第4章三角形證明 題型解讀14 三角形全等證明思路步驟詳解-2020-2021學(xué)年北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊

《三角形證明》題型解讀14三角形全等證明思路步驟詳解【知識梳理】第一步：應(yīng)用情景----看題目所求的結(jié)論分析①直接證兩個(gè)三角形全等②證兩個(gè)角相等（或求角度，證該角與已知角相等）③證兩條邊相等（或求角度，證該角與已知角相等）④證邊或角的倍分關(guān)系⑤證邊或角的和差關(guān)系第二步：明確需證全等的兩個(gè)三角形（針對以上五種情形）1.挑選方法①直接確定②直接找兩個(gè)角所在的三角形；若直接所在的三角形不全等，則利用等量代換，找第三個(gè)角與其中未換的那個(gè)角所在三角形全等；③直接找兩條邊所在的三角形；若直接所在的三角形不全等，則利用等量代換，找第三條邊與其中未換的那條邊所在三角形全等；④先利用已知條件，把邊或角的倍分關(guān)系轉(zhuǎn)化成“一對一”關(guān)系，再按②或③的思路找三角形全等；⑤先“截長補(bǔ)短”，把把邊或角的和差關(guān)系轉(zhuǎn)化成“一對一”關(guān)系，再按②或③的思路找三角形全等；2.挑選技巧①所挑選的兩個(gè)三角形，從圖形視覺上應(yīng)完全相同；②所挑選的兩個(gè)三角形，離已知條件的圖形位置最近；第三步：尋找全等條件，確定全等方法①先看字母找條件，再看圖形證條件；②看圖時(shí)，學(xué)會拉近已知條件與未知條件的圖形位置；③學(xué)會利用已證明結(jié)論的作已知條件----“解題思路的延續(xù)性”；附：熟悉三角形全等中四個(gè)典型：“典型模型、典型圖形、典型題型、典型經(jīng)驗(yàn)”，快速確定思路方向和解題方法；【范例詳解】例1.如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，BE與CD交于點(diǎn)O，且BO＝CO，求證：DO＝EO。【思路分析】要求DO=EO，首選三角形全等，找DO、EO所在的三角形△DOB與△EOC，再確定這兩個(gè)三角形全等條件。不難找到以下的全等條件：已知條件BO=CO；對頂角∠DOB=∠EOC，還缺一個(gè)全等條件，由于OD=OE是題目最終要證的結(jié)論，所以不可能運(yùn)用SAS證明這兩個(gè)三角形全等，即意味著所缺的那個(gè)全等條件應(yīng)該是一組角相等，而且一定與未用過的已知條件：AB=AC有關(guān)。由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，則∠ABC=∠ACB；而由OB=OC也可得∠OBC=∠OCB，由等式性質(zhì)可得∠DBO=∠ECO，這樣由ASA可證△DOB≌△EOC，由全等性質(zhì)可得DO=EO.【證明過程】證：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠DBO=∠ECO，在△DOB與△EOC中，∵∠DOB=∠EOC，BO=CO，∠DBO=∠ECO，∴△DOB≌△EOC，∴DO=EO.例2.在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是直線,BC上一點(diǎn)(不與B,C重合),以AD為邊在AD的右側(cè)作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,連接CE.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上,如果∠BAC=90°,求∠BCE的度數(shù)；(2)設(shè)∠BAC=α，∠BCE=β.如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng),則α、β有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說明理由。【思路分析】(1)從圖形視覺上可以初步判別∠BCE=90°,且由△ABC是等腰直角三角形可知∠ACD=45°,即要求∠BCE的度數(shù)，只需求∠ACE=45°，由∠B=45°可知，只需證∠ACE=∠B，即可，證角相等，首選三角形全等，由“全等”的視覺要求便知，只需證△ABD≌△ACE即可，不難找到以下全等條件：已知條件AB=AC;由共角模型∠DAE=∠BAC可得∠BAD=∠CAE;已知條件AD=AE，由SAS可證△ABD≌△ACE，可得∠ACE=∠B=45°，即∠BCE=90°.(2)從審圖技巧（拉近已知條件與未知條件的圖形位置）角度分析，要找到α、β的數(shù)量關(guān)系，必須要想辦法拉近∠BAC與∠BCE的圖形位置關(guān)系，拉成“同一個(gè)三角形或鄰居”，就能找到兩者之間的數(shù)量關(guān)系；∠BCE=∠BCA+∠ACE，而∠BCA與∠BAC本就處于同一個(gè)三角形：△ABC中，我們只需把∠ACE也拉到△ABC內(nèi)，這樣∠BAC與∠BCE就在同一個(gè)三角形，很容易得出∠BAC+∠BCE=180°；現(xiàn)在只需把∠ACE也拉到△ABC內(nèi)，題目就解決了。依“解題思路的延續(xù)性”，通過（1）中△ABD≌△ACE，可得∠ACE=∠B，就能達(dá)到目的。【證明過程】(1)證：∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD與△CAE中，∵AB=AC,∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE，∴∠ACE=∠B，∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠ACB=45°,∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠B=90°(2)解：α+β=180°，理由是：∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD與△CAE中，∵AB=AC,∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE，∴∠ACE=∠B，∴α+β=∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°例3.如圖，△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,BD是∠ABC的平分線，BD的延長線垂直于過點(diǎn)C的直線于E，直線CE交BA的延長線于點(diǎn)F.求證：BD=2CE【整體思路分析】（1）出現(xiàn)線段的倍分關(guān)系，先把等式中的“2”轉(zhuǎn)化掉，把倍分關(guān)系轉(zhuǎn)化成線段“一對一”的等量關(guān)系，再利用全等知識證明；（2）轉(zhuǎn)化角度有兩種：①在圖中找出一條線段，使BD長是該線段的兩倍；②在圖中找出一條線段，使該線段長等于CE的2倍；結(jié)合“相等”的圖形要求，從審圖視覺上就可以排除①，且能初步找到符合②要求的線段：CE=EF、CF=2CE。這樣，題目所證結(jié)論就轉(zhuǎn)化成了需證BD=CF，找到BD、CF的所在的三角形△BDA與△CFA，依“全等”在圖形視覺上的要求，大致可以判斷，這兩個(gè)三角形可能會全等，只需尋找全等條件即可，整體解題思路線就形成了?！揪唧w證明思路步驟】（1）先證CF=2CE，即CE=EF，找CE、EF所在的三角形△BEF、△BEC，只需證△BEF≌△BEC全等即可（注意：一定要養(yǎng)成字母對齊的書寫習(xí)慣）。結(jié)合題目已知條件，不難找到以下全等條件：依BD是角平分線得出的∠FBE=∠CBE；公共邊BE=BE；BE⊥CF得到的∠BEF=∠BEC=90°，用ASA便可證明△BEF≌△BEC，依全等性質(zhì)得EF=CE，進(jìn)而可得CF=2CE；（2）再證BD=CF，找BD、CF所在的三角形△BAD、△CAF，只需證△BAD≌△CAF全等即可（注意：一定要養(yǎng)成字母對齊的書寫習(xí)慣）。結(jié)合題目已知條件，不難找到以下全等條件：已知條件AB=AC；已知條件∠BAD=∠CAF=90°;還缺一個(gè)全等條件。熟悉“8字模型”的同學(xué)可直接找出所缺全等條件是：∠ABD=∠ACF；不熟悉的同學(xué)，可從這兩個(gè)三角形的對應(yīng)字母這個(gè)角度去尋找，一一排除，也能找到：∠ABD=∠ACF，利用三角形外角性質(zhì)即可證明；【解題過程】證：∵BD是∠ABC的平分線，∴∠FBE=∠CBE，∵BE⊥CF，∴∠BEF=∠BEC=90°，在△BEF和△BEC中，∵∠FBE=∠CBE，BE=BE,∠BEF=∠BEC,∴△BEF≌△BEC，∴EF=CE，∴CF=2CE；∵△ABC中，∠BAC=90°,∴∠BAD=∠CAF,在△ABD和△EDC中，∵∠BDC=∠ABD+∠BAD=∠DCE+∠ACF，∴∠ABD=∠ACF,在△ABD和△ACF中，∵∠ABD=∠ACF，AB=AC,∠BAC=∠CAF,∴△ABD≌△ACF，∴BD=CF，∵CF=2CE,∴BD=2CE；例4.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2,BE⊥AE，求證：AC-AB=2BE【整體思路分析】（1）此題不僅出現(xiàn)線段的和差關(guān)系，還出現(xiàn)了線段的倍分關(guān)系，可先用“截長補(bǔ)短”的思路，把等式中“AC-AB”轉(zhuǎn)化成一條線段，再去思考解決該線段與BE的2倍關(guān)系；仍然會利用到全等知識；（2）由題可知：線段AE是“長”，線段AB、BE是“短”，由于存在著2倍的BE，“補(bǔ)短”無從下手，不好思考，所以只采用“截長”----在“長邊”AC上截取一段，使該線段等于“短邊AB”，便“截取”角度有兩種：①在AC上取一段，使之等于AB；②延長BE交AC于一點(diǎn)F，也可以把“長邊AC”截成兩段；結(jié)合目的（證三角形全等）及題目條件∠1=∠2,BE⊥AE，采用角度②，便于證明△ABE≌△AFE，這樣，即可把所求結(jié)論中的“AC-AB=2BE”，通過等式性質(zhì)，轉(zhuǎn)化成形如“CF=2BE=BF”,再利用等腰三角形性質(zhì)即可解題.【具體證明思路步驟】----“截長思路”延長BE交AC于點(diǎn)F，由ASA易證△ABE≌△AFE，可得BE=EF,AB=AF，則AC-AB=2BE就轉(zhuǎn)化成了CF=2BE=BF，即要證△BFC是等腰三角形，結(jié)合全等性質(zhì)、外角定理及已知條件∠ABC=3∠C，便可得到∠EBC=∠C，BF=CF。【具體證明過程】如圖，延長BE交AC于點(diǎn)F，在△ABE和△AFE中，∵∠1=∠2，AE=AE,∠AEB=∠AEF=90°,∴△ABE≌△AFE，∴∠3=∠4,BE=EF，AB=AF,∵∠4=∠5+∠C,∴∠3=∠5+∠C,∵∠ABC=3∠C,即∠3+∠5=3∠C，∴∠5+∠C+∠5=3∠C，∴2∠5=2∠C，∴∠5=∠C，∴BF=CF，∵BF=2