全國卷“超級全能生”2025屆高三數(shù)學(xué)1月聯(lián)考試題丙卷B文含解析

PAGE19-（全國卷）“超級全能生”2025屆高三數(shù)學(xué)1月聯(lián)考試題（丙卷）（B）文（含解析）一、選擇題（每小題5分）.1．已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿意（2+3i）z＝﹣1+i，則|z|＝（）A． B． C． D．2．已知集合A＝{2，4，6，7}，B＝{x∈N|log2（x﹣1）≤3}，則?BA的元素的個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．53．從裝有2個紅球與3個白球的口袋中任選2個球，那么得到的2個球顏色相同的概率是（）A． B． C． D．4．在某次數(shù)學(xué)測試中6名同學(xué)的成果分別為91，100，95，92，x，92，且91＜x＜95，x為正整數(shù)，若6名同學(xué)的數(shù)學(xué)成果的中位數(shù)與眾數(shù)相等，則這6名同學(xué)的數(shù)學(xué)成果的平均數(shù)是（）（結(jié)果保留一位小數(shù)）A．93.0 B．92.5 C．94.5 D．93.75．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a3，a7是方程x2﹣10x+9＝0的兩根，則a5＝（）A．3 B．4 C．5 D．66．已知函數(shù)f（x）＝的圖象如圖所示，則滿意解集為{x|﹣1＜x＜1}的不等式可能為（）A．f（x）≥log2（x+1） B．f（x）＞log2（x+1） C．f（x）≥log2（x+2） D．f（x）＞log2（x+2）7．已知變量x，y滿意約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z＝3x+2y的最小值為（）A．3 B．﹣5 C．﹣10 D．﹣208．如圖所示，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BC，D1D的中點，則異面直線EF與A1C1所成角的余弦值為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的圖象上最高點的坐標(biāo)為（，2），相鄰最低點的坐標(biāo)為（，﹣2），將函數(shù)f（x）的圖象向右平移m（m＞0）個單位長度后，得到函數(shù)g（x）的圖象，其圖象關(guān)于y軸對稱，則m的值可能為（）A． B． C． D．10．過雙曲線＝1（m＞0）的右焦點F作x軸的垂線與雙曲線的兩條漸近線分別交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，當(dāng)△ABO的面積取得最小值時，雙曲線的漸近線方程為（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x11．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且tanA＝﹣，a＝3，△ABC的面積為2，則△ABC的周長為（）A． B．10 C．1+ D．3+12．已知圓x2+y2＝4與x軸的交點分別為A，B，點P是直線l：y＝﹣x+6上的隨意一點，橢圓C以A，B為焦點且過點P，則橢圓C的離心率e的取值范圍為（）A．[，] B．（0，] C．[，] D．[，1）二、填空題（每小題5分）.13．曲線f（x）＝xex+3x﹣1在點（0，f（0））處的切線的斜截式方程為．14．已知＝（cosα，﹣sinα），＝（1，），且⊥，α∈（0，π），則α＝．15．已知cos（α+β）＝，sin（π﹣β）＝，且α，β∈（0，），則tan（α﹣）＝．16．已知函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，且對隨意的x都有f（x+）＝﹣f（x）成立，f（﹣2）＞1，f（17）＝，則實數(shù)a的取值范圍為．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答。第22，23題為選考題，考生依據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝1﹣an（n∈N*）．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）若bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．18．某商場隨機(jī)抽取在一年中7個月的月平均促銷費x（單位：萬元）與月平均利潤y（單位：萬元）作統(tǒng)計，如表：月份i1234567月平均促銷費x（萬元）10.81.31.80.91.21.4月平均利潤y（萬元）13.51115.319.211.716.517.8經(jīng)計算得，．（Ⅰ）求y關(guān)于x的線性回來方程（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；（Ⅱ）求（xi，yi）（i＝1，2，3，4，5，6，7）的相關(guān)系數(shù)r，并回答該商場的月利潤額與促銷費的相關(guān)關(guān)系如何？附：＝＝，＝﹣，r＝．19．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，A1D1的中點．（Ⅰ）求證：EF∥平面BC1D1；（Ⅱ）若正方體的棱長為2，求三棱錐D﹣BC1D1的體積．20．已知f（x）＝lnx+ax，a∈R．（Ⅰ）探討f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）若a＜﹣1，證明：f（x）＜﹣1．21．已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點在直線x﹣y﹣2＝0上．（Ⅰ）求拋物線C的方程；（Ⅱ）設(shè)P，M，N為拋物線C上的不同三點，點P（2，4），且PM⊥PN．求證：直線MN過定點（10，﹣4）．（二）選考題：共10分。請考生在第22，23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題記分，作答時，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑。[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程是（φ為參數(shù)）．以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線C2的極坐標(biāo)方程是ρsinθ＝．（Ⅰ）求曲線C1的極坐標(biāo)方程和直線C2的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）過點O的直線l與C1異于點O的交點為點A，與C2的交點為點B，求|OA|?|OB|的值．[選修4-5：不等式選講]23．（Ⅰ）若a，b∈R，且滿意＝3，證明：≥6；（Ⅱ）若a，b∈R，且滿意，證明：≥6．

參考答案一、選擇題（每小題5分）.1．已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿意（2+3i）z＝﹣1+i，則|z|＝（）A． B． C． D．解：因為（2+3i）z＝﹣1+i，所以，故．故選：A．2．已知集合A＝{2，4，6，7}，B＝{x∈N|log2（x﹣1）≤3}，則?BA的元素的個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5解：∵A＝{2，4，6，7}，B＝{x∈N|0＜x﹣1≤8}＝{x∈N|1＜x≤9}＝{2，3，4，5，6，7，8，9}，∴?BA＝{3，5，8，9}，∴?BA的元素個數(shù)為：4．故選：C．3．從裝有2個紅球與3個白球的口袋中任選2個球，那么得到的2個球顏色相同的概率是（）A． B． C． D．解：從2個紅球與3個白球的口袋中任選2個球的全部選法有＝10種等可能結(jié)果，得到的2個球顏色相同的狀況有＝4種結(jié)果，故P＝＝．故選：B．4．在某次數(shù)學(xué)測試中6名同學(xué)的成果分別為91，100，95，92，x，92，且91＜x＜95，x為正整數(shù)，若6名同學(xué)的數(shù)學(xué)成果的中位數(shù)與眾數(shù)相等，則這6名同學(xué)的數(shù)學(xué)成果的平均數(shù)是（）（結(jié)果保留一位小數(shù)）A．93.0 B．92.5 C．94.5 D．93.7解：將成果按從小到大排列為：91，92，92，95，100，又x的值必定在92，93，94之中，若x為92，則眾數(shù)為92，中位數(shù)也是92，符合題意；若x為93，則中位數(shù)是92.5，不行能與眾數(shù)92相等，不符合題意；若為94，則中位數(shù)為93，與眾數(shù)92不相等，不符合題意．故x為92，所以這6名同學(xué)的數(shù)學(xué)成果的平均數(shù)是為≈93.7．故選：D．5．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a3，a7是方程x2﹣10x+9＝0的兩根，則a5＝（）A．3 B．4 C．5 D．6解：因為數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a3，a7是方程x2﹣10x+9＝0的兩根，所以a3+a7＝2a5＝10，則a5＝5．故選：C．6．已知函數(shù)f（x）＝的圖象如圖所示，則滿意解集為{x|﹣1＜x＜1}的不等式可能為（）A．f（x）≥log2（x+1） B．f（x）＞log2（x+1） C．f（x）≥log2（x+2） D．f（x）＞log2（x+2）解：當(dāng)x＝0時，f（0）＝0+2＝a，解得a＝2，由滿意解集為{x|﹣1＜x＜1}，則只要將y＝log2x的圖象向左移一個單位即可，即不等式為f（x）＞log2（x+1），故選：B．7．已知變量x，y滿意約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z＝3x+2y的最小值為（）A．3 B．﹣5 C．﹣10 D．﹣20解：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得A（﹣4，﹣4），由z＝3x+2y，得y＝﹣，由圖可知，當(dāng)直線y＝﹣過A時，直線在y軸上的截距最小，z有最小值為﹣20．故選：D．8．如圖所示，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BC，D1D的中點，則異面直線EF與A1C1所成角的余弦值為（）A． B． C． D．解：取AB的中點O，連結(jié)OE，OF，AC，因為E為BC的中點，所以O(shè)E∥AC，又AC∥A1C1，所以O(shè)E∥A1C1，故∠FEO即為異面直線EF與A1C1所成的角，設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，則，，所以，在△EFO中，由余弦定理可得，＝，所以異面直線EF與A1C1所成角的余弦值為．故選：B．9．已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的圖象上最高點的坐標(biāo)為（，2），相鄰最低點的坐標(biāo)為（，﹣2），將函數(shù)f（x）的圖象向右平移m（m＞0）個單位長度后，得到函數(shù)g（x）的圖象，其圖象關(guān)于y軸對稱，則m的值可能為（）A． B． C． D．解：∵函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的圖象上最高點的坐標(biāo)為（，2），相鄰最低點的坐標(biāo)為（，﹣2），∴A＝2，?＝﹣，∴ω＝2，f（x）＝2sin（2x+φ）．結(jié)合五點法作圖，2×+φ＝，∴φ＝，故f（x）＝2sin（2x+）．將函數(shù)f（x）的圖象向右平移m（m＞0）個單位長度后，得到y(tǒng)＝2sin（2x+﹣2m）的圖象．再依據(jù)所得圖象關(guān)于y軸對稱，故所得函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，故﹣2m＝kπ+，k∈Z，即m＝﹣﹣，則m的值可能是，此時，k＝﹣1，故選：C．10．過雙曲線＝1（m＞0）的右焦點F作x軸的垂線與雙曲線的兩條漸近線分別交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，當(dāng)△ABO的面積取得最小值時，雙曲線的漸近線方程為（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x解：雙曲線＝1（m＞0）的右焦點F（，0），漸近線的方程為y＝±，令x＝，可得y＝±，則△ABO的面積為S＝??＝＝m+≥2，當(dāng)且僅當(dāng)m＝1時，上式取得等號．所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x．故選：C．11．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且tanA＝﹣，a＝3，△ABC的面積為2，則△ABC的周長為（）A． B．10 C．1+ D．3+解：因為tanA＝﹣，所以cosA＝﹣，sinA＝，因為△ABC的面積S＝＝＝2，則bc＝5，由余弦定理得，a2＝9＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣10+10×，故b+c＝，△ABC的周長為a+b+c＝3+．故選：D．12．已知圓x2+y2＝4與x軸的交點分別為A，B，點P是直線l：y＝﹣x+6上的隨意一點，橢圓C以A，B為焦點且過點P，則橢圓C的離心率e的取值范圍為（）A．[，] B．（0，] C．[，] D．[，1）解：圓x2+y2＝4與x軸的交點分別為A，B，點P是直線l：y＝﹣x+6上的隨意一點，橢圓C以A，B為焦點且過點P，可知A（﹣2，0），B（2，0），c＝2，P是直線l上的點，P到A、B兩點距離之和的最小值為：B關(guān)于直線的對稱性B′與A的距離，設(shè)B′（m，n），可得，解得n＝4，m＝6，所以B′（6，4），|AB′|＝＝4，所以橢圓的長軸長2a＝4，所以a的最小值為2，橢圓的離心率的最大值為：＝．橢圓C的離心率e的取值范圍為（0，]．故選：B．二、填空題（每小題5分）.13．曲線f（x）＝xex+3x﹣1在點（0，f（0））處的切線的斜截式方程為y＝4x﹣1．解：f（x）＝xex+3x﹣1的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝（x+1）ex+3，可得在點（0，f（0））處的切線的斜率為f′（0）＝4，切點為（0，﹣1），則切線的斜截式方程為y＝4x﹣1．故答案為：y＝4x﹣1．14．已知＝（cosα，﹣sinα），＝（1，），且⊥，α∈（0，π），則α＝．解：∵＝（cosα，﹣sinα），＝（1，），且⊥，∴?＝cosα﹣sinα＝0，故tanα＝，結(jié)合α∈（0，π），則α＝，故答案為：．15．已知cos（α+β）＝，sin（π﹣β）＝，且α，β∈（0，），則tan（α﹣）＝﹣．解：∵sin（π﹣β）＝，∴sinβ＝，又β∈（0，），∴cosβ＝，∵cos（α+β）＝，且α，β∈（0，），∴sin（α+β）＝，∴cosα＝cos[（α+β）﹣β]＝cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ＝×+×＝，∵α∈（0，），∴sinα＝＝，tanα＝＝，∴tan（α﹣）＝＝＝﹣．故答案為：﹣．16．已知函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，且對隨意的x都有f（x+）＝﹣f（x）成立，f（﹣2）＞1，f（17）＝，則實數(shù)a的取值范圍為（﹣，﹣）．解：依據(jù)題意，對隨意的x都有f（x+）＝﹣f（x）成立，則f（x+5）＝﹣f（x+）＝f（x），則有f（17）＝f（2+15）＝f（2）＝﹣f（﹣2），又由f（﹣2）＞1，則f（17）＝＝﹣f（﹣2）＜﹣1，則有＜﹣1，變形可得：＜0，解可得：﹣＜a＜﹣，即a的取值范圍為（﹣，﹣），故答案為：（﹣，﹣）．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答。第22，23題為選考題，考生依據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝1﹣an（n∈N*）．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）若bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．解：（Ⅰ）正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝1﹣an，①當(dāng)n＝1時，2a1＝1，解得，當(dāng)n≥2時，Sn﹣1＝1﹣an﹣1，②故①﹣②得：an＝an﹣1﹣an，整理得2an＝an﹣1，即（常數(shù)），所以數(shù)列{an}是以為首項，為公比的等比數(shù)列；所以（首項符合通項），故．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：bn＝＝n+2n，所以＝＝．18．某商場隨機(jī)抽取在一年中7個月的月平均促銷費x（單位：萬元）與月平均利潤y（單位：萬元）作統(tǒng)計，如表：月份i1234567月平均促銷費x（萬元）10.81.31.80.91.21.4月平均利潤y（萬元）13.51115.319.211.716.517.8經(jīng)計算得，．（Ⅰ）求y關(guān)于x的線性回來方程（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；（Ⅱ）求（xi，yi）（i＝1，2，3，4，5，6，7）的相關(guān)系數(shù)r，并回答該商場的月利潤額與促銷費的相關(guān)關(guān)系如何？附：＝＝，＝﹣，r＝．解：（Ⅰ）由題意可知，（1+0.8+1.3+1.8+0.9+1.2+1.4）＝1.2，，由公式可得，＝＝，故＝﹣＝15﹣8.57×1.2＝4.72，所以線性回來方程為＝8.57x+4.72；（Ⅱ）相關(guān)系數(shù)r＝＝＞0.75，故該商場的月利潤額與促銷費具有很強(qiáng)的相關(guān)性．19．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，A1D1的中點．（Ⅰ）求證：EF∥平面BC1D1；（Ⅱ）若正方體的棱長為2，求三棱錐D﹣BC1D1的體積．【解答】（Ⅰ）證明：取BC1的中點O，連結(jié)D1O，EO，因為E，O分別為BB1，BC1的中點，所以O(shè)E∥B1C1，且OE＝B1C1，又F為A1D1的中點，故D1F∥B1C1，且D1F＝B1C1，故OE∥D1F且OE＝D1F，所以四邊形D1FEO為平行四邊形，故EF∥D1O，又EF?平面BC1D1，D1O?平面BC1D1，所以EF∥平面BC1D1；（Ⅱ）解：正方體的棱長為2，所以，在正方體中，BC⊥平面CDD1C1，故BC為三棱錐B﹣DD1C1的高，所以，由等體積法可得，＝，所以三棱錐D﹣BC1D1的體積為．20．已知f（x）＝lnx+ax，a∈R．（Ⅰ）探討f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）若a＜﹣1，證明：f（x）＜﹣1．解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），由已知，f′（x）＝a+＝，①當(dāng)a≥0時，f′（x）≥0恒成立，此時f（x）在（0，+∞）．上單調(diào)遞增；②當(dāng)a＜0時，令f′（x）＞0恒，得x＜﹣，所以f（x）在（0，﹣）上單調(diào)遞增，在（﹣，+∞）上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)a≥0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)a＜0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，﹣），單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）a＜﹣1時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，﹣），單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣，+∞），∵a＜﹣1，∴﹣a＞1，∴l(xiāng)n（﹣a）＞0，﹣ln（﹣a）＜0，∴f（x）的最大值是f（﹣）＝ln（﹣）+a?（﹣）＝﹣ln（﹣a）﹣1＜﹣1，故若a＜﹣1，則f（x）＜﹣1．21．已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點在直線x﹣y﹣2＝0上．（Ⅰ）求拋物線C的方程；（Ⅱ）設(shè)P，M，N為拋物線C上的不同三點，點P（2，4），且PM⊥PN．求證：直線MN過定點（10，﹣4）．解：（Ⅰ）拋物線C的焦點為（，0），因為拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點在直線x﹣y﹣2＝0上，所以﹣0﹣2＝0，解得p＝4，所以拋物線的方程為y2＝8x．（Ⅱ）證明：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），直線MN的方程為x＝my+n，聯(lián)立，得y2﹣8my﹣8n＝0，所以y1y2＝﹣8n，y1+y2＝8m，所以x1x2＝（my1+n）（my2+n）＝m2y1y2+mn（y1+y2）+n2＝m2?（﹣8n）+mn?8m+n2＝n2，x1+x2＝（my1