考點(diǎn)05 反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)（解析版）

考點(diǎn)五反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)整合一、反比例函數(shù)的概念1．反比例函數(shù)的概念一般地，函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）叫做反比例函數(shù)．反比例函數(shù)的解析式也可以寫成的形式．自變量x的取值范圍是x≠0的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實(shí)數(shù)．2．反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k0）中x，y的取值范圍反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）的自變量x的取值范圍是不等于0的任意實(shí)數(shù)，函數(shù)值y的取值范圍也是非零實(shí)數(shù)．二、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)1．反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）圖象：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函數(shù)中自變量x≠0，函數(shù)y≠0，所以，它的圖象與x軸、y軸都沒(méi)有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無(wú)限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸．（2）性質(zhì)：當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小．當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．表達(dá)式（k是常數(shù)，k≠0）kk>0k<0大致圖象所在象限第一、三象限第二、四象限增減性在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大2．反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸為直線y=x和y=-x，對(duì)稱中心為原點(diǎn)．3．注意（1）畫反比例函數(shù)圖象應(yīng)多取一些點(diǎn)，描點(diǎn)越多，圖象越準(zhǔn)確，連線時(shí)，要注意用平滑的曲線連接各點(diǎn)．（2）隨著|x|的增大，雙曲線逐漸向坐標(biāo)軸靠近，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交，因?yàn)榉幢壤瘮?shù)中x≠0且y≠0．（3）反比例函數(shù)的圖象不是連續(xù)的，因此在談到反比例函數(shù)的增減性時(shí)，都是在各自象限內(nèi)的增減情況．當(dāng)k>0時(shí)，在每一象限（第一、三象限）內(nèi)y隨x的增大而減小，但不能籠統(tǒng)地說(shuō)當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而減?。瑯樱?dāng)k<0時(shí)，也不能籠統(tǒng)地說(shuō)y隨x的增大而增大．三、反比例函數(shù)解析式的確定1．待定系數(shù)法確定解析式的方法仍是待定系數(shù)法，由于在反比例函數(shù)中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要一對(duì)對(duì)應(yīng)值或圖象上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式．2．待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟（1）設(shè)反比例函數(shù)解析式為（k≠0）；（2）把已知一對(duì)x，y的值代入解析式，得到一個(gè)關(guān)于待定系數(shù)k的方程；（3）解這個(gè)方程求出待定系數(shù)k；（4）將所求得的待定系數(shù)k的值代回所設(shè)的函數(shù)解析式．四、反比例函數(shù)中|k|的幾何意義1．反比例函數(shù)圖象中有關(guān)圖形的面積2．涉及三角形的面積型當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)結(jié)合時(shí)，可通過(guò)面積作和或作差的形式來(lái)求解．（1）正比例函數(shù)與一次函數(shù)所圍成的三角形面積.如圖①，S△ABC=2S△ACO=|k|；（2）如圖②，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于A、B兩點(diǎn)，且一次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)C，則S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；（3）如圖③，已知反比例函數(shù)的圖象上的兩點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為，，C為AB延長(zhǎng)線與x軸的交點(diǎn)，則S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．五、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合1．涉及自變量取值范圍型當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交時(shí)，聯(lián)立兩個(gè)解析式，構(gòu)造方程組，然后求出交點(diǎn)坐標(biāo)．針對(duì)時(shí)自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數(shù)的圖象高于反比例函數(shù)圖象的部分所對(duì)應(yīng)的x的范圍.例如，如下圖，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為或；同理，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為或．2．求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)（1）從圖象上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)由k值的符號(hào)來(lái)決定.①k值同號(hào)，兩個(gè)函數(shù)必有兩個(gè)交點(diǎn)；②k值異號(hào)，兩個(gè)函數(shù)可能無(wú)交點(diǎn)，可能有一個(gè)交點(diǎn)，也可能有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）從計(jì)算上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)主要取決于兩函數(shù)所組成的方程組的解的情況．考向一反比例函數(shù)的定義1．反比例函數(shù)的表達(dá)式中，等號(hào)左邊是函數(shù)值y，等號(hào)右邊是關(guān)于自變量x的分式，分子是不為零的常數(shù)k，分母不能是多項(xiàng)式，只能是x的一次單項(xiàng)式．2．反比例函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：①k≠0；②以分式形式呈現(xiàn)；③在分母中x的指數(shù)為-1典例引領(lǐng)1．下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的定義，一般地，形如的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，據(jù)此可得答案．【詳解】解：A、，y是的反比例函數(shù)，不符合題意；B、，，y是x的反比例函數(shù)，符合題意；C、，y不是x的反比例函數(shù)，不符合題意；D、，y不是x的反比例函數(shù)，不符合題意；故選：B．2．下列函數(shù)中，是反比例函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了反比例函數(shù)，熟記函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)反比例函數(shù)的定義對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可解答．【詳解】解：A、是反比例函數(shù)，故本選項(xiàng)正確．B、是一次函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．C、是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．D、是一次函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：A．3．已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)與），則的值為（

）A． B．4 C． D．8【答案】B【分析】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，根據(jù)條件求出反比例函數(shù)解析式的比例系數(shù)k的值，代入，求出m即可．【詳解】解：設(shè)反比例函數(shù)解析式為：，代入點(diǎn)，解得：，代入，解得：，故選B．變式拓展4．若函數(shù)是反比例函數(shù)，則．【答案】【分析】本題考查反比例函數(shù)的定義，掌握反比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)反比例函數(shù)的定義求解即可．【詳解】∵函數(shù)為反比例函數(shù)，∴且．解得．故答案是：．5．已知是反比例函數(shù)，則．【答案】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的定義，根據(jù)反比例函數(shù)的定義得出，，熟練掌握反比例函數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：是反比例函數(shù)，，，解得：，故答案為：．6．如果點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，那么．【答案】【分析】本題考查了待定系數(shù)法求解反比例函數(shù)解析式．把代入函數(shù)即可求解．【詳解】解：點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，，，故答案為：．7．若是關(guān)于的反比例函數(shù)，則常數(shù)．【答案】2【分析】此題主要考查了反比例函數(shù)的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵．直接利用反比例函數(shù)的定義分析得出答案．【詳解】解：∵函數(shù)是關(guān)于的反比例函數(shù)，解得：．故答案為：2．考向二反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)的圖象在第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，曲線從左向右下降，也就是在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。?dāng)k<0時(shí)，函數(shù)的圖象在第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，曲線從左向右上升，也就是在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．雙曲線是由兩個(gè)分支組成的，一般不說(shuō)兩個(gè)分支經(jīng)過(guò)第一、三象限（或第二、四象限），而說(shuō)圖象的兩個(gè)分支分別在第一、三象限（或第二、四象限）．典例引領(lǐng)1．我們知道函數(shù)的圖象可以由反比例函數(shù)的圖象左右平移得到，下列關(guān)于的圖象的性質(zhì)：①的圖象可以由的圖象向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到；②的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；③的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；④若，根據(jù)圖象可知，的解集是．其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．①②④【答案】B【分析】①由平移變函數(shù)關(guān)系式的規(guī)律“左加右減”，即可判斷；②由的圖象關(guān)于對(duì)稱，即可判斷；③由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，即可判斷；④畫出圖象，結(jié)合圖象，即可求解．【詳解】解：①的圖象可以由的圖象向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到，結(jié)論錯(cuò)誤；②的圖象關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；結(jié)論正確；③的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；結(jié)論正確；④如圖，根據(jù)圖象可知，的解集是；結(jié)論錯(cuò)誤；正確的有②③；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象與幾何變換，掌握性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．2．如圖，點(diǎn)和點(diǎn)是反比例函數(shù)的一個(gè)分支上的兩點(diǎn)，且點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，則下列說(shuō)法中，不正確的是（

）A．該反比例函數(shù)解析式B．矩形的面積為2C．該反比例函數(shù)的另一個(gè)分支在第三象限，且y隨x的增大而增大D．b的取值范圍是【答案】C【分析】本題考查的是反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求解反比例函數(shù)的解析式可判斷A，利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)可判斷B，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可判斷C，D，從而可得答案．【詳解】解：∵點(diǎn)和點(diǎn)是反比例函數(shù)的一個(gè)分支上的兩點(diǎn)，∴，∴反比例函數(shù)，故A不符合題意；∴矩形的面積為2，故B不符合題意；∵該反比例函數(shù)的另一個(gè)分支在第三象限，且y隨x的增大而減小

∴C符合題意；∵點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，∴b的取值范圍是，故D不符合題意；故選C3．點(diǎn)，，都在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答．先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷出，，的大小關(guān)系，本題得以解決．【詳解】解：∵反比例函數(shù)，∴函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于二、四象限，且在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．∵點(diǎn)，，都在反比例函數(shù)的圖象上，∵，∴，故選：C．4．反比例函數(shù)的圖象在每個(gè)象限內(nèi)，函數(shù)隨的增大而減小，則的值可以()A．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)；由反比例函數(shù)的性質(zhì)列出不等式，解出的范圍，即可判斷．【詳解】解：根據(jù)題意，，解得，∴滿足題意，故選：D．變式拓展5．已知點(diǎn)，，都在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了反比例函數(shù)的增減性，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)一、三象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；反之經(jīng)過(guò)二、四象限，y隨x的增大而增大．據(jù)此即可解答．【詳解】解：∵，∴反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)一、三象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，∴，在第三象限，在第一象限，∴，故選：D．6．當(dāng)反比例函數(shù)的自變量滿足時(shí)，函數(shù)值滿足，則的值為（

）A． B．或2 C．或 D．2或【答案】A【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)；顯然；由知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；由此可求得k的值．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，有，則；∵當(dāng)時(shí)，有，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴；即；故選：A．二、填空題7．在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)原點(diǎn)的直線與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象的中心對(duì)稱性．反比例函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形，則經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線的兩個(gè)交點(diǎn)一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，據(jù)此求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，知點(diǎn)A與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是，∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：．三、解答題8．小明在實(shí)驗(yàn)課上做了一個(gè)試驗(yàn)．如圖，在儀器左邊托盤A（固定）中放置一個(gè)物體，在右邊托盤（可左右移動(dòng)）中放置一個(gè)裝水的容器，容器的質(zhì)量為．在容器中加入一定質(zhì)量的水，可以使儀器左右平衡．改變托盤與點(diǎn)的距離，記錄容器中加入的水的質(zhì)量，得到下表：托盤與點(diǎn)的距離3025201510容器與水的總質(zhì)量1012152030加入的水的質(zhì)量57101525把上表中的與各組對(duì)應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出這些點(diǎn)，并用光滑的曲線連接起來(lái)，得到如圖所示的關(guān)于的函數(shù)圖象．(1)請(qǐng)?jiān)谠撈矫嬷苯亲鴺?biāo)系中作出關(guān)于的函數(shù)圖象；(2)觀察函數(shù)圖象，并結(jié)合表中的數(shù)據(jù)：①猜測(cè)與之間的函數(shù)關(guān)系，并求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；②求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；③當(dāng)時(shí)，隨的增大而______（填“增大”或“減小”），隨的增大而______（填“增大”或“減小”），的圖象可以由的圖象向______（填“上”或“下”）平移得到．(3)若在容器中加入的水的質(zhì)量滿足，求托盤與點(diǎn)的距離的取值范圍．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①是的反比例函數(shù)，；②；③減小，減小，下；(3)【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)及畫圖等．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)圖象的畫法，反比例函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象的平移．（1）將平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)用平滑曲線連接即可；（2）①觀察表格數(shù)據(jù)可知，是x的反比例函數(shù)，設(shè)，把代入計(jì)算，得到，即可；②根據(jù)與x成反比例函數(shù)，設(shè)，即可得解；③根據(jù)圖象上函數(shù)值隨自變量的變化情況作答即可；（3）把代入計(jì)算即可．【詳解】（1）解：作出關(guān)于的函數(shù)圖象如下：（2）①觀察表格可知，是的反比例函數(shù)，設(shè)，把代入得：，∴，∴關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式是；②∵，∴；∴；③觀察圖象可得，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，隨的增大而減小，的圖象可以由的圖象向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到；故答案為：減小，減小，下；（3）∵，，∴，∴，∴．考向三反比例函數(shù)解析式的確定1．反比例函數(shù)的解析式（k≠0）中，只有一個(gè)待定系數(shù)k，確定了k值，也就確定了反比例函數(shù)，因此要確定反比例函數(shù)的解析式，只需給出一對(duì)x，y的對(duì)應(yīng)值或圖象上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入中即可．2．確定點(diǎn)是否在反比例函數(shù)圖象上的方法：（1）把點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入解析式，求出y的值，若所求值等于點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則點(diǎn)在圖象上；若所求值不等于點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則點(diǎn)不在圖象上．（2）把點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)相乘，若乘積等于k，則點(diǎn)在圖象上，若乘積不等于k，則點(diǎn)不在圖象上．典例引領(lǐng)1．如圖，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，將該函數(shù)圖像向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到一條新的曲線，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為．若圖中陰影部分的面積為9，則的值為．【答案】30【分析】此題主要考查了平移的性質(zhì)和反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，得出點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．利用平行四邊形的面積公式得出a的值，進(jìn)而利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的性質(zhì)得出的值．【詳解】∵將該函數(shù)圖像向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到一條新的曲線，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，圖中陰影部分的面積為9，，∴，，故答案為：．2．如圖，矩形的邊與y軸平行，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為，，反比例函數(shù)的圖象同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A與點(diǎn)C，則k的值為．【答案】【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)及待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，根據(jù)矩形的邊與y軸平行，，，可得A、C坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)A、C，可得關(guān)于m的方程，即可求出m的值，進(jìn)而可求出k值．正確表示出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵矩形的邊與y軸平行，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為，，∴，，∵反比例函數(shù)的圖象同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A與點(diǎn)C，∴，解得，∴．故答案為：．3．如圖，正方形的頂點(diǎn)A，B在x軸上，點(diǎn)，正方形的對(duì)稱中心為點(diǎn)M．已知反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，則該反比例函數(shù)的表達(dá)式為．【答案】【分析】本題主要考查了求反比例函數(shù)解析式、正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，確定點(diǎn)M的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)坐標(biāo)與圖形得到，然后根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式確定點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法即可解答．【詳解】解：∵正方形的頂點(diǎn)A，B在x軸上，點(diǎn)，∴，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，即，∴，即，∴．故答案為．4．如圖所示，設(shè)C為反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，且長(zhǎng)方形的面積為5，則這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為．【答案】【分析】本題考查反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)圖像和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)反比例函數(shù)的表達(dá)式可設(shè)C的坐標(biāo)為，然后根據(jù)C點(diǎn)橫縱坐標(biāo)乘積的絕對(duì)值等于長(zhǎng)方形的面積即可求得a的值，則可寫出反比例函數(shù)的解析式．【詳解】解：由題意設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積為5，所以有，解得：所以該反比例函數(shù)的解析式是：．故答案為：．變式拓展5．已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且函數(shù)圖象過(guò)第一象限的兩點(diǎn)，，若，則，的取值范圍為．【答案】5【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解一元一次不等式（組）．由題意知，，計(jì)算求解即可；由題意知，反比例函數(shù)在第一象限，隨著的增大而減小，由，可得，計(jì)算求解并和綜合求取值范圍即可．【詳解】（1）解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，解得，，由題意知，反比例函數(shù)在第一象限，隨著的增大而減小，∵，∴，解得，，∵，∴，∴的取值范圍為．故答案為：5；．6．已知是關(guān)于的反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．則這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為．【答案】【分析】本題主要考查了求反比例函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法．【詳解】解：設(shè)這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為，∵時(shí)，，∴，∴這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為．故答案為：．7．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如圖，矩形的點(diǎn)，在軸正半軸上，是的中點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)．若，，，則的值為．【答案】【分析】利用反比例函數(shù)圖像上的坐標(biāo)特點(diǎn)，得出，進(jìn)而求出的值，即可得出答案．【詳解】解：∵是矩形，∴,∵，為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，設(shè)，則，∵、都在反比例函數(shù)圖像上，∴，即，解得：，則，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，求反比函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出各點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，連接，過(guò)A點(diǎn)作雙曲線交線段于點(diǎn)D（不與點(diǎn)B、C重合），已知，若，則a的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及解不等式．先求出雙曲線解析式，由題意可用a表示出D點(diǎn)坐標(biāo)．即可求出和的長(zhǎng)．再由線段與雙曲線有交點(diǎn)且與點(diǎn)B、C不重合和可列出不等式，解出不等式即可求出a的取值范圍．【詳解】解：由題意可知點(diǎn)A在雙曲線上，∴將點(diǎn)A坐標(biāo)代入雙曲線解析式得：，解得：．即雙曲線解析式為，∵，，∴軸，∴D點(diǎn)縱坐標(biāo)為a，將D點(diǎn)縱坐標(biāo)代入雙曲線解析式得：，即，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為．∵線段與雙曲線有交點(diǎn)且與點(diǎn)B、C不重合，∴，解得：．∵，，且．∴．∴．綜上可知．故答案為：．考向四反比例函數(shù)中k的幾何意義三角形的面積與k的關(guān)系（1）因?yàn)榉幢壤瘮?shù)中的k有正負(fù)之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面積時(shí)，都應(yīng)加上絕對(duì)值符號(hào)．（2）若三角形的面積為|k|，滿足條件的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為原點(diǎn)，反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)及過(guò)此點(diǎn)向坐標(biāo)軸所作垂線的垂足．典例引領(lǐng)1．如圖，反比例函數(shù)圖象過(guò)第二象限內(nèi)一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P的直線分別交x軸，y軸于點(diǎn)A，B，軸于點(diǎn)C，軸于點(diǎn)D，若，則k的值為（）A． B．6 C． D．10【答案】C【分析】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)相似三角形得出是解題的關(guān)鍵．利用與相似即可解決問(wèn)題．【詳解】解：軸，軸，，軸，，，∴．又，，即．又∵點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上，，則，又∵反比例函數(shù)的一支位于第二象限，，．故選：C．二、填空題2．如圖，面積為的的斜邊在軸上，，反比例函數(shù)圖象恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為．【答案】【分析】本題考查的是反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，三角形相似的判定和性質(zhì)，求得的面積是是解答此題的關(guān)鍵．作于，根據(jù)角的直角三角形的性質(zhì)得出，然后通過(guò)證得，求得的面積，然后根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義即可求得的值．【詳解】解：作于，

∵中，，∴，∵，，∴，∴，∴，∵||，∴||，∵反比例函數(shù)圖象在二、四象限，∴，故選:．3．如圖，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，過(guò)點(diǎn)作軸，點(diǎn)在軸正半軸上，若的面積為，則的值為．【答案】【分析】此題主要考查了反比例函數(shù)的圖象，反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象，理解反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)軸，得和關(guān)于邊上的高相等，即，然后再根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義得，由此可得的值．【詳解】解：連接，如圖所示：軸，和關(guān)于邊上的高相等，，根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義得：，，反比例函數(shù)的圖象在第二象限，．故答案為：變式拓展4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為的正方形的兩條鄰邊，分別在軸正半軸和軸正半軸上，點(diǎn)為正方形的中心，反比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)且交邊于點(diǎn)，連接，．（1）用含的代數(shù)式表示的值為（2）若，則的值為【答案】【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖像上坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，熟練掌握反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意設(shè)：，則，得到，代入反比例函數(shù)，得到答案．（2）作于點(diǎn)，得到，再由，利用梯形面積公式，求出，由此得到答案．【詳解】解：（1）根據(jù)題意設(shè)：，則，點(diǎn)為正方形的中心，，反比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，，故答案為：．（2）根據(jù)題意，如圖，作于點(diǎn)，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，反比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，，，，，即，，，故答案為：．三、解答題5．已知反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，與另一個(gè)正比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限．若四邊形的面積為24，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】或【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，平行四邊形的判定與性質(zhì)；由反比例函數(shù)的對(duì)稱性得四邊形是平行四邊形，由此得；設(shè)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)、作軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)、，由，分兩種情況即可求得m，進(jìn)而求得點(diǎn)C的坐標(biāo)．【詳解】解：根據(jù)對(duì)稱性，，，∴四邊形是平行四邊形，∴，設(shè)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)、作軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)、，如圖，∵點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖象上，∴，當(dāng)時(shí)，則，∴，即，解得(舍)或，∴點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，則，∴，即，解得(舍)或，∴點(diǎn)．綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰三角形的底邊在軸的正半軸上，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，若，的面積為，求的值．【答案】【分析】本題考查了反比例函數(shù)值的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的縱橫坐標(biāo)之積相等．作軸，垂足為點(diǎn)，連接，利用相似得到三角形面積，根據(jù)線段之比得到三角形的面積，兩個(gè)面積之和為絕對(duì)值的一半即可求出值．【詳解】解：作軸，垂足為點(diǎn)，連接，，軸，，，，，∵，，，，，，，，反比例函數(shù)圖象在第一象限，．7．經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，且的面積為5．(1)求和的値；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)值的取值范圍．【答案】(1)，；(2)．【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，點(diǎn)在圖象上，點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足圖象的解析式，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形的面積公式先得到m的值，然后把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，可求出k的值；（2）求出時(shí)，y的值，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求解．【詳解】（1）解：∵，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∴，，∴，解得，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為．把代入，得；（2）由（1），得，∴當(dāng)時(shí)，．∵當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)的的圖象在第一象限，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y的取值范圍為．考向五反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合的主要題型：（1）利用k值與圖象的位置的關(guān)系，綜合確定系數(shù)符號(hào)或圖象位置；（2）已知直線與雙曲線表達(dá)式求交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）用待定系數(shù)法確定直線與雙曲線的表達(dá)式；（4）應(yīng)用函數(shù)圖象性質(zhì)比較一次函數(shù)值與反比例函數(shù)值的大小等．解題時(shí)，一定要靈活運(yùn)用一次函數(shù)與反比例函數(shù)的知識(shí)，并結(jié)合圖象分析、解答問(wèn)題．典例引領(lǐng)1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)A作軸，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)D，與直線交于點(diǎn)E．

（1）若，，則；（2）若，則b與k的數(shù)量關(guān)系是．【答案】1【分析】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，利用圖象中各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．（1）先分別求解A，B，C，D，E的坐標(biāo)，再計(jì)算即可；（2）先求出A坐標(biāo)，可以得到C的坐標(biāo)，由，可以得E的坐標(biāo)，把E的坐標(biāo)代入直線即可得出答案．【詳解】解：（1）∵，，∴，，當(dāng)，，當(dāng)，，∴，，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，則，∴，∴；故答案為：1（2）∵，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，，∵軸，且點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∵，軸，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，把代入得：，解得：．故答案為：．2．如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，若，則的值為．【答案】12【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，平行線分線段成比例定理，求反比例函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)．過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)F，求出，，得出，證明，得出，求出，積點(diǎn)F的坐標(biāo)為，把代入得：，得出，求出k的值即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)F，如圖所示：聯(lián)立，解得：，，∴，，∴，∵軸，軸，軸，∴，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為，把代入得：，∴，∴．故答案為：．二、解答題3．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，．(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式；(2)連接，求的面積；(3)請(qǐng)結(jié)合圖象直接寫出不等式的解集．【答案】(1)，y＝x＋1(2)(3)或【分析】本題考查用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．（1）根據(jù)反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的解析式；進(jìn)而求得A的坐標(biāo)，根據(jù)A、B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；（2）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式求解即可；（3）根據(jù)A、B的坐標(biāo)，結(jié)合圖象即可求得．【詳解】（1）解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，∴，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為，∵在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∵點(diǎn)，在一次函數(shù)的圖象上，∴，解得：，∴一次函數(shù)的表達(dá)式為．（2）解：如圖，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴，∴∴；（3）解：由圖象可知：不等式的解集為：或．4．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)設(shè)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包括，兩點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)作軸交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)反比例函數(shù)解析式為；一次函數(shù)解析式為；(2)點(diǎn)坐標(biāo)為．【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題以及利用二次函數(shù)的性質(zhì)求三角形面積最值．（1）先利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)解析式，再求得，利用待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)解析式；（2）設(shè)點(diǎn)為，點(diǎn)為，利用三角形面積公式列出關(guān)于的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，∴反比例函數(shù)解析式為，把點(diǎn)代入得，∴點(diǎn)，∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，，∴，解得：，∴一次函數(shù)解析式為；（2）解：由題意可設(shè)點(diǎn)為，點(diǎn)為，且，則，且，∴當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為．變式拓展5．已知點(diǎn)是一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；(2)求的面積；(3)觀察圖象，直接寫出不等式的解集．【答案】(1)，(2)(3)或【分析】（1）先把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，即可得到，再把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，即可求出，然后利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式；（2）先求出直線與x軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用進(jìn)行計(jì)算；（3）觀察函數(shù)圖象即可求得不等式的解集．【詳解】（1）解：∵在反比例函數(shù)的圖象上，∴反比例函數(shù)解析式為：將代入中，得：∴將，代入，得：解得：∴一次函數(shù)的解析式為：；（2）解：∵在中，令，則，∴，即（3）解：由圖象得，當(dāng)一次函數(shù)圖象位于反比例函數(shù)圖像上方時(shí)，有∴或．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩函數(shù)的解析式．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式．6．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)和，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；(2)若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，求的面積．【答案】(1)一次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)解析式(2)【分析】（1）利用點(diǎn)的坐標(biāo)，代入可求出反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出一次函數(shù)的解析式；（2）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)軸對(duì)稱變換得出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出，根據(jù)即可求解；【詳解】（1）解：將代入得，，反比例函數(shù)的關(guān)系式為．在反比例函數(shù)的圖象上，，，，將，代入，可得，解得，一次函數(shù)的解析式為；（2）解：在中，令，得，，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，，，；【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，軸對(duì)稱的性質(zhì)，以及利用圖象法求不等式的解集，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想．7．如圖，在等腰中，，，D為上一點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著方向運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B處停止．連接、，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x，的面積為y．(1)直接寫出y與x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出函數(shù)y的圖像，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；(3)圖2中已經(jīng)畫出在第一象限的圖像，根據(jù)函數(shù)圖像，直接寫出當(dāng)時(shí)，自變量x的取值范圍（保留一位小數(shù)）．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）分點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)、點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)兩種情況討論，分別根據(jù)三角形的面積公式求解即可；（2）先根據(jù)題意畫出圖像，再根據(jù)函數(shù)圖像得出函數(shù)的性質(zhì)即可；（3）根據(jù)函數(shù)圖像求解即可．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)H，在中，，∴，∴，即，∵,∴，當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)，即時(shí)，則；當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則，∵，即，∴，綜上，．（2）解：先列表如下：x048y060函數(shù)圖像如圖所示：由圖像可得，函數(shù)圖像有最大值為8．（3）解：根據(jù)函數(shù)圖像可得：當(dāng)時(shí)，自變量的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)圖像與性質(zhì)、求函數(shù)解析式、畫函數(shù)圖像、三角形面積、運(yùn)用函數(shù)圖像解不等式等知識(shí)點(diǎn)，求得函數(shù)解析式以及數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．8．如圖，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)．已知，．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)求的面積；(3)請(qǐng)結(jié)合圖象直接寫出當(dāng)，時(shí)自變量x的取值范圍．【答案】(1)反比例函數(shù)為，一次函數(shù)為.(2)(3)或【分析】本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、求與函數(shù)有關(guān)的圖形面積、根據(jù)圖象寫出自變量的取值范圍等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是“數(shù)形結(jié)合”思想在解題中的運(yùn)用．（1）將點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)直接代入反比例函數(shù)解析式，求得a值與m值，則點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)可知，再將這兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式，求得待定系數(shù)k與b，于是可得到答案．（2）利用一次函數(shù)的解析式求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用三角形面積公式可得到結(jié)果．（3）結(jié)合兩函數(shù)的圖像位置關(guān)系可寫出自變量x的取值范圍．【詳解】（1）解：∵在反比例函數(shù)上，∴．解得，（不合題意，應(yīng)舍去），將這兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入兩函數(shù)的解析式得：解得：反比例函數(shù)為，一次函數(shù)為．（2）令，則，解得．（3）結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)，或．9．如圖1，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)與軸交于點(diǎn)．(1)求a，k的值．(2)利用圖像信息，直接寫出不等式的解集(3)如圖2，直線過(guò)點(diǎn)，與反比例函數(shù)圖像交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．連接，求的面積．【答案】(1)，；(2)(3)9【分析】本題考查