3.3冪函數(shù)-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)講義

新教材必修第一冊(cè)3.3：冪函數(shù)課標(biāo)解讀：冪函數(shù)的概念.（了解）冪函數(shù)的圖像.（理解）冪函數(shù)的性質(zhì).（理解）學(xué)習(xí)指導(dǎo)：1.5個(gè)具體冪函數(shù)中，（正比例函數(shù)），（二次函數(shù)），（反比例函數(shù)）是初中所學(xué)知識(shí)，很容易畫出圖像，畫與的圖像可利用描點(diǎn)法作圖，取點(diǎn)時(shí)注意點(diǎn)的代表性.2.先準(zhǔn)確把握冪函數(shù)的圖像在第一象限的特征（與冪指數(shù)的關(guān)系），再通過研究?jī)绾瘮?shù)的定義域，利用對(duì)稱性即可作出冪函數(shù)的圖像，進(jìn)而研究性質(zhì)，這時(shí)學(xué)習(xí)本節(jié)的有效途徑。知識(shí)導(dǎo)圖：知識(shí)點(diǎn)1：冪函數(shù)的概念1.冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù).2.冪函數(shù)的特征（1）的系數(shù)為1；（2）的底數(shù)是自變量；（3）的指數(shù)為常數(shù).只有同時(shí)滿足這三個(gè)條件的函數(shù)才是冪函數(shù)，對(duì)于形如等的函數(shù)都不是冪函數(shù).例1-1：在函數(shù)中，冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為（）.0B.1C.2D.3答案：B知識(shí)點(diǎn)2：冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)1.五個(gè)具體冪函數(shù)的圖像當(dāng)時(shí)，我們得到五個(gè)冪函數(shù)，在同一平面直角坐標(biāo)系中，通過描點(diǎn)得到五個(gè)冪函數(shù)的圖像.如圖所示：2.五個(gè)具體冪函數(shù)的性質(zhì)觀察圖像，可以得到五個(gè)冪函數(shù)的性質(zhì)如下：函數(shù)定義域RRR值域RR奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性增函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減增函數(shù)增函數(shù)在區(qū)間和區(qū)間上單調(diào)遞減過定點(diǎn)點(diǎn)（1，1）例2-2：已知，則使函數(shù)的定義域?yàn)镽且函數(shù)為奇函數(shù)的所有的值為（）-1,3B.-1,1C.1,3D.-1,1,3答案：C例2-3：下列函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增的是（）A.B.C.D.答案：D重難拓展知識(shí)點(diǎn)3：一般冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)1.冪函數(shù)的圖像觀察五個(gè)具體冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像可知，冪函數(shù)的圖像在第一象限內(nèi)具有如下特征：在平面直角坐標(biāo)系中，直線將直線的右側(cè)部分分為（I）（II）（III）三個(gè)區(qū)域，如圖所示.的圖像經(jīng)過區(qū)域（I）；的圖像經(jīng)過區(qū)域（II）；的圖像經(jīng)過區(qū)域（III）.在直線的右側(cè)，從軸向上，冪函數(shù)的指數(shù)由小到大遞增，即“指大圖高”“指小圖低”利用冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像特征，可以做出冪函數(shù)的圖像，其步驟一般是：先利用上述特征，由給定的冪函數(shù)，做出冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像；再研究其定義域，看當(dāng)時(shí)函數(shù)是否有意義；若函數(shù)在上有意義，則研究函數(shù)的奇偶性，利用奇函數(shù)（或偶函數(shù)）圖像的對(duì)稱性，作出y軸左側(cè)的圖像，從而得到冪函數(shù)的圖像。例3-4：冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像依次是下圖中的曲線（）A.B.C.D.答案：D例3-5：給出下列說法：①冪函數(shù)的圖像均經(jīng)過（1,1）；②冪函數(shù)的圖像均在兩個(gè)象限里出現(xiàn)；③冪函數(shù)在第四象限內(nèi)可以有圖像；④任意兩個(gè)冪函數(shù)的圖像最多有兩個(gè)交點(diǎn).答案：A2.冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)底數(shù)圖象圖像特征圖像經(jīng)過點(diǎn)（0,0）和點(diǎn)（1,1）在第一象限內(nèi)，當(dāng)時(shí)，圖像上凸；當(dāng)時(shí)，圖像下凸圖像過點(diǎn)（1,1），在第一象限內(nèi)，圖像都下凸性質(zhì)定義域在（0，+）上都有定義，定義域與的取值有關(guān)單調(diào)性在（0，+）上單調(diào)遞增在（0，+）上單調(diào)遞增減奇偶性與的取值有關(guān)拓展延伸：對(duì)于上表冪函數(shù)的性質(zhì)的補(bǔ)充說明.1.定義域：在（0，+）上都有定義，定義域與的取值有關(guān)，要保證函數(shù)解析式有意義.具體如下：的分類的定義域R（互質(zhì)，,）是偶數(shù)是奇數(shù)R是偶數(shù)是奇數(shù)2.冪函數(shù)奇偶性的判斷方法的分類的奇偶性是偶數(shù)偶函數(shù)是奇數(shù)奇函數(shù)（互質(zhì)，）是奇函數(shù)是奇函數(shù)奇函數(shù)是偶函數(shù)偶函數(shù)是偶函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)例3-6：給定一組函數(shù)圖像和函數(shù)解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.請(qǐng)把圖像對(duì)應(yīng)的解析式的序號(hào)填在圖下面的括號(hào)內(nèi).答案：⑥④③②⑦①⑤題型與方法題型1：冪函數(shù)的定義域和值域例7：（1）函數(shù)的定義域是，值域是.（2）函數(shù)的定義域是，值域是.（3）函數(shù)的定義域是，值域是.（4）函數(shù)的定義域是，值域是.答案：（1）R（2）（3）（4）例8：討論下列函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性，并作出函數(shù)的大致圖象.（1）（2）（3）（4）答案：（1）定義域?yàn)镽，值域?yàn)?，為偶函?shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，圖像如圖（1）所示.（2）定義域?yàn)?，值域?yàn)?，既不是奇函?shù)也不是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，圖像如圖（2）所示.（3）定義域?yàn)?，值域?yàn)?，為奇函?shù)，在上單調(diào)遞減，圖像如圖（3）所示.（4）定義域?yàn)镽，值域?yàn)?，為偶函?shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，圖像如圖（4）所示.知識(shí)拓展：冪函數(shù)對(duì)圖像的影響當(dāng)時(shí)，是一條直線；當(dāng)時(shí)，的圖像是一條不包含（0,1）的直線；當(dāng)為其他值時(shí)，相應(yīng)冪函數(shù)的圖像如下表.,都是奇函數(shù)為偶數(shù),為奇數(shù)為奇數(shù),為偶數(shù)題型3：冪函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用1.比較冪的大小例9：答案：（1）＜（2）＞（3）＜2.已知單調(diào)性求參數(shù)例10：已知冪函數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，則實(shí)數(shù)的值為.答案：-33.解不等式例11：若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.答案：易錯(cuò)提醒易錯(cuò)1：對(duì)冪函數(shù)的概念理解不清致誤例12：已知函數(shù)是冪函數(shù)，求的取值范圍.答案：{0}易錯(cuò)2：對(duì)冪函數(shù)的性質(zhì)把握不準(zhǔn)例13：若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.答案：高考鏈接考向1：冪函數(shù)的圖象例14：函數(shù)的圖像是（）答案：B考向2：冪函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用例15：下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的為（）A.B.C.D.答案：D基礎(chǔ)鞏固1.冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)（2,8），則它的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.B.C.D.2.已知常數(shù)，如圖所示為冪函數(shù)的圖像，則的值可以為（）A.B.C.D.3.若冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的值是.4.有四個(gè)冪函數(shù)：①；②；③；④.某同學(xué)研究了其中的一個(gè)函數(shù)，并給出這個(gè)函數(shù)的三個(gè)性質(zhì)：（1）是偶函數(shù)；（2）值域是；（3）在上單調(diào)遞增.如果給出的三個(gè)性質(zhì)中，有兩個(gè)正確，一個(gè)錯(cuò)誤，則他研究的函數(shù)是.（填序號(hào)）5.已知函數(shù)（為常數(shù)）.（1）為何值時(shí)此函數(shù)為冪函數(shù)？（2）為何值時(shí)此函數(shù)為正比例函數(shù)？（3）為何值時(shí)此函數(shù)為反比例函數(shù)？6.已知冪函數(shù)的圖像與軸、軸都無交點(diǎn)，且關(guān)于軸對(duì)稱，求的值，并畫出函數(shù)的大致圖象.能力提升7.已知一函數(shù)具有如下性質(zhì)：.則（）.A.是奇函數(shù)B.是偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)8.函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A.是奇數(shù)，B.是偶數(shù)，是奇數(shù)，C.是偶數(shù)，是奇數(shù)，D.是奇數(shù)，是偶數(shù)，9.若函數(shù)是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則（）.A.B.C.2D.