廣西南寧市第三中五象校區(qū)學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題（一）（解析版）

南寧三中五象校區(qū)高2023級高二上數(shù)學(xué)（一）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先解對數(shù)不等式求出集合A，再結(jié)合交集定義計算即可.【詳解】因為，所以，即，所以所以.故選：C.2.已知兩條直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由兩直線平行求出，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】當時，，則，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A3.已知直線l傾斜角的余弦值為，且經(jīng)過點，則直線l的方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意利用同角三角關(guān)系可得直線l的斜率，結(jié)合直線的點斜式方程運算求解.【詳解】設(shè)直線l的傾斜角為，則，可得，則直線l的斜率，且直線l經(jīng)過點，所以直線l方程為，即.故選：A.4.已知向量的夾角為，且，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)投影向量的計算公式，結(jié)合已知條件，直接求解即可.【詳解】由題可知：，故在方向上的投影向量為.故選：B.5.已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.【詳解】因為在上單調(diào)遞增，且時，單調(diào)遞增，則需滿足，解得，即a的范圍是.故選：B6.科技是一個國家強盛之根，創(chuàng)新是一個民族進步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國之重器，極目一號（如圖1）是中國科學(xué)院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器．2022年5月，“極目一號”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大氣科學(xué)觀測，最高升空至9050米，超過珠穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇大氣科學(xué)觀測海拔最高的世界紀錄，彰顯了中國的實力．“極目一號”Ⅲ型浮空艇長55米，高19米，若將它近似看作一個半球、一個圓柱和一個圓臺的組合體，正視圖如圖2所示，則“極目一號”Ⅲ型浮空艇的表面積約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)球、圓柱、圓臺的表面積公式計算即可.【詳解】由圖2得半球、圓柱底面和圓臺一個底面的半徑為，而圓臺一個底面的半徑為，圓臺的母線長為，則，，，，所以．故選：A．7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及正弦函數(shù)的單調(diào)性，借助媒介數(shù)比較大小.【詳解】依題意，所以.故選：A8.在中,內(nèi)角所對的邊分別為，若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入計算即可.【詳解】因為，則由正弦定理得.由余弦定理可得:，即:，根據(jù)正弦定理得，所以，因為為三角形內(nèi)角，則，則.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.某公司為保證產(chǎn)品生產(chǎn)質(zhì)量，連續(xù)10天監(jiān)測某種新產(chǎn)品生產(chǎn)線的次品件數(shù)，得到關(guān)于每天出現(xiàn)的次品的件數(shù)的一組樣本數(shù)據(jù)：3，4，3，1，5，3，2，5，1，3，則關(guān)于這組數(shù)據(jù)的結(jié)論正確的是（）A.極差是4 B.眾數(shù)小于平均數(shù)C.方差是1.8 D.數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為4【答案】AC【解析】【分析】由極差的定義計算后判斷選項A；由眾數(shù)和平均數(shù)的定義計算后判斷選項B；計算數(shù)據(jù)方差判斷選項C；計算80%分位數(shù)判斷選項D.【詳解】數(shù)據(jù)從小到大排列為1，1，2，3，3，3，3，4，5，5．對于A，該組數(shù)據(jù)的極差為，故A正確；對于B，眾數(shù)為3，平均數(shù)為，兩者相等，故B錯誤；對于C，方差為，故C正確；對于D，，這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第8個數(shù)和第9個數(shù)的平均數(shù)4.5，故D錯誤．故選：AC．10.已知，，且，則（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)基本不等式逐一判斷即可.【詳解】對于,因為,且,所以，即,當且僅當時等號成立，故錯誤；對于,根據(jù)選項中可知,當且僅當時等號成立，故正確;對于C，,當且僅當時等號成立,故C錯誤;對于D，，當且僅當時等號成立，故D正確.故選：BD.11.如圖，正方體的棱長為1，E為棱的中點，P為底面正方形ABCD內(nèi)（含邊界）的動點，則（）A.三棱錐的體積為定值 B.直線平面C.當時， D.直線與平面所成角的正弦值為【答案】AD【解析】【分析】對于A，將三棱錐轉(zhuǎn)換成后易得其體積為定值；對于B，建系后，證明與平面的法向量不垂直即可排除B項；對于C，設(shè)出，利用證得，再計算，結(jié)果不為0，排除C項；對于D，利用空間向量的夾角公式計算即得.【詳解】對于A，如圖1，因,故A正確；對于B，如圖2建立空間直角坐標系，則,于是，，設(shè)平面法向量為，則，故可取，由知與不垂直，故直線與平面不平行，即B錯誤；對于C，由上圖建系，則,,因P為底面正方形ABCD內(nèi)（含邊界）的動點,不妨設(shè)，則，，由題意，，即，于是，此時，故與不垂直，即C錯誤；對于D，由圖知平面的法向量可取為，因，設(shè)直線與平面所成角為，則，故D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，，若與的夾角是銳角，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】且【解析】【分析】利用平面向量夾角為銳角的充要條件，列出不等式求解作答.【詳解】向量，，由與的夾角是銳角，得且不共線，則，解得且，所以實數(shù)的取值范圍是且.故答案為：且13.已知為第一象限角，為第三象限角，，，則_______.【答案】【解析】【分析】法一：根據(jù)兩角和與差的正切公式得，再縮小的范圍，最后結(jié)合同角的平方和關(guān)系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【詳解】法一：由題意得，因為，，則，，又因為，則，，則，則，聯(lián)立，解得.法二：因為為第一象限角，為第三象限角，則,，，則故答案為：.14.已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】令，得有3個根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解.【詳解】因為，所以，令，則有3個根，令，則有3個根，其中，結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，故，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某校為了增強學(xué)生的身體素質(zhì)，積極開展體育鍛煉，并給學(xué)生的鍛煉情況進行測評打分.現(xiàn)從中隨機選出100名學(xué)生的成績（滿分為100分），按分數(shù)分為，共6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求的值，并求這100名學(xué)生成績的中位數(shù)（保留一位小數(shù)）；（2）若認定評分在80,90內(nèi)的學(xué)生為“運動愛好者”，評分在90,100內(nèi)的學(xué)生為“運動達人”，現(xiàn)采用分層抽樣的方式從不低于80分的學(xué)生中隨機抽取6名學(xué)生參加運動交流會，大會上需要從這6名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生進行經(jīng)驗交流發(fā)言，求抽取的2名發(fā)言者中恰好“運動愛好者”和“運動達人”各1人的概率.【答案】（1），中位數(shù)是分（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和為求得，根據(jù)中位數(shù)的求法求得中位數(shù).（2）先按分層抽樣計算出、抽取的人數(shù)，然后利用列舉法求得所求概率.【小問1詳解】依題意，，解得.前三組的頻率為，所以中位數(shù)為分.【小問2詳解】的頻率為，的頻率為，兩者的比例是，所以抽取的名學(xué)生中，中的有人，記為；在中的有人，記為；從中抽取人，基本事件有，共種，其中恰好“運動愛好者”和“運動達人”各1人的是：，共種，故所求概率為.16.如圖，在四棱錐中平面ABCD，E為PD的中點，，，．（1）求證：平面平面（2）求直線EC與平面PAC所成角的正弦值．【答案】（1）證明見詳解；（2）.【解析】【分析】（1）將問題轉(zhuǎn)化為證明平面，利用已知，結(jié)合勾股定理即可得證；（2）利用（1）中結(jié)論判斷線面角，結(jié)合直角三角形性質(zhì)將所求轉(zhuǎn)化為即可.【小問1詳解】因為平面，平面，所以，由題知，，，所以，由余弦定理得，所以，又，所以，即，因為平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.【小問2詳解】由（1）知，在平面內(nèi)的射影為，所以在平面內(nèi)的射影也為，故直線EC與平面PAC所成角即為.因為，所以，所以，又因為E為PD的中點，所以，所以，所以.17.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷并證明在上的單調(diào)性；（3）解不等式.【答案】（1），．（2）在上為減函數(shù),證明見解析.（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可得，結(jié)合可得，故可求函數(shù)的解析式.（2）根據(jù)單調(diào)性的定義可得在上為增函數(shù)；（3）根據(jù)（2）中的單調(diào)性可求不等式的解.【小問1詳解】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，解得：，∴，而，解得，∴，．【小問2詳解】函數(shù)在上為減函數(shù)；證明如下：任意，且，則，因為，所以，，所以，即，所以函數(shù)在上為減函數(shù)．【小問3詳解】由題意，不等式可化為，所以，解得,所以該不等式的解集為．18.已知的內(nèi)角所對的邊分別是.（1）求角；（2）若外接圓的面積為，且為銳角三角形，求周長的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化邊，可得，再結(jié)合余弦定理，即可求得角B；（2）求出的外接圓半徑，由正弦定理結(jié)合三角恒等變換可表示出，結(jié)合角A的范圍，即可求得答案.【小問1詳解】因為，所以由正弦定理得，化簡可得，由余弦定理得，因為為三角形內(nèi)角，B∈0,π，所以.【小問2詳解】因為的外接圓面積為，故其外接圓半徑為，因為，所以由正弦定理可得故，所以，因為為銳角三角形，則，，即的周長的取值范圍為.19.如下圖，在中，，，D是AC中點，E、F分別是BA、BC邊上的動點，且；將沿EF折起，將點B折至點P的位置，得到四棱錐；（1）求證：；（2）若，二面角是直二面角，求二面角的正切值；（3）當時，求直線PE與平面ABC所成角正弦值的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直判定定理證明線面垂直得出線線垂直；（2）根據(jù)直二面角建立空間直角坐標系求二面角余弦進而求出正弦值計算正切值即可；（3）先建立空間直角坐標系，再設(shè)坐標結(jié)合垂直關(guān)系求參，最后結(jié)合線面角的正弦應(yīng)用以及對勾函數(shù)單調(diào)性得出范圍即可.【小問1詳解】因為，所以，即平面，平面，平面，所以【小問2詳解】因為二面角是直二面角，所以平面平面，平面平面，平面，平面，以分別為軸建立空間直角坐標系，設(shè)平面法向量為，設(shè)平面法向量為，令，得，所以