蘇科版九年級數(shù)學上冊壓軸題攻略專題01一元二次方程壓軸題三種模型全攻略特訓(原卷版+解析)-【壓軸必考】2022-2023學年九年級數(shù)學上冊壓軸題攻略(蘇科版)

專題01一元二次方程壓軸題三種模型全攻略〓知識點一一元二次方程定義問題（1）一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必須同時滿足三個條件：①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；②只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．判斷一個方程是否是一元二次方程應注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．例題：（2022·全國·九年級單元測試）下列方程：①x2-1=0；②2x2+3x=（1-2x）（2+x）；③x+=2；④2x2-=0，⑤ax2+bx+c=0．其中是一元二次方程的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式訓練1】（2022·黑龍江·哈爾濱市第十七中學校八年級期中）下列方程中，是關于x的一元二次方程的是（

）A． B． C． D．【變式訓練2】（2021·北京密云·八年級期末）已知（m+1）x2+5x﹣3＝0是關于x的一元二次方程，則m的取值范圍是_____．【變式訓練3】（2022·全國·九年級單元測試）已知（m－1）＋3x－5＝0是一元二次方程，則m＝________．〓知識點二一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一個關于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項；c叫做常數(shù)項．一次項系數(shù)b和常數(shù)項c可取任意實數(shù)，二次項系數(shù)a是不等于0的實數(shù)，這是因為當a=0時，方程中就沒有二次項了，所以，此方程就不是一元二次方程了．要確定二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項，必須先把一元二次方程化成一般形式．例題：（2022·全國·九年級單元測試）將方程（3x－1）（2x＋4）＝2化為一般形式為____________，其中二次項系數(shù)為________，一次項系數(shù)為________．【變式訓練1】（2022·河北承德·九年級期末）一元二次方程的常數(shù)項是（

）A．－1 B．1 C．－6 D．6【變式訓練2】（2022·山東濟寧·九年級期末）一元二次方程的二次項系數(shù)是（

）A．1 B．3 C． D．4【變式訓練3】（2022·廣西欽州·九年級期末）方程的一次項系數(shù)是______．〓知識點三已知一元二次方程的根求參數(shù)問題（1）一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數(shù)解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩實數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量．a(chǎn)x12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）．例題：（2022·四川成都·九年級期末）已知x＝2是關于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一個根，則實數(shù)k的值為_____．【變式訓練1】（2022·湖北恩施·二模）已知x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的解，則－4b+2c=（

）A．8 B．－8 C．4 D．－4【變式訓練2】（2022·湖南婁底·二模）若a是的一個根，則的值是（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【變式訓練3】（2022·廣東·佛山市華英學校九年級期中）設a為一元二次方程的一個實數(shù)根，___________．【課后訓練】一、選擇題1．（2022·浙江紹興·八年級期中）下列方程中是一元二次方程的是（）A． B． C． D．2．（2022·天津濱海新·九年級期末）一元二次方程化成一般形式后，它的二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別是（

）A．B．C．D．3．（2022·云南文山·九年級期末）如果3是關于x的方程的一個根，那么c的值為（

）A． B． C．9 D．4．（2022·山東淄博·八年級期中）若一元二次方程有一個解為，則k為（

）A． B．1 C． D．05．（2022·山東·聊城市茌平區(qū)教育和體育局教研室一模）已知a是方程的一個根，則代數(shù)式的值為（

）A．1 B． C．或1 D．2二、填空題6．（2022·江西上饒·九年級期末）把一元二次方程化為一般形式為______．7．（2022·云南昭通·九年級期末）一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項的和是_______．8．（2022·天津北辰·九年級期末）已知關于x的一元二次方程的一個根是，則__________．9．（2022·全國·九年級單元測試）若關于x的方程(m－3)xm2－7－x＋3＝0是一元二次方程，則m的值是________．10．（2022·河北邯鄲·七年級期中）若m是方程2x2﹣3x﹣2＝0的一個根，則﹣6m2+9m﹣9的值為_______．三、解答題11．（2022·廣東省深圳市沙灣實驗學校九年級期末）把下列方程化成一般形式，并寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)以及常數(shù)項．(1)（2x﹣1）（3x＋2）＝x2＋2；(2)．12．（2021·北京·人大附中九年級階段練習）若關于x的一元二次方程x2﹣4mx+2m2＝0的一個根是x＝2，求代數(shù)式2（m﹣2）2﹣5的值．13．（2021·北京·宣武外國語實驗學校七年級期中）已知關于x的方程的一個解是，求代數(shù)式的值．14．（2021·北京·九年級專題練習）已知是方程的一個根，求代數(shù)式的值．15．（2021·全國·九年級專題練習）已知關于x的方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0，問：（1）k為何值時，此方程是一元一次方程？（2）k為何值時，此方程是一元二次方程？并寫出這個一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項．專題01一元二次方程壓軸題三種模型全攻略〓知識點一一元二次方程定義問題（1）一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必須同時滿足三個條件：①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；②只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．判斷一個方程是否是一元二次方程應注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．例題：（2022·全國·九年級單元測試）下列方程：①x2-1=0；②2x2+3x=（1-2x）（2+x）；③x+=2；④2x2-=0，⑤ax2+bx+c=0．其中是一元二次方程的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個判斷即可．只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．【詳解】解：①x2-1=0是一元二次方程；②2x2+3x=（1-2x）（2+x）是一元二次方程；③x+=2是分式方程，不是一元二次方程；④2x2-=0，不是一元二次方程；⑤ax2+bx+c=0，當a=0時，不是一元二次方程．所以其中一元二次方程的個數(shù)是2個．故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關鍵．【變式訓練1】（2022·黑龍江·哈爾濱市第十七中學校八年級期中）下列方程中，是關于x的一元二次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】只含有1個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程就是一元二次方程，依據(jù)定義即可判斷．【詳解】解：根據(jù)一元二次方程定義可知：A.，是關于x的一元一次方程，不符合題意；B.，為二元二次方程，不符合題意；C.，是分式方程，不符合題意；D.，只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2，二次項系數(shù)不為0，是一元二次方程，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，一元二次方程只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2，為整式方程；特別注意二次項系數(shù)不為0．【變式訓練2】（2021·北京密云·八年級期末）已知（m+1）x2+5x﹣3＝0是關于x的一元二次方程，則m的取值范圍是_____．【答案】m≠﹣1【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式，由二次項的系數(shù)a≠0即可解答．【詳解】解：∵（m+1）x2+5x﹣3＝0是關于x的一元二次方程，∴m+1≠0，解得：m≠﹣1，故答案為：m≠﹣1．【點睛】本題考查一元二次方程的有關概念，熟知一元二次方程成立的條件是解答的關鍵．【變式訓練3】（2022·全國·九年級單元測試）已知（m－1）＋3x－5＝0是一元二次方程，則m＝________．【答案】－1【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義m-1≠0，且，解答即可．【詳解】∵（m－1）＋3x－5＝0是一元二次方程，∴m-1≠0，且，∴m-1≠0，且，∴，故答案為：-1．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義即含有一個未知數(shù)且含未知數(shù)項的次數(shù)最高是2的整式方程，熟練掌握定義是解題的關鍵．〓知識點二一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一個關于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項；c叫做常數(shù)項．一次項系數(shù)b和常數(shù)項c可取任意實數(shù)，二次項系數(shù)a是不等于0的實數(shù)，這是因為當a=0時，方程中就沒有二次項了，所以，此方程就不是一元二次方程了．要確定二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項，必須先把一元二次方程化成一般形式．例題：（2022·全國·九年級單元測試）將方程（3x－1）（2x＋4）＝2化為一般形式為____________，其中二次項系數(shù)為________，一次項系數(shù)為________．【答案】

3x2＋5x－3＝0

3

5【解析】【分析】將方程展開，化簡后即可求解．【詳解】將，開展為一般形式為：；則可知一次項系數(shù)為5，二次項系數(shù)為3，故答案為：，3，5．【點睛】本題主要考查了將一元二次方程化為最簡式以及判斷方程各項系數(shù)的知識，熟記相關考點概念是解答本題的關鍵．【變式訓練1】（2022·河北承德·九年級期末）一元二次方程的常數(shù)項是（

）A．－1 B．1 C．－6 D．6【答案】A【解析】【分析】化成一元二次方程的一般形式，就可以解決本題．【詳解】解：原方程可化為：．是二次項，系數(shù)為2；-6x是一次項，-6是一次項系數(shù)；-1是常數(shù)項．故選：A．【點睛】考查了一元二次方程的一般形式：++=0．是二次項，a是二次項系數(shù)；是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項．把握一元二次函數(shù)的一般形式和各項系數(shù)的符號是解決本題的關鍵．【變式訓練2】（2022·山東濟寧·九年級期末）一元二次方程的二次項系數(shù)是（

）A．1 B．3 C． D．4【答案】A【解析】【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再得出答案即可．【詳解】解∶∵，∴，∴一元二次方程的二次項系數(shù)是1．故選∶A．【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，能熟記一元二次方程的一般形式的特點是解此題的關鍵，注意：項的系數(shù)帶著前面的符號．【變式訓練3】（2022·廣西欽州·九年級期末）方程的一次項系數(shù)是______．【答案】-8【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式解答．【詳解】解：方程的一次項是，其系數(shù)是．故答案是：．【點睛】本題考查一元二次方程的一般式，解題的關鍵是掌握一次項系數(shù)的定義．〓知識點三已知一元二次方程的根求參數(shù)問題（1）一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數(shù)解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩實數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量．a(chǎn)x12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）．例題：（2022·四川成都·九年級期末）已知x＝2是關于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一個根，則實數(shù)k的值為_____．【答案】【解析】【分析】將x=2代入方程得關于k的方程，解之可得．【詳解】解：將x=2代入方程得：22+2k-2=0，解得：k=-1，故答案為：-1．【點睛】本題主要考查一元二次方程的解的定義和解方程的能力，掌握能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解是解題的關鍵．【變式訓練1】（2022·湖北恩施·二模）已知x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的解，則－4b+2c=（

）A．8 B．－8 C．4 D．－4【答案】A【解析】【分析】由x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的一個解，將x=2代入原方程，即可求得2b-c的值，從而得解．【詳解】解：∵x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的一個根，∴4+2b-c=0，∴2b-c=-4．∴－4b+2c=-2(2b-c)=-2×(-4)=8．故選：A．【點睛】本題主要考查了一元二次方程解的定義．解題的關鍵是將x=2代入原方程，利用整體思想求解．【變式訓練2】（2022·湖南婁底·二模）若a是的一個根，則的值是（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】D【解析】【分析】由是方程的一個根，得，由此可求得的值．【詳解】解：是方程的一個根，，即，．故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解與一元二次方程的關系是解題的關鍵．【變式訓練3】（2022·廣東·佛山市華英學校九年級期中）設a為一元二次方程的一個實數(shù)根，___________．【答案】4046【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的解得到等式，再進行等價變形后代入所求代數(shù)式即可．【詳解】解：∵a為一元二次方程的一個實數(shù)根，∴．∴．∴．故答案為：4046．【點睛】本題考查一元二次方程的解，代數(shù)式求值，熟練掌握這些知識點是解題關鍵．【課后訓練】一、選擇題1．（2022·浙江紹興·八年級期中）下列方程中是一元二次方程的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義（含有一個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程）進行判斷即可．【詳解】解：A、是一元二次方程，該選項符合題意；B、是一元一次方程，該選項不符合題意；C、是分式方程，該選項不符合題意；D、是二元一次方程，該選項不符合題意.故答案為：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，解題時，要注意：①是整式方程，②只含有一個未知數(shù)，③所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2．2．（2022·天津濱海新·九年級期末）一元二次方程化成一般形式后，它的二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】先將原方程化為一般形式，進而作答即可．【詳解】一元二次方程化成一般形式為：它的二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別是5，-4故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，即一元二次方程的一般形式是：(a，b，c是常數(shù)且a

≠

0)特別要注意a≠

0的條件，這是在做題過程中容易忽視的知識點，在一般形式中叫二次項，叫一次項，c是常數(shù)項，其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．3．（2022·云南文山·九年級期末）如果3是關于x的方程的一個根，那么c的值為（

）A． B． C．9 D．【答案】C【解析】【分析】把x=3代入原方程即可求得c的值．【詳解】∵x=3是關于x的方程x2-c=0的一個根，∴32-c=0，解得c=9．故選：C．【點睛】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立．4．（2022·山東淄博·八年級期中）若一元二次方程有一個解為，則k為（

）A． B．1 C． D．0【答案】C【解析】【分析】把x=0代入方程（k-1）x2+3x+k2-1=0得方程k2-1=0，解關于k的方程，然后利用一元二次方程的定義確定k的值．【詳解】把x=0代入方程（k-1）x2+3x+k2-1=0得方程：k2-1=0，解得k1=1，k2=-1，而k-1≠0，所以k=-1．故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．5．（2022·山東·聊城市茌平區(qū)教育和體育局教研室一模）已知a是方程的一個根，則代數(shù)式的值為（

）A．1 B． C．或1 D．2【答案】A【解析】【分析】由題意，得，再整體代入求值即可．【詳解】解：由題意，得∴故選：A．【點睛】本題考查一元二次方程的解，熟練掌握相關知識，利用整體思想進行求值是解題的關鍵．二、填空題6．（2022·江西上饒·九年級期末）把一元二次方程化為一般形式為______．【答案】【解析】【分析】先展開完全平方式、再移項，變成一般形式即可．【詳解】解：，即即故答案為：【點睛】考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式為：ax2+bx+c=0（a≠0）7．（2022·云南昭通·九年級期末）一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項的和是_______．【答案】5【解析】【分析】ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項；c叫做常數(shù)項進行填空即可求得．【詳解】解：由題意得：3x2-5x+7=0，∴二次項系數(shù)為3，一次項系數(shù)為-5，常數(shù)項為7，∴二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項的和是：3-5+7=5，故答案為：5．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，關鍵是一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．8．（2022·天津北辰·九年級期末）已知關于x的一元二次方程的一個根是，則__________．【答案】-2【解析】【分析】將一元二次方程的根代入該一元二次方程，再求解即可．【詳解】解：將代入，得：，解得：．故答案為：-2．【點睛】本題主要考查一元二次方程的解．掌握方程的解就是使其成立的未知數(shù)的值是解題關鍵．9．（2022·全國·九年級單元測試）若關于x的方程(m－3)xm2－7－x＋3＝0是一元二次方程，則m的值是________．【答案】-3【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義可知，二次項系數(shù)為2，則可以得到m2?7＝2；再根據(jù)一元二次方程中二次項系數(shù)不等于零，即可確定m的值．【詳解】解：∵該方程為一元二次方程，∴m2?7＝2，解得m＝±3；當m＝3時，m-3＝0，則方程的二次項系數(shù)是0，不符合題意；∴m＝-3，故答案為：-3．【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0），解題的關鍵是特別要注意a≠0的條件，這是在做題過程中容易忽視的知識點．10．（2022·河北邯鄲·七年級期中）若m是方程2x2﹣3x﹣2＝0的一個根，則﹣6m2+9m﹣9的值為_______．【答案】-15【解析】【分析】由已知可得2m2﹣3m﹣2＝0，再化簡所求代數(shù)式為﹣6m2+9m﹣9＝﹣3（2m2﹣3m）﹣9，即可求解．【詳解】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣2＝0的一個根，∴2m2﹣3m﹣2＝0，∴2m2﹣3m＝2，∴﹣6m2+9m﹣9＝﹣3（2m2﹣3m）﹣9＝﹣3×2﹣9＝﹣15，故答案為：﹣15．【點睛】本題考查了一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程的解與一元二次方程的關系，靈活變形所求代數(shù)式是解題的關鍵．三、解答題11．（2022·廣東省深圳市沙灣實驗學校九年級期末）把下列方程化成一般形式，并寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)以及常數(shù)項．(1)（2x﹣1）（3x＋2）＝x2＋2；(2)．【答案】(1)5x2+x﹣4＝0，二次項系數(shù)為5；一次項系數(shù)為1；常數(shù)項為﹣4(2)2x2+6x+1＝0，二次項系數(shù)為2；一次項系數(shù)為6；常數(shù)項為1【解析】【分析】根據(jù)多項式的乘法化簡，再化為一元二次方程的一般形式，進而求得二次項系數(shù)、一次項系數(shù)以及常數(shù)項．(1)化簡后為5x2+x﹣4＝0，因此二次項系數(shù)為5；一次項系數(shù)為1；常數(shù)項為﹣4；(2)化簡后為2x2+6x+1＝0，二次項系數(shù)為2；一次項系數(shù)為6；常數(shù)項為1．【點睛】本題考查了多項式的乘法，一元二次方程的一般形式，理解一元二次方程的一般形式是解題的關鍵．一元二次方程的一般形式是：（是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．12．（2021·北京·人大附中九年級階段練習）若關于x的一元二次方程x2﹣4mx+2m2＝0的一個根是x＝2，求代數(shù)式2（m﹣2）2﹣5的值．【答案】【解析】【分析】把代入方程，整理后可得，然后將其代入所求代