專題11方程的實際應(yīng)用模型-2024年中考數(shù)學(xué)答題技巧與模板構(gòu)建（原卷版）

專題11方程的實際應(yīng)用模型題型解讀｜模型構(gòu)建｜通關(guān)試練本專題主要對初中階段的方程應(yīng)用題型進(jìn)形總結(jié)分析，收集匯總各地市?？嫉姆匠虘?yīng)用題型，主要分為一元一次方程，二元一次方程組，分式方程，一元二次方程幾大題型。考試中我們可以看出二元一次方程組和分式方程考試頻率較高。一元一次方程相對基礎(chǔ)較為簡單，應(yīng)用題型中出現(xiàn)較少，一元二次方程的應(yīng)用綜合性較高除了在應(yīng)用題型中有所體現(xiàn)，在二次函數(shù)的應(yīng)用中也經(jīng)常出現(xiàn)。本專題根據(jù)考試題型分類歸納總結(jié)。模型01一元一次方程的應(yīng)用一元一次方程的應(yīng)用題型1.行程問題路程=時間×速度，時間=路程÷速度，速度=路程÷時間；（單位：路程——米、千米；時間——秒、分、時；速度——米/秒、米/分、千米/時間）2.工程問題：工作總量=工作時間×工作效率，工作總量=各部分工作量的和3.利潤問題：利潤=售價－進(jìn)價，利潤率=利潤÷進(jìn)價，售價=標(biāo)價×折扣4.等積變形問題長方體的體積=長×寬×高；圓柱的體積=底面積×高；鍛造前的體積=鍛造后的體積5.利息問題利息和=本金+利息；利息=本金×利率×?xí)r間模型02二元一次方程組應(yīng)用二元一次方程組應(yīng)用：1.行程問題：速度×?xí)r間＝路程順?biāo)俣龋届o水速度＋水流速度逆水速度＝靜水速度－水流速度2.配套問題：實際數(shù)量比＝配套比3.商品銷售問題：利潤＝售價－進(jìn)價；售價＝標(biāo)價×折扣；利潤率＝利潤÷進(jìn)價×100%4.工程問題：工作效率×工作時間＝工作總量；甲乙合作效率＝甲的效率＋乙的效率模型03分式方程應(yīng)用分式方程的應(yīng)用解法步驟及題型：列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟，與列整式方程解應(yīng)用題的步驟一樣，都是按照審、設(shè)、列、解、驗、答六步進(jìn)行．（1）在利用分式方程解實際問題時，必須進(jìn)行“雙檢驗”，既要檢驗去分母化成整式方程的解是否為分式方程的解，又要檢驗分式方程的解是否符合實際意義.（2）分式方程應(yīng)用題常見類型有行程問題、工作問題、銷售問題等，其中行程問題中又出現(xiàn)逆水、順?biāo)叫羞@一類型.模型04一元二次方程應(yīng)用一元二次方程的應(yīng)用主要有以下幾種題型：1.數(shù)字問題：個位數(shù)為a，十位數(shù)是b，則這個兩位數(shù)表示為10b+a．2.增長率問題：增長率＝增長數(shù)量/原數(shù)量×100%．如：若原數(shù)是a，每次增長的百分率為x，則第一次增長后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2，即原數(shù)×（1+增長百分率）2＝后來數(shù)．3.形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程．③利用相似三角形的對應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過兩內(nèi)項之積等于兩外項之積，得到一元二次方程．4.運動點問題：物體運動將會沿著一條路線或形成一條痕跡，運行的路線與其他條件會構(gòu)成直角三角形，可運用直角三角形的性質(zhì)列方程求解．5.利潤(銷售)問題

利潤(銷售)問題中常用的等量關(guān)系：

利潤=售價-進(jìn)價(成本)

總利潤=每件的利潤×總件數(shù)模型01一元一次方程的應(yīng)用考｜向｜預(yù)｜測一元一次方程的應(yīng)用該題型近年主要以應(yīng)用題形式出現(xiàn)，一般為應(yīng)用題型的第一問，難度系數(shù)較小，在各類考試中基本為送分題型。解這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)未知量、列方程、解方程，其中列方程是解題的核心，一般需要我們很好的理解題意。答｜題｜技｜巧第一步：審:弄清題意，分清已知量和未知量，明確各數(shù)量間的關(guān)系第二步：設(shè):設(shè)未知數(shù)，并且用含未知數(shù)的代數(shù)式表示與所列方程有關(guān)的數(shù)量列:根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系、相等關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系以及若干倍多或少個數(shù)字列方程；第三步：解:解所列的方程，求出未知數(shù)的值以及題目中所要求的相關(guān)數(shù)量的值驗:檢驗所求的解是否符合題意，是否符合實際意義。例1.（2023·上海）一項工程，甲單獨做需10天完成，乙單獨做需6天完成，現(xiàn)由甲先做3天，乙再加入合做，還需幾天完成這項工程？設(shè)還需天完成這項工程，由題意列方程是（

）A． B．C． D．例2．（2023·吉林長春）列方程解應(yīng)用題勞動課上王老師帶領(lǐng)七（1）班45名學(xué)生制作圓柱形小鼓，其中男生人數(shù)比女生人數(shù)少7人，并且每名學(xué)生每小時可制作2個鼓身或剪6個鼓面．(1)男生有______人，女生有______人．(2)①老師組織全班學(xué)生制作小鼓，要求一個鼓身配兩個鼓面，為了使每小時制作的鼓身與剪出的鼓面剛好配套，應(yīng)該分配多少名學(xué)生制作鼓身？多少名學(xué)生剪鼓面？②若想每小時制作78個小鼓，且制作的鼓身與剪出的鼓面剛好配套，應(yīng)再加入多少名學(xué)生？請你思考此問題，直接寫出結(jié)果和新加入人員具體的分配方案．模型02二元一次方程組應(yīng)用考｜向｜預(yù)｜測二元一次方程組應(yīng)用該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，難度系數(shù)不大，在各類考試中得分率較高。掌握二元一次方程組的解法是考試的重點，二元一次方程組的解法主要采用消元法，在應(yīng)用題型中，根據(jù)題意列二元一次方程組相對簡單，該題型設(shè)兩個未知量，兩個條件兩個方程，相對直觀，只要我們在解方程組的過程中不出現(xiàn)失誤，一般不會失分。答｜題｜技｜巧第一步：“審”是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的關(guān)系，尋找等量關(guān)系；第二步：“設(shè)”就是設(shè)未知數(shù)，一般求什么就設(shè)什么為x，但有時也可以間接設(shè)未知數(shù)；第三步：“列”就是列方程，即列代數(shù)式表示相等關(guān)系中的各個量，列出方程，同時注意方程兩邊是同一類量，單位要統(tǒng)一；第四步：“解”就是解方程，求出未知數(shù)的值；第五步：“答”就是寫出答案，注意單位要寫清楚．例1．（2023·黑龍江哈爾濱）一種商品有大、小盒兩種包裝，3大盒、4小盒共裝108瓶，2大盒、3小盒共裝76瓶．大盒與小盒各裝多少瓶？若設(shè)大盒每盒裝x瓶，小盒每盒裝y瓶，則可列方程組得（

）A． B． C． D．例2．（2023·安徽）某校準(zhǔn)備租車運送450名學(xué)生去合肥市園博園，已知租1輛甲型客車和2輛乙型客車滿載可坐學(xué)生165名，租2輛甲型客車和1輛乙型客車滿載可坐學(xué)生150名，學(xué)校計劃同時租甲型客車m輛，乙型客車n輛，一次性將學(xué)生運往市園博園，且恰好每輛客車都滿載，兩種型號客車都租用．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)求1輛甲型客車和1輛乙型客車滿載時分別可坐多少名學(xué)生？(2)如果乙型客車數(shù)量多于甲型客車數(shù)量，請求出甲型客車、乙型客車各多少輛？(3)已知甲型客車每輛租金200元，乙型客車每輛租金250元，如果租車總費用不超過2000元，請制定最省錢的租車方案．模型03分式方程的應(yīng)用考｜向｜預(yù)｜測分式方程的應(yīng)用該題型近年在方程的應(yīng)用題型中考試較多，了解解分式方程的基本思路和解法，掌握可化為一元一次方程的分式方程的解法，讓學(xué)生體會解分式方程過程中的化歸思想是本節(jié)內(nèi)容的重心。分式方程及其應(yīng)用是中考的必考內(nèi)容之一，一般著重考查解分式方程及列分式方程解應(yīng)用題，并要求會用增根的意義解題，考題常以解答透折考綱題的形式出現(xiàn),有時也會出現(xiàn)在選擇題和填空題中。該題型主要難點在于設(shè)、列、解，屬于應(yīng)用題型的第一問，難度系數(shù)不是很大，屬于容易得分項。答｜題｜技｜巧第一步：根據(jù)題意設(shè)未知量，分式方程只設(shè)一個未知量，用一個量表示另一個量；第二步：解分式方程；第三步：檢驗分式方程的解，看是否為增根，注意不檢驗會扣分；第四步：答：即寫出答案，注意答案完整.例1．（2023·山西）我縣文化宮向全縣中小學(xué)生推出“童心讀書會”的分享活動．甲、乙兩同學(xué)分別從距離活動地點800米和400米的兩地同時出發(fā)，參加分享活動．甲同學(xué)的速度是乙同學(xué)的速度的1.2倍，乙同學(xué)比甲同學(xué)提前4分鐘到達(dá)活動地點．若設(shè)乙同學(xué)的速度是每分鐘x米，則下列方程正確的是（

）A． B．C． D．例2．（2023·河南）信陽毛尖是中國十大名茶之一，也是河南省著名特產(chǎn)之一．某茶葉專賣店經(jīng)銷A，B兩種品牌的毛尖，進(jìn)價和售價如下表所示：品牌AB進(jìn)貨（元/袋）x銷售（元/袋）7090(1)第一次進(jìn)貨時，該專賣店用4000元購進(jìn)A品牌毛尖，用5280元購進(jìn)B品牌毛尖，且兩種品牌所購得的數(shù)量相同，求x的值．(2)第二次進(jìn)貨時，A品牌毛尖每袋上漲5元，B品牌毛尖每袋上漲6元．該茶葉專賣店計劃購進(jìn)A，B兩種品牌毛尖共180袋，且B品牌毛尖的數(shù)量不超過A品牌毛尖數(shù)量的2倍．銷售時，A品牌毛尖售價不變，B品牌毛尖售價提高，則該茶葉專賣店怎樣進(jìn)貨，能使第二次進(jìn)貨全部售完后獲得的利潤最大？最大利潤是多少？模型04一元二次方程應(yīng)用考｜向｜預(yù)｜測一元二次方程應(yīng)用該題型主要是在綜合性大題中考試較多，一般情況下出現(xiàn)在應(yīng)用題型中或者與二次函數(shù)相結(jié)合的題型中，具有一定的綜合性和難度。掌握一元二次方程的解法是解答本題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。一元二次方程中根的判別式的應(yīng)用也需要我們重點理解和熟練應(yīng)用。一元二次方程的解法及根的判別式及其應(yīng)用是中考的必考內(nèi)容之一，一般著重考查解一元二次方程及列方程解應(yīng)用題。答｜題｜技｜巧第一步：審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；第二步：設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時會用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；第三步：列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；第四步：解(解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰)；第五步：驗（檢驗方程的解能否保證實際問題有意義）第六步：答(寫出答案，切忌答非所問).例1．（2023·安徽）某縣為發(fā)展教育事業(yè)，加強了對教育經(jīng)費的投入，2022年投入3億元，預(yù)計2024年投入5億元，設(shè)教育經(jīng)費的年平均增長率為x，下面所列方程正確的是（

）A． B． C． D．例2．（2023·山東濟(jì)南）某工廠為了提高產(chǎn)品的銷售量，決定降價銷售，計劃用兩個月的時間價格下降到原來的，則這兩個月價格平均每個月降低的百分率為.例3．（2023·四川成都）如圖1，用一段長為33米的籬笆圍成一個一邊靠墻并且中間有一道籬笆隔墻的矩形菜園，墻長為12米．設(shè)的長為x米，矩形菜園的面積為S平方米，(1)分別用含x的代數(shù)式表示與S；(2)若，求x的值；(3)如圖2，若在分成的兩個小矩形的正前方各開一個1.5米寬的門（無需籬笆），當(dāng)x為何值時，S取最大值，最大值為多少？1．（2023·山東）某個體商販在一次買賣中，同時賣出兩件上衣，售價都是120元，若按進(jìn)價計，其中一件盈利，另一件虧本，則兩件上衣的進(jìn)價之和為（

）A．230元 B．240元 C．250元 D．260元2．（2023·福建）甲、乙二人分別從相距的A，B兩地出發(fā)，相向而行，如果甲比乙早出發(fā)，那么乙出發(fā)后，他們相遇；如果他們同時出發(fā)，那么后，兩人相距，則甲由A地到B地需要（

）A． B． C．或 D．或3．（2023·四川）已知從甲站到乙站的高鐵線路長2200千米，自駕從甲站到乙站的路線長約1700千米，開車的平均行駛速度是該高鐵設(shè)計時速的，且從甲站乘坐高鐵到乙站比自駕用時少6小時．設(shè)該高鐵的設(shè)計時速為x千米/時，則可列方程為（

）A． B． C． D．4．（2023·廣東）某興趣小組組織一次圍棋比賽，參賽選手每兩人之間都要比賽一場，按計劃需要進(jìn)行28場比賽，設(shè)比賽組織者應(yīng)邀請x人參與比賽，則可列方程為（

）A． B． C． D．5．（2023·山東）A，B兩地相距80千米，一船從A出發(fā)順?biāo)旭?小時到達(dá)B，而從B出發(fā)逆水行駛5小時才能到達(dá)A，則船在靜水中的航行速度是千米/時．6．（2023·河北）某地舉辦了一次足球熱身賽，其計分規(guī)則及獎勵方案（每人）如下表：勝一場平一場負(fù)一場積分310獎金（元/人）15007000當(dāng)比賽進(jìn)行到每隊各比賽12場時，A隊共積20分，并且沒有負(fù)一場．(1)試判斷A隊勝、平各幾場？(2)若每比賽一場每名隊員均得出場費500元，A隊的某一名隊員參加了全部比賽，那么他所得獎金與出場費的和是多少？7．（2023·廣西）某健身器材專賣店推出兩種優(yōu)惠活動，并規(guī)定購物時只能選擇其中一種．活動一：所購商品按原價打八折；活動二：所購商品按原價每滿300元減80元．(如：所購商品原價為300元，可減80元，需付款220元；所購商品原價為600元，可減160元，需付款440元)(1)購買一件原價為450元的健身器材時，選擇哪種活動更合算？請說明理由；(2)購買一件原價在500元以下的健身器材時，若選擇活動一和選擇活動二的付款金額相等，求一件這種健身器材的原價；(3)購買一件原價在900元以下的健身器材時，原價在什么范圍內(nèi)，選擇活動二比選擇活動一更合算﹖設(shè)一件這種健身器材的原價為a元，求出a的取值范圍．8．（2023·云南）某地要把248噸物資從某地運往甲、乙兩地，用大、小兩種貨車共20輛，恰好能一次性運完這批物資．已知這兩種貨車的載重量分別為16噸/輛和10噸/輛，運往甲、乙兩地的運費如下表：運往地車型甲地（元/輛）乙地（元/輛）大貨車620700小貨車400550(1)求大、小兩種貨車各用鄉(xiāng)少輛？(2)如果安排9輛貨車前往甲地，其余貨車前往乙地，設(shè)前往甲地的大貨車為a輛，前往甲、乙兩地的總運費為w元，求出w與a的函數(shù)關(guān)系式，并請你設(shè)計出使總運費最少的貨車調(diào)配方案，求出最少總運費．9．（2023·山東）在國道202公路改建工程中，某路段長，由甲、乙兩個工程隊擬在30天內(nèi)（含30天）合作完成．已知兩個工程隊各有10名工人（設(shè)甲、乙兩個工程隊的工人全部參與改建，兩工程隊內(nèi)每人每天的工作量相同）．甲工程隊1天、乙工程隊2天共修路；甲工程隊2天、乙工程隊3天共修路．(1)試問甲、乙兩個工程隊每天分別修路多少米？(2)已知甲工程隊每天的施工費用為萬元，乙工程隊每天的施工費用為萬元，要使該工程的施工費用最低，甲，乙兩隊需各做多少天？最低費用為多少？10．（2023·貴州）運輸公司要把120噸物資從A地運往B地，有甲、乙、丙三種車型供選擇，每種型號的車輛的運載量和運費如表所示．車型甲乙丙運載量（噸/輛）5810運費（元/輛）450600700解答下列問題：（假設(shè)每輛車均滿載）(1)若全部物資僅用甲、乙型車一次運完，需運費9600元，則甲、乙型車分別需要多少輛？(2)若用甲、乙、丙型車共14輛同時參與運送，且一次運完全部物資，其中甲型車有2輛，則乙、丙型車分別需要多少輛？此時的總運費是多少？11．（2023·重慶）某商店要購進(jìn)A、B兩種型號的文具，通過市場調(diào)研得知：A種型號文具的單價比B種文具的單價多100元，且用22500元購買A種型號文具的數(shù)量是用10000元購買B種文具的數(shù)量的1.5倍．(1)求A、B兩種型號文具的單價分別為多少？(2)學(xué)校計劃用不超過10000元的資金購買A、B兩種文具共40套，為使購買的A種型號的文具盡可能多，請設(shè)計出購買方案．12．（2023·四川）某商場用5萬元購進(jìn)一批襯衫，很快就銷售一空，于是商場打算再購進(jìn)一批相同的襯衫銷售，由于該襯衫暢銷，導(dǎo)致每件襯衫的進(jìn)價漲了10元，所以商場6萬元購買的襯衫與上次數(shù)量一樣多．(1)每件襯衫原來的進(jìn)價是多少元？(2)根據(jù)第二次的進(jìn)價，當(dāng)銷售單價是100元時，每天的銷售量是50件，而銷售單價每降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價不得低于成本，為了盡可能讓利給顧客，商場決定降價出售．要使每天的銷售利潤為3000元，那么銷售單價應(yīng)定為多少元？1．（2023·河北）《九章算術(shù)》中記載：今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數(shù)、物價各幾何？譯文：今有人合伙買東西，每人出8錢，會多3錢，每人出7錢，又會差4錢，問人數(shù)、物價各是多少？設(shè)合伙人有x人，物價為y錢，則可列方程組為（）A． B．C． D．2．（2024·湖南常德·一模）如圖，有一張長，寬的矩形紙板，將紙板四個角各剪去一個邊長為的正方形，然后將四周突出部分折起，可制成一個無蓋長方體紙盒，要使制成紙盒的底面積是原來矩形紙板面積的，則x的值為．3．新冠肺炎傳染性很強，曾有2人同時患上新冠肺炎，并且每人每天平均傳染x人，若經(jīng)過兩天傳染后就有128人患上了新冠肺炎，則x的值為___________．4．如圖，，．，點在線段上以1的速度由點向點運動，同時，點在線段上由點向點運動．設(shè)運動時間為（），則當(dāng)點的運動速度為時，與有可能全等．5．（2024·重慶·一模）某地計劃修建一條長1080米的健身步道，由甲、乙兩個施工隊合作完成．已知乙施工隊每天修建的長度比甲施工隊每天修建的長度多，若乙施工隊單獨修建這項工程，那么他比甲施工隊單獨修建這項工程提前3天完成．(1)求甲、乙兩施工隊每天各修建多少米？(2)若甲施工隊每天的修建費用為13000元，乙施工隊每天的修建費用為15000元，實際修建時，先由甲施工隊單獨修建若干天，為了盡快完成工程，后請乙施工隊加入，甲、乙施工隊共同修建，乙工作隊恰好工作3天完成修建任務(wù)，求共需修建費用多少元？6．（2024·廣東惠州·一模）廣東百千萬高質(zhì)量發(fā)展工程預(yù)計到2025年將實現(xiàn)縣域經(jīng)濟(jì)發(fā)展加快，鄉(xiāng)村振興取得新成效．某鄉(xiāng)村龍眼上市，先后兩次共摘龍眼21噸，第一次賣出龍眼的價格為萬元/噸；因龍眼大量上市，價格下跌，第二次賣出龍眼的價格為萬元/噸，兩次龍眼共賣了9萬元．(1)求兩次各摘龍眼多少噸？(2)由于龍眼放置時間短，村民把龍眼加工成桂圓肉和龍眼干進(jìn)行銷售，預(yù)計還能摘20噸，若1噸龍眼可加工成桂圓肉噸或龍眼干噸，桂圓肉和龍眼干的銷售價格分別是10萬元/噸和3萬元/噸，若全部的銷售額不少于36萬元，則至少需要把多少噸龍眼加工成桂圓肉？7．小明和爸爸同時從家騎自行車去圖書館，爸爸先以150米/分的速度騎行一段時間，休息了5分鐘，再以米/分的速度到達(dá)圖書館，小明始終以同一速度騎行，兩人行駛的路程（米）與時間（分）的關(guān)系如圖所示，請結(jié)合圖象，解答下列問題：(1)___________分，___________分，___________米/分：(2)若小明的速度是120米/分，小明在途中與爸爸第二次相遇的時間是___________分，此時距圖書館的距離是___________米：(3)在（2）的條件下，爸爸自第二次出發(fā)至到達(dá)圖書館前，與小明相距100米的時間是___________分．8．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）某中學(xué)為綠化美麗校園，營造溫馨環(huán)境，計劃購進(jìn)甲、乙兩種規(guī)格的花架放置新購進(jìn)的綠植，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若購買甲種花架10個、乙種花架8個，共需資金1584元；若購買甲種花架5個，乙種花架12個，共需資金1656元．(1)甲、乙兩種花架每個的價格分別是多少元？(2)若該校計劃購進(jìn)這兩種規(guī)格的花架共28個，且乙種花架的數(shù)量不少于10個，設(shè)購買這批花架所需費用為w元，甲種花架購買a個，求w與a之間的函數(shù)關(guān)系式，并設(shè)計一種使費用最少的購買方案，寫出最少費用．9．某中學(xué)為了讓學(xué)生體驗農(nóng)耕勞動，開辟了一處耕種園，需要采購一批菜苗開展種植活動．據(jù)了解，市場上每捆A種菜苗的價格是菜苗基地的倍，用300元在市場上購買的A種菜苗比在菜苗基地購買的少3捆．(1)求菜苗基地每捆A種菜苗的價格；(2)菜苗基地每捆B種菜苗的價格是30元．學(xué)校決定在菜苗基地購買A，B兩種菜苗共100捆，且A種菜苗的捆數(shù)不超過B種菜苗的捆數(shù)．菜苗基地為支持該校活動，對A，B兩種菜苗均提供九折優(yōu)惠．求本次購買最少花費多少錢．10．（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測）某水果店老板市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，口感無敵的無核沃柑和面甜多汁的羅曼西紅柿，物美價廉，走紅市場，每斤羅曼西紅柿比無核沃柑進(jìn)價多元，用元購進(jìn)羅曼西紅柿的數(shù)量是用元購進(jìn)