3.2 基本不等式（六大題型7個方向）（原卷版）

3.2基本不等式課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1、理解基本不等式的內(nèi)容及證明.2、熟練掌握基本不等式及變形的應(yīng)用.3、會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.4、能夠運用基本不等式解決生活中的應(yīng)用問題.1、數(shù)學(xué)建模：能夠運用基本不等式解決生活中的應(yīng)用問題.2、邏輯推理：熟練掌握基本不等式及變形的應(yīng)用.3、數(shù)學(xué)運算：會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.4、直觀想象：運用圖像解釋基本不等式.知識點01基本不等式1、對公式及的理解．（1）成立的條件是不同的：前者只要求都是實數(shù)，而后者要求都是正數(shù)；（2）取等號“=”的條件在形式上是相同的，都是“當(dāng)且僅當(dāng)時取等號”．2、由公式和可以引申出常用的常用結(jié)論①（同號）；②（異號）；③或知識點詮釋：可以變形為：，可以變形為：．【即學(xué)即練1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）不等式中，等號成立的條件是（

）A． B． C． D．知識點02基本不等式的證明方法一：幾何面積法如圖，在正方形中有四個全等的直角三角形．設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為、，那么正方形的邊長為．這樣，4個直角三角形的面積的和是，正方形的面積為．由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，所以：．當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即時，正方形縮為一個點，這時有．得到結(jié)論：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”）特別的，如果，，我們用、分別代替、，可得：如果，，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”）．通常我們把上式寫作：如果，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”）方法二：代數(shù)法∵，當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”）．知識點詮釋：特別的，如果，，我們用、分別代替、，可得：如果，，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”）．通常我們把上式寫作：如果，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”）．【即學(xué)即練2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，，求證：.知識點03基本不等式的幾何意義如圖，是圓的直徑，點是上的一點，，，過點作交圓于點D，連接、．易證，那么，即．這個圓的半徑為，它大于或等于，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)點與圓心重合，即時，等號成立．知識點詮釋：1、在數(shù)學(xué)中，我們稱為的算術(shù)平均數(shù)，稱為的幾何平均數(shù)．因此基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．2、如果把看作是正數(shù)的等差中項，看作是正數(shù)的等比中項，那么基本不等式可以敘述為：兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項．【即學(xué)即練3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點O為斜邊AB的中點，點D為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設(shè)，，用該圖形能證明的不等式為（

）．A． B．C． D．知識點04用基本不等式求最大（?。┲翟谟没静坏仁角蠛瘮?shù)的最值時，應(yīng)具備三個條件：一正二定三取等．①一正：函數(shù)的解析式中，各項均為正數(shù)；②二定：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；③三取等：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項均相等，取得最值．知識點詮釋：1、兩個不等式：與成立的條件是不同的，前者要求a，b都是實數(shù)，后者要求a，b都是正數(shù)．2、兩個不等式：與都是帶有等號的不等式，對于“當(dāng)且僅當(dāng)……時，取“=”號這句話的含義要有正確的理解．3、基本不等式的功能在于“和積互化”．若所證不等式可整理成一邊是和，另一邊是積的形式，則考慮使用平均不等式；若對于所給的“和式”中的各項的“積”為定值，則“和”有最小值，對于給出的“積式”中的各項的“和”為定值，則“積”有最大值．4、利用兩個數(shù)的基本不等式求函數(shù)的最值必須具備三個條件：①各項都是正數(shù)；②和（或積）為定值；③各項能取得相等的值．5、基本不等式在解決實際問題中有廣泛的應(yīng)用，在應(yīng)用時一般按以下步驟進(jìn)行：①先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；②建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；③在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大或最小值；④寫出正確答案．【即學(xué)即練4】（2023·陜西西安·高一校考期中）已知，且滿足，求的最小值是.題型一：對基本不等式的理解及簡單應(yīng)用例1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點在半圓上，點在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無字證明為（

）A． B．C． D．例2．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）下列運用基本不等式求最值，使用正確的個數(shù)是（

）已知，求的最小值；解答過程：；求函數(shù)的最小值；解答過程：可化得；設(shè)，求的最小值；解答過程：，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，把代入得最小值為4．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個例3．（2023·高一課時練習(xí)）給出下面三個推導(dǎo)過程：①∵a、b為正實數(shù)，∴＋＝2；②∵a∈R，a≠0，∴＋a＝4；③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2.其中正確的推導(dǎo)為（

）A．①② B．①③C．②③ D．①②③變式1．（2023·高一課時練習(xí)）下面四個推導(dǎo)過程正確的有（

）A．若a，b為正實數(shù)，則B．若，則C．若，則D．若，則變式2．（多選題）（2023·高一課時練習(xí)）下列推導(dǎo)過程，正確的為（

）A．因為a，b為正實數(shù)，所以≥2＝2B．因為x∈R，所以1C．因為a＜0，所以+a≥2＝4D．因為，所以【方法技巧與總結(jié)】應(yīng)用基本不等式時的三個關(guān)注點（1）一正數(shù)：指式子中的a，b均為正數(shù)．（2）二定值：只有ab為定值時才能應(yīng)用基本不等式，因此有時需要構(gòu)造定值．（3）三相等：即“=”必須成立，求出的定值才是要求的最值．題型二：利用基本不等式比較大小例4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若，，，則，，2ab，中最大的一個是．例5．（2023·高一課時練習(xí)）某工廠第一年的產(chǎn)量為A，第二年的增長率為a，第三年的增長率為b，則這兩年的平均增長率x與增長率的平均值的大小關(guān)系為．例6．（2023·高一課時練習(xí)）若，且，則中值最小的是變式3．（2023·高一課時練習(xí)）若，，且，則在中最大的一個是.變式4．（2023·山東青島·高一山東省青島第十六中學(xué)校考階段練習(xí)）已知a>0，b>0，a+b>2，有下列4個結(jié)論:①ab>1；②a2+b2>2；③和中至少有一個數(shù)小于1；④和中至少有一個小于2，其中，全部正確結(jié)論的序號為.變式5．（2023·湖南株洲·高一株洲市南方中學(xué)?？计谥校┰O(shè)a＞0，b＞0，給出下列不等式：①a2＋1＞a；

②；

③(a＋b)；

④a2＋9＞6a.其中恒成立的是(填序號).變式6．（2023·全國·高一專題練習(xí)）給出下列不等式：①；

②；

③；④；

⑤.其中正確的是(寫出序號即可)．變式7．（2023·高一課時練習(xí)）已知都是正實數(shù)，且，則與的大小關(guān)系是．變式8．（2023·高一單元測試）若，則不等式（1）；（2）；（3）；（4）中，正確的不等式有個．【方法技巧與總結(jié)】利用基本不等式比較大小在利用基本不等式比較大小時，應(yīng)創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的使用條件，合理地拆項、配湊或變形．在拆項、配湊或變形的過程中，首先要考慮基本不等式使用的條件，其次要明確基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”或者將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能．題型三：利用基本不等式證明不等式例7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)非負(fù)實數(shù)滿足，求證：例8．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，且，證明.(1)；(2)例9．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，都是正數(shù).(1)若，證明：；(2)當(dāng)時，證明：.變式9．（2023·黑龍江綏化·高一統(tǒng)考期中）已知、是正實數(shù)，且，證明：(1)；(2).變式10．（2023·全國·高一專題練習(xí)）（1）已知求證：；（2），，求證：.變式11．（2023·浙江溫州·高一校考階段練習(xí)）已知且.求證：(1)；(2).變式12．（2023·江蘇常州·高一?？茧A段練習(xí)）（1）已知，求證：（2）設(shè)，，為正數(shù)，求證：【方法技巧與總結(jié)】利用基本不等式證明不等式時應(yīng)注意的問題（1）注意基本不等式成立的條件；（2）多次使用基本不等式，要注意等號能否成立；（3）對不能直接使用基本不等式證明的可重新組合，形成基本不等式模型，再使用．題型四：利用基本不等式求最值（1）直接法求最值例10．（2023·新疆烏魯木齊·高一?？计谥校┮阎猘、b大于0，，則的最大值是．例11．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若，，，則的取值范圍是.例12．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知正實數(shù)a，b滿足則ab的最大值為.變式13．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知（），則的最大值是.變式14．（2023·黑龍江佳木斯·高一富錦市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正實數(shù)x，y滿足，則的最大值為．變式15．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知為正實數(shù)，且滿足，則的最大值為．變式16．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若正數(shù)滿足，則的最小值是．（2）常規(guī)湊配法求最值變式17．（2023·湖南株洲·高一株洲二中?？茧A段練習(xí)）若，則的最小值是（

）A． B． C． D．變式18．（2023·甘肅武威·高一天祝藏族自治縣第一中學(xué)校考開學(xué)考試）已知，則的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3變式19．（2023·高一課時練習(xí)）若，則的最小值為（）A．3 B．－3C．4 D．－4變式20．（2023·浙江臺州·高一校聯(lián)考期中）若，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8變式21．（2023·全國·高一專題練習(xí)）當(dāng)時，函數(shù)的最小值為（

）A． B．C． D．4變式22．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，且，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．14 D．16（3）消參法求最值變式23．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)正實數(shù)、、滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．變式24．（2023·新疆·高一校聯(lián)考期末）設(shè)，則的最小值為（

）A． B．C． D．6變式25．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．2變式26．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．（4）換元求最值變式27．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)x，y是正實數(shù)，且，則的最大值是.變式28．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知正數(shù)、滿足，則的最小值為.變式29．（2023·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若實數(shù)，滿足，則的最小值為．（5）“1”的代換求最值變式30．（2023·甘肅臨夏·高一?？计谀┤?，，，則的最小值為．變式31．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知正實數(shù)，滿足，則的最小值為.變式32．（2023·山東菏澤·高一?？计谀┮阎龑崝?shù)、滿足，則的最小值是.變式33．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知正數(shù)x，y滿足，則的最大值為.變式34．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)（），則它的最小值為.變式35．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，且，則的最小值為.變式36．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為.變式37．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）正實數(shù)滿足，則的最小值為.變式38．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若正實數(shù)滿足.則的最小值為.（6）法變式39．（2023·湖南衡陽·衡陽市八中?？寄M預(yù)測）已知實數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．變式40．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，滿足則的最小值是（

）A． B． C． D．（7）條件等式求最值變式41．（2023·全國·高一課堂例題）若正實數(shù)滿足，則的最大值為.變式42．（2023·高一課時練習(xí)）已知實數(shù)滿足，則的最大值為．變式43．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，且，則的最小值為.變式44．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知正數(shù)x，y滿足，則的最大值為．變式45．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，，則的最大值為．變式46．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若，且，則的最大值為.變式47．（2023·安徽安慶·高一統(tǒng)考期末）已知a，b，c均為正實數(shù)，且，則的最小值為．變式48．（2023·四川成都·高一統(tǒng)考期末）已知實數(shù)x，y滿足，則的最小值為．變式49．（2023·浙江寧波·高一寧波市北侖中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，，，則的最小值為.【方法技巧與總結(jié)】利用基本不等式求代數(shù)式的最值（1）利用基本不等式求代數(shù)式的最值，要通過恒等變形以及配湊，使“和”或“積”為定值，從而求得代數(shù)式的最大值或最小值．（2）若是求和式的最小值，通常化（或利用）積為定值；若是求積的最大值，通?；ɑ蚶茫┖蜑槎ㄖ?，解答技巧都是恰當(dāng)變形、合理拆分項或配湊因式．題型五：利用基本不等式求解恒成立問題例13．（2023·高一課時練習(xí)）對任意，為正實數(shù)，都有，則實數(shù)a的最大值為.例14．（2023·遼寧沈陽·高一統(tǒng)考期末）已知實數(shù)a，b滿足，若對于，恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是．例15．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）對任意的正實數(shù)、，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．變式50．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）對任意正實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．變式51．（2023·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期中）十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若不相等的兩個正實數(shù)滿足，且恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.變式52．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.變式53．（2023·北京豐臺·高一北京市第十二中學(xué)?？计谥校┮阎?，若恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是．變式54．（2023·貴州遵義·高一遵義四中校考階段練習(xí)）若正實數(shù)，滿足，且不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為．變式55．（2023·福建泉州·高一福建省德化第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，若不等式恒成立，則的最大值為．【方法技巧與總結(jié)】利用基本不等式求解恒成立問題，通常通過分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為利用基本不等式求最值題型六：基本不等式在實際問題中的應(yīng)用例16．（2023·廣東深圳·高一校考階段練習(xí)）為加強(qiáng)“疫情防控”，某校決定在學(xué)校門口借助一側(cè)原有墻體，建造一間墻高為4米，底面積為32平方米，且背面靠墻的長方體形狀的校園應(yīng)急室，由于此應(yīng)急室后背靠墻，無需建造費用，某公司給出的報價為：應(yīng)急室正面和側(cè)面報價均為每平方米200元，屋頂和地面報價共計7200元，設(shè)應(yīng)急室的左右兩側(cè)的長度均為米，公司整體報價為元.(1)試求關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)公司應(yīng)如何設(shè)計應(yīng)急室正面和兩側(cè)的長度，可以使學(xué)校的建造費用最低，并求出此最低費用.例17．（2023·浙江溫州·高一樂清外國語學(xué)校?？计谥校┯M(jìn)博，要設(shè)計如圖的一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右三個矩形欄目，這三欄的面積之和為，四周空白的寬度為，欄與欄之間的中縫空白的寬度為，（1）怎樣確定矩形欄目高與寬的尺寸，能使整個矩形廣告面積最小，并求最小值；（2）如果要求矩形欄目的寬度不小于高度的2倍，那么怎樣確定廣告矩形欄目高與寬的尺寸，能使整個矩形廣告面積最小，并求最小值.例18．（2023·河北邯鄲·高一?？茧A段練習(xí)）兩地相距千米，汽車從地勻速行駛到地，速度不超過千米小時，已知汽車每小時的運輸成本(單位：元)由可變部分和固定部分兩部分組成：可變部分與速度的平方成正比，比例系數(shù)為，固定部分為元，(1)把全程運輸成本(元)表示為速度(千米小時)的函數(shù):并求出當(dāng)時，汽車應(yīng)以多大速度行駛，才能使得全程運輸成本最?。?2)隨著汽車的折舊，運輸成本會發(fā)生一些變化，那么當(dāng)，此時汽車的速度應(yīng)調(diào)整為多大，才會使得運輸成本最小，變式56．（2023·河北保定·高一河北省唐縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某小區(qū)要建一座八邊形的休閑小區(qū)，它的主體造型的平面圖是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的十字形地域，四個小矩形加一個正方形面積共為200平方米．計劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價為每平方米4200元，在四個相同的矩形上（圖中陰影部分）鋪設(shè)花崗巖地坪，造價為每平方米210元，再在四個角上鋪設(shè)草坪，造價為每平方米80元．

(1)設(shè)AD長為x米，總造價為S元，試建立S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)問：當(dāng)x為何值時S最小，并求出這個S最小值.變式57．（2023·新疆烏魯木齊·高一?？计谀?）用一段長為的籬笆圍成一個矩形菜園，求這個矩形菜園的最大面積．（2）用籬笆圍一個面積為的矩形菜園，求所用籬笆的最短值．變式58．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，某人計劃用籬笆圍成一個一邊靠墻（墻的長度沒有限制）的矩形菜園．設(shè)菜園的長為xm，寬為ym．

(1)若菜園面積為18m2，則x，y為何值時，可使所用籬笆總長最小？(2)若使用的籬笆總長度為15m，求的最小值．變式59．（2023·全國·高一專題練習(xí)）汽車在隧道內(nèi)行駛時，安全車距（單位：）正比于車速（單位：）的平方與車身長（單位：）的積，且安全車距不得小于半個車身長．當(dāng)車速為時，安全車距為個車身長．(1)求汽車在隧道內(nèi)行駛時的安全車距與車速之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)某救災(zāi)車隊共有10輛同一型號的貨車，車身長為，當(dāng)速度為多少時該車隊通過（第一輛車頭進(jìn)隧道起，到最后一輛車尾離開隧道止，且無其它車插隊）長度為的隧道用時最短?【方法技巧與總結(jié)】利用基本不等式解決實際問題的步驟解實際問題時，首先審清題意，然后將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用數(shù)學(xué)知識（函數(shù)及不等式性質(zhì)等）解決問題．用基本不等式解決此類問題時，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：（1）先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)．（2）建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題．（3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值．（4）正確寫出答案．一、單選題1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，則的最小值為（

）A． B．0 C．1 D．2．（2023·湖南株洲·高一株洲二中?？茧A段練習(xí)）已知，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若正數(shù)x，y滿足，則的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．54．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)為正數(shù)，且，則的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．5．（2023·遼寧葫蘆島·高一?？计谀┰O(shè)，且，則（

）A．有最小值為 B．有最小值為C．有最小值為 D．無最小值6．（2023·高一單元測試）不等式，對于任意及恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．（2023·浙江寧波·高一校聯(lián)考期中）若正實數(shù)滿足，則下列說法錯誤的是（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為8．（2023·安徽蚌埠·高一統(tǒng)考期末）若均為正實數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·江蘇鹽城·高一校聯(lián)考期末）已知實數(shù)，，，則下