電路基礎(chǔ)（微課版）課件 第9章 線性電路的動態(tài)分析

第9章線性電路的動態(tài)分析第9章線性電路的動態(tài)分析本章介紹線性電路的動態(tài)分析方法。首先介紹動態(tài)電路的概念、過渡過程和換路定律；接著介紹RC電路和RL電路的全響應、零輸入響應和零狀態(tài)響應以及一階電路動態(tài)響應分析的三要素法；最后介紹一階電路的階躍響應和二階電路的零輸入響應。2第9章線性電路的動態(tài)分析9.1動態(tài)電路概述9.2RC電路的動態(tài)響應分析9.3

RL電路的動態(tài)響應分析9.4一階電路動態(tài)響應分析的三要素法9.5一階電路的階躍響應分析9.6二階電路的動態(tài)響應分析39.1動態(tài)電路概述前面幾章中對直流電路、正弦交流電路、非正弦交流電路等進行了討論和分析。這些電路中的電流和電壓，或是恒定不變的，或是隨時間按周期規(guī)律變化，電路的狀態(tài)都是穩(wěn)定的，稱為穩(wěn)態(tài)電路。因此，前面幾章的電路分析都屬于穩(wěn)態(tài)電路的分析。本章所要討論的是一種非穩(wěn)定狀態(tài)的電路，即動態(tài)電路。動態(tài)電路是指在含有儲能元件（如電容、電感）的電路中，當電路發(fā)生換路（如開關(guān)切換、電源變化、電路變動、元件參數(shù)改變等）時，電路的狀態(tài)從一種穩(wěn)態(tài)變換到另一種穩(wěn)態(tài)的中間過程的電路狀態(tài)。研究動態(tài)電路中電流與電壓的變化規(guī)律，在實際工程中具有十分重要的意義。49.1動態(tài)電路概述當電路含有儲能元件（如電容、電感），且電路的結(jié)構(gòu)或元件參數(shù)發(fā)生改變時，電路的工作狀態(tài)將由原來的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變到另一個穩(wěn)態(tài)，這種轉(zhuǎn)變一般不能即時完成，需要經(jīng)歷一個過程，這個所經(jīng)歷隨時間變化的電磁過程就稱為過渡過程。例如在一個電感線圈與燈泡串聯(lián)后接入直流電源的電路中可觀察到如下現(xiàn)象：當接通電源以前，電路中沒有電流，燈泡不亮，這是一種穩(wěn)定狀態(tài)；當開關(guān)閉合接通電源后，由于電感的作用，電路中的電流是慢慢增大的，燈泡慢慢亮起來，這是一種過渡過程；當燈泡達到某一亮度后就維持在這一亮度，說明電路中的電流維持恒定，這又是一種穩(wěn)定狀態(tài)。燈泡從不亮到維持一定的亮度是經(jīng)過一定時間的，這就是RL電路接通直流電源的過渡過程。59.1.1過渡過程9.1動態(tài)電路概述但是在開關(guān)動作后，是不是所有的電路都會產(chǎn)生過渡過程呢？觀察下圖所示的電路，圖中3個電路都是由直流電源供電，所不同的是燈泡分別與電阻器、電容器和電感器并聯(lián)。先使開關(guān)S處于閉合狀態(tài)，當電路穩(wěn)定后切斷開關(guān)S，會觀察到下列現(xiàn)象。69.1.1過渡過程9.1動態(tài)電路概述圖（a）電路中，燈泡原先發(fā)光，當開關(guān)S斷開后，由于電路中沒有儲能元件，燈泡立即熄滅。圖（b）電路中，燈泡原先發(fā)光，當開關(guān)S斷開后，由于電容器的放電作用，燈泡逐漸變暗最后熄滅。圖（c）電路中，燈泡原先不亮，當開關(guān)S斷開后，由于電感的電磁感應作用，燈泡閃爍一下，而后逐漸熄滅?？梢娺^渡過程產(chǎn)生的條件是：電路含有儲能元件，并且電路的狀態(tài)發(fā)生改變。79.1.1過渡過程9.1動態(tài)電路概述進一步研究還會發(fā)現(xiàn)，除了開關(guān)動作外，電路結(jié)構(gòu)的改變、元件參數(shù)的變化等都能使電路狀態(tài)改變而產(chǎn)生過渡過程。引發(fā)電路過渡過程的這些電路要素的變化統(tǒng)稱為換路。研究電路中的過渡過程具有十分重要的意義。一方面是為了利用電路的過渡過程以實現(xiàn)某種技術(shù)目的，例如在電子電路中常常利用電容器充電和放電的過渡過程來實現(xiàn)一些特定的功能，如積分運算、微分運算、多諧振蕩等。另一方面，則是為了預見到電力系統(tǒng)中某些電路在過渡過程可能引起的過電壓和過電流的現(xiàn)象，以便采取相應的措施防止損壞電氣設備。89.1.1過渡過程9.1動態(tài)電路概述不論產(chǎn)生電路中過渡過程的原因如何，在換路后的一瞬間，任何電感中的電流和任何電容上的電壓都應當保持換路前一瞬間的原值不能躍變，換路以后就以此為初始值而連續(xù)變化。這個規(guī)律稱為換路定律。計算動態(tài)電路的過渡過程，一般都把換路的瞬間取為計時起點，即取為，并把換路前的最后一瞬間記作，把換路后的最初一瞬間記作。與0、0與間的間隔都趨近于零。則換路定律可以表達為99.1.2換路定律9.1動態(tài)電路概述在分析電路的過渡過程時，常用換路定律來確定電路換路后的初始值。初始值的計算可按下列步驟進行：（1）根據(jù)換路前的穩(wěn)態(tài)電路求出

時的電容電壓

和電感電流

。（2）利用換路定律，確定出

時的電容電壓

和電感電流

。（3）將電容元件用電壓為

的電壓源替代，將電感元件用電流為

的電流源替代，電路中的獨立電源則取其在

時的值，畫出換路后的電路在

時的等效電路，它是一個電阻電路，并在

時與換路后的原動態(tài)電路等效。（4）利用基爾霍夫定律和歐姆定律求解

時的等效電路，求出其他相關(guān)初始值。109.1.2換路定律9.1動態(tài)電路概述11例題

如圖所示電路中，開關(guān)閉合前電容未儲能。在

t=0時將開關(guān)閉合，求換路后各支路電流的初始值和電容電壓的初始值。9.1動態(tài)電路概述12解根據(jù)題意，換路前電容未儲能，可知。根據(jù)換路定律可知因此得根據(jù)基爾霍夫電壓定律和歐姆定律可得根據(jù)基爾霍夫電流定律可得9.1動態(tài)電路概述13例題

如圖所示電路中，開關(guān)閉合前電路處于穩(wěn)態(tài)。在t=0時將開關(guān)S閉合，求換路后各支路電流的初始值和電感電壓的初始值。9.1動態(tài)電路概述14解根據(jù)題意，換路前電路處于穩(wěn)態(tài)，可知根據(jù)換路定律可知因此根據(jù)基爾霍夫定律可分別得由此可得9.2RC電路的動態(tài)響應分析15如圖所示電路，換路前電路處于穩(wěn)態(tài)，設電容有初始儲能，其兩端的初始電壓，在

t=0時開關(guān)閉合，直流電源

接入電路。開關(guān)S閉合后，根據(jù)基爾霍夫電壓定律有9.2.1

RC電路的全響應根據(jù)元件的伏安關(guān)系有9.2RC電路的動態(tài)響應分析16代入上式可得9.2.1

RC電路的全響應上述方程為一階非齊次線性常微分方程，根據(jù)數(shù)學中微分方程求解的規(guī)律可知它的解由特解和對應的齊次微分方程的通解組成，即上式描述的是電路在開關(guān)S合上后的全過程，故可把電路過渡結(jié)束后的穩(wěn)態(tài)值作為該式的特解，由于該值與電路激勵有關(guān)，因此稱為強制分量，又稱為穩(wěn)態(tài)分量。由電路可知9.2RC電路的動態(tài)響應分析17上述微分方程對應的齊次微分方程為9.2.1

RC電路的全響應其通解為式中

A為積分常數(shù)，由初始條件決定。

按照指數(shù)規(guī)律衰減，與電源無關(guān)，稱為自由分量。自由分量隨時間的變化進程是趨向于零，因此又稱為暫態(tài)分量。9.2RC電路的動態(tài)響應分析18綜上，方程的解為9.2.1

RC電路的全響應由換路定律可知，電路的初始條件為，代入上式得因此可得常數(shù)綜上，RC電路的動態(tài)響應為9.2RC電路的動態(tài)響應分析19令，它具有時間的量綱，稱為RC電路的時間常數(shù)，它反映了電路過渡過程進行的快慢程度。引入時間常數(shù)之后，上式可以寫為9.2.1

RC電路的全響應電路中電流以及電阻上的電壓的動態(tài)響應分別為9.2RC電路的動態(tài)響應分析20綜上可知，RC電路動態(tài)響應過程中，電流、電壓均按照指數(shù)規(guī)律變化，如圖所示。9.2.1

RC電路的全響應9.2RC電路的動態(tài)響應分析21電路中電壓、電流的變化快慢取決于電路的時間常數(shù)的大小，越大，曲線形狀越平緩，電壓、電流的變化越慢；越小，曲線形狀越陡峭，電壓、電流的變化越快。以電阻上的電壓為例，當

時，有9.2.1

RC電路的全響應時間常數(shù)就是按指數(shù)規(guī)律衰減的量衰減到它初始值的36.8%時所需要的時間。從理論上講

時，過渡過程才能完成，但是實際工程中，一般認為經(jīng)過

時間后，過渡過程就已經(jīng)近似完成了。9.2RC電路的動態(tài)響應分析22電路中電源激勵為零，只有儲能元件的初始儲能引起的響應稱為零輸入響應。RC電路的零輸入響應就是電容通過電阻放電的過程。在RC電路的全響應表達式中將電源置零，可得到RC電路的零輸入響應，即9.2.2

RC電路的零輸入響應9.2RC電路的動態(tài)響應分析23RC電路的零輸入響應過程中，電壓、電流的變化規(guī)律如圖所示。9.2.2

RC電路的零輸入響應9.2RC電路的動態(tài)響應分析24例題

高壓線路中的某個電容器，兩端電壓為10kV。當電容器從電路中斷開后，經(jīng)它本身的漏電阻放電。如電容器的電容值，漏電阻，求電容器兩端電壓衰減至1kV所需要的時間。解電路的時間常數(shù)電容從電路中斷開后為零輸入響應，可得根據(jù)題意，當時，有9.2RC電路的動態(tài)響應分析25解得從計算結(jié)果可知，由于電路的時間常數(shù)較大，放電持續(xù)時間很長，經(jīng)過了9210s即兩個半小時多以后，電容器上仍有1kV的高壓，這是很危險的，所以在高壓線路中檢修具有大電容的設備時，斷電后須先將它短接放電后才能開始工作。9.2RC電路的動態(tài)響應分析26電路中儲能元件初始值為零，只有電源激勵作用下的電路響應稱為零狀態(tài)響應。RC電路的零狀態(tài)響應就是電源向電容充電的過程。在RC電路的全響應表達式中將電容電壓的初始值置零，可得到RC電路的零狀態(tài)響應，即9.2.3

RC電路的零狀態(tài)響應9.2RC電路的動態(tài)響應分析27RC電路的零狀態(tài)響應過程中，電壓、電流的變化規(guī)律如圖所示9.2.3

RC電路的零狀態(tài)響應9.2RC電路的動態(tài)響應分析28例題如圖所示電路中，電容原先未被充電，電源電壓

，

，

。在

時刻開關(guān)閉合。求（1）換路后的和i；（2）電容充電到5V所需要的時間。解電路的時間常數(shù)為（1）開關(guān)閉合后為零狀態(tài)響應，可得9.2RC電路的動態(tài)響應分析29（2）電容充電到5V時，有解得9.2RC電路的動態(tài)響應分析30在電子技術(shù)中，常利用RC電路的過渡過程來構(gòu)造微分電路和積分電路，用來實現(xiàn)微分運算和積分運算。下圖所示為一種最基本的微分電路：電容C和電阻R串聯(lián)后的兩端作為輸入端，電阻R的兩端作為輸出端。9.2.4微分電路和積分電路9.2RC電路的動態(tài)響應分析31由圖中可知，輸出端電壓為9.2.4微分電路和積分電路輸入端電壓為當電容電壓遠大于電阻電壓期間有所以有由此可見，輸出電壓和輸入電壓間是微分運算的關(guān)系。9.2RC電路的動態(tài)響應分析32如圖所示為一種最基本的積分電路：電阻R和電容C串聯(lián)后的兩端作為輸入端，電容C的兩端作為輸出端。9.2.4微分電路和積分電路9.2RC電路的動態(tài)響應分析33由圖中可知，輸出端電壓為9.2.4微分電路和積分電路輸入端電壓為當電阻電壓遠大于電容電壓期間有所以有由此可見，輸出電壓和輸入電壓間是積分運算的關(guān)系。9.2RC電路的動態(tài)響應分析34在電子系統(tǒng)中，常應用積分電路把矩形脈沖變換為近似三角波，如圖所示。9.2.4微分電路和積分電路9.2RC電路的動態(tài)響應分析35例題

如圖所示電路中，已知。分別求下列三種情況下電路的響應。（1）時，開關(guān)S處于打開狀態(tài)，電路已達穩(wěn)定且電容無初始儲能；時開關(guān)S閉合于“1”的位置，求電容電壓。（2）時，開關(guān)S閉合于“1”的位置，電路已達穩(wěn)定；時開關(guān)S從“1”的位置閉合于“2”的位置，求電容電壓。（3）時，開關(guān)S閉合于“2”的位置，電路已達穩(wěn)定；時開關(guān)S從“2”的位置閉合于“3”的位置，求電容電壓。9.2RC電路的動態(tài)響應分析36解電路的時間常數(shù)（1）由已知條件知，儲能元件C的初始值為零，換路后電路響應為零狀態(tài)響應：（2）由已知條件知，儲能元件C的初始值不為零，換路后電路響應為全響應：9.2RC電路的動態(tài)響應分析37（3）由已知條件知，電路儲能元件C的初始值不為零，換路后電源激勵為零，電路的響應為零輸入響應：9.3RL電路的動態(tài)響應分析389.3.1

RL電路的全響應如圖所示RL電路，換路前電路處于穩(wěn)態(tài)，在

t=0時開關(guān)S閉合，根據(jù)基爾霍夫電壓定律有根據(jù)元件的伏安關(guān)系有代入上式，得到9.3RL電路的動態(tài)響應分析399.3.1

RL電路的全響應上述方程同樣為一階非齊次線性常微分方程，該方程求解方法與上一節(jié)討論RC電路時類似。解出該方程，可得電路的動態(tài)響應為式中為時間常數(shù)9.3RL電路的動態(tài)響應分析409.3.1

RL電路的全響應RL電路動態(tài)響應過程中，電流、電壓均按照指數(shù)規(guī)律變化，如圖所示。9.3RL電路的動態(tài)響應分析419.3.2

RL電路的零輸入響應在RL電路的全響應表達式中將電源置零，可得到RL電路的零輸入響應，即9.3RL電路的動態(tài)響應分析42例題如圖所示為電機勵磁電路，已知勵磁繞組的參數(shù)。電源電壓

U=220V，D為理想續(xù)流二極管，其正向電阻為零，反向電阻為無窮大。電壓表V內(nèi)阻

。t=0時刻開關(guān)S斷開。求（1）求開關(guān)斷開后勵磁繞組中的電流。（2）分析續(xù)流二極管D的作用。解（1）換路前電源電壓反向加在二極管D兩端，二極管截止，此時繞組中的電流為換路后勵磁繞組產(chǎn)生感應電動勢，使得二極管導通，電感經(jīng)電阻R放電，根據(jù)換路定律，放電電流的初始值為9.3RL電路的動態(tài)響應分析43電路的時間常數(shù)換路后為零輸入響應：這個電流經(jīng)過續(xù)流二極管，由于續(xù)流二極管的正向電阻為零，因此電壓表無讀數(shù)。9.3RL電路的動態(tài)響應分析44（2）若不接續(xù)流二極管D，換路后勵磁繞組與電壓表形成放電回路，其時間常數(shù)此時放電電流為電壓表承受的電壓值為t=0時刻電壓表承受的電壓最大它足以將電壓表擊穿。因此續(xù)流二極管D的作用是保護電壓表不被感應電壓擊穿。9.3RL電路的動態(tài)響應分析459.3.3

RL電路的零狀態(tài)響應在RL電路的全響應表達式中將電流的初始值置零，可得到RL電路的零狀態(tài)響應，即9.3RL電路的動態(tài)響應分析46例題如圖所示電路中，已知，電感的初始電流為零。

t=0時刻開關(guān)S閉合，求換路后的

、

和

。

9.3RL電路的動態(tài)響應分析47解開關(guān)S閉合后，電路為零狀態(tài)響應。先求出換路后從電感L兩端看進去的戴維南等效電路，如圖（b）所示，其中9.3RL電路的動態(tài)響應分析48電路的時間常數(shù)根據(jù)換路定律有可得零狀態(tài)響應9.3RL電路的動態(tài)響應分析49回到原電路圖，由基爾霍夫電壓定律可得因此可得9.4一階電路動態(tài)響應分析的三要素法50通過前面的討論可以知道，一階電路的動態(tài)響應就是電路中的電流、電壓由初始值按照指數(shù)規(guī)律向新的穩(wěn)態(tài)值過渡的過程。過渡過程的快慢，即指數(shù)曲線的彎曲程度由電路的時間常數(shù)決定?？梢哉页鲆环N方法，只要知道電路的初始值、換路后的穩(wěn)態(tài)值和電路的時間常數(shù)這三個要素就能直接寫出一階電路的動態(tài)響應，這就是一階電路動態(tài)分析三要素法。9.4一階電路動態(tài)響應分析的三要素法51若用

表示一階電路的動態(tài)響應（電流或電壓）,表示其初始值，

表示其穩(wěn)態(tài)值，

表示電路的時間常數(shù)，則一階電路的動態(tài)響應的一般表達式為式中

是換路后電路中待求量的穩(wěn)態(tài)值，即過渡過程結(jié)束后的值，可畫出過渡結(jié)束后的等效電路，若施加的激勵為直流電源，電容相當于開路，電感相當于短路，然后可按直流電阻電路分析的方法求得；

是換路后的初始值，可由換路定律得到；時間常數(shù)

由電路結(jié)構(gòu)決定，對于RC電路，

；對于RL電路，

，其中

是將電路中所有獨立電源置零后，從電容或電感兩端看進去的戴維南等效電阻。9.4一階電路動態(tài)響應分析的三要素法52對于外施激勵為正弦電源的一階電路，也可以用三要素法求解動態(tài)響應，其一般表達式為式中

為響應的穩(wěn)態(tài)值，在換路后用相量法求解，其仍然為一同頻率的正弦量。

是穩(wěn)態(tài)值

的初始值。9.4一階電路動態(tài)響應分析的三要素法53例題如圖所示電路中。電路原處于穩(wěn)定狀態(tài)，t=0時刻開關(guān)S閉合，求電路的響應

。解利用三要素法求解。（1）根據(jù)換路定律求出換路后的初始值（2）求出的穩(wěn)態(tài)值（電路過渡完成后電感看作短路）為9.4一階電路動態(tài)響應分析的三要素法54（3）求出電路的時間常數(shù)為最后，根據(jù)公式求出電路的響應為9.4一階電路動態(tài)響應分析的三要素法55例題如圖所示的電路中，電容已充電至。

t=0時刻開關(guān)S閉合，求電路的響應

。解利用三要素法求解。（1）根據(jù)換路定律可得換路后的初始值為（2）利用相量法計算得穩(wěn)態(tài)值為9.4一階電路動態(tài)響應分析的三要素法56可得以及（3）求出電路的時間常數(shù)最后，根據(jù)公式求出電路的響應為9.5一階電路的階躍響應分析57一階電路對于單位階躍函數(shù)輸入的零狀態(tài)響應稱為單位階躍響應。單位階躍函數(shù)是一種奇異函數(shù)，如圖（a）所示，可定義為值得注意的是，單位階躍函數(shù)在

t=0這一點是不連續(xù)的，它可以用來描述圖（b）所示開關(guān)動作，所以有時候也稱為開關(guān)函數(shù)。9.5一階電路的階躍響應分析58定義任意時刻

起始的階躍函數(shù)為

可以看作是

在時間軸上移動

后的結(jié)果，如圖（c）所示，它也稱為延遲的單位階躍函數(shù)。9.5一階電路的階躍響應分析59單位階躍函數(shù)還可以用來“起始”任意一個函數(shù)。設

f(t)是對所有

t都有定義的一個任意函數(shù)，如圖（a）所示，則它的波形如圖（b）所示9.5一階電路的階躍響應分析60對于一個如下圖（a）所示幅度為1的矩形脈沖，可以把它看作是由兩個階躍函數(shù)組成的，即同理，對于一個如下圖（b）所示的矩形脈沖，則可寫為9.5一階電路的階躍響應分析61當電路的激勵為單位階躍電壓或電流時，相當于將電路在t=0時接通電壓值為1V的直流電壓源或電流值為1A的直流電流源。因此單位階躍響應與直流激勵響應相同。例如RC電路在直流電壓

激勵下的零狀態(tài)響應為則RC電路在單位階躍電壓激勵下的零狀態(tài)響應為9.5一階電路的階躍響應分析62如果單位階躍激勵不是在t=0時刻，而是在

時刻施加的，則應將電路階躍響應中的

t

改為

，即得到電路延遲的單位階躍響應。例如上述RC電路延遲的單位階躍響應為如果已知電路的單位階躍響應，只要將單位階躍響應乘以直流激勵的值，就可求得電路在直流激勵下的零狀態(tài)響應。9.5一階電路的階躍響應分析63例題圖（a）所示矩形脈沖在

t=0時刻作用于圖（b）所示電路，求其零狀態(tài)響應

i。9.5一階電路的階躍響應分析64解矩形脈沖可以分解為兩個階躍電壓的代數(shù)和，即電路的時間常數(shù)作用時，有作用時，有電路的零狀態(tài)響應為兩個階躍響應的代數(shù)和，即9.6二階電路的動態(tài)響應分析65用二階微分方程描述的動態(tài)電路稱為二階電路。在二階電路中，給定的初始條件應有兩個，它們由儲能元件的初始值決定。如圖所示為RLC串聯(lián)的二階電路，根據(jù)基爾霍夫電壓定律可列出換路后的電路方程為各元件的伏安關(guān)系為9.6二階電路的動態(tài)響應分析66代入后可得此方程二階齊次線性常微分方程。此微分方程的特征方程為它是一個二次方程，兩個特征根為9.6二階