2023年北京市初三（上）期末數(shù)學(xué)試題匯編：圓（上）章節(jié)綜合

第1頁/共1頁2023北京初三（上）期末數(shù)學(xué)匯編圓（上）章節(jié)綜合一、單選題1．（2023秋·北京東城·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是直徑，弦的長為5，點(diǎn)D在圓上，且，則的半徑為（

）A． B．5 C． D．2．（2023秋·北京密云·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，C、D是上兩點(diǎn)，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·北京通州·九年級統(tǒng)考期末）有下列說法：①直徑是圓中最長的弦；②等弦所對的圓周角相等；③圓中90°的角所對的弦是直徑；④相等的圓心角對的弧相等．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2023秋·北京平谷·九年級統(tǒng)考期末）“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”這是《九章算術(shù)》中的一個問題，用現(xiàn)代的語言表述為：如圖，為的直徑，弦于E，寸，弦寸，則的半徑為多少寸（

）A．5 B．12 C．13 D．265．（2023秋·北京西城·九年級北京市第六十六中學(xué)?？计谀┤鐖D，在⊙O中，C、D為⊙O上兩點(diǎn)，AB是⊙O的直徑，已知∠AOC=130°，則∠BDC的度數(shù)為（

）A．65° B．50° C．30° D．25°6．（2023秋·北京通州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，則∠AOB的度數(shù)是（

）A．75° B．70° C．65° D．55°7．（2023秋·北京西城·九年級北京市第六十六中學(xué)?？计谀┮阎袿的半徑為4，點(diǎn)P在⊙O外部，則OP需要滿足的條件是（

）A．OP>4 B．0≤OP<4 C．OP>2 D．0≤OP<28．（2023秋·北京海淀·九年級北京市十一學(xué)校校考期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，若四邊形ABCO是菱形，則的度數(shù)為（

）A．45° B．60° C．90° D．120°二、填空題9．（2023秋·北京平谷·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，A，B，C是O上三點(diǎn)，如果，弦，那么的半徑長為___．10．（2023秋·北京東城·九年級統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式是：弧田面積（弦×失+失2）．弧田（圖中陰影部分）由圓弧和其所對的弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．現(xiàn)有圓心角為，半徑等于4米的弧田，按照上述公式計(jì)算出弧田的面積約為______米．（）11．（2023秋·北京密云·九年級統(tǒng)考期末）如圖，的弦長為2，是的直徑，．①的半徑長為_________．②P是上的動點(diǎn)，則的最小值是_________．12．（2023秋·北京通州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，半徑為1的⊙O在格點(diǎn)上，則∠AED的正切值為_____．三、解答題13．（2023秋·北京密云·九年級統(tǒng)考期末）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，，垂足為D．(1)求證：；(2)已知的半徑為5，，求長．14．（2023秋·北京平谷·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知劣弧，如何等分？下面給出兩種作圖方法，選擇其中一種方法，利用直尺和圓規(guī)完成作圖，并補(bǔ)全證明過程．方法一：①作射線、；②作的平分線，與交于點(diǎn)C；點(diǎn)C即為所求作．證明：∵平分，∴∴___（_____）（填推理的依據(jù)）．方法二：①連接；②作線段的垂直平分線，直線與交于點(diǎn)C；點(diǎn)C即為所求作．證明：∵垂直平分弦，∴直線經(jīng)過圓心O，∴___（___）（填推理的依據(jù)）．15．（2023秋·北京東城·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)E，，若，求的長.16．（2023秋·北京東城·九年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，我們給出如下定義：將圖形M繞直線上某一點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)，再關(guān)于直線對稱，得到圖形N，我們稱圖形N為圖形M關(guān)于點(diǎn)P的二次關(guān)聯(lián)圖形．已知點(diǎn)．(1)若點(diǎn)P的坐標(biāo)是，直接寫出點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的二次關(guān)聯(lián)圖形的坐標(biāo)________；(2)若點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的二次關(guān)聯(lián)圖形與點(diǎn)A重合，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）；(3)已知的半徑為1，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的二次關(guān)聯(lián)圖形在上且不與點(diǎn)A重合．若線段，其關(guān)于點(diǎn)P的二次關(guān)聯(lián)圖形上的任意一點(diǎn)都在及其內(nèi)部，求此時P點(diǎn)坐標(biāo)及點(diǎn)B的縱坐標(biāo)的取值范圍．17．（2023秋·北京西城·九年級北京市第六十六中學(xué)?？计谀┫旅媸切＄渫瑢W(xué)設(shè)計(jì)的“作一個角等于已知角”的尺規(guī)作圖過程．已知：在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．求作：∠BPC，使∠BPC=∠BAC．作法：①分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E和點(diǎn)F，連接EF交BD于點(diǎn)O；②以點(diǎn)O為圓心，OB的長為半徑作⊙O；③在劣弧AB上任取一點(diǎn)P（不與點(diǎn)A、B重合），連接BP和CP．所以∠BPC=∠BAC．根據(jù)小玟設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程．(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：連接OA、OC．∵AB=BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC且AD=CD．∴OA=OC．∵EF是線段BC的垂直平分線，∴OB=．∴OB=OA．∴⊙O為△ABC的外接圓．∵點(diǎn)P在⊙O上，∴∠BPC=∠BAC（）（填推理的依據(jù)）．18．（2023秋·北京海淀·九年級北京市十一學(xué)校?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，的半徑為2．點(diǎn)P，Q為外兩點(diǎn)，給出如下定義：若上存在點(diǎn)M，N，使得P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，則稱點(diǎn)P，Q是的“成對關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．（1）如圖，點(diǎn)A，B，C，D橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．在點(diǎn)B，C，D中，與點(diǎn)A組成的“成對關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的點(diǎn)是______；（2）點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)F與點(diǎn)E關(guān)于x軸對稱．若點(diǎn)E，F(xiàn)是的“成對關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，直接寫出t的取值范圍；（3）點(diǎn)G在y軸上．若直線上存在點(diǎn)H，使得點(diǎn)G，H是的“成對關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，直接寫出點(diǎn)G的縱坐標(biāo)的取值范圍．19．（2023秋·北京海淀·九年級北京市十一學(xué)校校考期末）下面是小石設(shè)計(jì)的“過三角形一個頂點(diǎn)作其對邊的平行線”的尺規(guī)作圖過程．已知：如圖，．求作：直線BD，使得．作法：如圖，①分別作線段AC，BC的垂直平分線，，兩直線交于點(diǎn)O；②以點(diǎn)O為圓心，OA長為半徑作圓；③以點(diǎn)A為圓心，BC長為半徑作弧，交于點(diǎn)D；④作直線BD．所以直線BD就是所求作的直線．根據(jù)小石設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：連接AD，∵點(diǎn)A，B，C，D在上，，∴______．∴（______）（填推理的依據(jù)）．∴．20．（2023秋·北京通州·九年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給出如下定義：若點(diǎn)P在圖形M上，點(diǎn)Q在圖形N上，如果PQ兩點(diǎn)間的距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形M，N的“近距離”，記為d（M，N）．特別地，當(dāng)圖形M與圖形N有公共點(diǎn)時，d（M，N）＝0．已知A（﹣4，0），B（0，4），C（﹣2，0），（1）d（點(diǎn)A，點(diǎn)B）＝，d（點(diǎn)A，線段BC）＝．（2）⊙O半徑為r，①當(dāng)r＝1時，⊙O與線段AB的“近距離”d（⊙O，線段AB）＝．②若d（⊙O，△ABC）＝1，則r＝．

參考答案1．B【分析】連接,由題意易得，在中解三角形求解．【詳解】連接,在中，是直徑，，在中，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理及含直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握圓周角定理及含直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．C【分析】首先根據(jù)是直徑得出，然后利用圓周角定理的推論得出，最后利用直角三角形兩銳角互余即可得出答案．【詳解】解：∵AB是的直徑，．∵和都是所對的圓周角，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理的推論及三角形內(nèi)角和定理，掌握圓周角定理及其推論的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．3．A【分析】根據(jù)直徑的定義對①進(jìn)行判斷；根據(jù)圓周角定理對②③進(jìn)行判斷；根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對④進(jìn)行判斷．【詳解】解：直徑是圓中最長的弦，所以①正確；在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等，所以②錯誤；90°的圓周角所對的弦是直徑，所以③錯誤；在同圓或等圓中，相等的圓心角對的弧相等，所以④錯誤．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了圓的認(rèn)識和圓心角、弧、弦的關(guān)系．掌握這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．4．C【分析】連接，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)垂徑定理和勾股定理求解．【詳解】解：連接，如圖所示，設(shè)直徑的長為，則半徑，為的直徑，弦于，，，而，根據(jù)勾股定理得，解得，即的半徑為13寸．故選C．【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理和勾股定理；熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解決問題的關(guān)鍵．5．D【分析】先求出∠BOC的度數(shù)，再根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半求出答案．【詳解】解：∵∠AOC=130°，AB是⊙O的直徑，∴∠BOC=180°-∠AOC=50°，∴∠BDC=∠BOC=25°，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理：同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，熟記定理是解題的關(guān)鍵．6．B【分析】直接根據(jù)圓周角定理求解．【詳解】解：，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．7．A【分析】點(diǎn)在圓外，則點(diǎn)與圓心的距離大于半徑，根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系解答．【詳解】解：∵⊙O的半徑為4，點(diǎn)P在⊙O外部，∴OP需要滿足的條件是OP>4，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟記點(diǎn)在圓內(nèi)、圓上、圓外的判斷方法是解題的關(guān)鍵．8．B【分析】設(shè)∠ADC=α，∠ABC=β，由菱形的性質(zhì)與圓周角定理可得，求出β即可解決問題．【詳解】解：設(shè)∠ADC=α，∠ABC=β；∵四邊形ABCO是菱形，∴∠ABC=∠AOC；∠ADC=β；四邊形為圓的內(nèi)接四邊形，α+β=180°，∴，解得：β=120°，α=60°，則∠ADC=60°，故選：B．【點(diǎn)睛】該題主要考查了圓周角定理及其應(yīng)用，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)；掌握“同圓或等圓中，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半”是解本題的關(guān)鍵.9．5【分析】如圖，作直徑，連接，則，，可得，從而可得答案．【詳解】解：如圖，作直徑，連接，則，，∵，∴，∴的半徑為5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，含的直角三角形的性質(zhì)，作出合適的輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．10．【分析】由題意可知于D，交圓弧于C，由題意得米，解得米，再求出，最后由勾股定理得到，由垂徑定理求出即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，由題意可知，，，（米），，（米）（米）（米）（米）弧田面積（平方米）故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理以及垂徑定理的應(yīng)用；熟練掌握垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵．11．2【分析】①連接，易證是等邊三角形，弦長為2，，即可得到答案；②先證，延長交于點(diǎn)E，連接交于點(diǎn)P，連接,則此時，即的最小值是的長，再用勾股定理求出即可．【詳解】解：①連接，∵∴,∵，∴是等邊三角形，∵弦長為2，∴，即的半徑長為2，故答案為：2②∵，∴,∴，延長交于點(diǎn)E，連接交于點(diǎn)P，連接,則此時，即的最小值是的長，∵，∵，∴，∴，∴，即的最小值是．故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、軸對稱最短路徑等知識，熟練掌握相關(guān)定理并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．12．．【分析】根據(jù)圓周角定理可知∠AED=∠ABC，再根據(jù)正切值的定義求解即可．【詳解】解：根據(jù)圓周角定理可得∠AED=∠ABC，所以tan∠AED=tan∠ABC=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理；銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是找到∠AED=∠ABC13．(1)見解析(2)8【分析】（1）由垂徑定理可得，由圓周角定理得到，由得到，即可得到結(jié)論；（2）由垂徑定理可得，，在中，由勾股定理可得，即可得到長．【詳解】（1）證明：∵是的直徑，，∴，∴，∵，∴是等腰三角形，∴，∴；（2）∵是的直徑，，∴，，在中，，，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理等知識，熟練掌握垂徑定理和圓周角定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．14．方法一：畫圖見解析，，，在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等；方法二：畫圖見解析，，，垂徑定理．【分析】方法一：按照作圖語句提示作圖，再根據(jù)圓心角與弧的關(guān)系進(jìn)行證明即可；方法二：按照作圖語句提示作圖，再根據(jù)垂徑定理進(jìn)行證明即可；【詳解】解：方法一：如圖，點(diǎn)C即為所求作．證明：∵平分，∴∴（在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等）．方法二：如圖，點(diǎn)C即為所求作．證明：∵垂直平分弦，∴直線經(jīng)過圓心O，∴（垂徑定理）．【點(diǎn)睛】本題考查的是復(fù)雜的作圖，平分弧的作圖，熟練的利用基本作圖解決復(fù)雜的作圖是解本題的關(guān)鍵，同時考查了角平分線的定義，線段的垂直平分線的性質(zhì)．15．.【分析】由垂徑定理得到，推出，在中，利用勾股定理即可求解.【詳解】解：如圖，連接．∵是的直徑，弦于點(diǎn)E，∴．又∵，∴．∵，∴．在中，，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦是解題的關(guān)鍵．16．(1)(2)(3)，，【分析】（1）根據(jù)二次關(guān)聯(lián)圖形的定義分別找到和，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)D，可證得，從而得到，即可求解；（2）根據(jù)題意得：點(diǎn)P位于x軸的下方，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)作軸交延長線于點(diǎn)F，坐標(biāo)為m，表達(dá)點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出結(jié)論；（3）由（2）可知，點(diǎn)的坐標(biāo)，由A關(guān)于點(diǎn)P的二次關(guān)聯(lián)圖形在上且不與點(diǎn)A重合可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，由線段，其關(guān)于點(diǎn)P的二次關(guān)聯(lián)圖形上的任意一點(diǎn)都在及其內(nèi)部，找到臨界點(diǎn)，可得出的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，即可得出的取值范圍．【詳解】（1）如圖1，根據(jù)二次關(guān)聯(lián)圖形的定義分別找到和，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)D，∴由旋轉(zhuǎn)可知，，∴，∴，∴，∴，∴，∵點(diǎn)和關(guān)于直線對稱，∴點(diǎn)，即點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的二次關(guān)聯(lián)圖形的坐標(biāo)為；故答案為：（2）解：根據(jù)題意得：點(diǎn)P位于x軸的下方，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m，如圖，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)作軸交延長線于點(diǎn)F，由（1）得：，∴，∴，根據(jù)題意得：點(diǎn)A和點(diǎn)關(guān)于直線對稱，∴，解得：，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，（3）解：設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為n，由（2）得：，∴，∵在上，∴，解得：（舍去）或，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∵，其關(guān)于點(diǎn)P的二次關(guān)聯(lián)圖形上的任意一點(diǎn)都在及其內(nèi)部，此時點(diǎn)是一個臨界點(diǎn)，連接，如圖，∵，∴是等邊三角形，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)M，則，∴，∴，∴，∴，由對稱性得：另一個點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題屬于新定義類問題，主要考查軸對稱最值問題，等邊三角形的性質(zhì)與判定，圓的定義等相關(guān)知識，關(guān)鍵是理解給出新定義，畫出對應(yīng)的圖形．17．(1)作圖見解析(2)OC，同弧所對的圓周角相等【分析】（1）按照步驟作圖即可（2）由垂直平分線性質(zhì)，以及圓周角性質(zhì)補(bǔ)全證明過程即可．【詳解】（1）如圖所示（2）證明：連接OA、OC．∵AB=BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC且AD=CD．∴OA=OC．∵EF是線段BC的垂直平分線，∴OB=OC．∴OB=OA．∴⊙O為△ABC的外接圓．∵點(diǎn)P在⊙O上，∴∠BPC=∠BAC（同弧所對的圓周角相等）．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖、線段垂直平分線性質(zhì)、圓周角性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等，圓周角性質(zhì)推論：同弧或等弧所對的圓周角相等．18．（1）B和C；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)圖形可確定與點(diǎn)A組成的“成對關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的點(diǎn)；（2）如圖，點(diǎn)E在直線上，點(diǎn)F在直線上，當(dāng)點(diǎn)E在線段上，點(diǎn)F在線段上時，有的“成對關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求出即可得出的取值范圍；（3）分類討論：點(diǎn)G在上，點(diǎn)G在的下方和點(diǎn)G在的上方，構(gòu)造的“成對關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，即可求出的取值范圍．【詳解】（1）如圖所示：在點(diǎn)B，C，D中，與點(diǎn)A組成的“成對關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的點(diǎn)是B和C，故答案為：B和C；（2）∵∴在直線上，∵點(diǎn)F與點(diǎn)E關(guān)于x軸對稱，∴在直線，如下圖所示：直線和與分別交于點(diǎn)，，與直線分別交于，，由題可得：，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時，有的“成對關(guān)聯(lián)點(diǎn)”∴；（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)G在上時，軸，在上不存在這樣的矩形；如圖，當(dāng)點(diǎn)G在下方時，也不存在這樣的矩形；如圖，當(dāng)點(diǎn)G在上方時，存在這樣的矩形GMNH，當(dāng)恰好只能構(gòu)成一個矩形時，設(shè)，直線與y軸相交于點(diǎn)K，則，，，，，∴，即，∴，解得：或（舍），綜上：當(dāng)時，點(diǎn)G，H是的“成對關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．【點(diǎn)睛】本題考查幾何圖形綜合問題，屬于中考壓軸題，掌握“成對關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的定義是解題的關(guān)鍵．19．（1）作圖見解析；（2）在同圓中，等弧所對的圓周角相等【分析】（1）根據(jù)題干的作圖步驟依次作圖即可；（2）由作圖可得，證明，利用圓周角定理可得，從而可得答案.【詳解】解：（1