高二數(shù)學(xué)期中模擬卷02（全解全析）

-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：空間向量與立體幾何+直線和圓的方程+橢圓。5．難度系數(shù)：0.62。第一部分（選擇題共58分）選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知為空間的一個(gè)基底，則下列各組向量中能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【詳解】對(duì)于A，設(shè)，即，解得，所以，，共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)，無解，所以不共面，能構(gòu)成空間的一組基底，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，解得，所以共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，解得，所以共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故D錯(cuò)誤.故選：B.2．直線與直線的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)兩直線的傾斜角分別為，由，則，由，則，即，則兩直線夾角為.故選：B.3．設(shè)定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足條件，則點(diǎn)的軌跡是（

）A．橢圓 B．線段 C．射線 D．橢圓或線段【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，，而，此時(shí)點(diǎn)的軌跡是線段；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓．綜上所述，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓或線段.故選：D.4．如圖所示，在棱長為2的正方體中，E為的中點(diǎn)，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖，以D為原點(diǎn)，分別以所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎襟w的棱長為2，則.所以，又所以.

故選：C.5．已知直線：和直線：，則“”是“∥”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得或，當(dāng)時(shí)，兩直線分別為，符合題意，當(dāng)時(shí)，兩直線分別為符合題意，所以“”是“∥”的充分不必要條件故選：B6．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，為的中點(diǎn)，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如下圖所示：

根據(jù)題意可知，由橢圓定義可得，又為的中點(diǎn)，可得，因?yàn)?，由勾股定理可得，即；結(jié)合整理可得，即，解得或（舍）.故選：C7．已知兩個(gè)不同的圓，均過定點(diǎn)，且圓，均與軸、軸相切，則圓與圓的半徑之積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，圓，的方程為的形式，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，可得關(guān)于的方程，圓，的半徑，是該方程的兩個(gè)不同實(shí)根，所以，同理，當(dāng)點(diǎn)在第二、三、四象限時(shí)也可得．當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，，此時(shí)圓，的圓心分別位于第一、二象限（或第三、四象限），兩圓在點(diǎn)處相切，且，滿足．同理，當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，，同樣滿足．故選：C.8．如圖所示，四面體的體積為，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)分別為線段的三等分點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)的平面與棱分別交于，設(shè)四面體的體積為，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】連接，由題意知：；令，則，，四點(diǎn)共面，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），；設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則點(diǎn)到平面的距離為，又，，，即的最小值為.故選：C.選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（

）A．兩條不重合直線，的方向向量分別是，，則B．兩個(gè)不同的平面，的法向量分別是，，則C．直線的方向向量，平面的法向量是，則D．直線的方向向量，平面的法向量是，則【答案】AB【詳解】兩條不重合直線，的方向向量分別是，，則，所以，A正確；兩個(gè)不同的平面，的法向量分別是，，則，所以，B正確；直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以或，C錯(cuò)誤；直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以，D錯(cuò)誤．故選：AB10．已知直線，圓為圓上任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．的最大值為5B．的最大值為C．直線與圓相切時(shí)，D．圓心到直線的距離最大為4【答案】BC【詳解】圓的方程可化為，所以圓的圓心為，半徑.，Px0所以的最大值為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.如圖所示，當(dāng)直線的斜率大于零且與圓相切時(shí)，最大，此時(shí)，且，B選項(xiàng)正確.直線，即，過定點(diǎn)，若直線與圓相切，則圓心到直線的距離為，即，解得，所以C選項(xiàng)正確.圓心到直線的距離，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC11．已知直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M，N為橢圓的左、右頂點(diǎn)，在橢圓上與關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為Q，則（

）A．若，則橢圓的離心率為B．若，則橢圓的離心率為C．D．若直線平行于x軸，則【答案】ACD【詳解】如圖，直線l與交于G，對(duì)于A，若，則，所以，所以，故A正確；對(duì)于B，設(shè)Ax0,y0，則，且所以，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意可知是中位線，故，故C正確；對(duì)于D，設(shè)點(diǎn)，則直線，因?yàn)橹本€平行于x軸，所以點(diǎn)的中點(diǎn)，所以由點(diǎn)G在直線l上且得，解得，即，因此，故D正確.故選：ACD．第二部分（非選擇題共92分）填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，.【答案】【詳解】設(shè)圓的圓心為，半徑為4，如圖所示：當(dāng)最小時(shí)，與圓M相切，連接，則，，而，由勾股定理得，所以當(dāng)最小時(shí)，.故答案為：.13．下列關(guān)于直線方程的說法正確的是.①直線的傾斜角可以是；②直線l過點(diǎn)，并且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為；③過點(diǎn)的直線的直線方程還可以寫成；④經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線方程可以表示為.【答案】①③【詳解】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，直線方程為：，此時(shí)直線傾斜角為，①正確；對(duì)于②，當(dāng)直線過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)其在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；當(dāng)直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)，則，；綜上所述：過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為：或，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，在直線上，，則，，③正確；對(duì)于④，若或，則過兩點(diǎn)的直線無法表示為，④錯(cuò)誤.故答案為：①③.14．正方體的棱長為，是側(cè)面（包括邊界）上一動(dòng)點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)，若，且的面積是面積的倍，則三棱錐體積的最大值是．【答案】【詳解】由已知平面，平面，所以,因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以，又，所以，又的面積是面積的倍，所以，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，由已知，所以，所以，其中，，所以點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓在側(cè)面內(nèi)的一段圓弧，過點(diǎn)作，因?yàn)槠矫妫云矫?，即平面，所以為三棱錐的高，所以三棱錐的體積，因?yàn)?，，所以，，所以?dāng)時(shí)，取最大值，最大值為，所以當(dāng)時(shí)，三棱錐體積取最大值，最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知直線的方程為：.(1)求證：不論為何值，直線必過定點(diǎn)；(2)過點(diǎn)引直線交坐標(biāo)軸正半軸于兩點(diǎn)，當(dāng)面積最小時(shí)，求的周長.【詳解】（1）證明：由可得：，令，所以直線過定點(diǎn)．5分（2）由（1）知，直線恒過定點(diǎn)，由題意可設(shè)直線的方程為，設(shè)直線與軸，軸正半軸交點(diǎn)為，令x=0，得；令，得，7分所以面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，面積最小，11分此時(shí)，，，的周長為.所以當(dāng)面積最小時(shí)，的周長為13分16．（15分）如圖，在三棱柱中，平面.(1)求證：平面平面；(2)設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值.【詳解】（1）證明平面平面，.又，且平面，平面.平面.又，且平面，平面.平面，平面平面6分（2）由（1）知，所以四邊形為正方形，即，且有.以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，以過點(diǎn)和垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量n=x,y,z，則即取，同理可得平面的一個(gè)法向量，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為15分17．（15分）已知橢圓C：的焦距為，離心率為.(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，直線l：交橢圓C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且的面積為，求t的值.【詳解】（1）由題意得，，，又，則，則，所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為5分（2）由題意設(shè)，，如圖所示：聯(lián)立，整理得，，則，，故設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為，又，則，故，結(jié)合，解得15分18．（17分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.(1)求證：平面.(2)求直線與平面所成角的正弦值.(3)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【詳解】（1）∵平面平面，且平面平面，且，平面，∴平面，∵平面，∴，又，且，平面，∴平面；5分（2）取中點(diǎn)為，連接，又∵，∴．則，∵，∴，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則由，得，令，則．設(shè)與平面的夾角為，則；11分（3）假設(shè)在棱上存在點(diǎn)點(diǎn)，使得平面.設(shè)，，由（2）知，，，，則，，，由（2）知平面的一個(gè)法向量．若平面，則，解得，又平面，故在棱上存在點(diǎn)點(diǎn)，使得平面，此時(shí)17分19．（17分）已知圓O的方程為．(1)求過點(diǎn)的圓的切線方程；(2)已知兩個(gè)定點(diǎn)，，其中，．為圓上任意一點(diǎn)，（為常數(shù)），①求常數(shù)的值；②過點(diǎn)作直線與圓交于、兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰好是線段的中點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（