黑龍江省綏化市安達七中2024-2025學年高一數(shù)學上學期期中試題含解析

PAGE18-黑龍江省綏化市安達七中2024-2025學年高一數(shù)學上學期期中試題（含解析）(考試時間:120分鐘試卷滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1.計算：（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】將真數(shù)化為的指數(shù)冪，然后利用對數(shù)的運算性質(zhì)可計算出所求代數(shù)式的值.【詳解】由對數(shù)運算知.故選：A.【點睛】本題考查對數(shù)的運算，考查計算實力，屬于基礎(chǔ)題.2.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合A={x|x＜1}，B={x|ex＜1}={x|x＜0}，從而={x|x≥0}，={x|x≥1}，由此能求出結(jié)果．【詳解】∵集合A={x|x＜1}，B={x|ex＜1}={x|x＜0}，={x|x≥0}，={x|x≥1}，∴A∩B={x|x＜0}，故A錯誤；A∪B={x|x＜1}，故C錯誤；，故B=正確；，故D錯誤．故選B．【點睛】本題考查集合與集合的關(guān)系的推斷，考查補集、交集、并集等基礎(chǔ)學問，考查運算求解實力，考查函數(shù)與方程思想，屬于基礎(chǔ)題．3.已知函數(shù)與的圖象有公共點，且點的橫坐標為2，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將A點橫坐標帶入對數(shù)函數(shù)，得點A的坐標；再代入正比例函數(shù)即可求得k的值．【詳解】當時，，∴，，故選C．【點睛】本題考查了函數(shù)性質(zhì)的簡潔應用，屬于基礎(chǔ)題．4.已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，包含零點的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)零點存在性定理依次推斷即可.【詳解】因為，，且函數(shù)連續(xù)、單調(diào)遞減，所以由零點存在性定理可知，零點在區(qū)間上，所以本題答案為C.【點睛】本題主要考查了函數(shù)與方程的應用，其中解答中熟記零點的存在定理是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算實力，屬基礎(chǔ)題.5.給出下列命題：①各側(cè)面都是全等四邊形的棱柱肯定是正棱柱；②對角面是全等矩形的六面體肯定是長方體；③長方體肯定是正四棱柱.其中正確的命題個數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)簡潔幾何體的概念對各命題的真假進行推斷.【詳解】①底面為菱形的直四棱柱滿意條件但不肯定是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，滿意條件但不是長方體；③長方體底面不肯定是正四棱柱，該命題明顯錯誤.故選：A.【點睛】本題考查簡潔幾何體結(jié)構(gòu)的推斷，考查推理實力，屬于基礎(chǔ)題.6.今有一組試驗數(shù)據(jù)如下：分別用下列函數(shù)模型來擬合變量與之間關(guān)系，其中擬合效果最好的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】作出散點圖，結(jié)合散點圖的形態(tài)可得出擬合效果最好的函數(shù).【詳解】作出散點圖如下圖所示：由散點圖可知，隨著的變大而變大，解除B，且隨著的增大，增速漸漸增大，解除C、D.故選：A.【點睛】本題考查函數(shù)擬合思想的應用，在選擇擬合函數(shù)時，要結(jié)合散點圖來進行推斷，考查推理實力，屬于中等題.7.設(shè)，若，則（）A. B.C.或 D.【答案】C【解析】【分析】分和兩種狀況解方程，可得出實數(shù)的值.【詳解】，當時，令，解得；當時，令，解得.綜上，或.故選：C.【點睛】本題考查分段函數(shù)方程的求解，要留意對自變量的取值進行分類探討，考查運算求解實力，屬于基礎(chǔ)題.8.若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】對四個選項中幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖是否符合要求進行推斷，可得出合適的選項.【詳解】選項A的正視圖、俯視圖不符合要求，選項B的正視圖、側(cè)視圖不符合要求，選項C俯視圖不符合要求，故選：D.【點睛】本題考查三視圖還原為實物圖，考查空間想象實力，屬于基礎(chǔ)題.9.某高校為提升科研實力，安排逐年加大科研經(jīng)費投人.若該高校年全年投入科研經(jīng)費萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投人的科研經(jīng)費比上一年增長，則該高校全年投入的科研經(jīng)費起先超過萬元的年份是（參考數(shù)據(jù)：，，）（）A.年 B.年C.年 D.年【答案】C【解析】【分析】由題意知，年是第年，則第年全年投入的科研經(jīng)費為萬元，然后解不等式，將指數(shù)式化為對數(shù)式，得出的取值范圍，即可得出答案.【詳解】若年是第年，則第年全年投入的科研經(jīng)費為萬元，由可得，，所以，得，則正整數(shù)的最小值為，所以第年，即年全年投入的科研經(jīng)費起先超過萬元，故選：C.【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)模型的應用，解題的關(guān)鍵就是列出指數(shù)不等式，考查函數(shù)思想的應用與計算實力，屬于中等題.10.函數(shù)的定義域為R，若與都是奇函數(shù)，則()A.是偶函數(shù) B.是奇函數(shù)C. D.是奇函數(shù)【答案】D【解析】與都是奇函數(shù)，，所以函數(shù)關(guān)于點，及點對稱，函數(shù)是周期的周期函數(shù).，，即是奇函數(shù)．11.設(shè)，，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)的正負，計算出的值，由此比較出三者的大小.【詳解】由于，故，，故，而，故，所以，故選A.【點睛】本小題主要考查指數(shù)式和對數(shù)式比較大小，考查分段函數(shù)的概念與性質(zhì)，屬于中檔題.12.下列說法：①若集合，，則；②定義在上的函數(shù)，若為奇函數(shù)，則必有；③方程有兩個實根；④存在，，使得.其中說法正確的序號是（）A.②③ B.②④C.①②③ D.②【答案】B【解析】【分析】求出集合、，依據(jù)集合的包含關(guān)系可推斷命題①的正誤；依據(jù)奇函數(shù)的定義可推斷出命題②的正誤；作出函數(shù)和函數(shù)的圖象，視察兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)，可推斷出命題③的正誤；取特別值可推斷出命題④的正誤.【詳解】對于命題①，，，則，命題①錯誤；對于命題②，已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，即，解得，命題②正確；對于命題③，作出函數(shù)和函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖象可知，兩個函數(shù)的圖象有三個交點，則方程有三個實根，命題③錯誤；④取，，則，，命題④正確.綜上，正確命題的序號為②④.故選：B.【點睛】本題考查命題真假的推斷，涉及集合的包含關(guān)系、奇函數(shù)的性質(zhì)、方程根的個數(shù)的推斷以及指對數(shù)不等式，考查推理實力，屬于中等題.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13.已知冪函數(shù)圖象過點，則的值為_____________.【答案】1【解析】【分析】設(shè)冪函數(shù)，將點的坐標代入該函數(shù)的解析式，利用指數(shù)冪的運算求出實數(shù)的值，然后利用指數(shù)冪和對數(shù)的運算性質(zhì)計算出的值.【詳解】設(shè)冪函數(shù)，則，即，得，，則，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查對數(shù)的計算，同時也考查了指數(shù)的運算，解題的關(guān)鍵就是利用題中條件求出冪函數(shù)的解析式，考查運算求解實力，屬于基礎(chǔ)題.14.若關(guān)于的方程的解集有唯一子集，則實數(shù)的取值范圍是_____.【答案】【解析】【分析】由題意知，關(guān)于的方程無實數(shù)解，可得出，由此可解出實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意知，關(guān)于的方程無實數(shù)解.當時，原方程為，解得，不合乎題意；當時，則有，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查利用集合子集個數(shù)求參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為方程無實解是解題的關(guān)鍵，考查分類探討思想的應用，屬于中等題.15.正三角形ABC的邊長為，那么△ABC的平面直觀圖△的面積為____.【答案】【解析】【分析】在平面直角坐標系中和斜坐標系中分別畫出等邊三角形和等邊三角形的直觀圖，依據(jù)斜二測畫法可以得到直觀圖的高，從而求出直觀圖的面積.【詳解】如圖，建立平面直角坐標系和斜坐標系，則則，填.【點睛】本題考查斜二測畫法，一般地，平面圖形的面積與其直觀圖的面積滿意.16.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程在內(nèi)有唯一解，則的取值范圍是_____________.【答案】【解析】【分析】由對數(shù)的運算性質(zhì)得出，將問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有一個交點，結(jié)合圖象可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】由，得，即，得，即，.構(gòu)造函數(shù)，其中，則直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有一個交點，如下圖所示：由圖象可知，當或時，直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有一個交點，解得或.因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查利用函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，同時也考查了對數(shù)的運算，解題的關(guān)鍵就是利用參變量分別法轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象有唯一交點，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想的應用，屬于中等題.三、解答題(本大共6小題，共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.已知函數(shù)的定義域為集合，函數(shù)的值域為集合.（1）求；（2）若集合，且，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出集合、，然后利用交集的定義可求出；（2）由，可得出，然后分和兩種狀況探討，結(jié)合得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，解出即可.【詳解】（1）要使函數(shù)有意義，則，得，解得，.對于函數(shù)，該函數(shù)為減函數(shù)，，則，即，，因此，；（2），.當時，即當時，，滿意條件；當時，即時，要使，則，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查交集的運算，同時也考查了利用集合的包含關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，涉及了對數(shù)函數(shù)的定義域以及指數(shù)函數(shù)的值域問題，考查分類探討思想的應用，屬于中等題.18.已知函數(shù)，若在區(qū)間上有最大值1．（1）求的值；（2）若在上單調(diào)，求數(shù)的取值范圍．【答案】（1）-1；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)函數(shù)的開口方向和對稱軸，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值是f（2）=1，求出a的值即可；（2）求出f（x）的解析式，求出g（x）的表達式，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．【詳解】因為函數(shù)圖象是拋物線，，所以開口向下，對稱軸是直線，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，所以當時，，因為，，所以，，在上單調(diào)，，或.從而，或所以，m的取值范圍是.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，是一道中檔題;二次函數(shù)在小區(qū)間上的單調(diào)性，須要探討二次函數(shù)對稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系,結(jié)合函數(shù)圖像的特點得到函數(shù)的單調(diào)性，進而得到最值.19.設(shè)函數(shù)與的定義域是且,是偶函數(shù),是奇函數(shù),且.（1）求和的解析式；（2）求的值.【答案】（1），；（2）0.【解析】【分析】（1）將代入題目所給函數(shù)方程，依據(jù)函數(shù)的奇偶性化簡，解方程組求得和的解析式.（2）計算證得，由此求得表達式的值為.【詳解】(1)∵,①∴,∵是偶函數(shù)，是奇函數(shù),∴,②①②相加得，進而.（2）∵∴∴,∴.【點睛】本小題主要考查利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式，考查倒序相加法，屬于基礎(chǔ)題.20.若奇函數(shù)在定義域上是減函數(shù)．（1）求滿意的集合；（2）對（1）中的，求函數(shù)的定義域．【答案】（1）；（2）的定義域為．【解析】試題分析：（1）由是奇函數(shù)，且，可得，結(jié)合在是減函數(shù)得，解不等式可求；（2）由題意可得，結(jié)合，可知，是增函數(shù)可得，可求定義域．試題解析：（1）∵是奇函數(shù)，又，∴又是減函數(shù)，∴，再由，得，解得：．（2）為使有意義，必需，即∵，∴，是增函數(shù)，∴解得，∴的定義域為．考點：抽象函數(shù)，復合函數(shù)的定義域21.已知定義域為的單調(diào)減函數(shù)是奇函數(shù)，當時，.（Ⅰ）求值；（Ⅱ）求的解析式；（Ⅲ）若對隨意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（I）；（II）；（III）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用定義域為R的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，求f（0）的值；（Ⅱ）求出x＜0的解析式，即可求f（x）的解析式；（Ⅲ）若對隨意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，f（x）在R上是減函數(shù)，所以t2﹣2t＞k﹣2t2．即3t2﹣2t﹣k＞0對隨意t∈R恒成立，利用判別式小于0即可求實數(shù)k的取值范圍．【詳解】（Ⅰ）因為定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)，所以.（Ⅱ）因為當時，，所以.又因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以.所以.綜上，（Ⅲ）由得.因為是奇函數(shù)，所以.又在上是減函數(shù)，所以.即對隨意恒成立.令，則.由，解得.故實數(shù)的取值范圍為．【點睛】本題考查函數(shù)的解析式，考查不等式恒成立問題的解法，留意運用單調(diào)性和參數(shù)分別，以及函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．22.已知函數(shù)，對于隨意的，都有,當時，，且.(I)求的值；(II)當時，求函數(shù)的最大值和最小值；(III)設(shè)函數(shù)，推斷函數(shù)g(x)最多有幾個零點，并求出此時實數(shù)m的取值范圍.【答案】（I）；（II）；（III）當時，函數(shù)最多有個零點.【解析】【分析】（Ⅰ）依據(jù)條件，取特別值求解；（Ⅱ）依據(jù)定義，推斷函數(shù)的單調(diào)性，進而求出函數(shù)的最值；（Ⅲ）依據(jù)定義，推斷函數(shù)為奇函數(shù)，得出g（x）＝f（x2﹣2|x|﹣m），令g（x）＝0即f（x