數(shù)學人教A版必修四課件第三章三角恒等變換3.1.2（一）

兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(一)第三章

§3.1

兩角和與差的正弦、余弦和正切公式學習目標1.掌握兩角差的余弦公式推導出兩角和的余弦公式及兩角和與差的正弦公式.2.會用兩角和與差的正弦、余弦公式進行簡單的三角函數(shù)的求值、化簡、計算等.3.熟悉兩角和與差的正弦、余弦公式的靈活運用，了解公式的正用、逆用以及角的變換的常用方法.題型探究問題導學內(nèi)容索引當堂訓練問題導學思考

知識點一兩角和的余弦公式如何由兩角差的余弦公式得到兩角和的余弦公式？答案答案用－β代換cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ中的β便可得到.梳理公式cos(α＋β)＝___________________簡記符號______使用條件α，β都是_______記憶口決：“余余正正，符號相反”.cosαcosβ－sinαsinβC(α＋β)任意角思考1

知識點二兩角和與差的正弦公式如何利用兩角差的余弦公式和誘導公式得到兩角和的正弦公式？答案＝sinαcosβ＋cosαsinβ.思考2

怎樣由兩角和的正弦公式得到兩角差的正弦公式？答案答案

用－β代換β，即可得sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.梳理內(nèi)容兩角和的正弦兩角差的正弦簡記符號S(α＋β)S(α－β)公式形式sin(α＋β)＝___________________sin(α－β)＝___________________記憶口訣：“正余余正，符號相同”.sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ題型探究解答類型一給角求值例1

(1)化簡求值：sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)·sin(x－18°).解原式＝sin(x＋27°)cos(18°－x)－cos(x＋27°)·sin(x－18°)＝sin(x＋27°)cos(18°－x)＋cos(x＋27°)sin(18°－x)答案解析反思與感悟(1)解答此類題目一般先要用誘導公式把角化正化小，化切為弦統(tǒng)一函數(shù)名稱，然后根據(jù)角的關系和式子的結構選擇公式.(2)解題時應注意觀察各角之間的關系，恰當運用拆角、拼角技巧，以達到正負抵消或可以約分的目的，從而使問題得解.跟蹤訓練1計算：(1)sin14°cos16°＋sin76°cos74°；解答解原式＝sin14°cos16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x).解原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin90°＝1.類型二給值求值解答反思與感悟(1)給值(式)求值的策略①當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式.②當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系，然后應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”.(2)給值求角本質(zhì)上為給值求值問題，解題時應注意對角的范圍加以討論，以免產(chǎn)生增解或漏解.解答∴cos2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)類型三輔助角公式解答命題角度1用輔助角公式化簡例3將下列各式寫成Asin(ωx＋φ)的形式：解答反思與感悟答案解析解答命題角度2求函數(shù)值域(最值)所以函數(shù)f(x)的值域為[1，2].反思與感悟(1)用輔助角公式化成一角一函數(shù)，即asinx＋bcosx＝

sin(x±φ)的形式.(2)根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求其值域.跟蹤訓練4

(1)當函數(shù)y＝sinx－

cosx(0≤x≤2π)取得最大值時，x＝

；答案解析答案解析當堂訓練答案23451解析√答案23451解析√則B>120°，A＋B>180°，矛盾，∵cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)，∴cosC＝－cos(A＋B)＝－(cosAcosB－sinAsinB)∴若B為鈍角，234513.sin20°cos10°－cos160°sin10°等于答案23451解析√答案23451解析∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ解答23451規(guī)律與方法1.公式的推導和記憶(1)理順公式間的邏輯關系(2)注意公式的結構特征和符號規(guī)律對于公式C(α－β)，C(α＋β)可記為“同名相乘，符號反”；對于公式S(α－β)，S(α＋β)可記為“異名相乘，符號同”.(3)符號變化是公式應用中易錯的地方，特別是公式C(α－β)，C(α＋β)，S(α－β)，且公式sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，