2024秋高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末評(píng)估驗(yàn)收課堂演練含解析新人教A版選修1-1

PAGE8-章末評(píng)估驗(yàn)收(三)(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．若函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－f′(1)·x2－x，則f′(1)的值為()A．0B．2C．1D．－1解析：f′(x)＝x2－2f′(1)·x－1，則f′(1)＝12－2f′(1)·1－1，解得f′(1)＝0.答案：A2．曲線y＝f(x)＝x3－3x2＋1在點(diǎn)(2，－3)處的切線方程為()A．y＝－3x＋3 B．y＝－3x＋1C．y＝－3 D．x＝2解析：因?yàn)閥′＝f′(x)＝3x2－6x，則曲線y＝x3－3x2＋1在點(diǎn)(2，－3)處的切線的斜率k＝f′(2)＝3×22－6×2＝0，所以切線方程為y－(－3)＝0×(x－2)，即y＝－3.答案：C3．函數(shù)f(x)＝x3－3x＋1的單調(diào)遞減區(qū)間是()A．(1，2) B．(－1，1)C．(－∞，－1) D．(－∞，－1)，(1，＋∞)解析：f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＜0，可得－1＜x＜1.答案：B4．函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，在x＝－3時(shí)取得極值，則a等于()A．2 B．3 C．4 D．5解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3.由f(x)在x＝－3時(shí)取得極值，即f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，所以a＝5.答案：D5．若曲線y＝eq\f(1,x)在點(diǎn)P處的切線斜率為－4，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－2))解析：y′＝－eq\f(1,x2)，由－eq\f(1,x2)＝－4，得x2＝eq\f(1,4)，從而x＝±eq\f(1,2)，分別代入y＝eq\f(1,x)，得p點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2)).答案：B6．已知a<0，函數(shù)f(x)＝ax3＋eq\f(12,a)lnx，且f′(1)的最小值是－12，則實(shí)數(shù)a的值為()A．2 B．－2 C．4 D．－4解析：f′(x)＝3ax2＋eq\f(12,ax)，所以f′(1)＝3a＋eq\f(12,a)≥－12，即a＋eq\f(4,a)≥－4，又a<0，有a＋eq\f(4,a)≤－4，所以a＋eq\f(4,a)＝－4，故a＝－2.答案：B7．某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件20元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品．設(shè)該商品零售價(jià)定為P元，銷(xiāo)售量為Q件，且Q與P有如下關(guān)系：Q＝8300－170P－P2，則最大毛利潤(rùn)為(毛利潤(rùn)＝銷(xiāo)售收入－進(jìn)貨支出)()A．30元 B．60元C．28000元 D．23000元解析：設(shè)毛利潤(rùn)為L(zhǎng)(P)元，由題意知L(P)＝PQ－20Q＝Q(P－20)＝(8300－170P－P2)(P－20)＝－P3－150P2＋11700P－166000，所以L′(P)＝－3P2－300P＋11700.令L′(P)＝0，解得P＝30或P＝－130(舍去)．當(dāng)20≤P＜30時(shí)，L′(P)＞0，L(P)為增函數(shù)；當(dāng)P＞30時(shí)，L′(P)＞0，L(P)為減函數(shù)，故P＝30為L(zhǎng)(P)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，此時(shí)L(30)＝23000，即最大毛利潤(rùn)為23000元．答案：D8．已知f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，那么f(x)的圖象最有可能是圖中的()解析：因?yàn)閤∈(－∞，－2)時(shí)，f′(x)<0，所以f(x)為減函數(shù)；同理，f(x)在(－2，0)上為增函數(shù)，(0，＋∞)上為減函數(shù)．故A圖象符合．答案：A9．設(shè)f(x)，g(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù)，f′(x)，g′(x)分別為f(x)，g(x)的導(dǎo)函數(shù)，且f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，則當(dāng)a<x<b時(shí)，有()A．f(x)g(b)>f(b)g(x) B．f(x)g(a)>f(a)g(x)C．f(x)g(x)>f(b)g(b) D．f(x)g(x)>f(a)g(a)解析：因?yàn)閇f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋g′(x)·f(x)<0，所以函數(shù)y＝f(x)g(x)是減函數(shù)．所以當(dāng)a<x<b時(shí)，f(a)g(a)>f(x)g(x)>f(b)g(b)．故選C.答案：C10．對(duì)隨意的x∈R，函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在極值點(diǎn)的充要條件是()A．0≤a≤21 B．a(chǎn)＝0或a＝7C．a(chǎn)＜0或a＞21 D．a(chǎn)＝0或a＝21解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，令f′(x)＝0，即3x2＋2ax＋7a＝0，對(duì)于此方程，Δ＝4a2－84a，當(dāng)Δ≤0，即0≤a≤21時(shí)，f′(x)≥0恒成立，函數(shù)不存在極值點(diǎn)．答案：A11．若a＞0，b＞0，且函數(shù)f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1處有極值，則ab的最大值等于()A．2 B．3 C．6 D．9解析：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝12x2－2ax－2b，由函數(shù)f(x)在x＝1處有極值，可知函數(shù)f′(x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)值為0，即12－2a－2b＝0，所以a＋b＝6，由題意知a，b都是正實(shí)數(shù)，所以ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))eq\s\up12(2)＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時(shí)取到等號(hào)．答案：D12．設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f(－1)＝0，當(dāng)x>0時(shí)，xf′(x)－f(x)<0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是()A．(－∞，－1)∪(0，1)B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1，0)D．(0，1)∪(1，＋∞)解析：記函數(shù)g(x)＝eq\f(f（x）,x)，則g′(x)＝eq\f(xf′（x）－f（x）,x2).因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，xf′(x)－f(x)<0，故當(dāng)x>0時(shí)，g′(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)(x∈R)是奇函數(shù)，故函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，所以g(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，且g(－1)＝g(1)＝0.當(dāng)0<x<1時(shí)，g(x)>0，則f(x)>0；當(dāng)x<－1時(shí)，g(x)<0，則f(x)>0，綜上所述，使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(－∞，－1)∪(0，1)．答案：A二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．若曲線y＝xa＋1(a∈R)在點(diǎn)(1，2)處的切線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則a＝________．解析：由題意，知y′＝axa－1，故在點(diǎn)(1，2)處的切線的斜率a，又因?yàn)榍芯€過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以a＝eq\f(2－0,1－0)＝2.答案：214．函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x－1)(x≥2)的最大值為_(kāi)_______．解析：先利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，再進(jìn)一步求解函數(shù)的最大值．f′(x)＝eq\f(（x－1）－x,（x－1）2)＝－eq\f(1,（x－1）2)，當(dāng)x≥2時(shí)，f′(x)<0，所以f(x)在[2，＋∞)上是減函數(shù)，故f(x)max＝f(2)＝eq\f(2,2－1)＝2.答案：215．當(dāng)x∈[－1，2]時(shí)，x3－x2－x＜m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．解析：記f(x)＝x3－x2－x，所以f′(x)＝3x2－2x－1.令f′(x)＝0，得x＝－eq\f(1,3)或x＝1.又因?yàn)閒eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝eq\f(5,27)，f(2)＝2，f(－1)＝－1，f(1)＝－1，所以當(dāng)x∈[－1，2]時(shí)，(f(x))max＝2，所以m＞2.答案：(2，＋∞)16．函數(shù)f(x)＝ax3－3x在區(qū)間(－1，1)上為單調(diào)減函數(shù)，則a的取值范圍是________．解析：f′(x)＝3ax2－3，因?yàn)閒(x)在(－1，1)上為單調(diào)減函數(shù)，所以f′(x)≤0在(－1，1)上恒成立，即3ax2－3≤0在(－1，1)上恒成立，所以a≤eq\f(1,x2)，因?yàn)閤∈(－1，1)，所以a≤1.答案：a≤1三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f′(x)是奇函數(shù)．(1)求b，c的值；(2)求g(x)的單調(diào)區(qū)間．解：(1)因?yàn)閒(x)＝x3＋bx2＋cx，所以f′(x)＝3x2＋2bx＋c.從而g(x)＝f(x)－f′(x)＝x3＋bx2＋cx－(3x2＋2bx＋c)＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c.因?yàn)間(x)是一個(gè)奇函數(shù)，且x∈R，所以g(0)＝0，得c＝0.由奇函數(shù)的定義，得b＝3.(2)由(1)，知g(x)＝x3－6x，從而g′(x)＝3x2－6.令g′(x)>0，得x>eq\r(2)或x<－eq\r(2)；令g′(x)<0，得－eq\r(2)<x<eq\r(2).所以(－∞，－eq\r(2))和(eq\r(2)，＋∞)是函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，(－eq\r(2)，eq\r(2))是函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．18．(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲線y＝f(x)過(guò)P(1，0)，且在P點(diǎn)處的切線斜率為2.(1)求a，b的值；(2)證明：f(x)≤2x－2.(1)解：f′(x)＝1＋2ax＋eq\f(b,x).由已知條件得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（1）＝0，,f′（1）＝2，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋a＝0，,1＋2a＋b＝2.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝3.))(2)證明：因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，由(1)知f(x)＝x－x2＋3lnx.設(shè)g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3lnx，則g′(x)＝－1－2x＋eq\f(3,x)＝－eq\f(（x－1）（2x＋3）,x).當(dāng)0<x<1時(shí)，g′(x)>0，當(dāng)x>1時(shí)，g′(x)<0.所以g(x)在(0，1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減．而g(1)＝0，故當(dāng)x>0時(shí)，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.19．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)是否存在a，使f(x)在(－2，3)上為減函數(shù)？若存在，求出a的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：f′(x)＝ex－a，(1)若a≤0，則f′(x)＝ex－a≥0，即f(x)在R上遞增，若a>0，則由ex－a≥0，得ex≥a，所以x≥lna.因此當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是[lna，＋∞]．(2)因?yàn)閒′(x)＝ex－a≤0在(－2，3)上恒成立，所以a≥ex在x∈(－2，3)上恒成立．又因?yàn)椋?<x<3，所以e－2<ex<e3，只需a≥e3.當(dāng)a＝e3時(shí)，f′(x)＝ex－e3，在x∈(－2，3)上f′(x)<0，即f(x)在(－2，3)上為減函數(shù)，所以a≥e3.故存在實(shí)數(shù)a∈[e3，＋∞)，使f(x)在(－2，3)上為減函數(shù)．20．(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)探討f(x)的極值．解：由已知，得f′(x)＝6x2－6(a－1)x＝6x[x－(a－1)]．令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝a－1.(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f′(x)＝6x2，由于f′(x)≥0恒成立，且只有x＝0時(shí)，f′(x)＝0，所以f(x)在R上單調(diào)遞增．當(dāng)a>1時(shí)，f′(x)＝6x[x－(a－1)]，f(x)與f′(x)隨x的改變狀況如下表：x(－∞，0)0(0，a－1)a－1(a－1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗1↘1－(a－1)3↗由上表可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，0)和(a－1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，a－1)．(2)由(1)，知當(dāng)a＝1時(shí)，函數(shù)f(x)沒(méi)有極值；當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)在x＝0處取得極大值f(0)＝1，在x＝a－1處取得微小值f(a－1)＝1－(a－1)3.21．(本小題滿分12分)某廠生產(chǎn)某種電子元件，假如生產(chǎn)出一件正品，那么可獲利200元；假如生產(chǎn)出一件次品，那么損失100元．已知該廠制造電子元件過(guò)程中，次品率p與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系是：p＝eq\f(3x,4x＋32)(x∈N*)．(1)求該廠的日盈利額T(單位：元)關(guān)于日產(chǎn)量x(單位：件)的函數(shù)；(2)為獲得最大盈利，該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定為多少件？解：(1)由題意，知次品率p＝日產(chǎn)次品數(shù)/日產(chǎn)量．若每天生產(chǎn)x件，則次品數(shù)為xp，正品數(shù)為x(1－p)．因?yàn)榇纹仿蕄＝eq\f(3x,4x＋32)，所以當(dāng)每天生產(chǎn)x件時(shí)，有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x·\f(3x,4x＋32)))件次品，有xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3x,4x＋32)))件正品．所以T＝200xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3x,4x＋32)))－100x·eq\f(3x,4x＋32)＝25·eq\f(64x－x2,x＋8)(x∈N*)．(2)由(1)，知T′＝－25·eq\f(（x＋32）（x－16）,（x＋8）2).由T′＝0，得x＝16或x＝－32(舍去)．當(dāng)0<x<16時(shí)，T′>0；當(dāng)x>16時(shí)，T′<0.所以當(dāng)x＝16時(shí)，T最大．故該廠的日產(chǎn)量定為16件，能獲得最大盈利．22．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－alnx－eq\f(1,3)(a∈R，a≠0)．(1)當(dāng)a＝3時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若對(duì)隨意的x∈[1，＋∞)，都有f(x)≥0成立，求a的取值范圍．解：(1)當(dāng)a＝3時(shí)，f(x)＝eq\f(1,3)x3－3lnx－eq\f(1,3)，f(1)＝0，所以f′(x