天津市二中2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期9月開學(xué)考試試題含解析

PAGE14-天津市二中2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期9月開學(xué)考試試題（含解析）一?選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分.)1.當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)在平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用的范圍求出、的范圍即可確定答案【詳解】，，點(diǎn)在第四象限．【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，關(guān)鍵是確定的正負(fù)來確定象限，屬于基礎(chǔ)題.2.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)（）A.-1 B.1 C.2 D.-2【答案】B【解析】【分析】依據(jù)已知向量坐標(biāo)，將應(yīng)用坐標(biāo)表示，由知，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)公式求參數(shù)值【詳解】∵向量，∴又∴，即，解得故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求參數(shù)，依據(jù)向量垂直，由數(shù)量積的坐標(biāo)公式列方程求參數(shù)3.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則角的大小是（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】依據(jù)正弦定理和三角形內(nèi)角的范圍，即可求出結(jié)果.【詳解】由正弦定理可知，所以，又，所以或.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4.從裝有4個(gè)紅球和3個(gè)白球的袋中任取2個(gè)球，那么下列事務(wù)中，是對(duì)立事務(wù)的是（）A.至少有1個(gè)白球；都是紅球 B.至少有1個(gè)白球；至少有1個(gè)紅球C.恰好有1個(gè)白球；恰好有2個(gè)白球 D.至少有1個(gè)白球；都是白球【答案】A【解析】【分析】依據(jù)對(duì)立事務(wù)的定義推斷．【詳解】從裝有4個(gè)紅球和3個(gè)白球的袋內(nèi)任取2個(gè)球，在A中，“至少有1個(gè)白球”與“都是紅球”不能同時(shí)發(fā)生且必有一個(gè)事務(wù)會(huì)發(fā)生，是對(duì)立事務(wù).在B中，“至少有1個(gè)白球”與“至少有1個(gè)紅球”可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事務(wù).在C中，“恰好有1個(gè)白球”與“恰好有2個(gè)白球”是互斥事務(wù)，但不是對(duì)立事務(wù).在D中，“至少有1個(gè)白球”與“都是白球”不是互斥事務(wù).故選：A.5.同一平面上三個(gè)單位向量兩兩夾角都是，則與的夾角是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)向量的數(shù)量積，可得，，然后利用向量的夾角公式，可得結(jié)果.【詳解】由,所以,,則所以即.設(shè)與的夾角為,則,又,所以與的夾角為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的夾角公式，屬基礎(chǔ)題.6.設(shè)正方體的表面積為24，那么其外接球的體積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)正方體的邊長為，則，解得．所以其外接球的半徑，則體積，故選C7.已知是不重合的直線，是不重合的平面，則下列命題為真命題的是（）A.，則B.，則C.，則D.，則【答案】C【解析】【分析】依據(jù)平面與平面的位置關(guān)系，即可推斷A、C是否正確；根面面平行的判定定理，即可推斷B是否正確；依據(jù)面面垂直和線面垂直的關(guān)系和線面的位置關(guān)系，即可推斷D是否正確.【詳解】對(duì)于A，，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，且，相交，，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，故C正確；對(duì)于D，若，則或，故D錯(cuò)誤．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面、面面位置關(guān)系以及面面平行判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8.出租車司機(jī)從飯店到火車站途中經(jīng)過六個(gè)交通崗,假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈這一事務(wù)是相互獨(dú)立的,并且概率都是,則這位司機(jī)遇到紅燈前已經(jīng)通過了兩個(gè)交通崗的概率為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)相互獨(dú)立事務(wù)概率乘法公式，計(jì)算出所求概率.【詳解】因?yàn)檫@位司機(jī)在第一,二個(gè)交通崗未遇到紅燈,在第三個(gè)交通崗遇到紅燈之間是相互獨(dú)立的,且遇到紅燈的概率都是,所以未遇到紅燈的概率都是,所以遇到紅燈前已經(jīng)通過了兩個(gè)交通崗的概率為.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查相互獨(dú)立事務(wù)概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.9.在長方體中，，，則與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】做出線面角，在直角三角形中解角的正弦值.【詳解】做于H點(diǎn)，連接AH，因?yàn)?，，又因?yàn)椋?，依?jù)線面角的定義得到為所求角，在中，由等面積法得到，線面角的正弦值為：故答案為B.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了空間中的直線和平面的位置關(guān)系，線面角的求法．求線面角，一是可以利用等體積計(jì)算出直線的端點(diǎn)到面的距離，除以線段長度就是線面角的正弦值；還可以建系，用空間向量的方法求直線的方向向量和面的法向量，再求線面角即可．10.已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先依據(jù)題中所給的條件，結(jié)合正六邊形的特征，得到在方向上的投影的取值范圍是，利用向量數(shù)量積的定義式，求得結(jié)果.【詳解】模為2，依據(jù)正六邊形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范圍是，結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，可知等于的模與在方向上的投影的乘積，所以的取值范圍是，故選：A.【點(diǎn)睛】該題以正六邊形為載體，考查有關(guān)平面對(duì)量數(shù)量積的取值范圍，涉及到的學(xué)問點(diǎn)有向量數(shù)量積的定義式，屬于簡潔題目.二?填空題(本題共6小題，每小題4分，共24分)11.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，求___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算先求出，再依據(jù)共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樗?，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.12.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，求角___________.【答案】【解析】【分析】對(duì)原式化簡可得，再依據(jù)余弦定理，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.13.已知一組數(shù)據(jù)4.7，6.1，4.2，5.0，5.3，5.5，則該組數(shù)據(jù)第25百分位數(shù)是________．【答案】4.7【解析】【分析】把這組數(shù)據(jù)按從小到大的依次排列，依據(jù)第p百分位數(shù)的定義可得答案.【詳解】把這組數(shù)據(jù)按從小到大的依次排列，可得：4.2，4.7，5.0，5.3，5.5，6.1共6個(gè)數(shù)據(jù)，由，所以這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是第2項(xiàng)，即4.7.故答案為：4.7.【點(diǎn)睛】本題考查第p百分位數(shù)定義，屬于基礎(chǔ)題.14.從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué),將他們的身高(單位:厘米)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)?由圖中數(shù)據(jù)可知_____．若要從身高在三組內(nèi)的學(xué)生中,用分層抽樣的方法選取18人參與一項(xiàng)活動(dòng),則從身高在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為________?【答案】0.030,3【解析】因?yàn)?身高在[120,130），[130，140),[140,150]三組內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為人，其中身高在[140，150]內(nèi)的學(xué)生中人數(shù)為,所以從身高在[140，150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為人.15.如圖是棱長為的正方體的平面綻開圖，則在這個(gè)正方體中，直線與所成角的余弦值為________．【答案】【解析】【分析】結(jié)合正方體的平面綻開圖，作出正方體的直觀圖，可知是正三角形，從而可知直線與所成角為，即可得到答案.【詳解】作出正方體的直觀圖，連接，，易證三角形是正三角形，而，故直線與所成角為，則直線與所成角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的結(jié)構(gòu)特征，考查了異面直線的夾角的求法，屬于中檔題.16.如圖在直角梯形中，為中點(diǎn)，若，則___________.【答案】【解析】【分析】建立直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、向量基本定理即可得出．【詳解】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則．，∵，∴，∴，解得，所以．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平面對(duì)量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、平面對(duì)量基本定理，考查了推理能與計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．三?解答題(本題共3個(gè)小題，共36分)17.已知單位向量的夾角，向量.（1）若，求的值；（2）若，求向量的夾角.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，設(shè)，又不共線，依據(jù)系數(shù)關(guān)系，列出方程，即可求出的值；（2）依據(jù)題意，設(shè)向量的夾角為；由數(shù)量積的計(jì)算公式可得、以及，又由，即可求出結(jié)果．【詳解】（1）依據(jù)題意，向量，若，設(shè)，則有，則有，解可得；（2）依據(jù)題意，設(shè)向量的夾角為；若，則，所以，所以，又，則，所以，又，所以，又由，所以；故向量的夾角為．【點(diǎn)睛】本題考查了平面對(duì)量共線定理和平面對(duì)量數(shù)量積的計(jì)算，涉及向量模、夾角的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．18.在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，已知，，.（1）求角的大?。唬?）求的值；（3）求的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）干脆利用余弦定理求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）由（1）及正弦定理即可得到答案；（3）先計(jì)算出、，進(jìn)一步求出、，再利用兩角和的正弦公式計(jì)算即可.【詳解】（1）在中，由，，及余弦定理得，又因，所以；（2）在中，由，，及正弦定理可得；（3）由知角為銳角，由，可得，進(jìn)而，，所以【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理?余弦定理及其應(yīng)用，考查三角恒等變換在解三角形中的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等學(xué)科素養(yǎng).解題關(guān)鍵熟記有關(guān)公式，進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化.19.如圖所示，四棱錐的底面是邊長為2的正方形，底面，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）若三棱錐的體積為，求四棱錐的側(cè)面積．【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）.【解析】【分析】（1）連結(jié)，交于點(diǎn).連結(jié)，證得，再利用線面平行的判定定理，即可證得平面；（2）由四邊形是正方形，所以，又由因?yàn)榈酌妫C得，利用線面垂直的判定定理，即可證得結(jié)論；（3）由，求得，進(jìn)而利用面積公式，即可求解．【詳解】（1）連結(jié)，交于點(diǎn).連結(jié)，因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以為的中位線