2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大題題型歸納：用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的六種題型（解析）

第08講用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的六種題型

考法呈現(xiàn)

弘考法一：用空間向量證明平行或垂直

一例題分析

【例7】

如圖所示，已知矩形力BCD和矩形力DEF所在的平面互相垂直，點(diǎn)M,N分別在對(duì)角線BD,4E上，且BM=^BD,

AN=^AE.求證：MN1AD.

【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理推出SB，平面ADEF,進(jìn)一步推出力再根據(jù)空間向量可證

MN1AD.

【詳解】在矩形4BCD中，ABLAD,

因?yàn)槠矫?BCDJ?平面ADEF,且平面ABC。n平面4DEF=4。，力Bu平面2BCD,

所以ABJ_平面4DEF,又因4Fu平面4DEF,所以AB14F,

又麗=麗+或+前=^DB+BA+^AE=^（AB-AD'）-AB+^（AD+AF"）=-|AB+|^4F,

所以而.前=（^-^AB+^AF^-AD=-^AB-AD+^AF-AD0,

所以MN14D.

【例1-2]

在三棱臺(tái)力iBiCi一力BC中，^BAC=90°,力iA_L平面ABC,力=聒AB=AC=2A1C1=2,。為BC的中

點(diǎn).證明：平面力遇。_L平面BCC/i.

【分析】建立如圖所小的空間直角坐標(biāo)系，由空間向量數(shù)量積坐標(biāo)表示求出BC?4。=0,8C-=0,即

可證得BC14D,BC1441，即BC_L平面44D,再由面面垂直的判定定理即可證明.

【詳解】由題意可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,0,0),8(2,0,0),C(0,2,0),4(0,0,8),￡)(1,1,0),所以阮=(-2,2,0),Z5=(1,1,0),=(0,0,73).

因?yàn)槿?AD=-2+2+0=0,BC-A41=0+0+0=0,

所以說(shuō)_1而，近1萬(wàn)1，所以BC14D,BC144i.

又AD=力,力。，力Aiu平面41AD,所以BC1平面力又BCu平面BCCiB。

所以平面1平面BCCiJ.

滿分秘籍

用向量法證明異面直線垂直，可以用基向量法，也可以用空間直角坐標(biāo)系。通過(guò)方向向

量(或法向量)之間的關(guān)系證明垂直或平行。

變式訓(xùn)練

【變式1-1］如圖，在直三棱柱力BC—4181cl中，點(diǎn)E,尸分別為線段AB,4M的中點(diǎn)，4力=力。=BC/ACB=

90°.證明：EF_L平面BiCE.

【分析】根據(jù)已知條件建系，求平面/CE的一個(gè)法向量和而坐標(biāo)進(jìn)而證明線面垂直即可.

【詳解】由直三棱柱4BC-4/1的可知CCi，平面A8C,

因?yàn)镃4CBu平面4BC,所以CCi1C4CC11CB,又因?yàn)镃4_LCB,

所以以｛襦，而，內(nèi)為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)=AC=BC=2,則C(0,0,0),Bi(0,2,2),E(l,L0),F(2,0,l),

所以麗=(1,-1,1),鬲=(0,2,2),EB^=(-1,1,2),

設(shè)平面BiCE的法向量為元=(x,y,z),則上"i=2y+2z=°,

{n?EBi=—%+y+2z=0

令z=-l,則y=l,%=-l,即元=(一1,1,一1)，

所以麗=一元，即而/何，所以EF_L平面％CE.

【變式1-2】如圖，已知六面體力BCDPE的面ABCD為梯形，AB//CD,ABLAD,力B=2,CD=4。=4,

棱P41平面4BCD,PA//BE,P力=4,BE=2,尸為PD的中點(diǎn).

Pl

\l\E

/AB、:

DC

(1)求證：AF//^PBC；

(2)求直線BE與平面PCD所成角的大小.

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法證明線面平行;

(2)求出平面的法向量后利用線面角的向量公式直接求解即可.

【詳解】(1)因?yàn)镻41平面ABCD,所以P414B,PA1AD,S.AB1AD,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

則4(0,0,0),5(0,2,0),￡>(4,0,0),P(0,0,4),F(2,0,2),￡(0,2,2),C(4,4,0),

所以疏=(0,-2,4),方=(4,2,0),衣=(2,0,2),

設(shè)平面BPC的法向量為記=(x,y,z),

則[二%-2y+4z-0,令％=],解得y=_2,z=-l,故記=(1,一2,-1),

(m-BC=4x+2y=0

所以Q?記=2x1+0x(-2)+2x(-1)=0,故前_L記，

又4FC平面PBC,所以4/7/平面PBC.

(2)由(1)^DP=(-4,0,4),DC=(0,4,0),BE=(0,0,2)

設(shè)平面PCD的法向量為￡=(a,8c),貝斗一4瞋"=。，令a=l,解得b=0,c=l,

I4。=0

故元=(1,0,1),所以cos伍?網(wǎng)=簫=焉=?,

設(shè)直線BE與平面PCD所成的角為仇則sin8=《，又8e[0,1,所以

ZLZJ4

【變式1-3]如圖，在長(zhǎng)方體力BCD-4中，AD^AAX=1,AB=3,點(diǎn)E在棱力B上移動(dòng).

AG

4

(1)證明：。速14。；

(2)當(dāng)荏=[9時(shí)，求與平面力CD1所成角的正弦值.

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得D1E14D

(2)利用向量法求得與平面AC內(nèi)所成角的正弦值.

【詳解】(1)以。為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)E(l,t,0),0<t<3,

所以布?DX=(1,t,-1)-(1,0,1)=1-1=0,

所以

(2)當(dāng)荏=(前時(shí)，￡(1,1,0),D^E=(1,1,-1),

4(1,0,0),C(0,3,0),AC=(-l,3,0),CD^=(0,-3,1),

設(shè)平面力CO1的法向量為元=(x,y,z),

則至=7+3尸0,故可設(shè)元=(3,i,3),

[n-CD1――3y+z=0

設(shè)DR與平面AC%所成角為仇

【變式1-4]如圖所示，在正方體43。。-力道?。1中，。為AC與BD的交點(diǎn)，G為。的的中點(diǎn)，求證：&。1

平面GBD.

【分析】要證明①。，平面G5Q,只需證明①。垂直于平面GBD中的兩條相交直線.易知①。18。,而4BDG

中的G,O連接后的線段GO與41。垂直的可能性最大，故不妨嘗試證明必。,G。，由向量的數(shù)量積可知只

需證明4。?0G=0即可，

【詳解】如圖所示，連接。G,

設(shè)4/1=A1%=b,AIA=~c,則無(wú)，人二。，b-~c=0,37=0,|a|=\b\=[c|.

因?yàn)閆]0=A^AH-AO=A^A4~—+40)=A-1A+—{^A.+Z]O])=c+5(a+b),

BD=AD-AB=i4]Z)i—A^B-^=b—a,

OG=OC+CG=Q(AB+40)+—CC-^—~——A^A—5(a+b)——

所以410,BD=卜++—6),G—工)=1?歷—萬(wàn))+Q0+.歷一方)

=c-~b—~c-a+[(所一a?)=[(也j_同2)=0,

A^O-OG=f|(a+b)+c?代@+5)_劌="0+1)2_#

-i?2+；京4-1Q—|c2—0,

所以硒J.麗，A^O1OG,即41O1BD,ArO1OG.

又因?yàn)锽DnOG=。，BDu平面GBD,OGu平面GBD,

所以4。1平面GBD.

弘考法二：用空間向量解決異面直線成角問(wèn)題

>3覆例題分析

【例2】已知三棱臺(tái)力iBiCi—ABC,L^ABC,=AB=AC=4,cos^BAC=-^,。是線段ZiA

中點(diǎn)，且BD1DC.

(1)證明：BD1BjC；

(2)請(qǐng)選擇合適的基底向量，求直線BiC與所成角的余弦值.

【分析】(1)根據(jù)條件結(jié)合余弦定理先求出力M的長(zhǎng)度，然后再證明力。與△4。4當(dāng)相似，從而可證明.

(2)選取基底｛同，前,而｝,分別表示出瓦忑，求出模長(zhǎng)和對(duì)應(yīng)的數(shù)量積，由向量法可得出答案.

【詳解】(1)證明：連接/D.設(shè)4力=a,在△力BC中，由余弦定理得

BC=J42+42-2x4x4x(-=2V10,

又DB=DC=占+16,因?yàn)?D1DC,所以2仔+16)=40,解得a=4,

由于皿=工=也，且=所以△BAD

A^D2ABxx

所以N41DB1=N力BD,所以NBDBi=90°,^BD1BXD,

又因?yàn)?所以BOI面又因?yàn)楫?dāng)Cu面/DC,所以BD_L/C.

(2)選取基底｛拔，前,國(guó)｝,

--->---->--->-->[-->-->--->

B】C=+A^A+AC=——,AB+AC—AA1?

(取『=(-i-XB+ZC-踞y=1+16+16+2x-AB-^4C=35,

~B^C-~AA[=(-^-AB+AC-AA^-~AA^=-16,

3甌,麗卜建=一等

變式訓(xùn)練

【變式2-1】已知正方體4BCD—4B1C1D1，點(diǎn)E為力中點(diǎn)，直線為3交平面CDE于點(diǎn)F.

⑴證明：點(diǎn)尸為的中點(diǎn)；

⑵若點(diǎn)M為棱4/1上一點(diǎn)，且直線MF與平面CDE所成角的正弦值為空，求苦的值.

【詳解】(1)在正方體力BCD-&/的3中，CD//C1D1,又CD0平面AiBiQOi，且的歷u平面48停1。1，

則CD〃平面4/的￡>1，而81cl交平面CDE于點(diǎn)尸，即F6平面CDE/e/Ci，

又B/iu平面公/的。1，有FC平面為B1C1A，因此平面CDEC平面=EF,

于是CD"EF,而E為4小中點(diǎn)，

所以F為81cl的中點(diǎn).

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4D&DD1方向分別為x,y,z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為3,設(shè)/=4(0W4W1),

/Bi、7

則”(3,3尢3),C(0,3,0),E(|,0,3),F仔，3,3),

從而前=g,3A-3,0),CD=(0,3,0),FD=(|,0,3),

設(shè)平面COE的一個(gè)法向量為五二(%,y,z),則

(n-CP=0即，3y一0rx=2

1元?前=0，+3z=0，不妨?。?2,則y=0，即五=(2,0,—1),

z=-1

設(shè)直線MF與平面CDE所成角為仇

又直線MF與平面CDE所成角的正弦值為警,

|麗元|______3______等，解得4=]

因此sin0=而V=J?+(3f2

所以黑=!?

力W13

【變式2-2]如圖，平行六面體ABCD-A/iCi%的所有棱長(zhǎng)都相等，平面CD%Ci1平面N8CD,ADLDC,

二面角。1一4。一。的大小為120°,E為棱Ci/的中點(diǎn).

⑴證明：CDLAE；

⑵點(diǎn)尸在棱CG上，AE〃平面求直線/￡與。尸所成角的余弦值.

【分析】（1）根據(jù)面面垂直可得線面垂直進(jìn)而得線線垂直，由二面角定義可得AD〃C=120。，進(jìn)而根據(jù)中

點(diǎn)得線線垂直即可求,

（2）由線面平行的性質(zhì)可得線線平行，由線線角的幾何法可利用三角形的邊角關(guān)系求解，或者建立空間直

角坐標(biāo)系，利用向量的夾角即可求解.

【詳解】（1）（1）因?yàn)槠矫鍯DDiCi1平面力BCD,且兩平面交線為DC/D_LDC,ADu平面4BCD,

所以4。1平面CDDiJ,所以4D1Di。,力。_LDC,是二面角D1一力D—C的平面角，故

皿DC=120°.

連接DE,E為棱J%的中點(diǎn)，貝UDE,的小,小。1〃。。，從而。￡，以）.

5LAD1CD,DECtADD,DE,4。u平面NED,所以CD_L平面4ED,EDu平面因止匕CD1AE.

（2）解法1：設(shè)力B=2,則DE=一6￡>1（71）2=百，所以」￡■=HE=7AD?+DE2=小.

連4c交BO于點(diǎn)。，連接CE交OF于點(diǎn)G,連。G.因?yàn)?E〃平面BDF,AEu平面4BC,平面4BCn平面BDF=OG

所以4E||OG,因?yàn)?。?C中點(diǎn)，

所以G為CE中點(diǎn)，故。G=^4E=?.且直線0G與DF所成角等于直線力E與DF所成角.

在RtAEDC中，DG/CE=?,因?yàn)??！?魚(yú),

所以cos乙OGD=

2段吟

因此直線AE與DF所成角的余弦值為右

解法2；設(shè)4B=2,則DE=JDR2_（；%的）2=V3,所以CE=AE=>JAD2+DE2=V7.

取DC中點(diǎn)為G,連接EG交DF于點(diǎn)H,貝ijEG=DDr=2.

連接AG交BD于點(diǎn)/,連H/,因?yàn)閆E〃平面BDF,AEciF?AGE,平面/GEn平面2DF=田，所以4E||/H.

H/與DH所成角等于直線AE與DF所成角.

正方形ABCD中，G/=(AG,DI=aDB=管,所以GH=(EG,故H/=[AE=?.

在ADHG中，GH=(EG=|,GD=1,NEG。=60°,

由余弦定理昉=口1K14在△刖中，coszDH/=ShM-=1.

因此直線力E與DF所成角的余弦值為小

解法3:由（1）知DE1平面4BCD,以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，市為無(wú)軸正方向，|瓦?|為2個(gè)單位長(zhǎng)，建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系。-xyz.

由(1)知。。=心得4(2,0,0),B(2,2,。),C(0,2,0),E(0,0,a"0,1,回

則無(wú)1=(0,—1,百)，DC=(0,2,0),AE=(-2,0,73),礪=(2,2,0).

由而=1兩(0WtW1),得赤=反+而=(0,2-

因?yàn)?E〃平面ADE所以存在唯一的九fi&R,

使得4E=ADB+fiDF=4(2,2,0)+“(0,2—t,V3t)=(2A,2A+2〃-卬,6m,

故24=-2,24+2〃—=0,V3/zt=V3,解得t=|,

從而而=（。2，|8）.

所以直線力E與。尸所成角的余弦值為|cos（荏，赤）|=點(diǎn)篇=1.

【變式2-3］如圖，在三棱臺(tái)ABC—481cl中，BA1BC,平面力/道力J_平面A8C,二面角為一8。一力

的大小為45。，AB=2,BC=A1B1=AAT=1.

（1）求證：Ml平面N3C；

（2）求異面直線B4與BiC所成角的余弦值.

【分析】（1）根據(jù)題意可得NB/4=45。，取中點(diǎn)。，連結(jié)。Bi，利用梯形和平行四邊形的相關(guān)性質(zhì)得

到。當(dāng)184貝再利用線面垂直的判定即可得證；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出兩異面直線所在的方向向量，然后利用空間向量

的夾角公式即可求解.

【詳解】（1）因?yàn)槠矫?當(dāng)841平面NBC,

平面41B1B力n平面力BC=AB,BCu平面/2C,

所以BC1平面

又因?yàn)?4i，BBiu平面&B1BA

所以BC144i，BC1BBr,所以NB/2是二面角為一BC-4的平面角,

因?yàn)槎娼菫橐籅C-4的大小為45。，

所以N/B4=45°.

取43中點(diǎn)。，連結(jié)。當(dāng)，

在梯形4B/4中，B^/ZBA,。力=l=Bi4,

所以四邊形是平行四邊形，所以。％=44=1,OB1//AA1,

從而在三角形OB/中，ZfijBO=45°,OB^=OB=1,

所以NBBi。=NBiB。=45°,所以NBOBi=90°,BPOBJ1BA,所以A4i1BA.

又因?yàn)?a_LBC,4B,8Cu平面ABC,ABClBCB,所以叫_1_平面48c.

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。8為x軸，平面/5C內(nèi)過(guò)O平行于8C的直線為y軸，。當(dāng)為z軸，建立如圖所示

則B(l,0,0),公(-1,0,1),%(0,0,1),C(l,l,0),

所以西=(—2,0,1),B^C=(1,1,-1),

所以異面直線B4與當(dāng)C所成角的余弦值為I*1=|^|=f-

【變式2-4］如圖，在三棱錐P-力BC中，P41底面4BC,484。=90。.點(diǎn)￡?、E、N分別為棱PA、PC、BC

的中點(diǎn)，M是線段4。的中點(diǎn)，PA=AC=4,AB=2.

⑴求證：MN//平面8DE；

(2)已知點(diǎn)H在棱P力上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為叫，求線段ZH的長(zhǎng).

【分析】(1)以點(diǎn)2為原點(diǎn)，以4B、4C、AP所在直線分別為小y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向

量法可證得MN//平面BDE；

(2)設(shè)力H=h(0W/iW4),則H(O,O,h),利用空間向量法可得出關(guān)于八的方程，解出h的值，即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：因?yàn)镻4,底面ABC,N8AC=90。，

如圖，以點(diǎn)4為原點(diǎn)，以4B、AC,4P所在直線分別為％、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,0,0)、8(2,0,0)、C(0,4,0),P(0,0,4)、￡>(0,0,2)>E(0,2,2)、”(0,0,1)、N(l,2,0),

DE=(0,2,0),DB=(2,0,-2),

設(shè)平面BDE的法向量為元=(x,y,z),貝上DE=2y=0,

In?DB=2x-2z=0

取％=1,可得元=(1,0,1),

又因?yàn)辂?(1,2,—1),則而?五=1-1=0,所以，M/Vln,

又因?yàn)镸N0平面BDE,所以，MN〃平面BDE.

(2)解：依題意，設(shè)4H=h(0W/iW4),則H(O,O,h),

所以，而=(-1,-2㈤,BE=(-2,2,2),

由已知，得|cos(麗，麗=萼駕=/21=亞

1'“阿”NH|尿藍(lán)X2顯21

整理可得10/12-21/1+8=0,解得h=3或九=i,

所以，線段的長(zhǎng)為第垮.

【變式2-5】如圖，在四棱錐P—ABCD中，平面P力。_L平面4BCD,PA=PD,AD=2CD=2BC=2,CD_LBC,

BC||AD,E,尸分別為AD,PC的中點(diǎn).

(1)證明：PE1CD-,

⑵若BF與CD所成的角為60°,求平面BEF和平面ABE夾角的余弦值.

【分析】(1)由題可得PE,4D,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得PEL平面/BCD,進(jìn)而即得;

(2)利用坐標(biāo)法，根據(jù)面面角的向量求法即得.

【詳解】(1)在△PAD中，PA=PD,E為/。的中點(diǎn)，

?-?PELAD,又,?,平面PADJ_平面N2CD,平面PADC平面力BCD=力。，PEu平面PAD,

PE_L平面ABCD,又CDu平面ABCD,

：.PE1CD.

(2)如圖，連接EC,由條件知BC〃ED,BC=ED,CD1BC,

所以四邊形8a歷為矩形，又PEI平面4BCD,BCu平面4BCD,

所以PE1BC,又BC1BE,BECPE=E,BE,PEu平面PBE,

所以BC1平面PBE,PBu平面PBE,

所以BC1PB,又BF與CO所成的角為60。，CD//BE,

從而NFBE=60。，在RtAPEC中，EF=：PC,

同理在RtAPBC中，BF=^PC,

???EF=BF,

??.△BEF為等邊三角形，即EF=BE=CD=1,

.?.在RtAPEC中，PC=2,EC=五,得PE=6,

以￡為原點(diǎn)，分別以￡/,EB,EP為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則E（0,0,0）,B（0,1,0）,F（-|,I，y）,

.??麗=(0,1,0),FF=(-1,i,y).

設(shè)平面BE尸的法向量為而=(%,y,z),

m■麗—y—0

則一錦i,i,V2n，令z=L得記=(應(yīng)，°，1)，

m?EF=——x+-yH-z=0

22,2

易知平面/BE的一個(gè)法向量為元=(0,0,1),

則cos(m,n)==今

二平面BEF和平面ABE夾角的余弦值為g.

弘考法三：用空間向量解決線面夾角問(wèn)題

函,例題分析

【例3】已知三棱柱4BC—41B1C1中，AB=4C=2,人力==&C=2,NB4C=90，E是8C的中點(diǎn)，F(xiàn)

是線段占的上一點(diǎn).

(1)求證：AB1EF；

⑵設(shè)P是棱44i上的動(dòng)點(diǎn)(不包括邊界)，當(dāng)APBC的面積最小時(shí)，求直線PCi與平面所成角的正弦

值.

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的“三線合一”證明線線垂直，結(jié)合勾股定理證明直線垂直，從而由線面垂直判

定定理得4E1平面ABC,利用線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；

(2)根據(jù)三角形的面積最小，得到P是44的中點(diǎn)，建立坐標(biāo)系求出平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解即

可.

【詳解】(1)證明:連接4百4瓦的

Z.BAC=90°,A8=4C=2,E是BC的中點(diǎn)

AE1BC

LL1r-

BC=y/2AB=242,AE=BE=EC=-BC=&

?.?&4=&B=&C=2,E是BC的中點(diǎn)

22

???ArE1BC,：.AXE=y]ArB-BE=34-2=V2

222

???ArA=AE+AIE,AE1ArE

■：AEPiBC=E,AE,BCu平面力BC

???ArE，平面ABC,vABu平面力BC,ArE1AB,

,??在三棱柱-中，AXCJ/AC,

■■ABA.AC,■■■AB1AXCX,

,-,A]ECl=Ai,41及&C1uAiC^E

???AB，平面4?E,

???EFu平面41clE,???AB1EF.

(2)連接PE,由(1)可知4iE_LBC,AE1BC

■：AEClAXE=E.AE.A^Eu平面力AiE,BCJ■平面

???PEu平面44亞，???BC1PE

???SABCP=PE=V2PE,要使△PBC的面積最小，貝“PE最小,

又?.?HE=AXE=VL△力ME是等腰直角三角形

即PE1時(shí)，PE最小，P是A&的中點(diǎn)，

如圖，建立以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA,EB,E4所在直線分別為x,y,z軸的空間直角坐標(biāo)系:

則4(0,短0),B(-V2,0,0),C(V2,0,0),4式0,0,煙,

設(shè)Ci(x,y,z),貝！MC=&Ci，BP(V2,—V2,0)=(x,y,z—V2),得％=&,y=-V2,z=V2,

即G(短，-VI,偽,

p(o,今當(dāng)，則時(shí)=(短-苧，當(dāng)，

^=(0.-72,72),(-V2-V2,o),

設(shè)平面44//的法向量為記=(x,y,z),

由(沅-AA1=0得f—&丫+&z=0(

即｛■無(wú)y==_Zy，令％=1，則y=-l,z=-1,即沅=(1,一1,一1),

Im-AB=0V2x—V2y=0

設(shè)直線PCi與平面44//所成角為仇

貝！jsin0=Icos<包,PC；>|==2V22V42

1后耳iFxb21

744

即直線PCi與平面441B/所成角的正弦值為等.

滿分秘籍

1.圖示：

【敏變式訓(xùn)練

【變式3-1］如圖，在四棱錐S-4BCD中，底面/BCD為正方形，側(cè)面雙。為等邊三角形,48=2,SC=2a.

(1)證明：平面S4DJ?平面4BCD；

(2)側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)P(尸不在端點(diǎn)處)，使得直線BP與平面"C所成角的正弦值等于亨？若存在,

求出點(diǎn)尸的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)詳解；

(2)存在，點(diǎn)尸為SC的中點(diǎn).

【分析】(1)利用面面垂直的判定定理證明即可;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)米=4元,(0<4<1),由直線AP與平面&4c所成角的

正弦值等于苧，解得2=3即可.

【詳解】(1)證明：因?yàn)榈酌鏋檎叫?，AB=2,所以CD14D,

又因?yàn)閭?cè)面SAD為等邊三角形，所以48=力。=S。=2.

SC=2V2,所以S￡)2+CD2=sc2,即CD1SD,又4。CSD=D,

所以CD_L平面SAD,又因?yàn)镃Du平面4BCD,

所以平面￡4。J_平面4BCD

(2)如圖:

取4D的中點(diǎn)為E,連接SE,因?yàn)閭?cè)面S4D為等邊三角形,

所以SE_L4。,

又由(1)可知平面S力D_L平面4BCD,平面SADC平面ABC。=4D,

SEu平面S4D,所以SE_L平面力BCD,

以E為原點(diǎn)，分別以屈，麗，麗的方向?yàn)?軸，y軸，z軸為正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

4(0,—1,0),5(2,-1,0),5(0,0,V3),￡)(0,1,0),C(2,l,0),

所以元=(2,1,一百)，=(0,-1,-V3),AC=(2,2,0),設(shè)宓=2元,(0<2<1).

SP=(22,A,-V3A),所以P(2；U,W-g；l),所以加=(24—2"+—8/l).

設(shè)平面S4C的法向量為隹=(/瓦c),由于［回.里=。，所以卜"一點(diǎn)c=f.

14c?記=012Q+2b=0

令c=遮，則b=—3,a=3,所以布=(3,-3,舊)，

所以8s〈范前)=孺=k』.

因?yàn)橹本€BP與平面SAC所成角的正弦值等于苧.

所以_______6_______浮，解得4=g或4=1(舍)

V21XV8A2-12A+8

故存在，當(dāng)點(diǎn)尸為SC的中點(diǎn)時(shí)，使得直線2尸與平面S4C所成角的正弦值等于年.

【變式3-2]如圖，P為圓錐的頂點(diǎn)，A,B為底面圓。上兩點(diǎn)，乙4。8=g，E為P8中點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段48上,

且4尸=2FB.

⑴證明：平面/OP_L平面。EF；

(2)若OP=AB,求直線4P與平面。EF所成角的正弦值.

【分析】(1)先證線面垂直再得面面垂直即可；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算即可.

【詳解】(1)設(shè)圓。的半徑為，，

在△力。B中，。力=OB=r,Z.AOB=—,^OAB=

36

故48=V3r,又4F=2FB,故力/=雪，

22

在△力。F中，由余弦定理得OF?=0^+AF2_20A-AF-C0SZ.0AF=|0X=1r,

所以。^2+。尸2=力/2,即。4J.OF；

圓錐中，P。！底面。0,OFu底面。0,故P0_L0F,

又。力ClOP=。，所以。Fl平面40P,

又。Fu平面OEF,所以平面AOP_L平面。EF.

(2)以。為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-tyz,

不妨設(shè)。4=療則。P=AB=百。4=3,。9=亨。4=1,

則4(?0,0),P(0,0,3),B(-y,I，0),4-手，I，I),F(0,1,0),

ZP=(-V3,0,3),荏=(-J,I),OF=(0,1,0),

設(shè)平面OEF的一個(gè)法向量為元=(x,y,z),

有g(shù)?匹=0,即9%+3y+Tz=0,解得元=(2百，0,]),

(71?OF=0y=0

設(shè)直線2P與平面OEF所成角為仇

則Sind=|cos<XP,n)|=盤(pán)篇=|6+3|_V39

V12-V13-26'

【變式3-3】如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面4BCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，ACnBD=0,且P。1平面4BCQ,

P0=2,F,G分別是P8,PD的中點(diǎn)，E是24上一點(diǎn)，且AP=3AE.

（1）求證：BD〃平面EFG；

⑵若=y,求直線P力與平面EFG所成角的余弦值.

【分析】（1）通過(guò)證明BD〃GF即可證明結(jié)論;

（2）以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由選擇條件可得相應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，可得向量P力坐標(biāo)與平面EFG法向量坐

標(biāo)，即可得線面夾角正弦值，從而可得答案.

【詳解】（1）證明：G,尸分別為PD,PB中盤(pán)，：.GF//DB,

又BD之平面GEF,GFu平面GEF,

?-.B。//平面EFG；

（2）底面力BCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，所以力C1BD,又P。1平面4BCD,。力,。8u平面力BCD,

所以P。1OA,PO10B,

如圖所示，以。為原點(diǎn)，以。4OB,OP所在直線為招y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

z

Z.DAB=y,底面A8CD是邊長(zhǎng)為2的菱形，OA=1,OD=OB=V3,

則4L0,0),B(0,丹0),D(0,一遮,0),P(0,0,2),G(0,一孚,1),尸(0,今1).

???PA=(1,0,一2),Q=(-1,0,2),=(1,0,0),

又4P=34E,AE=-AP,OE=OA+-AP=(-,0,-),

33、337

'3237'323)

設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為元=(x,y,z),

21

+o

-X+V-3y-z-

n?EF=—3-o

32=

則21-令久=1,所以元=(1,0,2),

-V-3O

X-y+-Z-2X

n-EG=—323

設(shè)直線P力與平面EFG所成角為仇0e(0W

則5也”鼎=懸=|，故有cose=Vl—sin2e=：

所以直線P4與平面EFG所成角的余弦值:

【變式3-4］在圓柱。1。2中，等腰梯形2BCD為底面圓。1的內(nèi)接四邊形，且力。=DC=BC=1,矩形力BFE

是該圓柱的軸截面，CG為圓柱的一條母線，CG=1.

(1)求證：平面。1CG〃平面力DE；

(2)設(shè)麗=4歷，Ae[0,1],試確定4的值，使得直線4P與平面4BG所成角的正弦值為甯.

【分析】(1)先證明AE〃平面%CG以及4。〃平面0CG,根據(jù)面面平行的判定定理即可證明結(jié)論；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求得平面4BG的一個(gè)法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可

求得答案.

【詳解】(1)在圓柱3。2中，4E〃CG,4EC平面0CG,CGu平面。1CG,

故AE〃平面3CG；

連接。。1，因?yàn)榈妊菪?BCD為底面圓。1的內(nèi)接四邊形，AD=DC=BC=1,

故乙4。)==乙BO1C=]

則△力0道為正三角形，故血。D=NCO/=泉?jiǎng)t力。〃。傳，

ADC平面O/G,OiCu平面。iCG,

故4D〃平面gCG；

5LAEnAD=A,AE,ADu平面ADE,

故平面力DE〃平面0CG.

(2)如圖，以。1為坐標(biāo)原點(diǎn)，在底面圓。1過(guò)點(diǎn)3垂直于平面4BFE作直線為x軸,

以0道,。1。2為y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

由于4。=DC=BC=1,CG=1,由（1）可知4。1=1,

故4（0,-l,0）,B（0,l,0）,G,D（-,E（0,-1,1）,

則荏=（0,2,0）,庶=（一曰9,1）,

設(shè)平面力BG的一個(gè)法向量為元=（x,y,z）,

則g.巫=0,即[,

tn-XG=0[-—x+-y+z^0

令x=2>/3,則無(wú)=（2百,0,3）,

由麗=4福AG[0,1]>OF=（y，-pl）>

可得Pg"孚,_/一：）,.?.標(biāo)=?！苯馹"+刊，

設(shè)直線4P與平面4BG所成角為a。C[0,^],

則sine=|cos伉而）|=鬻=網(wǎng)一3涔匚=臂，

\n\\AP\V12+0+9-V2A2-2A+l35

即得一94+2=0,解得4=]或4=3符合46[0,1],

故A--（或％—|.

【變式3-5]如圖，在直角梯形/BCD中，AD//BC,AD1CD,四邊形CDEF為平行四邊形，對(duì)角線CE和DF

相交于點(diǎn)X,平面CDEFL平面4BCD,BC=2AD,zDCF=60°,G是線段BE上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.

（1）當(dāng)點(diǎn)G為線段的中點(diǎn)時(shí)，證明：AG/mCDEF；

（2）若=1,CD=DE=2,且直線DG與平面CDEF成45。角，求二面角E—DG-F的正弦值.

【分析】（1）連接GH,4G,由三角形中位線和邊長(zhǎng)關(guān)系可知四邊形力DHG是平行四邊形，即可證明4G//平面

CDEF；

（2）根據(jù)題意可知，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，可設(shè)前=4廂利用空間向量即可表示出尻，進(jìn)而確

定G點(diǎn)位置，再分別求得兩平面的法向量即可得出二面角E-DG-F的正弦值為手.

【詳解】（1）證明:

連接GH,ZG,如下圖（1）中所示：

因?yàn)樗倪呅蜟DEF為平行四邊形，所以H是CE中點(diǎn)，

又G點(diǎn)為線段BE的中點(diǎn)，則GH//BC,且GH=^BC,

y,AD//BCS.AD=~BC,所以GH//4D,GH=AD,

所以四邊形4DHG是平行四邊形，所以4G//DH,

又4GC平面CDEF,DHu平面CDEF,所以4G〃平面CDEF；

（2）以C為原點(diǎn)，CB,CD為x,y軸,過(guò)C且在平面CDEF內(nèi)與CD垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如

圖（2）所示:

由平面平面4BCD,Z.DCF=60°,CD=DE=2可知,

ACDF,△DEF均為邊長(zhǎng)為2的正三角形,

貝［|有。(0,2,0),5(2,0,0),E(0,3,V3),F(0,l,呵,

設(shè)泰=ABE=(-22,32,73/1),0<A<1,

則無(wú)=打一而=(一2九32,V3A)-(-2,2,0)=(2—24,34-2,V3A),

了=（1,0,0）為平面CDEF的法向量,

所以|cos(而⑻|=|2-2A|V2

V(2-2A)2+(3A-2)2+3/l2

解得4=?（其中4=0舍去），所以G（l,g,苧）,

m-DE=(x1(yltz。,(0,1,V3)=71+V3Zi=0

設(shè)平面EOG的法向量為隹=（無(wú)力為以1）,則有

m-'DG=(%i，ynzi)?(1,-py)=%i-6+y2i=0

令Zi=l,貝氏1=-V5,yi=-8，故可取隹=（一百,一百,1）.

n-DF=(x2fy2/z2)-(0,-1,V3)=-y2+V3z2=0

設(shè)平面FDG的法向量為元=（%2，丫2,22），則有?

22+^2=

n-DG=(x2ly2,z2)-=無(wú)0

令Z2=1,則第2=。,力=百，故可取元=（0,73,1）

所以=^r=-^-=-

cos(m,n)\m\\n\V7x2Y7-

所以二面角E—OG—F的正弦值為Jl—

即二面角E—DG—尸的正弦值為^

弘考法四：用空間向量解決面面夾角問(wèn)題

畫(huà)例題分析

【例4】如圖，在三棱柱A8C—力iBiCi中，側(cè)面BBiCiC為菱形，NCBBi=60°,48=BC=2,AC=AB、=0.

⑵求平面力CC\&與平面2/iCi夾角的余弦值.

【分析】(1)利用面面垂直的判定定理進(jìn)行證明；

(2)利用垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法進(jìn)行求解.

【詳解】(1)如圖，連接8的，交BiC于。，連接40.

因?yàn)閭?cè)面BBiCiC為菱形，所以BiCiBCi，且。為的中點(diǎn).又4C=4Bi=&,故4。，/C.

又48=BC=2,且NCBBi=60°,所以C。=1,BO=顯,所以4。=V^C2-CO2=1.5LAB=2,所以4B2=

BO2+A02,所以力。1BO.

因?yàn)锽。,CBiu平面BBiQC,BOnCBX=0,所以4。_L平面BB?C.

又4。u平面AC/,所以平面AC/1平面BBiQC.

(2)由(1)知，。4。5。/兩兩互相垂直，因此以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。3,。81，。力所在直線分別為%軸，y軸,

z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一盯z,則4(0,0,1),B(V3,0,0),C(0,-1,0),Q(-V3,0,0).

故西=（一百,1,0）,CA=（0,1,1）,CB=（V3,l,o）.

設(shè)元=01，乃,Z1）為平面4%遇1的一個(gè)法向量，則有產(chǎn),巴=°,即［—京1+乃=°,令久

=1,則元=

IH-Ci4=o（yi+zi=o

（1,73,-73）.

設(shè)行=3，丫2*2）為平面力BC的一個(gè)法向量，則有回.至=°,即j%+Z2=°令犯=1,

則隹=(1,-

百,百）.因?yàn)槠矫媪?%。||平面4BC,所以記=（1,一百，百）也是平面力中忑1的一個(gè)法向量.

所以|cos（元記〉|=*.

|n||7n|V7xv77

所以平面力CQ&與平面&B1C1夾角的余弦值提

滿分秘籍

1圖示：

2計(jì)算公式:

為〃2_l?r^2l

COS9=|cos〈〃1，〃2〉|—

M1IW2I~\ni\\n2\

3易錯(cuò)點(diǎn)：兩個(gè)平面成角范圍是［0自，二面角的范圍［0,元］。

變式訓(xùn)練

【變式4-1］如圖，在四棱錐A—BCDE中，側(cè)面ADE1底面BCDE,底面BCDE為菱形，A.BCD=120°,AE1

AD,/.ADE=30°.

A

B?---------------

(1)若四棱錐力-8CDE的體積為1,求DE的長(zhǎng)；

(2)求平面4BE與平面力CD所成二面角的正弦值.

【答案】(1)2

【分析】(1)過(guò)4作2GLDE于G,連接CE,根據(jù)面面垂直得性質(zhì)可得4G，底面BCDE,設(shè)。E=a,求出4G,

再根據(jù)錐體的體積公式即可得解；

(2)取DE的中點(diǎn)。，連接。C,則。CLDE,以方的方向?yàn)閤軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

利用向量法求解即可.

【詳解】(1)如圖，過(guò)4作4GlDE于G,連接CE,

因?yàn)閭?cè)面ADE1底面BCDE,且側(cè)面ADECl底面BCDE=DE,AGu面ADE,

所以4G，底面BCDE,

設(shè)DE=a,因?yàn)榱14D,N4DE=30。，

所以/G=AD,sin30°=—ctx—=—a,

224

在菱形BCDE中，^BCD=120°,則△BCE為等邊三角形，

則SRCDE=2s△BCE—手次，

所以四棱錐"BCDE的體積V.x小2xfa=9=1,

解得0E=a=2；

(2)取0E的中點(diǎn)0,連接0C,則0C10E,

以玩的方向?yàn)?軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)=4,

則。(0,2,0),E(0,-2,0),。(28,0,0),以2低-4,0),/(0,-1,⑹,

BE='CD=(-273,2,0),EA=(0,1,電DA=^0f-3,V3),

設(shè)平面/BE的法向量為記=Qx,y,z),

nil(m-BE=-2A/3X+2y=0

則—一廠令z=1,得記=(-1,—y/3,1),

Im-=y+V3z=0

設(shè)平面/CO的法向量為針=(%?1),

n?CD=—2y[3x+2y=0

令y'=V3,得五=(1,73,3),

、n-DA=-3y+V3z=0

frill1—?T\TTl'Tl_1—3+3V65

則cos(犯⑴=而而=而后~65~

故平面4BE與平面力CD所成二面角的正弦值為Jl-(-等)2=鬻.

【變式4-2】如圖所示，在四棱錐E—4BCD中，底面力BCD為直角梯形，AB〃CD,4B=[CD,CD1C