電路基礎(chǔ)（微課版）課件 第4章 正弦交流電路基礎(chǔ)

第4章

正弦交流電路基礎(chǔ)第4章正弦交流電路基礎(chǔ)本章主要介紹正弦交流電路的基礎(chǔ)知識。首先介紹了正弦量的振幅、角頻率、初相位、相位差以及有效值等基本概念；然后介紹了電感和電容這兩種基本的交流電路元件；最后介紹了復(fù)數(shù)和相量以及相量形式下的電路定律。2第4章正弦交流電路基礎(chǔ)4.1正弦交流電的基本概念4.2電感元件和電容元件4.3復(fù)數(shù)和相量34.1正弦交流電的基本概念正弦交流電與直流電相比有如下優(yōu)點：（1）正弦交流電易于產(chǎn)生、轉(zhuǎn)換和傳輸。（2）正弦交流發(fā)電機(jī)結(jié)構(gòu)簡單，造價便宜，運(yùn)行可靠。（3）交流電可利用變壓器改變電壓，采用高壓輸電可以大大地減少輸電損耗。（4）利用電子整流設(shè)備可以方便地將交流電轉(zhuǎn)換為直流電。（5）由于工程中遇到的非正弦周期量都可以利用數(shù)學(xué)工具（如傅立葉分析）分解為直流分量和一系列不同頻率的正弦分量，因此正弦交流量是分析非正弦周期量的基礎(chǔ)。44.1正弦交流電的基本概念在直流電路中，電流和電壓的大小和方向都是不變的，通常使用大寫字母I

和U

分別表示。而在交流電路中，電流的大小和方向以及電壓的大小和極性都是隨時間的變化而變動的，在任一瞬時，電流（或電壓）的數(shù)值，稱為它的瞬時值，用小寫字母表示，例如瞬時電流記作i(t)，瞬時電壓記作u(t)，也可簡寫為i

和u

。由于在不同的瞬時，電流、電壓的瞬時值不僅大小不同，正負(fù)也不同。因此規(guī)定，電流的實際方向與參考方向或者電壓的實際極性與參考極性一致時取正，否則取負(fù)。5正弦電流的數(shù)學(xué)解析式為：4.1正弦交流電的基本概念64.1.1正弦量的三要素對應(yīng)的波形示意圖為：4.1正弦交流電的基本概念74.1.1正弦量的三要素稱為正弦量的三要素4.1正弦交流電的基本概念8是正弦量的振幅。它表示正弦量在變化過程中所能達(dá)到的最大值。是正弦量的角頻率。它表示正弦量對應(yīng)的角度隨時間變化的速度，它反映了正弦量變化的快慢。角頻率的單位是弧度每秒（rad/s）。是正弦量的初相位，它是正弦量在計時起點（t=0）時刻的相位，它反映了正弦量的初始值。4.1正弦交流電的基本概念9正弦量變化的快慢還可以用周期（T）和頻率（f）表示。周期的單位是秒（s），而頻率的單位是赫茲（Hz）。角頻率、周期和頻率之間有如下轉(zhuǎn)換關(guān)系。我國電力系統(tǒng)采用的是工頻為50Hz的交流電，它的周期是0.02s，角頻率為314rad/s4.1正弦交流電的基本概念10例題

已知有一個正弦量

求它的振幅、角頻率、周期和頻率。4.1正弦交流電的基本概念11例題

已知有一個正弦量

求它的振幅、角頻率、周期和頻率。解根據(jù)正弦量的數(shù)學(xué)表達(dá)式及相關(guān)定義可得振幅為角頻率為周期為頻率為4.1正弦交流電的基本概念124.1.2正弦量的相位差正弦交流電路中，電流和電壓都是同頻率的正弦量，但是它們的相位并不一定都相同。設(shè)兩個同頻率正弦量分別為:它們之間的相位之差，稱為相位差，用字母

φ

表示，即:4.1正弦交流電的基本概念134.1.2正弦量的相位差它們之間的相位之差，稱為相位差，用字母

φ

表示，即:可見，兩個同頻率正弦量的相位差等于它們的初相位之差，它是一個與時間無關(guān)的常量。應(yīng)當(dāng)注意，對于兩個不同頻率的正弦量，相位差是一個隨時間變化的量，不在本書討論范圍。相位差反映了兩個同頻正弦量的變化進(jìn)程的不同。4.1正弦交流電的基本概念144.1.2正弦量的相位差4.1正弦交流電的基本概念15例題

兩個同頻的正弦量分別為求它們之間的相位差。4.1正弦交流電的基本概念16例題

兩個同頻的正弦量分別為求它們之間的相位差。解：求相位差要求兩個正弦量的函數(shù)形式一致故應(yīng)先將u

改寫成正弦函數(shù)的形式，即：4.1正弦交流電的基本概念17例題

兩個同頻的正弦量分別為求它們之間的相位差。可得相位差為：一般要求相位應(yīng)不大于180°，因此：4.1正弦交流電的基本概念184.1.3正弦量的有效值交流電的大小是隨著時間變化而變化的，瞬時值的大小在零和正負(fù)峰值之間變化，最大值也僅是一瞬間的數(shù)值，不能反映交流電的做功能力。為此，工程上引入一個新的概念，就是有效值。在一個線性電阻

R上，分別加上周期電流

i和直流電流

I，若在一個周期

T的時間段內(nèi)，它們在電阻

R

上產(chǎn)生的熱效應(yīng)相同（也即電流做功的數(shù)值相同），則該直流電I

的大小就定義為周期交流電

i的有效值，并規(guī)定使用大寫字母

I表示交流電

i的有效值。4.1正弦交流電的基本概念194.1.3正弦量的有效值正弦交流電路中，電流和電壓的有效值分別定義為4.1正弦交流電的基本概念204.1.3正弦量的有效值代入正弦電流和電壓的表達(dá)式可得：4.1正弦交流電的基本概念214.1.3正弦量的有效值當(dāng)采用有效值時，正弦電流、電壓的瞬時值表達(dá)式可以表示為:實際工程中凡是談到周期電流、電壓的量值時，若無特殊說明，都是指有效值。在交流設(shè)備的銘牌上標(biāo)注的電流或電壓以及測量儀表上指示的電流或電壓也都是有效值。但是在分析各種電子器件的擊穿電壓或電氣設(shè)備的絕緣耐壓時，要按最大值考慮。4.1正弦交流電的基本概念22例題

已知某正弦電流的振幅為10安，求該電流流經(jīng)10歐姆電阻時產(chǎn)生的功率大小。4.1正弦交流電的基本概念23例題

已知某正弦電流的振幅為10安，求該電流流經(jīng)10歐姆電阻時產(chǎn)生的功率大小。解首先計算電流的有效值4.1正弦交流電的基本概念24例題

已知某正弦電流的振幅為10安，求該電流流經(jīng)10歐姆電阻時產(chǎn)生的功率大小。因此可得功率為：解首先計算電流的有效值在交流電路中，常用的元器件除了電阻外，還有電感和電容。電路中的電壓和電流隨時間變動，使得電路周圍的磁場和電場也隨時間變動。變動的磁場將在電感中產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，變動的電場將在電容中產(chǎn)生位移電流，從而影響到整個電路中的電壓和電流的分布。本節(jié)介紹電感元件、電容元件以及它們在交流電路中的伏安特性。4.2電感元件和電容元件254.2電感元件和電容元件264.2.1電感元件電感元件是實際線圈的理想化模型。下圖（a）所示是一只匝數(shù)為N的線圈，其電路模型如圖（b）所示。常見的電感線圈有調(diào)頻線圈、電磁鐵或變壓器等。4.2電感元件和電容元件274.2.1電感元件當(dāng)線圈中通過電流時，根據(jù)電的磁效應(yīng)，在線圈中就會產(chǎn)生磁場，如果規(guī)定電流的參考方向和磁鏈的參考方向之間符合右手螺旋定則，則電感線圈的磁鏈

ψ

和電流

i有以下關(guān)系：式中

L定義為電感元件的電感，亦稱自感應(yīng)系數(shù)。L取決于線圈的幾何形狀、尺寸、匝數(shù)以及介質(zhì)的導(dǎo)磁性能。在國際制單位中，電感

L

的主單位是亨利（H）。常用的單位還有毫亨（mH）和微亨（μH），其換算關(guān)系為：4.2電感元件和電容元件284.2.1電感元件當(dāng)電感元件中電流

i隨時間變化時，磁通和磁鏈也隨之變化，從而在元件中產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，這種現(xiàn)象稱為電磁感應(yīng)。感應(yīng)電動勢的大小與磁鏈的變化率成正比，感應(yīng)電動勢的方向由楞次定律判定（即感應(yīng)電動勢總是試圖產(chǎn)生感應(yīng)電流和磁通來阻礙原磁通的變化）。如果選定感應(yīng)電動勢的參考方向與磁鏈

ψ

的參考方向符合右手螺旋定則，感應(yīng)電動勢用e

表示，流經(jīng)電感的電流用

i表示，電感兩端的電壓用

u表示，則根據(jù)電磁感應(yīng)定律得：4.2電感元件和電容元件294.2.1電感元件上式表明，電感元件任一時刻的電壓不是取決于該時刻的電流值，而是取決于該時刻電流的變化率，故稱電感元件為動態(tài)元件。電流變化越快，電感電壓越大；電流變化越慢，電感電壓越??；當(dāng)電流不再變化時，電感電壓等于零，這時電感元件相當(dāng)于短路。4.2電感元件和電容元件304.2.1電感元件假設(shè)電感元件中流過的是正弦交流電為：根據(jù)前述定義，電感元件兩端的電壓為：由此可見，在電感L

上加一正弦電流時，電感L

上的電壓也為與電流同頻率的正弦電壓。4.2電感元件和電容元件314.2.1電感元件將電感兩端的電壓表示為：對比上述兩式可得：相應(yīng)的，對于有效值：4.2電感元件和電容元件324.2.1電感元件設(shè)則有：4.2電感元件和電容元件334.2.1電感元件上述XL

反映了電感對電流的阻礙作用，稱為感抗，單位為歐姆。當(dāng)電感L

一定時，感抗與頻率f

成正比，即頻率越高，感抗越大。當(dāng)頻率極高即頻率趨向于無窮大時，感抗也趨向于無窮大，電感相當(dāng)于開路；當(dāng)頻率極低即頻率趨向于零時（直流），感抗也趨向于零，電感相當(dāng)于短路。在實際工程中，常常利用電感的這一特性來處理直流信號和高頻信號。4.2電感元件和電容元件344.2.1電感元件根據(jù)瞬時功率的定義

p=ui，對于電感有：瞬時功率平均功率4.2電感元件和電容元件354.2.1電感元件上式表明電感元件在正弦交流電路中不斷的進(jìn)行能量轉(zhuǎn)換，但在能量轉(zhuǎn)換的過程中沒有能量消耗。為了衡量電感元件上能量轉(zhuǎn)換的劇烈程度，引入了無功功率的概念。電感的無功功率定義為電感瞬時功率的最大值，用QL

表示，有：無功功率雖然也等于電壓、電流有效值的乘積，但為了區(qū)別于有功功率，無功功率的單位定義為乏（var）。4.2電感元件和電容元件364.2.2電容元件電容元件是實際電容器的理想化模型。在兩塊金屬極板之間充以不同的絕緣介質(zhì)（如云母、絕緣紙、電解質(zhì)等）,就構(gòu)成了一只電容器。電容器的特點是能在兩個金屬極板上儲集等量而異性的電荷。下圖（a）所示的是一只電容器，其電路模型如圖（b）所示。4.2電感元件和電容元件374.2.2電容元件當(dāng)電容的極板上存儲了電荷，在極板之間就會產(chǎn)生電場，任何時刻電容極板上的電荷q

和電容元件兩端電壓u

都有如下關(guān)系式中

C定義為電容元件的電容。C取決于電容器極板的尺寸以及其間介質(zhì)的介電常數(shù)。在國際制單位中，電容

C的主單位是法拉（F）。常用的單位還有微法拉（μF）和皮法拉（pF），其換算關(guān)系為：4.2電感元件和電容元件384.2.2電容元件在電容元件極板上的電荷

q隨時間變化時，電容極板間的電場也隨之變化，從而在電容極板間以及引線上形成位移電流

i，若電壓和電流取關(guān)聯(lián)參考方向，有：上式為電容元件上的電壓與電流的伏安關(guān)系。它表明，電容元件任一時刻的電流不是取決于該時刻電容兩端的電壓值，而是取決于該時刻電容兩端電壓的變化率，故稱電容元件為動態(tài)元件。電容兩端電壓變化越快，流經(jīng)電容的電流越大；電壓變化越慢，電容電流越??；當(dāng)電壓不再變化時，電容電流等于零，這時電容元件相當(dāng)于開路。4.2電感元件和電容元件394.2.2電容元件與電感類似，可以定義容抗：可以得到：容抗反映了電容對電流的阻礙作用，單位為歐姆，當(dāng)電容C

一定時，容抗與頻率f

成反比，即頻率越高，容抗越小。當(dāng)頻率極高即頻率趨向于無窮大時，容抗趨向于零，電容相當(dāng)于短路；當(dāng)頻率極低即頻率趨向于零時（直流），容抗趨向于無窮大，電容相當(dāng)于開路。故電容元件有通交流斷直流的作用。4.2電感元件和電容元件404.2.2電容元件根據(jù)瞬時功率的定義

p=ui，對于電容有：瞬時功率平均功率4.2電感元件和電容元件414.2.2電容元件電容元件也具有無功功率，用QC

表示，有：4.2電感元件和電容元件424.3復(fù)數(shù)和相量在交流電路中，電感和電容的伏安關(guān)系都涉及到求導(dǎo)運(yùn)算，這在電路分析計算的時候是非常不方便的。為此，引入相量分析法來簡化正弦交流電路的分析計算過程。對任意一個線性正弦交流電路，其中所有的正弦量都是同頻率的，因此在分析線性正弦穩(wěn)態(tài)電路時，頻率這一要素可以不予考慮，這樣正弦量的三要素就降為兩要素。相量分析法正是利用了這一點。復(fù)數(shù)由實部和虛部構(gòu)成，在直角坐標(biāo)形式下可以表示為：4.3

復(fù)數(shù)和相量434.3.1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算復(fù)數(shù)由實部和虛部構(gòu)成，在直角坐標(biāo)形式下可以表示為：復(fù)數(shù)也可以在復(fù)平面上以矢量的形式表示出來，如下圖所示：復(fù)數(shù)由實部和虛部構(gòu)成，在直角坐標(biāo)形式下可以表示為：4.3

復(fù)數(shù)和相量444.3.1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算根據(jù)歐拉公式：簡記為：復(fù)數(shù)又可以表示為指數(shù)形式，即：復(fù)數(shù)由實部和虛部構(gòu)成，在直角坐標(biāo)形式下可以表示為：4.3

復(fù)數(shù)和相量454.3.1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算幾個復(fù)數(shù)相加或者相減時，一般采用實部虛部法表示復(fù)數(shù)比較方便。例如則有：復(fù)數(shù)由實部和虛部構(gòu)成，在直角坐標(biāo)形式下可以表示為：4.3

復(fù)數(shù)和相量464.3.1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算也可以用幾何法，即利用平行四邊形法進(jìn)行作圖計算：復(fù)數(shù)由實部和虛部構(gòu)成，在直角坐標(biāo)形式下可以表示為：4.3

復(fù)數(shù)和相量474.3.1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算幾個復(fù)數(shù)相乘或者相除時，一般指數(shù)的形式表示復(fù)數(shù)比較方便。例如則乘法和除法運(yùn)算分別為：4.3

復(fù)數(shù)和相量48例題

有復(fù)數(shù)

A=-3+j4和復(fù)數(shù)

B=6-j8，求A+B、A-B、A*B和A/B。4.3

復(fù)數(shù)和相量49例題

有復(fù)數(shù)

A=-3+j4和復(fù)數(shù)

B=6-j8，求A+B、A-B、A*B和A/B。解在進(jìn)行復(fù)數(shù)加減運(yùn)算時，采用直角坐標(biāo)形式比較方便，因此有4.3

復(fù)數(shù)和相量50例題

有復(fù)數(shù)

A=-3+j4和復(fù)數(shù)

B=6-j8，求A+B、A-B、A*B和A/B。在進(jìn)行復(fù)數(shù)加減運(yùn)算時，采用直角坐標(biāo)形式比較方便，因此有在進(jìn)行復(fù)數(shù)乘除法運(yùn)算時，宜先將復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化指數(shù)的形式，再進(jìn)行運(yùn)算4.3

復(fù)數(shù)和相量51例題

有復(fù)數(shù)

A=-3+j4和復(fù)數(shù)

B=6-j8，求A+B、A-B、A*B和A/B。在進(jìn)行復(fù)數(shù)乘除法運(yùn)算時，宜先將復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化指數(shù)的形式，再進(jìn)行運(yùn)算因此有：復(fù)數(shù)由實部和虛部構(gòu)成，在直角坐標(biāo)形式下可以表示為：4.3

復(fù)數(shù)和相量524.3.2正弦量的相量表示法一個按照正弦規(guī)律變換的電流可以寫作：為了進(jìn)一步說明正弦量和相量的關(guān)系，構(gòu)造一個復(fù)指數(shù)函數(shù)根據(jù)歐拉公式，它可以寫作：復(fù)數(shù)由實部和虛部構(gòu)成，在直角坐標(biāo)形式下可以表示為：4.3

復(fù)數(shù)和相量534.3.2正弦量的相量表示法上述正弦量恰好是上述復(fù)指數(shù)函數(shù)的虛部，記為：進(jìn)一步，復(fù)指數(shù)函數(shù)

可以寫作式中

稱為旋轉(zhuǎn)因子，它只與電路的頻率相關(guān)，當(dāng)運(yùn)用電路定律寫出方程的時候，由于每一項電流或者電壓中都有這個旋轉(zhuǎn)因子，因此可以從方程中約去。這表明，在用復(fù)指數(shù)函數(shù)表示正弦量的時候，可以不用考慮旋轉(zhuǎn)因子，如此可以大大簡化分析計算的過程。復(fù)數(shù)由實部和虛部構(gòu)成，在直角坐標(biāo)形式下可以表示為：4.3

復(fù)數(shù)和相量544.3.2正弦量的相量表示法省略的旋轉(zhuǎn)因子之后，復(fù)數(shù)剩余部分記為：反映了正弦量的振幅和初相位，稱它為正弦量的相量。類似的，正弦電流的有效值相量可以記為：復(fù)數(shù)由實部和虛部構(gòu)成，在直角坐標(biāo)形式下可以表示為：4.3

復(fù)數(shù)和相量554.3.2正弦量的相量表示法同理，有正弦電壓的相量：相量用上面帶小圓點的大寫字母表示，是為了與普通的復(fù)數(shù)相區(qū)別，這種表示方法的目的是強(qiáng)調(diào)它是代表正弦量的相量，但在具體運(yùn)算過程中相量與普通的復(fù)數(shù)并無區(qū)別。相量和復(fù)數(shù)一樣，可以在復(fù)平面上用矢量來表示，這種表示相量的圖稱為相量圖。需要注意的是，只有同頻率的正弦量才能畫在同一個相量圖中。4.3

復(fù)數(shù)和相量56例題

求下列兩個正弦電壓之和。4.3

復(fù)數(shù)和相量57例題

求下列兩個正弦電壓之和。解先寫出正弦量的相量：4.3

復(fù)數(shù)和相量58例題

求下列兩個正弦電壓之和。解先寫出正弦量的相量：再進(jìn)行相量運(yùn)算：4.3

復(fù)數(shù)和相量59例題

求下列兩個正弦電壓之和。再進(jìn)行相量運(yùn)算：可得對應(yīng)的正弦量為：4.3

復(fù)數(shù)和相量60根據(jù)前面的討論可知，電感和電容的伏安關(guān)系都涉及求導(dǎo)運(yùn)算。下面討論正弦量的求導(dǎo)運(yùn)算與相量運(yùn)算的對應(yīng)關(guān)系。根據(jù)正弦量與復(fù)指數(shù)函數(shù)的映射關(guān)系有：兩邊對t

求導(dǎo)得：上式表明，正弦量的求導(dǎo)運(yùn)算，對應(yīng)于相量，僅僅是乘以系數(shù)復(fù)數(shù)由實部和虛部構(gòu)成，在直角坐