2025屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第二章 第三講 函數(shù)的奇偶性與周期性

第三講函數(shù)的奇偶性與周期性第二章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果?x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果?x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)1.函數(shù)的奇偶性【名師點(diǎn)睛】(1)常見(jiàn)的奇函數(shù)有f(x)＝xk(k為奇數(shù))，f(x)＝sinx，f(x)＝tanx，＝c(c為常數(shù))，f(x)＝xk(k為非零偶數(shù))，f(x)＝cosx，f(x)＝g(|x|). (2)如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，那么一定有f(0)＝0. (3)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.2.函數(shù)的周期性

(1)周期函數(shù)：一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期. (2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.【名師點(diǎn)睛】函數(shù)周期性常用結(jié)論對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0).3.函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝a對(duì)稱(chēng).(2)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b，0)中心對(duì)稱(chēng).

(3)若對(duì)于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)或f(a＋x)＝f(a－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝a對(duì)稱(chēng).考點(diǎn)一判斷函數(shù)的奇偶性)[例1](1)已知函數(shù)f(x)＝x·|x|－2x，則下列結(jié)論正確的是(A.f(x)是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是(－∞，0)B.f(x)是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是(－∞，1)C.f(x)是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是(－1，1)D.f(x)是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是(0，＋∞)解析：將函數(shù)f(x)＝x·|x|－2x去掉絕對(duì)值得畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象，如圖2-3-1，觀(guān)察圖象可知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在(－1，圖2-3-11)上單調(diào)遞減.故選C.答案：C(2)(多選題)(2023年遼寧省月考)已知f(x)是定義在R上不恒為)0的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上不恒為0的奇函數(shù)，則( A.f(f(x))為奇函數(shù) B.g(g(x))為奇函數(shù) C.f(g(x))為偶函數(shù) D.g(f(x))為偶函數(shù)解析：由題意可知，f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，所以f(f(－x))＝f(f(x))，即f(f(x))為偶函數(shù)，A項(xiàng)錯(cuò)誤；g(g(－x))＝g(－g(x))＝－g(g(x))，即g(g(x))為奇函數(shù)，B項(xiàng)正確；因?yàn)閒(g(－x))＝f(g(x))，即f(g(x))為偶函數(shù)，C項(xiàng)正確；因?yàn)間(f(－x))＝g(f(x))，即g(f(x))為偶函數(shù)，D項(xiàng)正確.答案：BCD【題后反思】判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)定義法：(2)圖象法：函數(shù)是奇(偶)函數(shù)?函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)(y軸)對(duì)稱(chēng).(3)在兩函數(shù)的公共定義域中：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶；奇×奇＝偶，奇×偶＝奇，偶×偶＝偶.②f(x)＝【變式訓(xùn)練】給定四個(gè)函數(shù)：①f(x)＝－3x4；

12x＋1；③f(x)＝3x，x∈[－1，2]；④f(x)＝5x＋7.其中奇函數(shù)的個(gè)數(shù)為()A.0B.1C.2D.3解析：對(duì)于①，因?yàn)閒(－x)＝－3(－x)4＝－3x4≠－f(x)，即f(x)不是奇函數(shù)；所以函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即f(x)不是奇函數(shù)；對(duì)于③，函數(shù)的定義域?yàn)閇－1，2]，所以函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即f(x)不是奇函數(shù)；對(duì)于④，因?yàn)閒(－x)＝－5x＋7≠－f(x)，即f(x)不是奇函數(shù)，即奇函數(shù)的個(gè)數(shù)為0.故選A.答案：A考點(diǎn)二根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的值或范圍∴x－a＝x＋a，得－a＝a，得a＝0.故選B.答案：B答案：C【題后反思】(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.

(2)利用函數(shù)的奇偶性可畫(huà)出函數(shù)在另一對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的圖象，確定函數(shù)在另一區(qū)間上的解析式，解決某些求值或參數(shù)問(wèn)題. (3)由函數(shù)奇偶性延伸可得到一些對(duì)稱(chēng)性結(jié)論，如函數(shù)f(x＋a)為偶函數(shù)(奇函數(shù))，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝a對(duì)稱(chēng)[關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱(chēng)].【變式訓(xùn)練】答案：±1ax＋1＋cosx，

若f(x)為偶函數(shù)，則f(－x)＝x2＋2x－ax＋1＋cosx＝x2－2x＋ax＋1＋cosx＝f(x)，

變形可得(a－2)x＝0在R上恒成立，必有a＝2.答案：2考點(diǎn)三函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用考向1單調(diào)性與奇偶性的綜合問(wèn)題

通性通法：(1)利用偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上的單調(diào)性相反、奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上的單調(diào)性相同，實(shí)現(xiàn)不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化.(2)注意偶函數(shù)的性質(zhì)f(x)＝f(|x|)的應(yīng)用.[例3]已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為(

)A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

解析：易知g(x)＝xf(x)在R上為偶函數(shù)，∵奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，則f(0)＝0.∴g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，∴g(3)>g(－log25.1)>g(20.8)，即c>a>b.答案：C考向2周期性與奇偶性的綜合問(wèn)題

通性通法：此類(lèi)問(wèn)題多考查求值問(wèn)題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.

[例4](2023年未央?yún)^(qū)模擬)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x)＝f(2－x)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝ax3＋2x＋a＋1，則f(2023)＝()A.－3C.1

B.－1D.3解析：∵f(x)是R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，即f(0)＝a＋1＝0，得a＝－1，則當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝－x3＋2x，∵奇函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x)＝f(2－x)，∴f(x)＝f(2－x)＝－f(x－2)，則f(x＋2)＝－f(x)，則f(x＋4)＝f(x)，即f(x)是周期為4的周期函數(shù)，則f(2023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－(－1＋2)＝－1.故選B.答案：B考向3單調(diào)性、奇偶性與周期性的綜合問(wèn)題

通性通法：對(duì)于與函數(shù)性質(zhì)結(jié)合的題目，函數(shù)的周期性有時(shí)需要通過(guò)函數(shù)的奇偶性得到.函數(shù)的奇偶性體現(xiàn)的是一種對(duì)稱(chēng)關(guān)系，因此在解題時(shí)，往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來(lái)確定函數(shù)另一區(qū)間上的性質(zhì).【常用結(jié)論】函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性與函數(shù)周期性的關(guān)系(1)若y＝f(x)的圖象既關(guān)于x＝a對(duì)稱(chēng)，也關(guān)于x＝b對(duì)稱(chēng)，則|2(a－b)|是f(x)的一個(gè)周期.(2)若y＝f(x)的圖象既關(guān)于(a，0)對(duì)稱(chēng)，也關(guān)于(b，0)對(duì)稱(chēng)，則|2(a－b)|是f(x)的一個(gè)周期.(3)若y＝f(x)的圖象既關(guān)于x＝a對(duì)稱(chēng)，也關(guān)于(b，0)對(duì)稱(chēng)，則|4(a－b)|是f(x)的一個(gè)周期.[例5](多選題)(2023年南平市期末)若定義在R上的奇函數(shù)f(x))滿(mǎn)足f(x)＝f(2－x)，且當(dāng)x∈(0，1]時(shí)，f(x)＝x，則( A.y＝f(x＋1)為偶函數(shù) B.f(x)在(3，5)上單調(diào)遞增 C.f(x)在(－3，－1)上單調(diào)遞增 D.f(x)的最小正周期T＝4解析：由f(x)＝f(2－x)得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱(chēng)，函數(shù)f(x＋1)的圖象是由函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，所以函數(shù)f(x＋1)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)f(x＋1)是偶函數(shù)，故A正確；由f(x)＝f(2－x)得f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f(x)，f(x)的最小正周期為4，故D正確；當(dāng)x∈(0，1]時(shí)，f(x)＝x，因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以當(dāng)x∈[－1，0)時(shí)，f(x)＝x，且f(0)＝0，

所以f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞增，在(1，3)上單調(diào)遞減，

因?yàn)閒(x)的最小正周期T＝4，所以f(x)在(3，5)上單調(diào)遞增，在(－3，－1)上單調(diào)遞減，故B正確，C錯(cuò)誤.故選ABD.答案：ABD

【考法全練】

1.(考向1)(2020年全國(guó)Ⅰ卷)若定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且f(2)＝0，則滿(mǎn)足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是()A.[－1，1]∪[3，＋∞)B.[－3，－1]∪[0，1]C.[－1，0]∪[1，＋∞)D.[－1，0]∪[1，3]

解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，則f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且f(2)＝0，畫(huà)出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖D2(1)所示，則函數(shù)f(x－1)的大致圖象如圖D2(2)所示.當(dāng)x≤0時(shí)，要滿(mǎn)足xf(x－1)≥0，則f(x－1)≤0，得－1≤x≤0；當(dāng)x＞0時(shí)，要滿(mǎn)足xf(x－1)≥0，則f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故滿(mǎn)足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是[－1，0]∪[1，3].故選D.(1)(2)圖D2答案：D2.(考向3)(多選題)(2023年邵陽(yáng)市月考)已知函數(shù)f(x)＝

A.f(x－3)是奇函數(shù) B.f(x－3)是偶函數(shù) C.f(x)在區(qū)間(－∞，－3)上是增函數(shù)，在區(qū)間(－3，＋∞)上是減函數(shù) D.f(x)有最大值

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知：f(x)在區(qū)間(－∞，－3)上是增函數(shù)，在區(qū)間(－3，＋∞)上是減函數(shù)，C選項(xiàng)正確；

由于f(x)在區(qū)間(－∞，－3)上是增函數(shù)，在區(qū)間(－3，＋∞)上是減函數(shù)，但f(x)的定義域是{x|x≠－3}，所以f(x)沒(méi)有最大值，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選BC.答案：BC

3.(考向2)(2023年蒙城縣校級(jí)三模)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x)＝f(2－x)，若x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝x，則f(11)的值為_(kāi)___________.解析：根據(jù)題意，奇函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x)＝f(2－x)，則有f(2－x)＝－f(－x)，即f(x＋2)＝－f(x)，變形可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，則f(11)＝f(－1＋12)＝f(－1)＝－f(1)，而x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝x，則f(1)＝1，故f(11)＝－f(1)＝－1.答案：－1⊙函數(shù)奇偶性、周期性的應(yīng)用

函數(shù)的奇偶性是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，特別是與函數(shù)其他性質(zhì)的綜合應(yīng)用更加突出.這類(lèi)問(wèn)題從通性通法的角度來(lái)處理，顯得較為煩瑣，若能靈活利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，常能達(dá)到化難為易、事半功倍的效果.以下歸納出函數(shù)奇偶性的拓展及應(yīng)用.(1)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且g(x)＝f(x)＋c，則必有g(shù)(－x)＋g(x)＝2c.

(2)已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間D上的奇函數(shù)，則對(duì)任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特別地，若奇函數(shù)f(x)在D上有最值，則fmax(x)＋fmin(x)＝0，且若0∈D，則f(0)＝0.(3)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則函數(shù)g(x)＝f(x－a)＋h的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，h)對(duì)稱(chēng).(4)若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則f(x)＝f(|x|).解析：易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x)為偶函數(shù).當(dāng)x≥0答案：A答案：