初中數(shù)學(xué)《勾股定理與面積問(wèn)題、方程思想》壓軸題及答案

目錄幾何圖形中的方程思想-折疊問(wèn)題(利用等邊建立方程】幾何圖形中的方程思想-公邊問(wèn)題(利用公邊建立方程】1(2023春·新疆阿克蘇·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))若一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是5cm和12cm，則斜邊上的高為多少()80136013A.B.13C.61(2023春·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·八年級(jí)統(tǒng)考期末)2×21AB、CAC邊上的高為()3235532A.5B.2C.2(2023春·遼寧朝陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥?如果一個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為1324的高為()1A.12B.24C.653(2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí))1．點(diǎn)ABC都在格點(diǎn)上，若BD是△ABCBD的長(zhǎng)為．4(2023春·安徽合肥·八年級(jí)?？计谀?1的網(wǎng)格中，△ABC△ABC中AB邊上的高．5Rt△ABC中，∠C=90°AC=8△ABE中，DE是AB邊上的高，DE=12S=60．(1)求BC的長(zhǎng)．(2)求斜邊AB邊上的高．6(2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí))在△ABC中，∠C=90°AC=3CB=4CD是斜邊AB上高．(1)求△ABC的面積；(2)求斜邊AB；(3)求高CD．1已知在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A,∠B,∠C所對(duì)的邊分別為abca+b=10cm,c=8cmRt△ABC的面積為()A.9cm2B.18cm2C.24cm236cm21在△ABC中，AD是BC邊上的高，AD=4,AB=410,AC=5△ABC的面積為(A.18B.24C.18或2418或30)2直角△ABC三邊長(zhǎng)分別是xx+1和5△ABC的面積為．21(2023春·河南許昌·八年級(jí)?？计谥?ABCD∠B=90°∠ACB=30°AB=6，AD=13CD=5．(1)求證：△ACD是直角三角形；(2)求四邊形ABCD的面積．1(2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級(jí)?？计谥?AD=4米，CD=3米，AB=13米，BC=12米，∠ADC=90°2(2023春·安徽馬鞍山·八年級(jí)?？计谀?已知abc是△ABCa=23b=36c=66．(1)試判斷△ABC(2)求△ABC的面積．3(2023春·山東菏澤·八年級(jí)校考階段練習(xí))四邊形草地ABCDAB=3mBC=4mCD=12mDA=13m∠ABC為直角．(1)求這個(gè)四邊形草地的面積；(2)204(2022春·重慶綦江·八年級(jí)?？茧A段練習(xí))1．(1)求線段CD與BC的長(zhǎng)；3(2)求四邊形ABCD的面積；(3)求證：∠BCD=90°．1(2023秋·重慶渝中·八年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？计谀?ABCD的面積分別是61046E的面積是()A.201(2023·廣西柳州·?？家荒?如圖，∠BDE=90°BEGC和正方形AFED的面積分別是289和225BD為直徑的半圓的面積是(B.26C.3052)A.16πB.8πC.4π2π2(2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí))Rt△ABCS,S,S且123S=4,S=8S=Rt△ABCS,S,SS,S,S三123123123者之間的關(guān)系為．3(2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí))Rt△ABC中，∠C=90°∠A∠B∠C所對(duì)的邊分別記作ab、c．如圖1△ABCSSS123有S+S=S，1234(1)如圖2△ABCSSSS+S與12312S3(2)3S1S2Sa(2)S+S與S有怎樣的數(shù)量關(guān)系；123(3)若Rt△ABC中，AC=6BC=84中陰影部分的面積．4(2023春·江西南昌·八年級(jí)南昌市第三中學(xué)?？计谥?勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，(如圖1)(1)①如圖234SSS3個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S+S=S的有個(gè)．123123②如圖5(圖中陰影部分)的面積分別為SSSS+S=SSSS的數(shù)量關(guān)123123123系．(2)一過(guò)程就可以得到如圖67M的邊長(zhǎng)為定值mABCD的邊長(zhǎng)分別為abcda+b+c+d=．幾何圖形中的方程思想-折疊問(wèn)題(利用等邊建立方程】51(2023春·河南許昌·八年級(jí)統(tǒng)考期中)已知直角三角形紙片ABC的兩直角邊長(zhǎng)分別為68將△ABCA與點(diǎn)BCE的長(zhǎng)是()5474154254A.B.C.1(2023春·湖北咸寧·八年級(jí)校考階段練習(xí))∠C=90°AC=4BC=3ABB落在直角邊AC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)EADBD的長(zhǎng)為()3453A.B.1.5C.32(2023春·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，Rt△ABC中，∠B=90°AB=4BC=6△ABC折C與AB的中點(diǎn)DAC于點(diǎn)MBC于點(diǎn)NCN的長(zhǎng)為．3(2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模)Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,BC=2D是AC的中E是斜邊ABDE所在直線把△ADE翻折到△ADE的位置，DAB交F于點(diǎn)．若△BAFAE的長(zhǎng)為．4(2022秋·河北張家口·八年級(jí)統(tǒng)考期中)在△ABC中，∠C=90°DE分別在ACAB邊上(不與端點(diǎn)重合)．將△ADE沿DEA落在的位置．6(1)與點(diǎn)B重合且BC=3,AB=5．①直接寫(xiě)出AC的長(zhǎng)；②求△BCD的面積．(2)當(dāng)∠A=37°．①與點(diǎn)在直線EACAC△DE∠EB-∠DC的大??；②與點(diǎn)在直線E的一邊與BC∠ADE的度數(shù)．幾何圖形中的方程思想-公邊問(wèn)題(利用公邊建立方程】1△ABC中，AB=10BC=9AC=17BC邊上的高為．1△ABC中，∠C=90°AD是△ABC的角平分線，CD=3BD=5AC=．2Rt△ABC和Rt△ADE中，∠B=∠D=90°AC=AEBC=DEBCDE交于點(diǎn)M．(1)A在∠M的平分線上；7(2)若AC∥DMAB=12BM=18BC的長(zhǎng)．】1(2022·全國(guó)·八年級(jí))索OA懸掛于OA(AC=1尺)．將它往前推進(jìn)兩步(EB⊥OC于點(diǎn)EEB=10尺)B(BD=CE=5尺)秋千繩索(OA或OB)長(zhǎng)尺．1(2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖12(圖2為圖1的平面示意圖)CD的距離為2寸C和點(diǎn)D距離門(mén)檻AB都為1尺(1尺=10寸)AB的長(zhǎng)是()A.50.5寸B.52寸C.101寸104寸2(2022·河南·金明中小學(xué)八年級(jí)期中42的23(2022·重慶市求精中學(xué)校八年級(jí)期中)在一條東西走向的河的一側(cè)有一村莊C點(diǎn)ABAB=ACC到A個(gè)取水點(diǎn)H(AHB在一條直線上)CHCB=1.5千米，CH=1.2千米，HB=0.9千米．8(1)問(wèn)CH是否為從村莊C到河邊的最近路？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明．(2)求原來(lái)的路線AC的長(zhǎng)．4(2022·浙江·浦江縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中)圖1是一張可以折疊的小床展開(kāi)后支撐起來(lái)放在地面的示ABC∠ACD=90°2是小床支撐腳CD中，△ACD變形為四邊形ABC'D'．某家裝廠設(shè)計(jì)的折疊床是BC=8cm，AB=4cm，(1)此時(shí)CD為?cm；(2)AB⊥BC′ABC′D′的面積為cm2．9目錄幾何圖形中的方程思想-折疊問(wèn)題(利用等邊建立方程】幾何圖形中的方程思想-公邊問(wèn)題(利用公邊建立方程】1(2023春·新疆阿克蘇·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))若一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是5cm和12cm，則斜邊上的高為多少()80136013A.B.13C.6D設(shè)斜邊上的高為hcmh∵直角三角形的兩條直角邊分別為5cm12cm，∴斜邊長(zhǎng)為12+52=13cm，1212∴直角三角形的面積為×12×5=×13·h，6013解得：h=故選：D．cm，面積的兩種不同的表示方法得到等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．1(2023春·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·八年級(jí)統(tǒng)考期末)2×21AB、CAC邊上的高為()13235532A.5B.2C.C△ABCAC邊上的高．12121232△ABC的面積：2×2-×1×2-×1×1-×1×2=，AC=2+12=5，設(shè)AC邊上的高為x1232×5?x=，355x=，故選：C．答．2(2023春·遼寧朝陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥?如果一個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為1324的高為(A.12)B.24C.65DBD根據(jù)題意得，AB=AC=13BC=24AD⊥BC．1∴BD=BC=12，2在Rt△ADBAD+BD=AB2，∴AD=AB-BD2=13-122=5，5，故選：D．3(2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí))1．點(diǎn)ABC都在格點(diǎn)上，若BD是△ABCBD的長(zhǎng)為．245545】##5】根據(jù)勾股定理計(jì)算ACABCAC=2+42=25，121212∵S△ABC=3×4-×1×2-×3×2-×2×4=4，1212∴∴AC?BD=4，×25BD=4，455∴BD=，455故答案為：．4(2023春·安徽合肥·八年級(jí)?？计谀?1的網(wǎng)格中，△ABC△ABC中AB邊上的高．95△ABC中AB邊上的高為A作AD⊥BC的延長(zhǎng)于點(diǎn)DC作CE⊥AB于點(diǎn)EAD,BC,BD的長(zhǎng)，1212在Rt△ABDABS=BC·AD=AB·CEA作AD⊥BC的延長(zhǎng)于點(diǎn)DC作CE⊥AB于點(diǎn)E，3∵△ABC1，∴AD=3BC=3BD=4，∴在Rt△ABD中，AB=AD+BD2=3+42=5，121∵S∴CE==BC·AD=AB·CE，23×35BC·ADAB9595==，．∴△ABC中AB邊上的高為5Rt△ABC中，∠C=90°AC=8△ABE中，DE是AB邊上的高，DE=12S=60．(1)求BC的長(zhǎng)．(2)求斜邊AB邊上的高．(1)BC=6(2)斜邊AB邊上的高是4.8(1)根據(jù)在△ABE中，DE是AB邊上的高，DE=12S=60AB股定理即可得到AB的長(zhǎng)；(2)AB邊上的高．(1)解：(1)∵在△ABE中，DE是AB邊上的高，DE=12S=60，AB?DEAB×12∴=60=60AB=10，22∵在Rt△ABC中，∠C=90°AC=8，∴BC=AB-AC2=10-82=6；(2)解CF⊥AB于點(diǎn)F，AC?CBAB?CF∵AB=10,AC=8,BC=6，=，228×6210×CF∴=，2解得CF=4.8AB邊上的高是4.8．6(2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí))在△ABC中，∠C=90°AC=3CB=4CD是斜邊AB上高．(1)求△ABC的面積；(2)求斜邊AB；4(3)求高CD．(1)△ABC的面積為6(2)斜邊AB為5125(3)高CD的長(zhǎng)為(1)根據(jù)三角面積公式底乘高除以2求出即可．(2)根據(jù)勾股定理求出AB．(3)根據(jù)等面積法求出高CD．1212(1)△ABC的面積=×AC×BC=×3×4=6．故△ABC的面積是6；(2)在Rt△ABC中，∠C=90°AC=3CB=4，∴AB=3+42=5；1212(3)∵×AC×BC=×CD×AB，1212∴×3×4=×5×CD，125解得CD=．125故高CD的長(zhǎng)為．1已知在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A,∠B,∠C所對(duì)的邊分別為abca+b=10cm,c=8cmRt△ABC的面積為()A.9cm2B.18cm2C.24cm236cm2A】根據(jù)題意可知，Rt△ABC的面積為ab】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°,∠A,∠B,∠C所對(duì)的邊分別為abc，∴a+b=c2∵a+b=10cm,c=8cm∴2ab=a+b-a+b2=a+b-c=100-64=3612∴S=ab=9cm2故選：A．1在△ABC中，AD是BC邊上的高，AD=4,AB=410,AC=5△ABC的面積為()A.18B.24C.18或2418或30D5】由勾股定理分別求出BD和CDAD在三角形的內(nèi)部和AD式計(jì)算即可．解Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=AB-AD2=12在Rt△ACD中，，由勾股定理得：CD=AC-AD2=5-42=3，分兩種情況：①如圖1AD在△ABC的內(nèi)部時(shí)，BC=12+3=15，1212則△ABC的面積=BC×AD=×15×4=30；②如圖2AD在△ABC的外部時(shí)，BC=12-3=9，1212則△ABC的面積=BC×AD=×9×4=18；綜上所述，△ABC的面積為30或18，故選：D．題的關(guān)鍵．2直角△ABC三邊長(zhǎng)分別是xx+1和5△ABC的面積為6或30．】根據(jù)ΔABCΔABC解：ΔABCΔABCx+1與5(1)若x+1<5x+x+1=52，解得x=3，12S=×3×4=6；6(2)若x+1>5x+1-x=52，解得x=1212S=×5×12=30．ΔABC的面積為6或30．故答案為：6或30．x+1與5的大小是解題的關(guān)鍵．1(2023春·河南許昌·八年級(jí)校考期中)ABCD∠B=90°∠ACB=30°AB=6，AD=13CD=5．(1)求證：△ACD是直角三角形；(2)求四邊形ABCD的面積．(1)見(jiàn)解析(2)183+30(1)根據(jù)30°角的直角三角形的性質(zhì)得到AC=2AB=12(2)根據(jù)勾股定理得到BC=63(1)證明：∵∠B=90°∠ACB=30°AB=6，∴AC=2AB=12，在△ACD中，AC=12AD=13CD=5，∵5+12=132AC+CD=AD2，∴△ACD是直角三角形；(2)解：∵在△ABC中，∠B=90°AB=6AC=12，∴BC=AC-AB2=12-62=63，1212∴S=BC?AB=×63×6=183，1212又∵S=AC?CD=×5×12=30，∴S=SABC+S=183+30．∴四邊形ABCD為183+30．30°股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．1(2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級(jí)?？计谥?AD=4米，CD=3米，AB=13米，BC=12米，∠ADC=90°724平方米連接ACAC=AD+CD2=5直角三角形的面積公式求出結(jié)果即可．，AC+BC=AB2∠ACB=90°AC∵∠ADC=90°AD=4米，CD=3米，∴AC=AD+CD2=5米，∵AB=13米，BC=12米，∴AC+BC=AB2，∴∠ACB=90°，∴這塊地的面積為：12112SABC-S=AC?BC-AD?CD1=×5×12-×3×422=24(平方米)．a(chǎn)bca+b=c．如果一個(gè)三角形的三條邊、、滿足a+b=c2abc么這個(gè)三角形為直角三角形．2(2023春·安徽馬鞍山·八年級(jí)?？计谀?已知abc是△ABCa=23b=36c=66．(1)試判斷△ABC(2)求△ABC的面積．(1)△ABC(2)92(1)根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行計(jì)算即可求解；(2)根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．(1)解：△ABC是直角三角形．理由：∵a=23=12b=36=54c=66=66，∴a+b=c2，∴△ABC∠C是直角；12(2)解：△ABC的面積=×23×36=92．3(2023春·山東菏澤·八年級(jí)?？茧A段練習(xí))四邊形草地ABCDAB=3mBC=4mCD=812mDA=13m∠ABC為直角．(1)求這個(gè)四邊形草地的面積；(2)20(1)36m2(2)清理完這塊草地雜草需要720元錢(qián)(1)連接ACAC∠ACD=90°S=SABC+S即可求解；(2)根據(jù)每平方米需要人工費(fèi)20(1)AC，∵AB=3mBC=4m∠ABC為直角，∴AC=AB+BC2=3+42=5m，∵CD=12mDA=13m，∴AC+CD=5+12=169=AD2，∴∠ACD=90°，12121212∴S=SABC+S=AB?BC+AC?CD=×3×4+×5×12=36m2．(2)解：20×36=720(元)，720元錢(qián)．4(2022春·重慶綦江·八年級(jí)校考階段練習(xí))1．(1)求線段CD與BC的長(zhǎng)；(2)求四邊形ABCD的面積；(3)求證：∠BCD=90°．9(1)BC=25CD=5292(2)(3)見(jiàn)解析(1)根據(jù)勾股定理解答即可；(2)運(yùn)用分割法解答即可；(3)連接BD(1)∵每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，∴BC=2+42=25CD=2+12=512121212(2)S=5×5-×1×5-×1×4-1×1-×1×2-×2×452=25--2-1-1-4292=(3)連接BD，∴BD=3+42=5，∵BC+CD=25+∴BC+CD=BD2，5=25BD=5=25，∴△BCDBD為斜邊，∴∠BCD=90°．1(2023秋·重慶渝中·八年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？计谀?ABCD的面積分別是61046E的面積是()A.20B.26C.3052BABCD的面積和即為最大正方形的面積即可．10S=S+SGEF=S+S+S+SDABC=6+10+4+6=26故選B．1(2023·廣西柳州·校考一模)如圖，∠BDE=90°BEGC和正方形AFED的面積分別是289和225BD為直徑的半圓的面積是()A.16πB.8πC.4π2πB利用勾股定理求出BD∵正方形BEGC和正方形AFED的面積分別是289和225，∴BE=289,DE=225，∵∠BDE=90°，∴BD=BE-DE2=289-225=8，1282∴以BD為直徑的半圓的面積為：××π=8π；故選B．2(2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí))Rt△ABCS,S,S且123S=4,S=8S=Rt△ABCS,S,SS,S,S三123123123者之間的關(guān)系為．】12；s+s=s312首先根據(jù)正方形面積公式得到三個(gè)正方形的面積與Rt△ABCRt△ABCS3SSS123∵ACBCAB都是正方形的邊長(zhǎng)，11∴S=AC2S=BC2S=AB2，123又∵△ABC是直角三角形，∴AC+BC=AB2，∴S=4+8=12，又∵Rt△ABCSSS，123123234∴S=×AC×AC×=×AC2，3434同理可得：S=×BC2S=×AB2，3∵△ABC是直角三角形，∴AC+BC=AB2，∴S+S=S．123故答案是：12S+S=S．1233(2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí))Rt△ABC中，∠C=90°∠A∠B∠C所對(duì)的邊分別記作ab、c．如圖1△ABCSSS123有S+S=S，123(1)如圖2△ABCSSSS+S與12312S3(2)3S1S2Sa(2)S+S與S有怎樣的數(shù)量關(guān)系；123(3)若Rt△ABC中，AC=6BC=84中陰影部分的面積．(1)S+S=S123(2)S+S=S123(3)24181818(1)由扇形的面積公式可知S=πAC2S=πBC2S=，πAB2Rt△ABC23得AC+BC=AB2S+S=S；12(2)根據(jù)(1)中的求解即可得出答案；(3)利用(2)中的結(jié)論進(jìn)行求解．181818(1)∵S+S=πa+πb2S=πc2，123根據(jù)勾股定理可知：a+b=c2，∴S+S=S；123(2)解(1)a+b=c2S+S=S；12312(3)解(2)知S=S+S-S-S=SABC=×6×8=24．123124(2023春·江西南昌·八年級(jí)南昌市第三中學(xué)校考期中)勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，(如圖1)(1)①如圖234SSS3個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S+S=S的有個(gè)．123123②如圖5(圖中陰影部分)的面積分別為SSSS+S=SSSS的數(shù)量關(guān)123123123系．(2)一過(guò)程就可以得到如圖67M的邊長(zhǎng)為定值mABCD的邊長(zhǎng)分別為abcda+b+c+d=．(1)①3②(2)m2(1)設(shè)兩直角邊分別為xyzxyz分別表示正方形圓x2a2b2ππab222+y=z2SSS②根據(jù)a+b=c2S+S=++-1231222c2πab2ab22=S=得S+S=S；2123(2)由題意知，S=a2S=b2S=c2S=d2，S+S+S+S=SM=m2ABCDABCD(1)xyz，則圖2中，S=x，2S=y2S=z2，，123∵x+y=z2，∴S+S=S圖2符合題意；123y222x2z2ππππx28πy28πz2822圖3中，S==S==S==，2213πy28πx+y2πx28=πz28∵+=，8∴S+S=S圖3符合題意；1233y24123x2412123z24圖4中，S=x?x?sin60°=S=y?y?sin60°=S=z?z?sin60°=，3y243x+y23x24=3z24∵+=，4∴S+S=S圖4符合題意；123∴這3個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S+S=S的有3個(gè)，123故答案為：3；a2b2c2πππab2ab2ab2222由題意知a+b=c2S+S=，++-=，S=3，12222∴S+S=S；123(2)S=a2S=b2S=c2S=d2，S+S+S+S=SM=m2，ABCDABCD∴a+b+c+d=m2，故答案為：m．幾何圖形中的方程思想-折疊問(wèn)題(利用等邊建立方程】1(2023春·河南許昌·八年級(jí)統(tǒng)考期中)已知直角三角形紙片ABC的兩直角邊長(zhǎng)分別為68△ABCA與點(diǎn)BCE的長(zhǎng)是()5474154254A.B.C.B根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)可知，AE=BEAE=xBE=xCE=8-xRt△BCE中利用勾股定理即可求出CE的長(zhǎng)度．解：∵△ADE翻折后與△BDE完全重合，∴AE=BE，設(shè)AE=xBE=xCE=8-x，∵在Rt△BCE中，CE=BE-BC2，即8-x=x-62，74解得，x=，7∴CE=故選：B．4141(2023春·湖北咸寧·八年級(jí)校考階段練習(xí))∠C=90°AC=4BC=3ABB落在直角邊AC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)EADBD的長(zhǎng)為()3453A.B.1.5C.3C利用勾股定理求得AB=5AB=AE=5DB=DE得CE=1DB=DE=xCD=3-x1+3-x=x2∵∠C=90°AC=4BC=3，∴AB=3+42=5，由折疊的性質(zhì)得，AB=AE=5DB=DE，∴CE=1，設(shè)DB=DE=xCD=3-x，在Rt△CED中，1+3-x=x2，53解得x=，故選：C．2(2023春·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，Rt△ABC中，∠B=90°AB=4BC=6△ABC折C與AB的中點(diǎn)DAC于點(diǎn)MBC于點(diǎn)NCN的長(zhǎng)為．10】/3133由折疊的性質(zhì)可得DN=CNDNCN的長(zhǎng)．∵D是AB中點(diǎn)，AB=4，∴AD=BD=2，∵將△ABCC與AB的中點(diǎn)D重合，∴DN=CN，∴BN=BC-CN=6-DN，15在Rt△DBN中，DN=BN+DB2，∴CN=(6-CN)+22，103∴CN=，103故答案為：．(折疊問(wèn)題)3(2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模)Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,BC=2D是AC的中E是斜邊ABDE所在直線把△ADE翻折到△DE的位置，于點(diǎn)．若DABF交△BAFAE的長(zhǎng)為．651或分∠BFA=90°∠BAF=90°和∠BFA=90°∠C=90°,∠A=30°,BC=2D是ACAD=CD=3,根據(jù)∠BFA=90°以及翻折性質(zhì)得出EA=ED,∠DEA=120°,∠BAF=90°EH⊥BA交的延長(zhǎng)線于HAE=xRt△EHA和Rt△BEH中用勾股定理即可解答．∠BFA=90°時(shí)，在Rt△ABC中，∵∠A=30°,BC=2∴AB=2BC=4,AC=23,∵AD=CD,∴AD=CD=3,∵∠AFD=90°,∴∠ADF=60°,∴∠EDA=∠EDF=30°,∴∠A=∠EDA=30°,AD333∴EA=ED,∠DEA=120°,AE===1.∠BAF=90°EH⊥BA交的延長(zhǎng)線于，AE=xH∵∠DAE=30°,∴∠EAH=60°,在Rt△EHA中，121232H=E=x,EH=3H=x,BE=4-x,在Rt△BEH中，∵EH+BH=BE,321222∴x+2+x=(4-x),65解得x=，1665AE的值為1或，6故答案為：1或．54(2022秋·河北張家口·八年級(jí)統(tǒng)考期中)在△ABC中，∠C=90°DE分別在ACAB邊上(不與端點(diǎn)重合)．將△ADE沿DEA落在的位置．(1)與點(diǎn)B重合且BC=3,AB=5．①直接寫(xiě)出AC的長(zhǎng)；②求△BCD的面積．(2)當(dāng)∠A=37°．①與點(diǎn)在直線EACAC△DE∠EB-∠DCBC的大小；∠ADE的度數(shù)．②與點(diǎn)在直線E的一邊與2116(1)①4②(2)①74°②∠ADE的度數(shù)分別為45°26.5°(1)①直接根據(jù)勾股定理即可求出AC的長(zhǎng)；②設(shè)CD=xAD=BD=4-xx(2)①根據(jù)三角形的外角定理可得∠EB=∠A+∠AFE∠AFE=∠+∠DF②根據(jù)題意D∥BCE∥BC(1)Rt△ABCAC=AB-BC2=5-32=4，②設(shè)CD=xAD=4-x，∵將△ADE沿DEA落在的位置，∴AD=BD=4-x，在Rt△BCD3+x=4-x2，781解得：x=782116∴S=×3×=．2(2)解∵將△ADE沿DEA落在的位置，∠A=37°，∴∠=37°，∴∠EB=∠A+∠AFE=37°+∠AFE，∵∠AFE=∠+∠DF=37°+∠DF，∴∠EB=37°+∠AFE=37°+37°+∠DF=74°+∠DF，∴∠EB-∠DC=74°；17②當(dāng)D∥BC∵D∥BC∠C=90°，∴∠ADA=90°，∵△ADE由△DE折疊所得，12∴∠ADE=∠ADA=45°；當(dāng)E∥BC∵∠A=37°∠C=90°，∴∠B=90°-37°=53°，∵△ADE由△DE折疊所得，∴∠A=∠=37°，∵AE∥BC，∴∠B=∠EB=53°，∴∠AMA=180°-∠-∠EB=90°AB⊥D，∴∠ADA=90°-∠A=53°，12∴∠ADE=∠ADA=26.5°．綜上：∠ADE的度數(shù)分別為45°26.5°．180°幾何圖形中的方程思想-公邊問(wèn)題(利用公邊建立方程】1△ABC中，AB=10BC=9AC=17BC邊上的高為．8】】作AD⊥BC交BC的延長(zhǎng)于點(diǎn)DRt△ADB中，AD+DB=AB2根據(jù)AB-DB=AC-DC2列出方程即可求解．】Rt△ADC中,AD+DC=AC2，AD⊥BC交BC的延長(zhǎng)于點(diǎn)D，則AD即為BC邊上的高，在Rt△ADB中，AD+DB=AB2在Rt△ADC中,AD+DC=AC2，，18∴AB-DB=AC-DC2，∵AB=10BC=9AC=17，∴10-DB=17-DB+92，解得DB=6，∴AD=AB-DB2=10-62=8故答案為：8．1△ABC中，∠C=90°AD是△ABC的角平分線，CD=3BD=5AC=．6作DE⊥ABDE=CD=3BERt△ACD?Rt△AEDHLAC=AEAC=AE=xAC．DE⊥AB于點(diǎn)E∵在△ABC中，∠C=90°AD是△ABC的角平分線，CD=3，∴DE=CD=3，∴BE=5-32=4，∵DC=DE,AD=AD，∴Rt△ACD?Rt△AEDHL，∴AC=AE，設(shè)AC=AE=xAB=4+x,BC=3+5=8，在直角三角形ABCAC+BC=AB2，即x+8=x+42x=6，即AC=6；故答案為：6．2Rt△ABC和Rt△ADE中，∠B=∠D=90°AC=AEBC=DEBCDE交于點(diǎn)M．(1)A在∠M的平分線上；19(2)若AC∥DMAB=12BM=18BC的長(zhǎng)．(1)見(jiàn)解析(2)5(1)連接AM明Rt△ABC?Rt△ADE(HL)AB=AD題；(2)證明CM=ACBC=xCM=AC=18-x(1)AM，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∵∠B=∠D=90°AC=AEBC=DE，∴Rt△ABC?Rt△ADE(HL)，∴AB=AD，∵AB⊥BMAD⊥DM，∴MA平分∠BMD，∴點(diǎn)A在∠BMD的平分線上；(2)解：∵AC∥DM，∴∠CAM=∠AMD，∴∠AMB=∠CAM，∴CM=AC，設(shè)BC=x，∴CM=AC=18-x，在Rt△ABC中，AB+BC=AC2∴12+x=(18-x)2，∴x=5．，∴BC=5．Rt△ABC?Rt△ADE(HL)．】1(2022·全國(guó)·八年級(jí))索OA懸掛于OA(AC=1尺)．將它往前推進(jìn)兩步(EB⊥OC于點(diǎn)EEB=10尺)B(BD=CE=5尺)秋千繩索(OA或OB)長(zhǎng)尺．292】20】】設(shè)OB=OA=x(尺)Rt△OBE中利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．】解OB=OA=x(尺)，在Rt△OBE中，OB=xOE=x-4BE=10，∴x=10+(x-4)2，292∴x=，292∴OA或OB的長(zhǎng)度為(尺)．29故答案為：．21(2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖12(圖2為圖1的平面示意圖)