專題04一元二次方程的3種應(yīng)用(原卷版+解析)

專題04一元二次方程的3種應(yīng)用考點(diǎn)1：面積問題；考點(diǎn)2：循環(huán)、分支、傳染問題；考點(diǎn)3：變化率問題。題型01面積問題題型01面積問題1．如圖，將一塊正方形空地劃出部分區(qū)域進(jìn)行綠化，原空地一邊減少了2m，另一邊減少了3m，剩余一塊面積為20m2的矩形空地，則原正方形空地的邊長是（）A．7m B．8m C．9m D．10m2．如圖，在寬為20米，長為30米的矩形地面上修建兩條同樣寬的道路，余下部分作為耕地．若耕地面積需要551米2，則修建的路寬應(yīng)為（）A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米3．（易錯(cuò)題）如圖的六邊形是由甲、乙兩個(gè)長方形和丙、丁兩個(gè)等腰直角三角形所組成，其中甲、乙的面積和等于丙、丁的面積和．若丙的腰長為2，且丁的面積比丙的面積小，則丁的腰長是多少？（）A．12 B．35 C．2?34．如圖為一張方格紙，紙上有一灰色三角形，其頂點(diǎn)均位于某兩網(wǎng)格線的交點(diǎn)上，若灰色三角形面積為214cm2，則此方格紙的面積是多少A．11 B．12 C．13 D．145．如圖，在一塊長15m、寬10m的矩形空地上，修建兩條同樣寬的相互垂直的道路，剩余部分栽種花草，要使綠化面積為126m2，則修建的路寬應(yīng)為米．6．如圖，要設(shè)計(jì)一本書的封面，封面長40cm，寬30cm正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長寬比例相同的矩形，如果使四周的邊襯所占面積是封面面積的五分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，上下邊襯的寬度為，左右邊襯的寬度為．7．（易錯(cuò)題）如圖是一張長12cm，寬10cm的矩形鐵皮，將其剪去兩個(gè)全等的正方形和兩個(gè)全等的矩形，剩余部分（陰影部分）可制成底面積是24cm2的有蓋的長方體鐵盒．則剪去的正方形的邊長為cm．8．你知道嗎，對(duì)于一元二次方程，我國古代數(shù)學(xué)家還研究過其幾何解法呢！以方程x2+5x﹣14＝0即x（x+5）＝14為例加以說明．?dāng)?shù)學(xué)家趙爽（公元3～4世紀(jì)）在其所著的《勾股圓方圖注》中記載的方法是：構(gòu)造圖（如下面左圖）中大正方形的面積是（x+x+5）2，其中它又等于四個(gè)矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4×14+52，據(jù)此易得x＝2．那么在下面右邊三個(gè)構(gòu)圖（矩形的頂點(diǎn)均落在邊長為1的小正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上）中，能夠說明方程x2﹣4x﹣12＝0的正確構(gòu)圖是．（只填序號(hào)）9．（易錯(cuò)題）如圖，有一塊矩形硬紙板，長30cm，寬20cm．在其四角各剪去一個(gè)同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，可制成一個(gè)無蓋長方體盒子．當(dāng)剪去正方形的邊長取何值時(shí)，所得長方體盒子的側(cè)面積為200cm2？10．如圖，某小區(qū)矩形綠地的長寬分別為35m，15m．現(xiàn)計(jì)劃對(duì)其進(jìn)行擴(kuò)充，將綠地的長、寬增加相同的長度后，得到一個(gè)新的矩形綠地．（1）若擴(kuò)充后的矩形綠地面積為800m，求新的矩形綠地的長與寬；（2）擴(kuò)充后，實(shí)地測量發(fā)現(xiàn)新的矩形綠地的長寬之比為5：3．求新的矩形綠地面積．題型02循環(huán)、分支、傳染問題題型02循環(huán)、分支、傳染問題11．要組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊(duì)之間都賽一場），計(jì)劃安排21場比賽，則參賽球隊(duì)的個(gè)數(shù)是（）A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)12．某?！把袑W(xué)”活動(dòng)小組在一次野外實(shí)踐時(shí)，發(fā)現(xiàn)一種植物的主干長出若干數(shù)目的枝干，每個(gè)枝干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、枝干和小分支的總數(shù)是43，則這種植物每個(gè)枝干長出的小分支個(gè)數(shù)是（）A．4 B．5 C．6 D．713．（易錯(cuò)題）某航空公司有若干個(gè)飛機(jī)場，每兩個(gè)飛機(jī)場之間都開辟一條航線，一共開辟了10條航線，則這個(gè)航空公司共有飛機(jī)場（）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)14．畢業(yè)之際，某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)相約到同一家禮品店購買紀(jì)念品，每兩個(gè)同學(xué)都相互贈(zèng)送一件禮品，禮品店共售出禮品30件，則該興趣小組的人數(shù)為（）A．5人 B．6人 C．7人 D．8人15．有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，共有121人患了流感，每輪傳染中平均每人傳染了個(gè)人．16．我市為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，開展了乒乓球比賽活動(dòng)．部分同學(xué)進(jìn)入了半決賽，賽制為單循環(huán)形式（即每兩個(gè)選手之間都賽一場），半決賽共進(jìn)行了6場，則共有人進(jìn)入半決賽．17．某市計(jì)劃舉辦青少年足球比賽，賽制采取雙循環(huán)形式（即每兩隊(duì)之間都要打兩場比賽），一共組織30場比賽．計(jì)分規(guī)則為勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分．（1）該市舉辦方應(yīng)該邀請(qǐng)多少支球隊(duì)參賽？（2）此次比賽結(jié)束后，如果其中一支參賽球隊(duì)共平了4場，負(fù)了2場，則該球隊(duì)此次比賽的總積分是多少？題型03變化率問題題型03變化率問題18．李師傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若從1月到3月，每月盈利的平均增長率都相同，則這個(gè)平均增長率是（）A．10.5% B．10% C．20% D．21%19．某商品經(jīng)過兩次降價(jià)，售價(jià)由原來的每件25元降到每件16元，已知兩次降價(jià)的百分率相同，則每次降價(jià)的百分率為（）A．20% B．25% C．30% D．36%20．若某銀行經(jīng)過兩次降息，使三年期存款的年利率由4%降至3.24%，則平均每次降息的百分比是（）A．10% B．9% C．8% D．7%21．某網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)平臺(tái)2022年的新注冊(cè)用戶數(shù)為100萬，2023年的新注冊(cè)用戶數(shù)為169萬，設(shè)新注冊(cè)用戶數(shù)的年平均增長率為x（x＞0），則x＝（用百分?jǐn)?shù)表示）．22．某市為了扎實(shí)落實(shí)脫貧攻堅(jiān)中“兩不愁、三保障”的住房保障工作，去年已投入5億元資金，并計(jì)劃投入資金逐年增長，明年將投入7.2億元資金用于保障性住房建設(shè)，則這兩年投入資金的年平均增長率為．23．（易錯(cuò)題）某地區(qū)去年螃蟹放養(yǎng)面積為20萬畝，每畝產(chǎn)量為40kg，為滿足市場需要，今年該地區(qū)擴(kuò)大了放養(yǎng)面積，并且全部放養(yǎng)了高產(chǎn)的新品種螃蟹．已知今年螃蟹的總產(chǎn)量為1500萬kg，且螃蟹放養(yǎng)面積的增長率是畝產(chǎn)量的增長率的2倍，則該地區(qū)今年螃蟹的畝產(chǎn)量千克．24．（易錯(cuò)題）建設(shè)美麗城市，改造老舊小區(qū)．某市2020年投入資金1000萬元，2022年投入資金1440萬元，現(xiàn)假定每年投入資金的增長率相同．（1）求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率；（2）2022年老舊小區(qū)改造的平均費(fèi)用為每個(gè)80萬元．2023年為提高老舊小區(qū)品質(zhì)，每個(gè)小區(qū)改造費(fèi)用增加15%．如果投入資金年增長率保持不變，求該市在2023年最多可以改造多少個(gè)老舊小區(qū)？

專題04一元二次方程的3種應(yīng)用考點(diǎn)1：面積問題；考點(diǎn)2：循環(huán)、分支、傳染問題；考點(diǎn)3：變化率問題。題型01面積問題題型01面積問題1．如圖，將一塊正方形空地劃出部分區(qū)域進(jìn)行綠化，原空地一邊減少了2m，另一邊減少了3m，剩余一塊面積為20m2的矩形空地，則原正方形空地的邊長是（）A．7m B．8m C．9m D．10m解：設(shè)原正方形的邊長為xm，依題意有（x﹣3）（x﹣2）＝20，解得：x1＝7，x2＝﹣2（不合題意，舍去）即：原正方形的邊長7m．答案：A．2．如圖，在寬為20米，長為30米的矩形地面上修建兩條同樣寬的道路，余下部分作為耕地．若耕地面積需要551米2，則修建的路寬應(yīng)為（）A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米解：設(shè)修建的路寬應(yīng)為x米根據(jù)等量關(guān)系列方程得：20×30﹣（20x+30x﹣x2）＝551，解得：x＝49或1，49不合題意，舍去，答案：A．3．（易錯(cuò)題）如圖的六邊形是由甲、乙兩個(gè)長方形和丙、丁兩個(gè)等腰直角三角形所組成，其中甲、乙的面積和等于丙、丁的面積和．若丙的腰長為2，且丁的面積比丙的面積小，則丁的腰長是多少？（）A．12 B．35 C．2?3解：設(shè)丁的腰長為a，且a＜2，∵甲面積+乙面積＝丙面積+丁面積，∴2a+2a=12×22+∴4a＝2+12a∴a2﹣8a+4＝0，∴a=8±(?8)2?4×1×42∵4+23＞4﹣23＜∴a＝4﹣23．答案：D．4．如圖為一張方格紙，紙上有一灰色三角形，其頂點(diǎn)均位于某兩網(wǎng)格線的交點(diǎn)上，若灰色三角形面積為214cm2，則此方格紙的面積是多少A．11 B．12 C．13 D．14解：方格紙的邊長是x，x2?12?x?12x?12?12x?34xx2＝12．所以方格紙的面積是12，答案：B．5．如圖，在一塊長15m、寬10m的矩形空地上，修建兩條同樣寬的相互垂直的道路，剩余部分栽種花草，要使綠化面積為126m2，則修建的路寬應(yīng)為1米．解：設(shè)道路的寬為xm，根據(jù)題意得：（10﹣x）（15﹣x）＝126，解得：x1＝1，x2＝24（不合題意，舍去），則道路的寬應(yīng)為1米；答案：1．6．如圖，要設(shè)計(jì)一本書的封面，封面長40cm，寬30cm正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長寬比例相同的矩形，如果使四周的邊襯所占面積是封面面積的五分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，上下邊襯的寬度為（20?85）cm，左右邊襯的寬度為（15﹣65）cm解：∵正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長寬比例相同的矩形，設(shè)正中央的矩形長為4xcm，寬為3xcm，根據(jù)題意，得40×30﹣4x?3x=1解得x＝±45∵x＞0，∴x=45∴上下邊襯寬為（40﹣4x）÷2＝（40?165）÷2＝20?85（左右邊襯寬為（30﹣3x）÷2＝（30﹣125）÷2＝15﹣65（cm），答案：（20?85）cm，（15﹣65）cm7．（易錯(cuò)題）如圖是一張長12cm，寬10cm的矩形鐵皮，將其剪去兩個(gè)全等的正方形和兩個(gè)全等的矩形，剩余部分（陰影部分）可制成底面積是24cm2的有蓋的長方體鐵盒．則剪去的正方形的邊長為2cm．解：設(shè)底面長為acm，寬為bcm，正方形的邊長為xcm，根據(jù)題意得：2(x+b)=12a+2x=10解得a＝10﹣2x，b＝6﹣x，代入ab＝24中，得：（10﹣2x）（6﹣x）＝24，整理得：x2﹣11x+18＝0，解得x＝2或x＝9（舍去），答：剪去的正方形的邊長為2cm．答案：2．8．你知道嗎，對(duì)于一元二次方程，我國古代數(shù)學(xué)家還研究過其幾何解法呢！以方程x2+5x﹣14＝0即x（x+5）＝14為例加以說明．?dāng)?shù)學(xué)家趙爽（公元3～4世紀(jì)）在其所著的《勾股圓方圖注》中記載的方法是：構(gòu)造圖（如下面左圖）中大正方形的面積是（x+x+5）2，其中它又等于四個(gè)矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4×14+52，據(jù)此易得x＝2．那么在下面右邊三個(gè)構(gòu)圖（矩形的頂點(diǎn)均落在邊長為1的小正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上）中，能夠說明方程x2﹣4x﹣12＝0的正確構(gòu)圖是②．（只填序號(hào)）解：∵x2﹣4x﹣12＝0即x（x﹣4）＝12，∴構(gòu)造如圖②中大正方形的面積是（x+x﹣4）2，其中它又等于四個(gè)矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4×12+42，據(jù)此易得x＝6．答案：②．9．（易錯(cuò)題）如圖，有一塊矩形硬紙板，長30cm，寬20cm．在其四角各剪去一個(gè)同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，可制成一個(gè)無蓋長方體盒子．當(dāng)剪去正方形的邊長取何值時(shí)，所得長方體盒子的側(cè)面積為200cm2？解：設(shè)剪去正方形的邊長為xcm，則做成無蓋長方體盒子的底面長為（30﹣2x）cm，寬為（20﹣2x）cm，高為xcm，依題意，得：2×[（30﹣2x）+（20﹣2x）]x＝200，整理，得：2x2﹣25x+50＝0，解得：x1=52，x當(dāng)x＝10時(shí)，20﹣2x＝0，不合題意，舍去．答：當(dāng)剪去正方形的邊長為52cm時(shí)，所得長方體盒子的側(cè)面積為200cm210．如圖，某小區(qū)矩形綠地的長寬分別為35m，15m．現(xiàn)計(jì)劃對(duì)其進(jìn)行擴(kuò)充，將綠地的長、寬增加相同的長度后，得到一個(gè)新的矩形綠地．（1）若擴(kuò)充后的矩形綠地面積為800m，求新的矩形綠地的長與寬；（2）擴(kuò)充后，實(shí)地測量發(fā)現(xiàn)新的矩形綠地的長寬之比為5：3．求新的矩形綠地面積．解：（1）設(shè)將綠地的長、寬增加xm，則新的矩形綠地的長為（35+x）m，寬為（15+x）m，根據(jù)題意得：（35+x）（15+x）＝800，整理得：x2+50x﹣275＝0解得：x1＝5，x2＝﹣55（不符合題意，舍去），∴35+x＝35+5＝40，15+x＝15+5＝20．答：新的矩形綠地的長為40m，寬為20m．（2）設(shè)將綠地的長、寬增加ym，則新的矩形綠地的長為（35+y）m，寬為（15+y）m，根據(jù)題意得：（35+y）：（15+y）＝5：3，即3（35+y）＝5（15+y），解得：y＝15，∴（35+y）（15+y）＝（35+15）×（15+15）＝1500．答：新的矩形綠地面積為1500m2．題型02循環(huán)、分支、傳染問題題型02循環(huán)、分支、傳染問題11．要組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊(duì)之間都賽一場），計(jì)劃安排21場比賽，則參賽球隊(duì)的個(gè)數(shù)是（）A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)解：設(shè)有x個(gè)隊(duì)，每個(gè)隊(duì)都要賽（x﹣1）場，但兩隊(duì)之間只有一場比賽，x（x﹣1）÷2＝21，解得x＝7或﹣6（舍去）．故應(yīng)邀請(qǐng)7個(gè)球隊(duì)參加比賽．答案：C．12．某?！把袑W(xué)”活動(dòng)小組在一次野外實(shí)踐時(shí)，發(fā)現(xiàn)一種植物的主干長出若干數(shù)目的枝干，每個(gè)枝干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、枝干和小分支的總數(shù)是43，則這種植物每個(gè)枝干長出的小分支個(gè)數(shù)是（）A．4 B．5 C．6 D．7解：設(shè)這種植物每個(gè)枝干長出x個(gè)小分支，依題意，得：1+x+x2＝43，解得：x1＝﹣7（舍去），x2＝6．答案：C．13．（易錯(cuò)題）某航空公司有若干個(gè)飛機(jī)場，每兩個(gè)飛機(jī)場之間都開辟一條航線，一共開辟了10條航線，則這個(gè)航空公司共有飛機(jī)場（）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)解：設(shè)這個(gè)航空公司有機(jī)場n個(gè)n(n?1)2n＝5或n＝﹣4（舍去）答案：B．14．畢業(yè)之際，某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)相約到同一家禮品店購買紀(jì)念品，每兩個(gè)同學(xué)都相互贈(zèng)送一件禮品，禮品店共售出禮品30件，則該興趣小組的人數(shù)為（）A．5人 B．6人 C．7人 D．8人解：設(shè)該興趣小組的人數(shù)為x人．x（x﹣1）＝30，解得x1＝6，x2＝﹣5（不合題意，舍去），答案：B．15．有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，共有121人患了流感，每輪傳染中平均每人傳染了10個(gè)人．解：設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了x人．依題意，得1+x+x（1+x）＝121，即（1+x）2＝121，解方程，得x1＝10，x2＝﹣12（舍去）．答：每輪傳染中平均每人傳染了10人．16．我市為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，開展了乒乓球比賽活動(dòng)．部分同學(xué)進(jìn)入了半決賽，賽制為單循環(huán)形式（即每兩個(gè)選手之間都賽一場），半決賽共進(jìn)行了6場，則共有4人進(jìn)入半決賽．解：假設(shè)共有x人進(jìn)入半決賽．∴12x（x解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），答：共有4人進(jìn)入半決賽．答案：4．17．某市計(jì)劃舉辦青少年足球比賽，賽制采取雙循環(huán)形式（即每兩隊(duì)之間都要打兩場比賽），一共組織30場比賽．計(jì)分規(guī)則為勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分．（1）該市舉辦方應(yīng)該邀請(qǐng)多少支球隊(duì)參賽？（2）此次比賽結(jié)束后，如果其中一支參賽球隊(duì)共平了4場，負(fù)了2場，則該球隊(duì)此次比賽的總積分是多少？解：（1）設(shè)該市舉辦方應(yīng)邀請(qǐng)x支球隊(duì)參賽，依題意得，x（x﹣1）＝30，解方程得，x1＝6，x2＝﹣5（不合題意，舍去），（2）（10﹣4﹣2）×3+4×1+2×0＝16，答：該市舉辦方應(yīng)邀請(qǐng)6支球隊(duì)參賽，該球隊(duì)的總積分為16分．題型03變化率問題題型03變化率問題18．李師傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若從1月到3月，每月盈利的平均增長率都相同，則這個(gè)平均增長率是（）A．10.5% B．10% C．20% D．21%解：設(shè)從1月到3月，每月盈利的平均增長率為x，由題意可得：3000（1+x）2＝3630，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去），答：每月盈利的平均增長率為10%．答案：B．19．某商品經(jīng)過兩次降價(jià)，售價(jià)由原來的每件25元降到每件16元，已知兩次降價(jià)的百分率相同，則每次降價(jià)的百分率為（）A．20% B．25% C．30% D．36%解：設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，依題意得：25（1﹣x）2＝16，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合題意，舍去）．答案：A．20．若某銀行經(jīng)過兩次降息，使三年期存款的年利率由4%降至3.24%，則平均每次降息的百分比是（）A．10% B．9% C．8% D．7%解：經(jīng)過一次降息，是4%（1﹣x）；經(jīng)過兩次降息，是4%（1﹣x）2．則有方程4%（1﹣x）2＝3.24%．解方程得x＝0.1＝10%或x＝﹣1.9（舍去）．即：平均每次降息的百分率為10%．答案：A．21．某網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)平臺(tái)2022年的新注冊(cè)用戶數(shù)為100萬，2023年的新注冊(cè)用戶數(shù)為169萬，設(shè)新注冊(cè)用戶數(shù)的年平均增長率為x（x＞0），則x＝30%（用百分?jǐn)?shù)表示）．解：新注冊(cè)用戶數(shù)的年平均增長率為x（x＞0），依題意得：100（1+x）2＝169，解得：x1＝0.3，x2＝﹣2.3（不合題意，舍去）．0.3＝30%，∴新注冊(cè)用戶數(shù)的年平均增長率為30%．答案：30%．22．某市為了扎實(shí)落實(shí)脫貧攻堅(jiān)中“兩不愁、三保障”的住房保障工作，去年已投入5億