2023年二輪復習解答題專題二十四：拋物線上的線段長問題的轉化與探究(原卷版+解析)

2023年二輪復習解答題專題二十四：拋物線上的線段長問題的轉化與探究方法點睛二次函數圖象上的線段長問題，往往涉及到以下三類：平行x軸或y軸的線段長，一般的斜線類線段，與線段之間的數量有關的問題。典例分析類型一：平行于x軸或y軸的線段長的問題例1：（2022貴港中考）如圖，已知拋物線經過和兩點，直線與x軸相交于點C，P是直線上方的拋物線上的一個動點，軸交于點D．（1）求該拋物線的表達式；（2）若軸交于點E，求的最大值；（3）若以A，P，D為頂點的三角形與相似，請直接寫出所有滿足條件的點P，點D的坐標．類型二：一般的斜線類線段問題例2：（2022眉山中考）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，（點在點的左側），與軸交于點，且點的坐標為．（1）求點坐標；（2）如圖1，若點是第二象限內拋物線上一動點，求點到直線距離的最大值；（3）如圖2，若點是拋物線上一點，點是拋物線對稱軸上一點，是否存在點使以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．類型三：與線段之間的數量有關的問題例3：（2022樂山中考）如圖1，已知二次函數的圖象與x軸交于點、，與y軸交于點C，且．（1）求二次函數的解析式；（2）如圖2，過點C作軸交二次函數圖象于點D，P是二次函數圖象上異于點D的一個動點，連接PB、PC，若，求點P的坐標；（3）如圖3，若點P是二次函數圖象上位于BC下方的一個動點，連接OP交BC于點Q．設點P的橫坐標為t，試用含t的代數式表示的值，并求的最大值．專題過關1.（2022益陽中考）（12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的頂點P在拋物線F：y＝ax2上，直線x＝t與拋物線E，F(xiàn)分別交于點A，B．（1）求a的值；（2）將A，B的縱坐標分別記為yA，yB，設s＝y(tǒng)A﹣yB，若s的最大值為4，則m的值是多少？（3）Q是x軸的正半軸上一點，且PQ的中點M恰好在拋物線F上．試探究：此時無論m為何負值，在y軸的負半軸上是否存在定點G，使∠PQG總為直角？若存在，請求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．2．（2022湘西中考）（12分）定義：由兩條與x軸有著相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”，如圖①，拋物線C1：y＝x2+2x﹣3與拋物線C2：y＝ax2+2ax+c組成一個開口向上的“月牙線”，拋物線C1和拋物線C2與x軸有著相同的交點A（﹣3，0）、B（點B在點A右側），與y軸的交點分別為G、H（0，﹣1）．（1）求拋物線C2的解析式和點G的坐標．（2）點M是x軸下方拋物線C1上的點，過點M作MN⊥x軸于點N，交拋物線C2于點D，求線段MN與線段DM的長度的比值．（3）如圖②，點E是點H關于拋物線對稱軸的對稱點，連接EG，在x軸上是否存在點F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．3.（2022廣元中考）在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x﹣2與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經過A，B兩點，并與x軸的正半軸交于點C．（1）求a，b滿足的關系式及c的值；（2）當a＝時，若點P是拋物線對稱軸上的一個動點，求△PAB周長的最小值；（3）當a＝1時，若點Q是直線AB下方拋物線上的一個動點，過點Q作QD⊥AB于點D，當QD的值最大時，求此時點Q的坐標及QD的最大值．4.（2022德陽中考）拋物線的解析式是．直線與軸交于點，與軸交于點，點與直線上的點關于軸對稱．（1）如圖①，求射線的解析式；（2）在（1）的條件下，當拋物線與折線有兩個交點時，設兩個交點的橫坐標是x1，x2（），求的值；（3）如圖②，當拋物線經過點時，分別與軸交于，兩點，且點在點的左側．在軸上方的拋物線上有一動點，設射線與直線交于點．求的最大值．5．（2022內江中考）（12分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點C（0，2）．（1）求這條拋物線所對應的函數的表達式；（2）若點D為該拋物線上的一個動點，且在直線AC上方，求點D到直線AC的距離的最大值及此時點D的坐標；（3）點P為拋物線上一點，連接CP，直線CP把四邊形CBPA的面積分為1：5兩部分，求點P的坐標．6.（2022山西中考）綜合與探究如圖，二次函數的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點P是第一象限內二次函數圖象上的一個動點，設點P的橫坐標為m．過點P作直線軸于點D，作直線BC交PD于點E

（1）求A，B，C三點的坐標，并直接寫出直線BC的函數表達式；（2）當是以PE為底邊的等腰三角形時，求點P的坐標；（3）連接AC，過點P作直線，交y軸于點F，連接DF．試探究：在點P運動的過程中，是否存在點P，使得，若存在，請直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．7.（2022撫順中考）如圖，拋物線與x軸交于，B兩點，與y軸交于點，點D為x軸上方拋物線上的動點，射線交直線于點E，將射線繞點O逆時針旋轉得到射線，交直線于點F，連接．

（1）求拋物線的解析式；（2）當點D在第二象限且時，求點D的坐標；（3）當為直角三角形時，請直接寫出點D的坐標．8.（2022湘潭中考）已知拋物線．（1）如圖①，若拋物線圖象與軸交于點，與軸交點．連接．①求該拋物線所表示的二次函數表達式；②若點是拋物線上一動點（與點不重合），過點作軸于點，與線段交于點．是否存在點使得點是線段的三等分點？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．（2）如圖②，直線與軸交于點，同時與拋物線交于點，以線段為邊作菱形，使點落在軸的正半軸上，若該拋物線與線段沒有交點，求的取值范圍．9.（2022武漢中考）拋物線交軸于A，兩點（A在的左邊），是第一象限拋物線上一點，直線交軸于點．

（1）直接寫出A，兩點的坐標；（2）如圖（1），當時，在拋物線上存在點（異于點），使，兩點到的距離相等，求出所有滿足條件的點的橫坐標；（3）如圖（2），直線交拋物線于另一點，連接交軸于點，點的橫坐標為．求的值（用含的式子表示）．10.（2022齊齊哈爾中考）綜合與探究如圖，某一次函數與二次函數的圖象交點為A（-1，0），B（4，5）．

（1）求拋物線的解析式；（2）點C為拋物線對稱軸上一動點，當AC與BC的和最小時，點C的坐標為；（3）點D為拋物線位于線段AB下方圖象上一動點，過點D作DE⊥x軸，交線段AB于點E，求線段DE長度最大值；（4）在（2）條件下，點M為y軸上一點，點F為直線AB上一點，點N為平面直角坐標系內一點，若以點C，M，F(xiàn)，N為頂點的四邊形是正方形，請直接寫出點N的坐標．11.已知拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側）．

（1）求點A，點B的坐標；（2）如圖，過點A的直線與拋物線的另一個交點為C，點P為拋物線對稱軸上的一點，連接，設點P的縱坐標為m，當時，求m的值；（3）將線段AB先向右平移1個單位長度，再向上平移5個單位長度，得到線段MN，若拋物線與線段MN只有一個交點，請直接寫出a的取值范圍．12.（2022年重慶中考B卷）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點，與y軸交于點．（1）求拋物線的函數表達式；（2）點P為直線上方拋物線上一動點，過點P作軸于點Q，交于點M，求的最大值及此時點P的坐標；（3）在（2）的條件下，點與點P關于拋物線的對稱軸對稱．將拋物線向右平移，使新拋物線的對稱軸l經過點A．點C在新拋物線上，點D在l上，直接寫出所有使得以點A、、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形的點D的坐標，并把求其中一個點D的坐標的過程寫出來．13.（2022重慶中考A卷）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與直線交于點，．（1）求該拋物線的函數表達式；（2）點是直線下方拋物線上的一動點，過點作軸的平行線交于點，過點作軸的平行線交軸于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）在（2）中取得最大值的條件下，將該拋物線沿水平方向向左平移5個單位，點為點的對應點，平移后的拋物線與軸交于點，為平移后的拋物線的對稱軸上一點．在平移后的拋物線上確定一點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點的坐標的其中一種情況的過程．14.（2022河南天一大聯(lián)考）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣4交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，OB＝2OC＝4OA，連接AC，BC．（1）求拋物線的解析式；（2）點D是拋物線y＝ax2+bx﹣4的圖象上在第四象限內的一動點，DE⊥x軸于點E，交BC于點F．設點D的橫坐標為m．①請用含m的代數式表示線段DF的長；②已知DG∥AC，交BC于點G，請直接寫出當時點D的坐標．15.（2022商丘二模）在平面直角坐標系中，拋物線解析式為，直線l：y=－x＋1與x軸交于點A，與y軸交于點B．（1）如圖1，當拋物線經過點A且與x軸的兩個交點都在y軸右側時，求拋物線的解析式．（2）在（1）的條件下，若點P為直線l上方的拋物線上一點，過點P作PQ⊥l于Q，求PQ的最大值．（3）如圖2，點C（－2，0），若拋物線與線段AC只有一個公共點，求m取值范圍．16.（2022南陽唐河一模）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（﹣1，0），C（2，3）兩點，與y軸交于點N，其項點為D．（1）填空：拋物線的解析式為；（2）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，設點P的橫坐標為t，過點P作y軸的平行線交AC與M，當t為何值時，線段PM的長最大，并求其最大值；（3）若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B，E為直線AC上的任意一點，過點E作EF∥BD交拋物線于點F，以B，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，請直接寫出點E的坐標；若不能，請說明理由．17.（2022大同二模）如圖，已如二次函數的圖象與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交于點C．

（1）求點A、B、C的坐標并直接寫出直線BC的關系式；（2）若D是第四象限內二次函數圖象上任意一點，軸于點E，與線段BC交于點F，過點F作軸于點G，連接CD．①求線段的最大值；②當是以FC為腰的等腰三角形時，請直接寫出點E的坐標．18.（2022深圳三模）如圖1，拋物線經過點，點．（1）求拋物線解析式；（2）如圖2，點P為拋物線上第三象限內一動點，過點作y軸的平行線，交直線于點M，交直線于點N，當點P運動時，的值是否變化？若變化，說明變化規(guī)律，若不變，求其值；（3）如圖3，長度為的線段（點C在點D的左邊）在射線上移動（點C在線段上），連接，過點C作CEOD交拋物線于點E，線段在移動的過程中，直線經過一定點F，直接寫出定點F的坐標與的最小值．2023年二輪復習解答題專題二十四：拋物線上的線段長問題的轉化與探究方法點睛二次函數圖象上的線段長問題，往往涉及到以下三類：平行x軸或y軸的線段長，一般的斜線類線段，與線段之間的數量有關的問題。典例分析類型一：平行于x軸或y軸的線段長的問題例1：（2022貴港中考）如圖，已知拋物線經過和兩點，直線與x軸相交于點C，P是直線上方的拋物線上的一個動點，軸交于點D．（1）求該拋物線的表達式；（2）若軸交于點E，求的最大值；（3）若以A，P，D為頂點的三角形與相似，請直接寫出所有滿足條件的點P，點D的坐標．【答案】（1）（2）最大值為（3）或，【解析】【分析】（1）直接利用待定系數法，即可求出解析式；（2）先求出點C的坐標為，然后證明，設點P的坐標為，其中，則點D的坐標為，分別表示出和，再由二次函數的最值性質，求出答案；（3）根據題意，可分為兩種情況進行分析：當∽時；當∽時；分別求出兩種情況點的坐標，即可得到答案．【小問1詳解】解：（1）∵拋物線經過和兩點，∴解得：，，∴拋物線的表達式為．【小問2詳解】解：∵，∴直線表達式為，∵直線與x軸交于點C，∴點C的坐標為，∵軸，軸，∴，∴，∴，則，設點P的坐標為，其中，則點D的坐標為，∵，∴，∵，∴當時，有最大值，且最大值為．【小問3詳解】解：根據題意，在一次函數中，令，則，∴點C的坐標為（2，0）；當∽時，如圖此時點D與點C重合，∴點D的坐標為（2，0）；∵軸，∴點P的橫坐標為2，∴點P的縱坐標為：，∴點P的坐標為（2，3）；當∽時，如圖，則，設點，則點P，∴，∵，∴，，∴，∴，∴點D的坐標為，點P的坐標為；∴滿足條件的點P，點D的坐標為或，．【點睛】本題考查了二次函數的圖像和性質，坐標與圖形，相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質，二次函數的圖像和性質，運用數形結合的思想進行分析．類型二：一般的斜線類線段問題例2：（2022眉山中考）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，（點在點的左側），與軸交于點，且點的坐標為．（1）求點坐標；（2）如圖1，若點是第二象限內拋物線上一動點，求點到直線距離的最大值；（3）如圖2，若點是拋物線上一點，點是拋物線對稱軸上一點，是否存在點使以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）最大為（3）存在，的坐標為或（3，-16）或【解析】【分析】（1）把點A的坐標代入，求出c的值即可；（2）過作于點，過點作軸交于點，證明是等腰直角三角形，得，當最大時，最大，，運用待定系數法求直線解析式為，設，，則，求得PH，再根據二次函數的性質求解即可；（3）分①當AC為平行四邊形ANMC的邊，②當AC為平行四邊形AMNC的邊，③當AC為對角線三種情況討論求解即可．【小問1詳解】（1）∵點在拋物線的圖象上，∴∴，∴點的坐標為；【小問2詳解】過作于點，過點作軸交于點，如圖：∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵軸，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴當最大時，最大，設直線解析式為，將代入得，∴，∴直線解析式為，設，，則，∴，∵，∴當時，最大為，∴此時最大為，即點到直線的距離值最大；【小問3詳解】存在．∵∴拋物線的對稱軸為直線，設點N的坐標為（-2，m），點M的坐標為（x，）分三種情況：①當AC為平行四邊形ANMC的邊時，如圖，∵A（-5，0），C（0，5），∴，即解得，x=3.∴∴點M的坐標為（3，-16）②當AC為平行四邊形AMNC的邊長時，如圖，方法同①可得，，∴∴點M的坐標為（-7，-16）；③當AC為對角線時，如圖，∵A（-5，0），C（0，5），∴線段AC的中點H的坐標為，即H（）∴，解得，。∴∴點M的坐標為（-3，8）綜上，點的坐標為：或（3，-16）或．【點睛】本題是二次函數綜合題，其中涉及到二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數圖象與幾何變換，二次函數的性質，平行四邊形的判定與性質．熟知幾何圖形的性質利用數形結合是解題的關鍵．類型三：與線段之間的數量有關的問題例3：（2022樂山中考）如圖1，已知二次函數的圖象與x軸交于點、，與y軸交于點C，且．（1）求二次函數的解析式；（2）如圖2，過點C作軸交二次函數圖象于點D，P是二次函數圖象上異于點D的一個動點，連接PB、PC，若，求點P的坐標；（3）如圖3，若點P是二次函數圖象上位于BC下方的一個動點，連接OP交BC于點Q．設點P的橫坐標為t，試用含t的代數式表示的值，并求的最大值．【答案】（1）；（2）P（1+）或（1-）；（3）【解析】【分析】（1）在Rt△AOC中求出OC的長，從而確定點C的坐標，將二次函數設為交點式，將點C的坐標代入，進一步求得結果；（2）可分為點P在第三象限和第一象限兩種情況：當點P在第三象限時，設點P（a，），可表示出△BCD的面積，作PE∥AB交BC于E，先求出直線BC，從而得到E點坐標，從而表示出△PBC的面積，根據S△PBC=S△BCD，列出方程，進一步求得結果，當P在第一象限，同樣的方法求得結果；（3）作PN⊥AB于N，交BC于M，根據P（t，），M（t，），表示出PM的長，根據PN∥OC，得出△PQM∽△OQC，從而得出，從而得出的函數表達式，進一步求得結果．【小問1詳解】∵A（-1，0），∴OA=1，又∵∠AOC=90°，tan∠OAC=，∴OC=2OA=2即點C的坐標為（0，-2），設二次函數的解析式為y=a（x+1）（x-2），將C點坐標代入得：a=1，∴y=（x+1）（x-2）=；【小問2詳解】設點P（a，），如圖所示，當點P在第三象限時，作PE∥AB交BC于E，∵B（2，0），C（0，-2），∴直線BC的解析式為：y=x-2，∴當時，x=y+2=，∴PE==，∴S△PBC=PE·OC，∵拋物線的對稱軸為y=，CD∥x軸，C（0，-2），∴點D（1，-2），∴CD=1，∴S△BCD=CD·OC，∴PE·OC=CD·OC，∴a2-2a=1，解得a1=1+（舍去），a2=1-；當x=1-時，y==a-1=-，∴P（1-，-），如圖，當點P在第一象限時，作PE⊥x軸于點E，交直線BC于F，∴F（a，a-2），∴PF=（）-（a-2）=，∴S△PBC=PF·OB=CD·OC，∴=1，解得a1=1+，a2=1-（舍去）；當a=1+時，y==，∴P（1+，），綜上所述，P點坐標為（1+）或（1-）；【小問3詳解】如圖，作PN⊥AB于N，交BC于M，由題意可知，P（t，），M（t，t-2），∴PM=（t-2）-（）=-，又∵PN∥OC，∴△PQM∽△OQC，∴+，∴當t=1時，()最大=．【點睛】本題考查二次函數的綜合應用，三角函數的應用、二次函數的解析式、相似三角形的綜合和配方法求最值等，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解決此類問題的關鍵．專題過關1.（2022益陽中考）（12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的頂點P在拋物線F：y＝ax2上，直線x＝t與拋物線E，F(xiàn)分別交于點A，B．（1）求a的值；（2）將A，B的縱坐標分別記為yA，yB，設s＝y(tǒng)A﹣yB，若s的最大值為4，則m的值是多少？（3）Q是x軸的正半軸上一點，且PQ的中點M恰好在拋物線F上．試探究：此時無論m為何負值，在y軸的負半軸上是否存在定點G，使∠PQG總為直角？若存在，請求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由拋物線的頂點式可直接得出頂點P的坐標，再代入拋物線F即可得出結論；（2）根據題意可分別表達A，B的縱坐標，再根據二次函數的性質可得出m的值；（3）過點Q作x軸的垂線KN，分別過點P，G作x軸的平行線，與KN分別交于K，N，則△PKQ∽△QNG，設出點M的坐標，可表達點Q和點G的坐標，進而可得出結論．【解答】解：（1）由題意可知，拋物線E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的頂點P的坐標為（m，2m2），∵點P在拋物線F：y＝ax2上，∴am2＝2m2，∴a＝2．（2）∵直線x＝t與拋物線E，F(xiàn)分別交于點A，B，∴yA＝﹣（t﹣m）2+2m2＝﹣t2+2mt+m2，yB＝2t2，∴s＝y(tǒng)A﹣yB＝﹣t2+2mt+m2﹣2t2＝﹣3t2+2mt+m2＝﹣3（t﹣m）2+m2，∵﹣3＜0，∴當t＝m時，s的最大值為m2，∵s的最大值為4，∴m2＝4，解得m＝±，∵m＜0，∴m＝﹣．（3）存在，理由如下：設點M的坐標為n，則M（n，2n2），∴Q（2n﹣m，4n2﹣m2），∵點Q在x軸正半軸上，∴2n﹣m＞0且4n2﹣m2＝0，∴n＝﹣m，∴M（﹣m，m2），Q（﹣m﹣m，0）．如圖，過點Q作x軸的垂線KN，分別過點P，G作x軸的平行線，與KN分別交于K，N，∴∠K＝∠N＝90°，∠QPK+∠PQK＝90°，∵∠PQG＝90°，∴∠PQK+∠GQN＝90°，∴∠QPK＝∠GQN，∴△PKQ∽△QNG，∴PK：QN＝KQ：GN，即PK?GN＝KQ?QN．∵PK＝﹣m﹣m﹣m＝﹣m﹣2m，KQ＝2m2，GN＝﹣m﹣m，∴（﹣m﹣2m）（﹣m﹣m）＝2m2?QN解得QM＝．∴G（0，﹣）．【點評】本題屬于二次函數綜合題，涉及待定系數法求函數解析式，二次函數的性質，相似三角形的性質與判定，中點坐標公式等知識，構造相似得出方程是解題關鍵．2．（2022湘西中考）（12分）定義：由兩條與x軸有著相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”，如圖①，拋物線C1：y＝x2+2x﹣3與拋物線C2：y＝ax2+2ax+c組成一個開口向上的“月牙線”，拋物線C1和拋物線C2與x軸有著相同的交點A（﹣3，0）、B（點B在點A右側），與y軸的交點分別為G、H（0，﹣1）．（1）求拋物線C2的解析式和點G的坐標．（2）點M是x軸下方拋物線C1上的點，過點M作MN⊥x軸于點N，交拋物線C2于點D，求線段MN與線段DM的長度的比值．（3）如圖②，點E是點H關于拋物線對稱軸的對稱點，連接EG，在x軸上是否存在點F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）將A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，即可求函數的解析式；（2）設M（t，t2+2t﹣3），則D（t，t2+t﹣1），N（t，0），分別求出MN，DM，再求比值即可；（3）先求出E（﹣2，﹣1），設F（x，0），分來兩種情況討論：①當EG＝EF時，2＝，可得F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②當EG＝FG時，2＝，F(xiàn)點不存在．【解答】解：（1）將A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，∴，解得，∴y＝x2+x﹣1，在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，則y＝﹣3，∴G（0，﹣3）；（2）設M（t，t2+2t﹣3），則D（t，t2+t﹣1），N（t，0），∴NM＝﹣t2﹣2t+3，DM＝t2+t﹣1﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t2﹣t+2，∴＝＝；（3）存在點F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形，理由如下：由（1）可得y＝x2+2x﹣3的對稱軸為直線x＝﹣1，∵E點與H點關于對稱軸x＝﹣1對稱，∴E（﹣2，﹣1），設F（x，0），①當EG＝EF時，∵G（0，﹣3），∴EG＝2，∴2＝，解得x＝﹣2或x＝﹣﹣2，∴F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②當EG＝FG時，2＝，此時x無解；綜上所述：F點坐標為（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）．【點評】本題考查二次函數的圖象及性質，熟練掌握二次函數的圖象及性質，等腰三角形的性質，分類討論是解題的關鍵．3.（2022廣元中考）在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x﹣2與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經過A，B兩點，并與x軸的正半軸交于點C．（1）求a，b滿足的關系式及c的值；（2）當a＝時，若點P是拋物線對稱軸上的一個動點，求△PAB周長的最小值；（3）當a＝1時，若點Q是直線AB下方拋物線上的一個動點，過點Q作QD⊥AB于點D，當QD的值最大時，求此時點Q的坐標及QD的最大值．【答案】（1）2a=b+1，c=-2；（2）△PAB周長最小值是2+2；（3）此時Q（-1，-2），DQ最大值為．【解析】【分析】（1）先求得點A、點B的坐標，再利用待定系數法求解即可；（2）先利用對稱性找出△PAB周長最小時點P的位置，此時AP=CP，△PAB的周長最小值為：PB+PA+AB=BC+AB，根據勾股定理求出AB、BC的長即可求出△PAB最小值；（3）過點Q作QF⊥x軸交于F點，交直線AB于點E，得到∠QED=∠EQD=45°，推出QD=ED=EQ，設Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），求得QE=-t2-2t，再利用二次函數的性質即可求解．【小問1詳解】解：∵直線y＝﹣x﹣2與x軸交于點A，與y軸交于點B，∴點A的坐標為(-2，0)，點B的坐標為(0，-2)，∵拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經過A，B兩點，∴，∴2a=b+1，c=-2；【小問2詳解】解：當a=時，則b=-，∴拋物線的解析式為y=x2-x-2，拋物線的對稱軸為直線x=1，∵點A的坐標為(-2，0)，∴點C的坐標為(4，0)，△PAB的周長為：PB+PA+AB，且AB是定值，∴當PB+PA最小時，△PAB的周長最小，∵點A、C關于直線x=1對稱，∴連接BC交直線x=1于點P，此時PB+PA值最小，∵AP=CP，∴△PAB的周長最小值為：PB+PA+AB=BC+AB，∵A（-2，0），B（0，-2），C（4，0），∴OA=2，OB=2，OC=4，由勾股定理得BC=2，AB=2，∴△PAB的周長最小值是：2+2．【小問3詳解】解：當a=1時，b=1，∴拋物線的解析式為y=x2+x-2，過點Q作QF⊥x軸交于F點，交直線AB于點E，∵A（-2，0），B（0，-2），∴OA=OB，∴∠OAB=45°，∵QD⊥AB，∴∠AEF=∠QED=∠EQD=45°，∴QD=ED=EQ，設Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），∴QE=-t-2-(t2+t-2)=-t2-2t，∴DQ=QE=-(t2+2t)=-(t+1)2+，當t=-1時，DQ有最大值，此時Q（-1，-2）．【點睛】本題是二次函數的綜合題，熟練掌握二次函數的圖象及性質，等腰直角三角形的性質是解題的關鍵．4.（2022德陽中考）拋物線的解析式是．直線與軸交于點，與軸交于點，點與直線上的點關于軸對稱．（1）如圖①，求射線的解析式；（2）在（1）的條件下，當拋物線與折線有兩個交點時，設兩個交點的橫坐標是x1，x2（），求的值；（3）如圖②，當拋物線經過點時，分別與軸交于，兩點，且點在點的左側．在軸上方的拋物線上有一動點，設射線與直線交于點．求的最大值．【答案】（1），（2）4（3）【解析】【分析】（1）先求出直線與坐標軸的交點M、E的坐標，根據G(5,-3)、F關于x軸對稱求出F點坐標，再利用待定系數法即可求解；（2）求出拋物線的對稱軸x=2，可確定M點在拋物線對稱軸上，可確定拋物線與折線EMF的兩個交點，必然是一個點落在射線ME上，一個點落在射線MF，即可得到，①-②，得到，則問題得解；（3）先求出拋物線的解析式，再求出拋物線與x軸的交點A、B坐標，設P點坐標為，根據A、P的坐標求出直線AP的解析式，即可求出AP與ME的交點N的坐標，即可用含a的代數式表示出和，即可得到，則問題得解．【小問1詳解】∵直線與坐標軸交于點M、E，∴令x=0時，y=2；令y=0時，x=2，∴M點坐標為(2,0)，E點坐標為(0,2)，∵G(5,-3)，且點G、F關于x軸對稱，∴F(5,3)，設射線MF的解析式為，，∵M點坐標為(2,0)，F(xiàn)(5,3)，∴，解得：，∴射線MF的解析式為，，【小問2詳解】根據題意可知射線ME的解析式為：，，在（1）中已求得射線MF的解析式為，，∵的對稱軸為x=2，又∵M點(2,0)，∴M點剛好在的對稱軸為x=2上，∴拋物線與折線EMF的兩個交點，必然是一個點落在射線ME上，一個點落在射線MF，∵，∴此時交點的坐標為、，且、，∵、在拋物線上，∴，由①-②，得：，整理得：∵、，∴，∴，∴，∴；【小問3詳解】∵拋物線過點C(0,5)，∴代入C點坐標可得a=5，∴拋物線解析式，令y=0，得，解得：，，∴A點坐標(-1,0)、B點坐標為(5,0)，∵P點在拋物線上，∴設P點坐標為，顯然A、P不重合，即a≠-1，∵P點在x軸上方，∴，設直線AP的解析式為，∴即有，解得，即直線AP的解析式為：，聯(lián)立，解得，∴N點坐標為，∵P點坐標為，A點坐標(-1,0)，∴，∴，∴，∴，∵，且通過圖像可知，只有當P點在直線ME上方時，的值才有可能取得最大值，∴，即，∴即有，∴，∴當時，取的最大值，且最大值為：，即的最大值為．【點睛】本題考查了用待定系數法求解析式、拋物線與一元二次方程的根的知識、勾股定理、二次函數求最值等知識，本題的計算量較大，仔細化簡所表示出和的代數式是解答本題的關鍵．5．（2022內江中考）（12分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點C（0，2）．（1）求這條拋物線所對應的函數的表達式；（2）若點D為該拋物線上的一個動點，且在直線AC上方，求點D到直線AC的距離的最大值及此時點D的坐標；（3）點P為拋物線上一點，連接CP，直線CP把四邊形CBPA的面積分為1：5兩部分，求點P的坐標．【分析】（1）運用待定系數法即可解決問題；（2）過點D作DH⊥AB于H，交直線AC于點G，過點D作DE⊥AC于E，可用待定系數法求出直線AC的解析式，設點D的橫坐標為m，則點G的橫坐標也為m，從而可以用m的代數式表示出DG，然后利用cos∠EDG＝cos∠CAO得到DE＝DG，可得出關于m的二次函數，運用二次函數的最值即可解決問題；（3）根據S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，即可求解．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點C（0，2）．∴，解得：，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+2；（2）過點D作DH⊥AB于H，交直線AC于點G，過點D作DE⊥AC于E，如圖．設直線AC的解析式為y＝kx+t，則，解得：，∴直線AC的解析式為y＝x+2．設點D的橫坐標為m，則點G的橫坐標也為m，∴DH＝﹣m2﹣m+2，GH＝m+2∴DG＝﹣m2﹣m+2﹣m﹣2＝﹣m2﹣m，∵DE⊥AC，DH⊥AB，∴∠EDG+DGE＝AGH+∠CAO＝90°，∵∠DGE＝∠AGH，∴∠EDG＝∠CAO，∴cos∠EDG＝cos∠CAO＝＝，∴，∴DE＝DG＝（﹣m2﹣m）＝﹣（m2+4m）＝﹣（m+2）2+，∴當m＝﹣2時，點D到直線AC的距離取得最大值．此時yD＝﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+2＝2，即點D的坐標為（﹣2，2）；（3）如圖，設直線CP交x軸于點E，直線CP把四邊形CBPA的面積分為1：5兩部分，又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，則BE：AE＝1：5或5：1則AE＝5或1，即點E的坐標為（1，0）或（﹣3，0），將點E的坐標代入直線CP的表達式：y＝nx+2，解得：n＝﹣2或，故直線CP的表達式為：y＝﹣2x+2或y＝x+2，聯(lián)立方程組或，解得：x＝6或﹣（不合題意值已舍去），故點P的坐標為（6，﹣10）或（﹣，﹣）．【點評】本題是二次函數綜合題，考查了待定系數法求函數的解析式，二次函數的性質，銳角三角函數、圖象面積計算等，解決問題的關鍵是將面積比轉化為線段比．6.（2022山西中考）綜合與探究如圖，二次函數的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點P是第一象限內二次函數圖象上的一個動點，設點P的橫坐標為m．過點P作直線軸于點D，作直線BC交PD于點E

（1）求A，B，C三點的坐標，并直接寫出直線BC的函數表達式；（2）當是以PE為底邊的等腰三角形時，求點P的坐標；（3）連接AC，過點P作直線，交y軸于點F，連接DF．試探究：在點P運動的過程中，是否存在點P，使得，若存在，請直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1），點C的坐標為；（2）（3）存在；m的值為4或【解析】【分析】（1）令中y和x分別為0，即可求出A，B，C三點的坐標，利用待定系數法求直線BC的函數表達式；（2）過點C作于點G，易證四邊形CODG是矩形，推出，，，再證明，推出，由等腰三角形三線合一的性質可以得出，則，由P點在拋物線上可得，聯(lián)立解出m，代入二次函數解析式即可求出點P的坐標；（3）分點F在y軸的負半軸上和點F在y軸的正半軸上兩種情況，畫出大致圖形，當時，，由（2）知，用含m的代數式分別表示出OF，列等式計算即可．【小問1詳解】解：由得，當時，，∴點C的坐標為．當時，，解得．∵點A在點B的左側，∴點A，B的坐標分別為．設直線BC的函數表達式為，將，代入得，解得，∴直線BC的函數表達式為﹒【小問2詳解】解：∵點P在第一象限拋物線上，橫坐標m，且軸于點D，∴點P的坐標為，，∴．∵點B的坐標為，點C的坐標為，∴，．過點C作于點G，則．∵，∴四邊形CODG是矩形，∴，，．∴．∵，∴．∴，即，∴．在中，∵，∴．∴，∴解得（舍去），∴．當時，﹒∴點P的坐標為．

【小問3詳解】解：存在；m的值為4或．分兩種情況，①當點F在y軸的負半軸上時，如下圖所示，過點P作直線軸于點H，

∵過點P作直線，交y軸于點F，∴，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，由（2）知，．根據勾股定理，在中，，在中，，當時，，∵，∴，∴，解得或，∵點P是第一象限內二次函數圖象上的一個動點，∴；②當點F在y軸的正半軸上時，如下圖所示，

同理可得，，，，，∴∴，解得或，∵點P是第一象限內二次函數圖象上一個動點，∴；綜上，m的值為4或【點睛】本題屬于二次函數綜合題，考查了二次函數、一次函數、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知識點，第三問難度較大，需要分情況討論，畫出大致圖形，用含m的代數式表示出OF是解題的關鍵．7.（2022撫順中考）如圖，拋物線與x軸交于，B兩點，與y軸交于點，點D為x軸上方拋物線上的動點，射線交直線于點E，將射線繞點O逆時針旋轉得到射線，交直線于點F，連接．

（1）求拋物線的解析式；（2）當點D在第二象限且時，求點D的坐標；（3）當為直角三角形時，請直接寫出點D的坐標．【答案】（1）（2）或（3）或或或【解析】【分析】（1）利用待定系數法求解即可；（2）過點D作于點G，交于點H，先求出直線AC的解析式，設，則，證明△EDH∽△EOC得到，即可求出DH=3，據此求解即可；（3）分D和F為直角頂點進行討論求解即可．【小問1詳解】解：將代入得：，解得，∴拋物線解析式為；【小問2詳解】解：過點D作于點G，交于點H，設過點的直線的解析式為，則，解得，

∴直線的解析式為，設，則．∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴解得或將分別代入得∴或；【小問3詳解】解：如圖1所示，當點D與點C重合時，∵點A（-4，0），點C（0，4），∴OA=OC=4，∴∠OCA=∠OAC=45°，當點C與點D重合時，∵OP是OD逆時針旋轉45°得到的，∴∠POD=45°，即∠FOC=45°，∴∠AOF=∠FOC=45°，又∵OA=OC，∴OF⊥AC，即∠OFC=90°，∴△OFC是直角三角形，∴此時點D的坐標為（0，4）；

如圖2所示，當∠DFO=90°時，連接CD，由旋轉的性質可得∠DOF=45°，∴△DOF是等腰直角三角形，∴OF=OD，∠FDO=∠FCO=45°，∴C、D、F、O四點共圓，∴∠FCD=∠FOD=45°，∴∠OCD=∠FCD+∠FCO=90°，∴CD⊥OC，∴點D的縱坐標為4，∴當y=4時，，解得或（舍去），∴點D的坐標為（-3，4）；

如圖3所示，當∠ODF=90°時，過點D作DH⊥y軸于H，過點F作FG⊥DH交HD延長線于G，同理可證△DOF是等腰直角三角形，∴OD=DF，∵FG⊥DH，DH⊥y軸，∴∠FGD=∠DHO=90°，∴∠GDF+∠GFD=90°，又∵∠GDF+∠HDO=90°，∴∠GFD=∠HDO，∴△GDF≌△HOD（AAS），∴GD=OH，GF=DH，設點D的坐標為（m，），∴，∴，∴點F的坐標為（，），∵點F在直線AC：上，∴，∴，解得，∴點D的坐標為或；綜上所述，點D的坐標為（-3，4）或（0，4）或或

【點睛】本題主要考查了二次函數與一次函數綜合，二次函數與幾何綜合，全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定等等，熟知相關知識是解題的關鍵．8.（2022湘潭中考）已知拋物線．（1）如圖①，若拋物線圖象與軸交于點，與軸交點．連接．①求該拋物線所表示的二次函數表達式；②若點是拋物線上一動點（與點不重合），過點作軸于點，與線段交于點．是否存在點使得點是線段的三等分點？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．（2）如圖②，直線與軸交于點，同時與拋物線交于點，以線段為邊作菱形，使點落在軸的正半軸上，若該拋物線與線段沒有交點，求的取值范圍．【答案】（1）①，②存在，點P坐標為(2，-3)或（，-），理由見解析（2）b<或b>【解析】【分析】（1）①直接用待定系數法求解；②先求出直線AB的解析式，設點M(m，m-3)點P（m，m2-2m-3）若點是線段的三等分點，則或，代入求解即可；（2）先用待定系數法求出n的值，再利用勾股定理求出CD的長為5，因為四邊形CDFE是菱形，由此得出點E的坐標．再根據該拋物線與線段沒有交點，分兩種情況（CE在拋物線內和CE在拋物線右側）進行討論，求出b的取值范圍．【小問1詳解】①解：把，代入，得，解得：，∴②解：存在，理由如下，設直線AB的解析式為y=kx+b，把，代入，得，解得，∴直線AB的解析式為y=x-3，設點M(m，m-3)、點P（m，m2-2m-3）若點是線段的三等分點，則或，即或，解得：m=2或m=或m=3，經檢驗，m=3是原方程的增根，故舍去，∴m=2或m=∴點P坐標為(2，-3)或（，-）【小問2詳解】解：把點D（-3，0）代入直線，解得n=4，∴直線，當x=0時，y=4，即點C（0，4）∴CD==5，∵四邊形CDFE是菱形，∴CE=EF=DF=CD=5，∴點E（5，4）∵點在拋物線上，∴（-3）2-3b+c=0，∴c=3b-9，∴，∵該拋物線與線段沒有交點，分情況討論當CE在拋物線內時52+5b+3b-9<4解得：b<當CE在拋物線右側時，3b-9>4解得：b>綜上所述，b<或b>【點睛】此題考查了二次函數和一次函數以及圖形的綜合，解題的關鍵是數形結合和分情況討論．9.（2022武漢中考）拋物線交軸于A，兩點（A在的左邊），是第一象限拋物線上一點，直線交軸于點．

（1）直接寫出A，兩點的坐標；（2）如圖（1），當時，在拋物線上存在點（異于點），使，兩點到的距離相等，求出所有滿足條件的點的橫坐標；（3）如圖（2），直線交拋物線于另一點，連接交軸于點，點的橫坐標為．求的值（用含的式子表示）．【答案】（1），；（2）0，或；（3）．【解析】【分析】（1）令求出x的值即可知道A，兩點的坐標；（2）求出直線的解析式為，分情況討論：①若點在下方時，②若點在上方時；（3）設點的橫坐標為．過點的直線解析式為．聯(lián)立，得．利用A，B點的橫坐標求出，，設直線的解析式為，求出，進一步求出，即可求出答案．【小問1詳解】解：令，解得：，，∴，．【小問2詳解】解：∵，∴，∴直線的解析式為．①若點在下方時，過點作的平行線與拋物線的交點即為．

∵，，∴的解析式為．聯(lián)立，解得，，（舍）．∴點的橫坐標為0．②若點在上方時，點關于點的對稱點為．過點作的平行線，則與拋物線的交點即為符合條件的點．直線的解析式為．聯(lián)立，得，解得，，．∴點，的橫坐標分別為，．∴符合條件的點的橫坐標為：0，或．【小問3詳解】解：設點的橫坐標為．過點的直線解析式為．聯(lián)立，得．設，是方程兩根，則．（*）∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴．設直線的解析式為，同（*）得，∴．∴．∴．∵，∴．∴．【點睛】本題考查二次函數與一次函數的綜合，難度較大，需要掌握函數與x軸交點坐標，（1）的關鍵是令進行求解；（2）的關鍵是分點在下方和在上方時兩種情況討論：（3）的關鍵是求出OP，F(xiàn)P．10.（2022齊齊哈爾中考）綜合與探究如圖，某一次函數與二次函數的圖象交點為A（-1，0），B（4，5）．

（1）求拋物線的解析式；（2）點C為拋物線對稱軸上一動點，當AC與BC的和最小時，點C的坐標為；（3）點D為拋物線位于線段AB下方圖象上一動點，過點D作DE⊥x軸，交線段AB于點E，求線段DE長度最大值；（4）在（2）條件下，點M為y軸上一點，點F為直線AB上一點，點N為平面直角坐標系內一點，若以點C，M，F(xiàn)，N為頂點的四邊形是正方形，請直接寫出點N的坐標．【答案】（1）（2）（1，2）（3）（4）【解析】【分析】（1）將A（-1，0），B（4，5）代入得到關于m，n的二元一次方程組求解即可；（2）拋物線的對稱軸為，求出直線AB與對稱軸的交點即可求解；（3）設，則，則，根據二次函數的性質求解即可；（4）根據題意畫出圖形，分情況求解即可．【小問1詳解】解：將A（-1，0），B（4，5）代入得，，解這個方程組得，拋物線的解析式為：；小問2詳解】解：如圖，設直線AB的解析式為：，把點A（-1，0），B（4，5）代入，得，解得，直線AB的解析式為：，由（1）知拋物線的對稱軸為，點C為拋物線對稱軸上一動點，，當點C在AB上時，最小，把x=1代入，得y=2，點C的坐標為（1，2）；

【小問3詳解】解：如圖，由（2）知直線AB的解析式為y=x+1設，則，則，當時，DE有最大值為，

【小問4詳解】解：如圖，直線AB的解析式為：y=x+1，直線與y軸的交點為D（0，1），，，若以點C，M，F(xiàn)，N為頂點的四邊形是正方形，分情況討論：①過點C作軸于點，則為等腰直角三角形，過點C作，則四邊形為正方形，依題意，知D與F重合，點的坐標為（1，1）；

②以為中心分別作點F，點C點的對稱點，連接，則四邊形是正方形，則點的坐標為（-1，2）；

③延長到使，作于點，則四邊形是正方形，則的坐標為（1，4）；

④取的中點，的中點，則為正方形，則的坐標為，

綜上所述，點N的坐標為：【點睛】本題考查了用待定系數法求一次函數和二次函數的解析式，二次函數的性質，正方形的判定，根據題意正確畫圖是解本題的關鍵．11.已知拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側）．

（1）求點A，點B的坐標；（2）如圖，過點A的直線與拋物線的另一個交點為C，點P為拋物線對稱軸上的一點，連接，設點P的縱坐標為m，當時，求m的值；（3）將線段AB先向右平移1個單位長度，再向上平移5個單位長度，得到線段MN，若拋物線與線段MN只有一個交點，請直接寫出a的取值范圍．【答案】（1）A（-1，0），B（3，0）（2）-3（3）或或【解析】【分析】（1）令，由拋物線解析式可得，解方程即可確定點A，點B的坐標；（2）由拋物線解析式確定其對稱軸為，可知點P（1，m），再將直線l與拋物線解析式聯(lián)立，解方程組可確定點C坐標，由列方程求解即可；（3）根據題意先確定點M（0，5）、N（4，5），令，整理可得，根據一元二次方程的根的判別式為可知，然后分情況討論時以及結合圖像分析a的取值范圍．【小問1詳解】解：拋物線解析式，令，可得，解得，，故點A、B的坐標分別為A（-1，0），B（3，0）；【小問2詳解】對于拋物線，其對稱軸，∵點P為拋物線對稱軸上的一點，且點P的縱坐標為m，∴P（1，m），將直線l與拋物線解析式聯(lián)立，可得，可解得或，故點C坐標為（4，-5），∴，，當時，可得，解得；【小問3詳解】將線段AB先向右平移1個單位長度，再向上平移5個單位長度，得到線段MN，結合（1），可知M（0，5）、N（4，5），令，整理可得，其判別式為，①當時，解得，此時拋物線與線段MN只有一個交點；②當即時，解方程，可得，即，，若時，如圖1，由，可解得，

此時有，且，解得；②當時，如圖2，由，可解得，

此時有，且，解得；綜上所述，當拋物線與線段MN只有一個交點時，a的取值范圍為或或．【點睛】本題主要考查了二次函數的綜合應用，包括求二次函數與x軸的交點、利用二次函數解決圖形問題等知識，解題關鍵是熟練運用數形結合和分類討論的思想分析問題．12.（2022年重慶中考B卷）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點，與y軸交于點．（1）求拋物線的函數表達式；（2）點P為直線上方拋物線上一動點，過點P作軸于點Q，交于點M，求的最大值及此時點P的坐標；（3）在（2）的條件下，點與點P關于拋物線的對稱軸對稱．將拋物線向右平移，使新拋物線的對稱軸l經過點A．點C在新拋物線上，點D在l上，直接寫出所有使得以點A、、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形的點D的坐標，并把求其中一個點D的坐標的過程寫出來．【答案】（1）（2）最大值為：，（3）、、【解析】【分析】（1）將、代入拋物線，即可求出拋物線的解析式；（2）根據得到，推出，即可得到，則，求出直線的解析式為：，設，則，，求出，即可求解；（3）先求出平移后新拋物線解析式：，，，設，，再利用平行四邊形中心對稱性分情況列出方程組求解即可．【小問1詳解】解：將、代入拋物線可得：，解得，∴拋物線的函數表達式為：；【小問2詳解】解：∵、，∴，，在中，，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，設直線的解析式為：，將、代入可得：，解得，∴直線的解析式為：，設，則，，∴∵，，∴當時，存在最大值，最大值為：，此時；【小問3詳解】解：∵對稱軸為：，∴，∵直線：，∴拋物線向右平移個單位，∴，，，設，，①以、為對角線時，，解得∴；②以、為對角線時，，解得∴；③以、為對角線時，，解得∴．【點睛】本題考查了二次函數的解析式、一次函數的解析式、二次函數的性質、平行四邊形的性質、相似三角形的判定和性質等知識點，解題的關鍵是能夠熟練應用待定系數法求得二次函數和一次函數解析式．13.（2022重慶中考A卷）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與直線交于點，．（1）求該拋物線的函數表達式；（2）點是直線下方拋物線上的一動點，過點作軸的平行線交于點，過點作軸的平行線交軸于點，求的最大值及此時點的坐標；（3）在（2）中取得最大值的條件下，將該拋物線沿水平方向向左平移5個單位，點為點的對應點，平移后的拋物線與軸交于點，為平移后的拋物線的對稱軸上一點．在平移后的拋物線上確定一點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點的坐標，并寫出求解點的坐標的其中一種情況的過程．【答案】（1）（2），（3）；；【解析】【分析】（1）將點A，B的坐標代入拋物線中求出b，c即可；（2）設交于，可得，求出直線AB的解析式，設，則，，表示出，然后根據二次函數的性質求出最值即可；（3）根據平移的性質可得平移后拋物線解析式及點E、F坐標，設，，分情況討論：①當為對角線時，②當為對角線時，③當為對角線時，分別根據對角線交點的橫坐標相同列式計算即可．【小問1詳解】解：將點，代入得：，解得：，∴該拋物線的函數表達式為：；【小問2詳解】如圖，設交于，∵，，∴OA＝OB＝4，∴，∵PC∥OB，PD∥OA，∴，，∴，設直線AB的解析式為，則，解得：，∴直線AB的解析式為，設，則，，∴，∴當時，取得最大值，此時；【小問3詳解】由題意得：平移后拋物線解析式為，，∴，∵拋物線的對稱軸為，∴設，，分情況討論：①當為對角線時，則，解得：，此時，∴；②當為對角線時，則，即，此時，∴；③當為對角線時，則，即，此時，∴，綜上所述，點的坐標為：，，．【點睛】本題考查了二次函數的綜合應用，待定系數法，二次函數的圖象和性質，一次函數的性質，二次函數的最值，二次函數圖象的平移，平行四邊形的性質等知識，解題的關鍵是學會用待定系數法求二次函數解析式，根據二次函數解析式求最大值以及利用平行四邊形的性質列方程．14.（2022河南天一大聯(lián)考）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣4交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，OB＝2OC＝4OA，連接AC，BC．（1）求拋物線的解析式；（2）點D是拋物線y＝ax2+bx﹣4的圖象上在第四象限內的一動點，DE⊥x軸于點E，交BC于點F．設點D的橫坐標為m．①請用含m的代數式表示線段DF的長；②已知DG∥AC，交BC于點G，請直接寫出當時點D的坐標．【答案】（1）（2）①；②點D的坐標為（2，-6）或（6，-4）【解析】【分析】（1）先求出點C坐標，再根據OB＝2OC＝4OA，求出點A、B的坐標，再代入函數關系式求出a，b，可得結果；（2）①先求出直線BC的函數關系式，再得點，，再求出DF的長；②先證明，得，再證得，再求出DF的長，最后求出m的值，即可得出點D的坐標【小問1詳解】∵拋物線y＝ax2+bx﹣4交y軸于點C，∴C（0，-4），∴OC=4，∵OB＝2OC＝4OA，∴OA=2，OB=8，∴A（-2，0），B（8，0），∵拋物線y＝ax2+bx﹣4交x軸于A，B兩點，∴，，∴拋物線的解析式為：；【小問2詳解】①設直線BC的函數關系式為：y=mx+n，∵直線BC邊點B（8，0），點C（0，-4），∴，解得：，∴直線BC的函數關系式為，∵點D是拋物線y＝ax2+bx﹣4的圖象上在第四象限內的一動點，點D的橫坐標為m，∴，∵DE⊥x軸于點E，交BC于點F，∴把x=m代入，得：，∴，，②，，，，，，∵，，，，，，，，，軸，，，，即又，，解得：，當m1=2時，，當m2=時，，或【點睛】本題是二次函數的綜合題，熟練掌握二次函數的圖象及性質，一次函數的圖像與性質、相似三角形的性質及判定是解題的關鍵．15.（2022商丘二模）在平面直角坐標系中，拋物線解析式為，直線l：y=－x＋1與x軸交于點A，與y軸交于點B．（1）如圖1，當拋物線經過點A且與x軸的兩個交點都在y軸右側時，求拋物線的解析式．（2）在（1）的條件下，若點P為直線l上方的拋物線上一點，過點P作PQ⊥l于Q，求PQ的最大值．（3）如圖2，點C（－2，0），若拋物線與線段AC只有一個公共點，求m取值范圍．【答案】（1）y=－2x2＋8x－6；（2）；（3）－3≤m＜－1或0＜m≤2．【解析】【分析】（1）先解得點A的坐標，再代入二次函數解析式中，求得拋物線與x軸的兩個交點，根據題意解得m的值即可；（2）作PMy軸交直線l于點M，先求一次函數與y軸的交點B，證得∠PMQ=∠OBA=45°，再利用正弦定義解得PQ=PM，設點P的橫坐標為n，則點P的縱坐標為－2n2＋8n－6，點M的縱坐標為－n＋1，計算PM的長，轉化為解一元二次方程－2x2＋8x－6=－x＋1，解得x的值，最后根據一次函數的增減性解題；（3）分兩種情況討論，當只有點（m－1，0）在線段AC上時，或當只有點（m＋1，0）在線段AC上時，分別結合圖象解題．【詳解】解：（1）由y=－x＋1=0，解得：x=1，所以，由y=－2x2＋4mx－2m2＋2=－2（x－m）2＋2=0，解得：x1=m－1，x2=m＋1，∵拋物線經過點A，且拋物線與x軸的交點在y軸的右側，m－1＜m＋1，∴m－1=1，解得：m=2，∴拋物線的解析式為y=－2x2＋8x－6；（2）如圖，作PMy軸交直線l于點M，當x=0時，y=－x＋1=1，所以，∴OA=OB．∵∠AOB=90°，∴∠OAB=∠OBA=45°，∴∠PMQ=∠OBA=45°，∵PQ⊥l于Q，∴PQ=PM·sin∠PMQ=PM·sin45°=PM設點P的橫坐標為n，則點P的縱坐標為－2n2＋8n－6，點M的縱坐標為－n＋1，∴PM=（－2n2＋8n－6）－（－n＋1）=－2（n－）2＋，∴PQ=PM=－（n－）2＋,由－2x2＋8x－6=－x＋1，解得：x1=1，x2=．∵點P在直線l上方的拋物線上，∴1＜n＜,∵－＜0，1＜＜，∴當n=時，PQ取最大值為;（3）∵，∴AC=3，由（1）可知，拋物線與x軸的兩個交點坐標為（m－1，0），（m＋1，0）∵m－1＜m＋1，（m＋1）－（m－1）=2＜3，∴當拋物線與線段AC只有一個公共點時，這兩個交點只能有1個在線段AC上,如圖，當只有點（m－1，0）在線段AC上時，，解得：0＜m≤2,如圖，當只有點（m＋1，0）在線段AC上時，，解得：－3≤m＜－1,綜上可知：當拋物線與線段AC只有一個公共點時－3≤m＜－1或0＜m≤2．【點睛】本題考查二次函數綜合題，涉及二次函數與x軸的交點問題、一次函數的圖象與性質、正弦、二次函數與一元二次方程等知識，是重要考點，有難度，掌握相關知識是解題關鍵．16.（2022南陽唐河一模）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（﹣1，0），C（2，3）兩點，與y軸交于點N，其項點為D．（1）填空：拋物線的解析式為；（2）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，設點P的橫坐標為t，過點P作y軸的平行線交AC與M，當t為何值時，線段PM的長最大，并求其最大值；（3）若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B，E為直線AC上的任意一點，過點E作EF∥BD交拋物線于點F，以B，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，請直接寫出點E的坐標；若不能，請說明理由．【25題答案】【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）當t=時，PM有最大值，最大值為；（3）（0，1）或（，）或（，）．【解析】【分析】（1）運用待