用同類(lèi)二次根式的定義分析得出答案．【解答】解：∵最簡(jiǎn)二次根式與是同類(lèi)二次根式，∴，解得：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了同類(lèi)二次根式的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵．六、綜合應(yīng)用21.已知的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，那么的值是多少?【難度】★★【答案】5．【解析】∵，∴，∴，∴，，∴．【總結(jié)】對(duì)于一個(gè)無(wú)理數(shù)的小數(shù)部分，沒(méi)有辦法完整寫(xiě)出來(lái)，只能用一種整體思想相應(yīng)的表示出來(lái)．22.已知的值是多少？【難度】★★【答案】1．【解析】=，代入原式==1．【總結(jié)】部分題目不方便直接求解，在這個(gè)過(guò)程中一定要注意觀察，應(yīng)用一些特別的等量關(guān)系進(jìn)行求解解決問(wèn)題．23.已知的值．【難度】★★【答案】40．【解析】∵，∴．∴代入得：=．【總結(jié)】本題主要考查當(dāng)兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零時(shí)，則說(shuō)明這兩個(gè)非負(fù)數(shù)均為零．24.已知非零實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足條件，求的值．【難度】★★【答案】1．【解析】∵，∴，即，∴，∴，即，∴，解得：．∴．【總結(jié)】考查二次根式有意義的條件，兩互為相反數(shù)的式子作為被開(kāi)方數(shù)，則這兩個(gè)式子必然都等于零，另一方面考查了非負(fù)數(shù)和為零的基本模型．25.設(shè)等式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立，且 是兩兩不同的實(shí)數(shù)，則值等于 __________．【難度】★★★【答案】．【解析】由題意知：，解得：．∴．【總結(jié)】部分題目不方便直接求解，在這個(gè)過(guò)程中一定要注意觀察，應(yīng)用一些特別的等量關(guān)系進(jìn)行求解解決問(wèn)題．26.求滿(mǎn)足的自然數(shù)的值．【難度】★★★【答案】或．【解析】由題意得：∵是無(wú)理數(shù)，假設(shè)是有理數(shù)，則是有理數(shù)，這與（1）式矛盾，∴為無(wú)理數(shù)，∴，又∵， ∴．∴或．【總結(jié)】部分題目不方便直接求解，在這個(gè)過(guò)程中一定要注意觀察，應(yīng)用一些特別的等量關(guān)系進(jìn)行求解解決問(wèn)題．鞏固提升鞏固提升一、選擇題1.（2019浦東一署10月考1）當(dāng)時(shí)，下列式子中無(wú)意義的是（）A.；B.；C.；D..【答案】B；【解析】解：因?yàn)?，所以，因此A、C、D中式子有意義，B項(xiàng)式子無(wú)意義，故答案選B．2.（浦東四署2019期中1）下列各式中，一定是二次根式的是（）A.;B.;C.;D..【答案】D；【解析】解：A、被開(kāi)方數(shù)時(shí)，式子無(wú)意義，故A不一定是二次根式；B、當(dāng)時(shí)，式子無(wú)意義，故B不一定是二次根式；C、當(dāng)時(shí)，式子無(wú)意義，故C不一定是二次根式；D、因?yàn)楹愠闪?，故一定是二次根式，故答案選D.3.（浦東南片2020期末1）下列二次根式中，與是同類(lèi)二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：A、與不是同類(lèi)二次根式，B、與不是同類(lèi)二次根式，C、與是同類(lèi)二次根式，D、與不是同類(lèi)二次根式.故選C．4.（西延安2019期中16）與根式不是同類(lèi)二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：A.與是同類(lèi)二次根式；B.，與是同類(lèi)二次根式；C、，與不是同類(lèi)二次根式；D.，與是同類(lèi)二次根式.故選C.5.（川中南2019期中1）下列二次根式中，不能與合并的是（）A.；B.；C.；D..【答案】C；【解析】解：顯然都與是同類(lèi)二次根式，因此能與合并，而與不是同類(lèi)二次根式，因此不能合并；故答案選C.6.（浦東南片2019期中1）下列根式中與不是同類(lèi)二次根式的是（）A.B.C.D.【答案】D；【解析】解：因?yàn)椋訟、C與是同類(lèi)二次根式；因?yàn)?，故B與是同類(lèi)二次根式；而，因此D與不是同類(lèi)二次根式；故答案選D.7.（松江區(qū)2020期末2）在下列各組二次根式中，是同類(lèi)二次根式的是（）A．和； B．和； C．和； D．和.【答案】B；【解析】解：A、與不是同類(lèi)二次根式，故A不符合題意．B、與是同類(lèi)二次根式，故B符合題意．C、因?yàn)榕c不是同類(lèi)二次根式，故C不符合題意．D、和的被開(kāi)方數(shù)分別是a﹣1、a+1，不是同類(lèi)二次根式，故D不符合題意．故答案選B．8.（徐教院附2019期中1）下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是()A. B. C. D.【答案】A【解析】解：A、是最簡(jiǎn)二次根式，故A正確；B、，故B錯(cuò)誤；C、

，故C錯(cuò)誤；D.

，故D錯(cuò)誤；故答案選A.9.（2019曹楊10月考1）若，則a的取值范圍是（）A.;B.;C.;D.一切實(shí)數(shù).【答案】B；【解析】解：因?yàn)?，所以，即，故答案選B.10.（2019浦東四署10月考6）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A.；B.；C.0；D..【答案】C；【解析】解：因?yàn)?，所以，故原?===0.11.（徐匯龍華2019期中15）下列各式計(jì)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】解：A、不是同類(lèi)二次根式，不能合并，所以A錯(cuò)誤；B、，所以B錯(cuò)誤；C、，所以C錯(cuò)誤；D、，所以D正確.故選D.二、填空題12.（2019華理附10月考7）當(dāng)x滿(mǎn)足時(shí)，二次根式有意義.【答案】；【解析】解：由二次根式有意義得：，解得.13.（2019建平南9月考7）當(dāng)x時(shí)，代數(shù)式有意義.【答案】x=1；【解析】解：由代數(shù)式有意義得，即，故，又因?yàn)?，所以，解得x=1，故當(dāng)x=1時(shí)，代數(shù)有意義.14.（浦東南片2019期中7）當(dāng)______________時(shí)，無(wú)意義．【答案】；【解析】解：因?yàn)闊o(wú)意義，所以或x=0，解得.15.（2019大同10月考9）如果，則m的取值范圍是.【答案】;【解析】解：因?yàn)?，所以，解?16.（松江區(qū)2019期中1）化簡(jiǎn)：QUOTE．【答案】；【解析】解：.17.（2019浦東一署10月考10）化簡(jiǎn)的結(jié)果為.【答案】；【解析】解：由已知可知，得，所以原式=.18.（金山2020期末7）化簡(jiǎn):=__________【答案】3a；【解析】解：∵，∴.故答案為：3a.19.（2019寶山實(shí)驗(yàn)10月考11）將式子化為最簡(jiǎn)二次根式為.【答案】；【解析】解：根據(jù)題意可知：，所以，故原式===.20.（2019位育10月考8）化簡(jiǎn)：=.【答案】；【解析】解：因?yàn)?，所以原?.21.（2019浦東四署10月考7）比較大?。?（填“”、“=”或“”）【答案】；【解析】解：因?yàn)?，所?22.（2019曹楊10月考8）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)=.【答案】;【解析】解：根據(jù)圖形可知：，；故原式==.23.（2019寶山實(shí)驗(yàn)10月考9）若，化簡(jiǎn)=.【答案】1；【解析】解：因?yàn)椋?，所以，，故原?=1.24.（2019浦東一署10月考11）已知，則=.【答案】；【解析】解：因?yàn)?，所以，解得，所以，則xy=.25.（嘉定區(qū)2019期中4）若最簡(jiǎn)二次根式與是同類(lèi)二次根式，則a=_____．【答案】5【解析】解：∵最簡(jiǎn)二次根式與是同類(lèi)二次根式，∴4+a=2a-1解得a=5．三、解答題26.已知為非零實(shí)數(shù)，