高考數(shù)學（文）一輪復習教師用書第二章第五節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)

第五節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)1．五種常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)特征性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\f(1,2)y＝x－1圖象定義域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增(－∞，0)減，(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)減公共點(1,1)2．二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；頂點式：f(x)＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)；兩根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象定義域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))單調(diào)性在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞增；在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞減在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞增；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞減奇偶性當b＝0時為偶函數(shù)，當b≠0時為非奇非偶函數(shù)頂點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))對稱性圖象關(guān)于直線x＝－eq\f(b,2a)成軸對稱圖形1．判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數(shù)y＝2x是冪函數(shù)．()(2)當n>0時，冪函數(shù)y＝xn在(0，＋∞)上是增函數(shù)．()(3)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函數(shù)．()(4)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是eq\f(4ac－b2,4a).()(5)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a決定了圖象的開口方向和在同一直角坐標系中的開口大?。?)答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√2．冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(4,2)，則冪函數(shù)y＝f(x)的圖象是()解析：選C令f(x)＝xα，則4α＝2，∴α＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝x，則f(x)的圖象如選項C中所示．3．函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)xm是冪函數(shù)，且在x∈(0，＋∞)上為增函數(shù)，則實數(shù)m的值是()A．－1B．2C．3D．－1或解析：選B∵f(x)＝(m2－m－1)xm是冪函數(shù)，∴m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.又f(x)在x∈(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以m＝2.4．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋x＋5的圖象在x軸上方，則a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,20)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,20)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,20)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,20)，0))解析：選C由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,1－20a<0，))解得a>eq\f(1,20).5．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在區(qū)間[－4,6]上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為________．解析：由于函數(shù)f(x)的圖象開口向上，對稱軸是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是單調(diào)函數(shù)，應有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞)6．已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，且其定義域為[a－1，2a]，則y＝f(x)的值域為解析：因為f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，所以其定義域[a－1,2a]關(guān)于原點對稱，所以a－1＝－2a，所以a＝eq\f(1,3)，因為f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，即f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以f(x)＝eq\f(1,3)x2＋1，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(2,3)))，其值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(31,27))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(31,27)))eq\a\vs4\al(考點一冪函數(shù)的圖象與性質(zhì))eq\a\vs4\al(基礎送分型考點——自主練透)[考什么·怎么考]高考中對冪函數(shù)的概念、圖象及性質(zhì)的考查難度不大，一般以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，其中冪函數(shù)的圖象、利用冪函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)范圍，結(jié)合指數(shù)、對數(shù)比較大小等問題較常見．1．已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(9,3)，則f(2)－f(1)＝()A．3 B．1－eq\r(2)C.eq\r(2)－1 D．1解析：選C設冪函數(shù)f(x)＝xα，則f(9)＝9α＝3，即α＝eq\f(1,2)，所以f(x)＝x＝eq\r(x)，所以f(2)－f(1)＝eq\r(2)－1，故選C.2．當x∈(0，＋∞)時，冪函數(shù)y＝(m2＋m－1)x－5m－3為減函數(shù)，則實數(shù)m的值為(A．－2 B．1C．1或－2 D．m≠eq\f(－1±\r(5),2)解析：選B因為函數(shù)y＝(m2＋m－1)x－5m－3既是冪函數(shù)又是(0，＋∞)上的減函數(shù)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝1，,－5m－3<0，))解得m＝1.3．已知a＝3，b＝4，c＝12，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．b<a<c B．a(chǎn)<b<cC．c<b<a D．c<a<b解析：選C因為a＝81，b＝16，c＝12，由冪函數(shù)y＝x在(0，＋∞)上為增函數(shù)，知a>b>c，故選C.4．若(a＋1)<(3－2a)，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：易知函數(shù)y＝x的定義域為[0，＋∞)，在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1≥0，,3－2a≥0，,a＋1<3－2a，))解得－1≤a<eq\f(2,3).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,3)))[怎樣快解·準解]1．冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)冪函數(shù)y＝xα的圖象和性質(zhì)因α的取值不同而不同，一般可從三方面考察：(1)α的正負：α>0時圖象經(jīng)過(0,0)點和(1,1)點，在第一象限的部分“上升”；α<0時圖象不過(0,0)點，經(jīng)過(1,1)點，在第一象限的部分“下降”；(2)曲線在第一象限的凹凸性：α>1時曲線下凹，0<α<1時曲線上凸，α<0時曲線下凹；(3)函數(shù)的奇偶性：一般先將函數(shù)式化為正指數(shù)冪或根式形式，再根據(jù)函數(shù)定義域和奇偶性定義判斷其奇偶性．2．比較冪值大小的常見類型及解決方法同底不同指利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性進行比較同指不同底利用冪函數(shù)單調(diào)性進行比較既不同底又不同指常常找到一個中間值，通過比較兩個冪值與中間值的大小來判斷兩個冪值的大小eq\a\vs4\al(考點二求二次函數(shù)的解析式)eq\a\vs4\al(重點保分型考點——師生共研)高考單獨考查求二次函數(shù)的解析式較少，大多同其性質(zhì)一同考查，多結(jié)合圖象求解，難度中等.[典題領(lǐng)悟]已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式．解：法一：(利用二次函數(shù)的一般式)設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))故所求二次函數(shù)為f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二：(利用二次函數(shù)的頂點式)設f(x)＝a(x－m)2＋n.∵f(2)＝f(－1)，∴拋物線對稱軸為x＝eq\f(2＋－1,2)＝eq\f(1,2).∴m＝eq\f(1,2)，又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8，∴n＝8，∴y＝f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋8.∵f(2)＝－1，∴aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))2＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋8＝－4x2＋4x＋7.法三：(利用兩根式)由已知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1，故可設f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－又函數(shù)有最大值ymax＝8，即eq\f(4a－2a－1－a2,4a)＝8.解得a＝－4或a＝0(舍去)，故所求函數(shù)解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.[解題師說]求二次函數(shù)解析式的方法[沖關(guān)演練]已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(4,3)，它在x軸上截得的線段長為2，并且對任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．解：∵f(2－x)＝f(2＋x)對x∈R恒成立，∴f(x)的對稱軸為x＝2.又∵f(x)的圖象被x軸截得的線段長為2，∴f(x)＝0的兩根為1和3.設f(x)的解析式為f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的圖象過點(4,3)，∴3a＝3，a＝∴所求f(x)的解析式為f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.eq\a\vs4\al(考點三二次函數(shù)的圖象與性質(zhì))eq\a\vs4\al(題點多變型考點——追根溯源)高考對二次函數(shù)圖象與性質(zhì)進行單獨考查的頻率較低.常與一元二次方程、一元二次不等式等知識交匯命題是高考的熱點，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用.,常見的命題角度有：1二次函數(shù)圖象的識別；2二次函數(shù)的單調(diào)性問題；3二次函數(shù)的最值問題；4與二次函數(shù)有關(guān)的恒成立問題.[題點全練]角度(一)二次函數(shù)圖象的識別1．(2018·重慶五中模擬)一次函數(shù)y＝ax＋b與二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c在同一坐標系中的圖象大致是()解析：選C若a>0，則一次函數(shù)y＝ax＋b為增函數(shù)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向上，故可排除A；若a<0，一次函數(shù)y＝ax＋b為減函數(shù)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向下，故可排除D；對于選項B，看直線可知a>0，b>0，從而－eq\f(b,2a)<0，而二次函數(shù)的對稱軸在y軸的右側(cè)，故應排除B，選C.[題型技法]識別二次函數(shù)圖象應學會“三看”角度(二)二次函數(shù)的單調(diào)性問題2．若二次函數(shù)y＝kx2－4x＋2在區(qū)間[1,2]上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍為()A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞，2)解析：選A二次函數(shù)y＝kx2－4x＋2的對稱軸為x＝eq\f(2,k)，當k>0時，要使函數(shù)y＝kx2－4x＋2在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，只需eq\f(2,k)≤1，解得k≥2.當k<0時，eq\f(2,k)<0，此時拋物線的對稱軸在區(qū)間[1,2]的左側(cè)，該函數(shù)y＝kx2－4x＋2在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)，不符合要求．綜上可得實數(shù)k的取值范圍是[2，＋∞)．[題型技法]研究二次函數(shù)單調(diào)性的思路(1)二次函數(shù)的單調(diào)性在其圖象對稱軸的兩側(cè)不同，因此研究二次函數(shù)的單調(diào)性時要依據(jù)其圖象的對稱軸進行分類討論．(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在區(qū)間A上單調(diào)遞減(單調(diào)遞增)，則A?eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))A?－eq\f(b,2a)，＋∞，即區(qū)間A一定在函數(shù)對稱軸的左側(cè)(右側(cè))．角度(三)二次函數(shù)的最值問題3．(2017·浙江高考)若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b在區(qū)間[0,1]上的最大值是M，最小值是m，則M－m()A．與a有關(guān)，且與b有關(guān) B．與a有關(guān)，但與b無關(guān)C．與a無關(guān)，且與b無關(guān) D．與a無關(guān)，但與b有關(guān)解析：選Bf(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2－eq\f(a2,4)＋b，①當0≤－eq\f(a,2)≤1時，f(x)min＝m＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝－eq\f(a2,4)＋b，f(x)max＝M＝max{f(0)，f(1)}＝max{b,1＋a＋b}，∴M－m＝maxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a2,4)，1＋a＋\f(a2,4)))與a有關(guān)，與b無關(guān)；②當－eq\f(a,2)<0時，f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，∴M－m＝f(1)－f(0)＝1＋a與a有關(guān)，與b無關(guān)；③當－eq\f(a,2)>1時，f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減，∴M－m＝f(0)－f(1)＝－1－a與a有關(guān)，與b無關(guān)．綜上所述，M－m與a有關(guān)，但與b無關(guān)．[題型技法]求二次函數(shù)在給定區(qū)間上最值的方法二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(不妨設a>0)在區(qū)間[m，n]上的最大或最小值如下：(1)當－eq\f(b,2a)∈[m，n]，即對稱軸在所給區(qū)間內(nèi)時：f(x)的最小值在對稱軸處取得，其最小值是feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))＝eq\f(4ac－b2,4a)；若－eq\f(b,2a)≤eq\f(m＋n,2)，f(x)的最大值為f(n)；若－eq\f(b,2a)≥eq\f(m＋n,2)，f(x)的最大值為f(m)．(2)當－eq\f(b,2a)?[m，n]，即給定的區(qū)間在對稱軸的一側(cè)時：f(x)在[m，n]上是單調(diào)函數(shù)．若－eq\f(b,2a)<m，f(x)在[m，n]上是增函數(shù)，f(x)的最小值是f(m)，最大值是f(n)；若n<－eq\f(b,2a)，f(x)在[m，n]上是減函數(shù)，f(x)的最小值是f(n)，最大值是f(m)．(3)當不能確定對稱軸－eq\f(b,2a)是否屬于區(qū)間[m，n]時：則需分類討論，以對稱軸與區(qū)間的關(guān)系確定討論的標準，然后轉(zhuǎn)化為上述(1)(2)兩種情形求最值．角度(四)與二次函數(shù)有關(guān)的恒成立問題4．(2018·武邑調(diào)研)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足：當x≥0時，f(x)＝x3，若不等式??f(－4t)＞f(2m＋mt2)對任意實數(shù)t恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是(A．(－∞，－eq\r(2)) B．(－eq\r(2)，0)C．(－∞，0)∪(eq\r(2)，＋∞) D．(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)[學審題]①可推出f(x)＝x3(x∈R)，進而推出f(x)在R上為增函數(shù)；②利用函數(shù)單調(diào)性可脫掉法則“f”，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)恒成立問題．解析：選A當x<0時，f(x)＝－f(－x)＝x3，∴f(x)＝x3(x∈R)，易知f(x)在R上是增函數(shù)，結(jié)合f(－4t)>f(2m＋mt2)對任意實數(shù)t恒成立，知－4t>2m＋mt2對任意實數(shù)t恒成立，即mt2＋4t＋2m<0對任意實數(shù)t恒成立，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝16－8m2<0，))解得m∈(－∞，－eq\r(2))，故選A.[題型技法]與二次函數(shù)有關(guān)的不等式恒成立的條件(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,b2－4ac<0；))(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,b2－4ac<0；))(3)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.[題“根”探求]1．無論題型如何變化，都是圍繞二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，變換不同的角度來考查．角度(一)中二次函數(shù)的圖象識別問題是基礎問題，角度(二)中二次函數(shù)的單調(diào)性問題是根本問題，角度(三)與角度(四)是在角度(一)和角度(二)的基礎上的重點考查問題，數(shù)形結(jié)合思想是解決這類問題的基本策略．2．二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值問題的實質(zhì)二次函數(shù)在閉區(qū)間上一定存在最小值和最大值，它們只能在區(qū)間的端點或二次函數(shù)圖象的頂點處取得(若對稱軸不在給定區(qū)域內(nèi)則只考慮端點)．分別求出函數(shù)值，通過比較大小確定最值．[沖關(guān)演練]1．已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋4在區(qū)間[0，m](m>0)上的最大值為4，最小值為3，則實數(shù)m的取值范圍是()A．[1,2] B．(0,1]C．(0,2] D．[1，＋∞)解析：選A作出函數(shù)的圖象如圖所示，從圖中可以看出當1≤m≤2時，函數(shù)f(x)＝x2－2x＋4在區(qū)間[0，m](m>0)上的最大值為4，最小值為3.故選A.2．已知函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋2，若對一切x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，f(x)>0都成立，則實數(shù)a的取值范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C．[－4，＋∞) D．(－4，＋∞)解析：選B由題意得，對一切x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，f(x)>0都成立，即a>eq\f(2x－2,x2)＝－eq\f(2,x2)＋eq\f(2,x)＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,2)))2＋eq\f(1,2)，而－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,2)))2＋eq\f(1,2)≤eq\f(1,2)，則實數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).(一)普通高中適用作業(yè)A級——基礎小題練熟練快1．冪函數(shù)y＝f(x)經(jīng)過點(3，eq\r(3))，則f(x)是()A．偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)B．偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)C．奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)解析：選D設冪函數(shù)的解析式為y＝xα，將(3，eq\r(3))代入解析式得3α＝eq\r(3)，解得α＝eq\f(1,2)，∴y＝xeq\f(1,2)，其是非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)．2．已知冪函數(shù)f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1為偶函數(shù)，則m＝(A．1B．2C．1或2D．解析：選A∵函數(shù)f(x)為冪函數(shù)，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.當m＝1時，冪函數(shù)f(x)＝x2為偶函數(shù)，滿足條件．當m＝2時，冪函數(shù)f(x)＝x33．函數(shù)f(x)＝2x2－mx＋3，當x∈[－2，＋∞)時，f(x)是增函數(shù)，當x∈(－∞，－2]時，f(x)是減函數(shù)，則f(1)的值為()A．－3 B．13C．7 D．5解析：選B函數(shù)f(x)＝2x2－mx＋3圖象的對稱軸為x＝eq\f(m,4)，由函數(shù)f(x)的增減區(qū)間可知eq\f(m,4)＝－2，所以m＝－8，即f(x)＝2x2＋8x＋3，所以f(1)＝2＋8＋3＝13.4．(2018·安陽模擬)下列選項正確的是()A．0.20.2＞0.30.2 B．2＜C．0.8－0.1＞1.250.2 D．1.70.3＞0.93.1解析：選DA中，∵函數(shù)y＝x0.2在(0，＋∞)上為增函數(shù)，0.2＜0.3，∴0.20.2＜0.30.2，故AB中，∵函數(shù)y＝x在(0，＋∞)上為減函數(shù)，∴2＞3，故B不正確；C中，∵0.8－1＝1.25，y＝1.25x在R上是增函數(shù)，0.1＜0.2，∴1.250.1＜1.250.2，即0.8－0.1＜1.250.2，故C不正確；D中，1.70.3＞1,0.93.1＜1，∴1.70.3＞0.93.1，故選D.5．已知a，b，c∈R，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，則()A．a(chǎn)>0,4a＋b＝0 B．a(chǎn)<0,4a＋bC．a(chǎn)>0,2a＋b＝0 D．a(chǎn)<0,2a＋b解析：選A由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c圖象的對稱軸為x＝－eq\f(b,2a)＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，∴f(x)先減后增，于是a>0，故選A.6．若函數(shù)f(x)＝(1－x2)(x2＋ax－5)的圖象關(guān)于直線x＝0對稱，則f(x)的最大值是()A．－4 B．4C．4或－4 D．不存在解析：選B依題意，函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則y＝x2＋ax－5是偶函數(shù)，故a＝0，f(x)＝(1－x2)(x2－5)＝－x4＋6x2－5＝－(x2－3)2＋4，當x2＝3時，f(x)取得最大值4.7．若函數(shù)f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常數(shù)a，b∈R)是偶函數(shù)，且它的值域為(－∞，4]，則該函數(shù)的解析式f(x)＝解析：f(x)＝bx2＋(ab＋2a)x＋2a由已知條件ab＋2a＝0，又f(x)的值域為(－∞，4]則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,b＝－2，,2a2＝4.))因此f(x)＝－2x2＋4.答案：－2x2＋48．已知二次函數(shù)y＝f(x)的頂點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，49))，且方程f(x)＝0的兩個實根之差等于7，則此二次函數(shù)的解析式是________．解析：設f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))2＋49(a≠0)，方程aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))2＋49＝0的兩個實根分別為x1，x2，則|x1－x2|＝2eq\r(－\f(49,a))＝7，所以a＝－4，所以f(x)＝－4x2－12x＋40.答案：f(x)＝－4x2－12x＋409．當0＜x＜1時，f(x)＝x2，g(x)＝x，h(x)＝x－2，則f(x)，g(x)，h(x)的大小關(guān)系是________________．解析：分別作出f(x)，g(x)，h(x)的圖象如圖所示，可知h(x)＞g(x)＞f(x)．答案：h(x)＞g(x)＞f(x)10．如果存在實數(shù)x，使得關(guān)于x的不等式ax2－4x＋a－3＜0成立，則實數(shù)a的取值范圍是______________．解析：當a＝0時，原不等式變?yōu)椋?x－3＜0，解得x＞－eq\f(3,4)，顯然成立．當a＞0時，需Δ＝(－4)2－4a(a－3)＞0即a2－3a－4＜0，解得0＜a＜4當a＜0時，顯然成立，綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是(－∞，4)．答案：(－∞，4)B級——中檔題目練通抓牢1．若函數(shù)y＝x2－3x－4的定義域為[0，m]，值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(25,4)，－4))，則m的取值范圍是()A．[0,4] B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))解析：選D二次函數(shù)圖象的對稱軸為x＝eq\f(3,2)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－eq\f(25,4)，f(3)＝f(0)＝－4，結(jié)合函數(shù)圖象(如圖所示)可得m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)).2.如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，圖象過點A(－3,0)，對稱軸為x＝－1.給出下面四個結(jié)論：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a其中正確的是()A．②④ B．①④C．②③ D．①③解析：選B因為圖象與x軸交于兩點，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，對稱軸為x＝－1，即－eq\f(b,2a)＝－1,2a－b＝0，②錯誤．結(jié)合圖象，當x＝－1時，y＞0，即a－b＋c＞0，③錯誤．由對稱軸為x＝－1知，b＝2a.又函數(shù)圖象開口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜3．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，且a＞b＞c，a＋b＋c＝0，則()A．?x∈(0,1)，都有f(x)＞0B．?x∈(0,1)，都有f(x)＜0C．?x0∈(0,1)，都有f(x0)＝0D．?x0∈(0,1)，都有f(x0)＞0解析：選B由a＞b＞c，a＋b＋c＝0，可知a＞0，c＜0.拋物線開口方向向上，因為f(0)＝c＜0，f(1)＝a＋b＋c＝0，即1是方程ax2＋bx＋c＝0的一個根，所以?x∈(0,1)，都有f(x)＜0.故選B.4．(2017·山西一模)已知函數(shù)f(x)＝x2－m是定義在區(qū)間[－3－m，m2－m]上的奇函數(shù)，則f(m)＝________.解析：由題意得m2－m＝3＋m，即m2－2m－3＝0∴m＝3或m＝－1.當m＝3時，f(x)＝x－1，[－3－m，m2－m]為[－6,6]，f(x)在x＝0處無意義，故舍去．當m＝－1時，f(x)＝x3，[－3－m，m2－m]為[－2,2]，滿足題意，∴f(m)＝f(－1)＝(－1)3＝－1.答案：－15．已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，如果對x∈[－3,1]，f(x)＞0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為________．解析：因為f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，對稱軸為x＝－(a－2)，對x∈[－3,1]，f(x)＞0恒成立，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a－2＜－3，,f－3＞0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≤－a－2≤1，,Δ＜0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a－2＞1，,f1＞0，))解得a∈?或1≤a＜4或－eq\f(1,2)＜a＜1，所以實數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，4)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，4))6．已知函數(shù)f(x)＝x2＋(2a－1)x－(1)當a＝2，x∈[－2,3]時，求函數(shù)f(x)的值域；(2)若函數(shù)f(x)在[－1,3]上的最大值為1，求實數(shù)a的值．解：(1)當a＝2時，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，對稱軸為x＝－eq\f(3,2)∈[－2,3]，∴f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(9,4)－eq\f(9,2)－3＝－eq\f(21,4)，f(x)max＝f(3)＝15，∴函數(shù)f(x)的值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(21,4)，15)).(2)∵函數(shù)f(x)的對稱軸為x＝－eq\f(2a－1,2).①當－eq\f(2a－1,2)≤1，即a≥－eq\f(1,2)時，f(x)max＝f(3)＝6a＋3∴6a＋3＝1，即a＝－eq\f(1,3)，滿足題意；②當－eq\f(2a－1,2)＞1，即a＜－eq\f(1,2)時，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1∴－2a－1＝1，即a＝－1綜上可知，a＝－eq\f(1,3)或－1.7．已知函數(shù)f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在區(qū)間[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a，b的值；(2)若b<1，g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上單調(diào)，求m的取值范圍．解：(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.當a>0時，f(x)在[2,3]上為增函數(shù)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f3＝5，,f2＝2))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＋2＋b＝5，,2＋b＝2))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0.))當a<0時，f(x)在[2,3]上為減函數(shù)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f3＝2，,f2＝5))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＋2＋b＝2，,2＋b＝5))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝3.))故當a>0時，a＝1，b＝0，當a<0時，a＝－1，b＝3.(2)∵b<1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2.g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2，∵g(x)在[2,4]上單調(diào)，∴eq\f(2＋m,2)≤2或eq\f(m＋2,2)≥4.∴m≤2或m≥6.故m的取值范圍為(－∞，2]∪[6，＋∞)．C級——重難題目自主選做1．(2018·合肥質(zhì)檢)函數(shù)f(x)＝－x2＋3x＋a，g(x)＝2x－x2，若f(g(x))≥0對x∈[0,1]恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A．[－e，＋∞) B．[－ln2，＋∞)C．[－2，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))解析：選C如圖所示，在同一坐標系中畫出y＝x2＋1，y＝2x，y＝x2＋eq\f(3,2)的圖象，由圖象可知，在[0,1]上，x2＋1≤2x<x2＋eq\f(3,2)恒成立，即1≤2x－x2<eq\f(3,2)，當且僅當x＝0或x＝1時等號成立，∴1≤g(x)<eq\f(3,2)，∴f(g(x))≥0?f(1)≥0?－1＋3＋a≥0?a≥－2，即實數(shù)a的取值范圍是[－2，＋∞)，故選C.2．設f(x)與g(x)是定義在同一區(qū)間[a，b]上的兩個函數(shù)，若函數(shù)y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有兩個不同的零點，則稱f(x)和g(x)在[a，b]上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，區(qū)間[a，b]稱為“關(guān)聯(lián)區(qū)間”．若f(x)＝x2－3x＋4與g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則m的取值范圍為________．解析：由題意知，y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0,3]上有兩個不同的零點．在同一直角坐標系下作出函數(shù)y＝m與y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的圖象如圖所示，結(jié)合圖象可知，當x∈[2,3]時，y＝x2－5x＋4∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)，－2))，故當m∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)，－2))時，函數(shù)y＝m與y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的圖象有兩個交點．答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)，－2))(二)重點高中適用作業(yè)A級——保分題目巧做快做1．冪函數(shù)y＝f(x)經(jīng)過點(3，eq\r(3))，則f(x)是()A．偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)B．偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)C．奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)解析：選D設冪函數(shù)的解析式為y＝xα，將(3，eq\r(3))代入解析式得3α＝eq\r(3)，解得α＝eq\f(1,2)，∴y＝xeq\f(1,2)，其是非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)．2．函數(shù)f(x)＝2x2－mx＋3，當x∈[－2，＋∞)時，f(x)是增函數(shù)，當x∈(－∞，－2]時，f(x)是減函數(shù)，則f(1)的值為()A．－3 B．13C．7 D．5解析：選B函數(shù)f(x)＝2x2－mx＋3圖象的對稱軸為x＝eq\f(m,4)，由函數(shù)f(x)的增減區(qū)間可知eq\f(m,4)＝－2，所以m＝－8，即f(x)＝2x2＋8x＋3，所以f(1)＝2＋8＋3＝13.3.如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，圖象過點A(－3,0)，對稱軸為x＝－1.給出下面四個結(jié)論：①b2＞4ac②2a－b＝1③a－b＋c＝0；④5a＜b其中正確的是()A．②④ B．①④C．②③ D．①③解析：選B因為圖象與x軸交于兩點，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，對稱軸為x＝－1，即－eq\f(b,2a)＝－1,2a－b＝0，②錯誤．結(jié)合圖象，當x＝－1時，y＞0，即a－b＋c＞0，③錯誤．由對稱軸為x＝－1知，b＝2a又函數(shù)圖象開口向下，所以a＜0，所以5a＜2即5a＜b，④4.已知點(m,8)在冪函數(shù)f(x)＝(m－1)xn的圖象上，設a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))))，b＝f(lnπ)，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．c<a<b B．a(chǎn)<b<cC．b<c<a D．b<a<c解析：選A根據(jù)題意，m－1＝1，∴m＝2，∴2n＝8，∴n＝3，∴f(x)＝x3.∵f(x)＝x3是定義在R上的增函數(shù)，又－eq\f(1,2)<0<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0＝1<lnπ，∴c<a<b.5.(2018·蕪湖中學月考)設函數(shù)f(x)＝x|x|＋bx＋c，給出下列四個命題：①當c＝0時，f(x)是奇函數(shù)；②當b＝0，c＞0時，方程f(x)＝0只有一個實根；③f(x)的圖象關(guān)于點(0，c)對稱；④方程f(x)＝0至多有兩個實根．其中正確的命題是()A．①④ B．①③C．①②③ D．②④解析：選C法一：當c＝0時，f(－x)＝－x|－x|＋b(－x)＝－x|x|－bx＝－f(x)，故f(x)是奇函數(shù)，①正確；當b＝0，c>0時，f(x)＝x|x|＋c在R上單調(diào)遞增，故方程f(x)＝0只有一個實根，②正確．由①可知c＝0時，f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，f(x)＝x|x|＋bx＋c的圖象由y＝x|x|＋bx的圖象向上平移c個單位得到的，故關(guān)于點(0，c)對稱，③正確；當b＝－1，c＝0時，f(x)＝x|x|－x＝x(|x|－1)＝0，則x＝0或x＝±1，④錯誤，故選C.法二：當c＝0時，f(－x)＝－x|－x|＋b(－x)＝－x|x|－bx＝－f(x)，故f(x)是奇函數(shù)，①正確，排除D；當b＝0，c＞0時，令f(x)＝x|x|＋c＝0，則當x≥0時，x2＋c＝0無解，當x＜0時，f(x)＝－x2＋c＝0，x＝－eq\r(c)只有一個實數(shù)根，②正確，排除A、B，選C.6.當0＜x＜1時，f(x)＝x2，g(x)＝x，h(x)＝x－2，則f(x)，g(x)，h(x)的大小關(guān)系是________________．解析：分別作出f(x)，g(x)，h(x)的圖象如圖所示，可知h(x)＞g(x)＞f(x)．答案：h(x)＞g(x)＞f(x)7.(2017·山西一模)已知函數(shù)f(x)＝x2－m是定義在區(qū)間[－3－m，m2－m]上的奇函數(shù)，則f(m)＝________.解析：由題意得m2－m＝3＋m，即m2－2m－3＝0∴m＝3或m＝－1.當m＝3時，f(x)＝x－1，[－3－m，m2－m]為[－6,6]，f(x)在x＝0處無意義，故舍去．當m＝－1時，f(x)＝x3，[－3－m，m2－m]為[－2,2]，滿足題意，∴f(m)＝f(－1)＝(－1)3＝－1.答案：－18.已知二次函數(shù)y＝x2＋2kx＋3－2k，則頂點位置最高時函數(shù)的解析式為________．解析：由題意可知y＝x2＋2kx＋3－2k＝(x＋k)2－k2－2k＋3，所以該函數(shù)的頂點坐標為(－k，－k2－2k＋3)．設頂點的縱坐標為y＝－k2－2k＋3＝－(k＋1)2＋4，所以當k＝－1時，頂點位置最高，此時函數(shù)的解析式為y＝x2－2x＋5.答案：y＝x2－2x＋59.已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．(1)當a＝－1時，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值；(2)求實數(shù)a的取值范圍，使y＝f(x)在區(qū)間[－5,5]上是單調(diào)函數(shù)．解：(1)當a＝－1時，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，所以當x＝1時，f(x)取得最小值1；當x＝－5時，f(x)取得最大值37.(2)函數(shù)f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的圖象的對稱軸為直線x＝－a，因為y＝f(x)在區(qū)間[－5,5]上是單調(diào)函數(shù)，所以－a≤－5或－a≥5，即a≤－5或a≥5.故實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．10．已知函數(shù)f(x)＝x2＋(2a－1)x－(1)當a＝2，x∈[－2,3]時，求函數(shù)f(x)的值域；(2)若函數(shù)f(x)在[－1,3]上的最大值為1，求實數(shù)a的值．解：(1)當a＝2時，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，對稱軸為x＝－eq\f(3,2)∈[－2,3]，∴f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(9,4)－eq\f(9,2)－3＝－eq\f(21,4)，f(x)max＝f(3)＝15，∴函數(shù)f(x)的值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(21,4)，15)).(2)∵函數(shù)f(x)的對稱軸為x＝－eq\f(2a－1,2).①當－eq\f(2a－1,2)≤1，即a≥－eq\f(1,2)時，f(x)max＝f(3)＝6a＋3∴6a＋3＝1，即a＝－eq\f(1,3)，滿足題意；②當－eq\f(2a－1,2)＞1，即a＜－eq\f(1,2)時，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1∴－2a－1＝1，即a＝－1綜上可知，a＝－eq\f(1,3)或－1.B級——拔高題目穩(wěn)做準做1.已知函數(shù)f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的圖象與x軸的交點至少有一個在原點右側(cè)，則實數(shù)m的取值范圍是()A．[0,1] B．(0,1)C．(－∞，1) D．(－∞，1]解析：選D當m＝0時，令f(x)＝0，得－3x＋1＝0，則x＝eq\f(1,3)＞0，符合題意；當m＞0時，由f(0)＝1，可知要滿足題意，則需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝m－32－4m≥0，,－\f(m－3,2m)＞0，))解得0＜m≤1；當m＜0時，由f(0)＝1可知，函數(shù)圖象恒與x軸正半軸有一個交點．綜上可知，m的取值范圍是(－∞，1]．2．(2018·合肥質(zhì)檢)函數(shù)f(x)＝－x2＋3x＋a，g(x)＝2x－x2，若f(g(x))≥0對x∈[0,1]恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A．[－e，＋∞) B．[－ln2，＋∞)C．[－2，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,