1.5數(shù)學(xué)歸納法檢測(cè)A卷基礎(chǔ)鞏固-2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期北師大版(2019)數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)_第1頁
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文檔簡介

1.5數(shù)學(xué)歸納法檢測(cè)A卷(基礎(chǔ)鞏固)一、單選題1.用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式()A. B. C. D.2.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式,從到左端需要增乘的代數(shù)式為()A. B.C. D.3.用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意,(,)的自然數(shù)都成立,則的最小值為()A.1 B.2 C.3 D.44.一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,當(dāng)n=2時(shí)命題成立,且由n=k時(shí)命題成立可以推得n=k+2時(shí)命題也成立,則()A.該命題對(duì)于n>2的自然數(shù)n都成立B.該命題對(duì)于所有的正偶數(shù)都成立C.該命題何時(shí)成立與k取值無關(guān)D.以上答案都不對(duì)5.用數(shù)學(xué)歸納法證明“能被3整除”的第二步中,時(shí),為了使用假設(shè),應(yīng)將變形為()A. B.C. D.6.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1n(n∈N*)”時(shí),由假設(shè)n=k(k>1,k∈N“)不等式成立,推證n=k+1不等式成立時(shí),不等式左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是()A.2k﹣1 B.2k﹣1 C.2k D.2k+17.用數(shù)學(xué)歸納法證明:對(duì)于任意正偶數(shù)n均有,在驗(yàn)證正確后,歸納假設(shè)應(yīng)寫成()A.假設(shè)時(shí)命題成立B.假設(shè)時(shí)命題成立C.假設(shè)時(shí)命題成立D.假設(shè)時(shí)命題成立8.設(shè)平面內(nèi)有條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不共點(diǎn),設(shè)條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為,則與的關(guān)系是()A. B.C. D.二、多選題9.對(duì)于不等式,某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程如下:①當(dāng)時(shí),,不等式成立;②假設(shè)當(dāng)時(shí),不等式成立,即,則當(dāng)時(shí),.故當(dāng)時(shí),不等式成立.則下列說法錯(cuò)誤的是()A.過程全部正確 B.的驗(yàn)證不正確C.的歸納假設(shè)不正確 D.從到的推理不正確10.已知一個(gè)命題p(k),k=2n(n∈N*),若當(dāng)n=1,2,…,1000時(shí),p(k)成立,且當(dāng)n=1001時(shí)也成立,則下列判斷中正確的是()A.p(k)對(duì)k=528成立B.p(k)對(duì)每一個(gè)自然數(shù)k都成立C.p(k)對(duì)每一個(gè)正偶數(shù)k都成立D.p(k)對(duì)某些偶數(shù)可能不成立11.下列說法正確的是()A.與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明只能用數(shù)學(xué)歸納法B.?dāng)?shù)學(xué)歸納法的第一步的初始值一定為1C.?dāng)?shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可D.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí),歸納假設(shè)一定要用上12.如果命題對(duì)成立,則它對(duì)也成立.則下列結(jié)論正確的是()A.若對(duì)成立,則對(duì)所有正整數(shù)都成立B.若對(duì)成立,則對(duì)所有正偶數(shù)都成立C.若對(duì)成立,則對(duì)所有正奇數(shù)都成立D.若對(duì)成立,則對(duì)所有自然數(shù)都成立三、填空題13.用數(shù)學(xué)歸納法證明“”,在驗(yàn)證成立時(shí),等號(hào)左邊的式子是______.14.已知f(n)=1++(n∈N*),證明不等式f(2n)>時(shí),f(2k+1)比f(2k)多的項(xiàng)數(shù)是______.15.用數(shù)學(xué)歸納法證明n3+5n能被6整除的過程中,當(dāng)n=k+1時(shí),式子(k+1)3+5(k+1)應(yīng)變形為_______.16.對(duì)任意n∈N*,34n+2+a2n+1都能被14整除,則最小的自然數(shù)a=________.四、解答題17.用數(shù)學(xué)歸納法證明:如果是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列,那么對(duì)任何都成立.18.已知數(shù)列滿足,,試猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.19.用數(shù)學(xué)歸納法證明:對(duì)任意正整數(shù)能被9整除.20.設(shè),是否存在整式,使得對(duì)n≥2的一切自然數(shù)都成立?并試用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.21.已知為正整數(shù),試比較與的大小.22.設(shè)關(guān)于正整數(shù)的函數(shù)(1)求;(2)是否存在常數(shù)使得對(duì)一切自然數(shù)都成立?并證明你的結(jié)論參考答案1.B【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟,結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法的步驟進(jìn)行驗(yàn)證,即可求解.【詳解】因?yàn)椋蕯?shù)學(xué)歸納法應(yīng)驗(yàn)證的情況,即.故選:B.2.B【分析】分別求出當(dāng)、時(shí)等式左端的表達(dá)式,再比較即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí),左端為當(dāng)時(shí),左端為因?yàn)樗詮牡阶蠖诵枰龀说拇鷶?shù)式為,故選:B.3.C【分析】分別令代入不等式驗(yàn)證,即可解出.【詳解】當(dāng)時(shí),,,,不等式不成立;當(dāng)時(shí),,,,不等式不成立;當(dāng)時(shí),,,,不等式成立;當(dāng)時(shí),,,,不等式成立,所以滿足題意的的最小值為3.故選:C.4.B【分析】利用數(shù)學(xué)歸納法的概念即可得出選項(xiàng).【詳解】由n=k時(shí)命題成立可推出n=k+2時(shí)命題也成立,又n=2時(shí)命題成立,根據(jù)逆推關(guān)系,該命題對(duì)于所有的正偶數(shù)都成立,故選:B.5.A【分析】假設(shè)時(shí)命題成立,分解的過程中要分析出含有的項(xiàng)即可求解.【詳解】解:假設(shè)時(shí)命題成立,即:被3整除.當(dāng)時(shí),故選:A.6.C【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟即可求解.【詳解】在用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n∈N*)”時(shí)假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立,左邊=則當(dāng)時(shí),左邊=則由遞推到時(shí)不等式左邊增加了:共,故選:C7.C【分析】依題意根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明判斷即可;【詳解】解:因?yàn)橐C明的是對(duì)任意正偶數(shù)n均有等式成立,所以在驗(yàn)證正確后,歸納假設(shè)應(yīng)寫成:假設(shè)時(shí)命題成立.故選:C.8.C【分析】考慮當(dāng)時(shí),任取其中1條直線,記為,由于直線與前面條直線任何兩條不平行,任何三條不共點(diǎn),所以要多出個(gè)交點(diǎn),從而得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí),任取其中1條直線,記為,則除外的其他條直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為,因?yàn)橐阎魏蝺蓷l直線不平行,所以直線必與平面內(nèi)其他條直線都相交(有個(gè)交點(diǎn));又因?yàn)槿魏稳龡l直線不過同一點(diǎn),所以上面的個(gè)交點(diǎn)兩兩不相同,且與平面內(nèi)其它的個(gè)交點(diǎn)也兩兩不相同,從而時(shí)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是,故選:C9.ABC【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明的基本過程可得出結(jié)論.【詳解】在時(shí),沒有應(yīng)用時(shí)的假設(shè),即從到的推理不正確.故選:ABC.10.AD【分析】直接根據(jù)已知條件判斷每一個(gè)選項(xiàng)的正確錯(cuò)誤.【詳解】由題意知p(k)對(duì)k=2,4,6,…,2002成立,當(dāng)k取其他值時(shí)不能確定p(k)是否成立,故選AD.故選:AD11.CD【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的特點(diǎn)判斷.【詳解】與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明不一定只能用數(shù)學(xué)歸納法,如:證明時(shí),可用數(shù)學(xué)歸納法,也可使用裂項(xiàng)相消法求和,故A錯(cuò)誤;數(shù)學(xué)歸納法的第一步的初始值不一定為1,如:證明當(dāng)為偶數(shù)時(shí),能被整除.初始值為2,故B錯(cuò)誤;數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可且用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí),歸納假設(shè)一定要用上,故CD正確.故選:CD.12.BC【分析】由推理關(guān)系,可知需分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論,再結(jié)合首項(xiàng)成立,即可判斷選項(xiàng).【詳解】由題意可知,若對(duì)成立,則對(duì)所有正奇數(shù)都成立;若對(duì)成立,則對(duì)所有正偶數(shù)都成立.故選:BC13.【分析】將代入左邊的式子即可求解.【詳解】因?yàn)樽筮叺氖阶邮菑拈_始,結(jié)束,且指數(shù)依次增加1所以,左邊的式子為,故答案為:14.2k【分析】由f(n)的表達(dá)式可知,右端分母是連續(xù)的正整數(shù),然后寫出f(2k)和f(2k+1)進(jìn)行比較可得答案【詳解】觀察f(n)的表達(dá)式可知,右端分母是連續(xù)的正整數(shù),f(2k)=1+++…+,而f(2k+1)=1+++…++++…+.因此f(2k+1)比f(2k)多了2k項(xiàng).故答案為:2k15.(k3+5k)+3k(k+1)+6【分析】將n=k+1代入,分解因式可得(k3+5k)+3k(k+1)+6即可.【詳解】(k+1)3+5(k+1)=k3+1+3k2+3k+5k+5=(k3+5k)+3k2+3k+6=(k3+5k)+3k(k+1)+6.∵k(k+1)為偶數(shù),∴3k(k+1)能被6整除,∴(k+1)3+5(k+1)應(yīng)變形為(k3+5k)+3k(k+1)+6.故答案為:(k3+5k)+3k(k+1)+616.5【分析】當(dāng)n=1時(shí),求出a=3或5,再由當(dāng)a=3且n=2時(shí),不能被14整除,即可得出答案.【詳解】當(dāng)n=1時(shí),36+a3能被14整除的數(shù)為a=3或5;當(dāng)a=3且n=2時(shí),310+35不能被14整除,故a=5.故答案為:517.證明見解析【分析】利用數(shù)學(xué)歸納法的證明方法與步驟即可證明.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),左邊,右邊,①式成立.(2)假設(shè)當(dāng)時(shí),①式成立,即,根據(jù)等差數(shù)列的定義,有,于是,即當(dāng)時(shí),①式也成立,由(1)(2)可知,①式對(duì)任何都成立.18.,證明見解析【分析】利用遞推關(guān)系式得出數(shù)列的前項(xiàng),猜想,再由數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【詳解】由,可得.由,可得.同理可得,,.歸納上述結(jié)果,猜想下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想.(1)當(dāng)時(shí),③式左邊,右邊,猜想成立.(2)假設(shè)當(dāng)時(shí),③式成立,即,那么,即當(dāng)時(shí),猜想也成立.由(1)(2)可知,猜想對(duì)任何都成立.19.見解析【分析】按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟操作即可證明.【詳解】證明:(1)當(dāng)時(shí),,能被9整除,故當(dāng)時(shí),能被9整除.(2)假設(shè)當(dāng)時(shí),命題成立,即能被9整除,則當(dāng)時(shí),也能被9整除.綜合(1)(2)可得,對(duì)任意正整數(shù)能被9整除.【點(diǎn)睛】本題考查了用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題,屬于容易題.20.略【詳解】試題分析:假設(shè)存在一次函數(shù)g(x)=kx+b(k≠0),依題意可得k=1,b=0,故猜想g(x)=x;然后用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.試題證明:假設(shè)存在一次函數(shù)g(x)=kx+b(k≠0),使得a1+a2+a3+…+=g(n)(an-1)對(duì)n≥2的一切正整數(shù)都成立,則當(dāng)n=2時(shí),a1=g(2)(a2-1),又∵a1=1,a2=1+,∴g(2)=2,即2k+b=2;①當(dāng)n=3時(shí),a1+a2=g(3)(a3-1),又∵a1=1,a2=1+,a3=1++,∴g(3)=3,即3k+b=3,②由①②可得k=1,b=0,所以猜想:存在g(n)=n,使得a1+a2+a3+…+=g(n)(n≥2,n∈N*)成立.下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明:(1)當(dāng)n=2時(shí),猜想成立;(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,k∈N*)時(shí),猜想成立,即存在g(k)=k,使得a1+a2+a3+…+=g(k)(-1)對(duì)k≥2的一切正整數(shù)都成立,則當(dāng)n=k+1時(shí),a1+a2+a3+…+=(a1+a2+a3+…+)+=+=(k+1)-k,又∵=1+++…++=+,∴=-,∴a1+a2+a3+…+=(k+1)(-)-k=(k+1)(-1),∴當(dāng)n=k+1時(shí),猜想也成立.由(1)(2)可知,對(duì)于一切n(n≥2,n∈N*)有g(shù)(n)=n,使得a1+a2+a3+…+=g(n)(-1)都成立.【點(diǎn)睛】運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題要分兩步,第一步是歸納奠基(或遞推基礎(chǔ))證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N*)時(shí)命題成立,第二步是歸納遞推(或歸納假設(shè))假設(shè)n=k(k≥n0,k∈N*)時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立,只要完成這兩步,就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有的正整數(shù)都成立,兩步缺一不可.21.當(dāng)n=1時(shí),<;當(dāng)n=2時(shí),=;當(dāng)n=3時(shí),>;當(dāng)n=4時(shí),=;,當(dāng)時(shí),<【解析】試題分析:解:當(dāng)n=1時(shí),<;1分當(dāng)n=2時(shí),=;2分當(dāng)n=3時(shí),>;3分當(dāng)n=4時(shí),=;4分當(dāng)n=5時(shí),<;當(dāng)n=6時(shí),<猜想:當(dāng)時(shí),<5分下面下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:(1)當(dāng)n=5時(shí),由上面的探求可知猜想成立6分(2)假設(shè)n=k()時(shí)猜想成立,即7分則,,當(dāng)時(shí),從而所以當(dāng)n=k+1時(shí),猜想也成立9分綜合(1)(2),對(duì)猜想都成立10分考點(diǎn):數(shù)學(xué)歸納法點(diǎn)評(píng):對(duì)于不等式的證明可以通過通過對(duì)于n的討論來得到,屬于基礎(chǔ)題。22.(1),,(2)根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法思想,先利用特殊值來得到參數(shù)的a,b,c的值,然后對(duì)于解題的結(jié)果運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法加以

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