高中數(shù)學(xué) 2.1 數(shù)列（第2課時）練習(xí) 新人教B版必修5

第二章2.1第2課時一、選擇題1．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＝an－1＋eq\f(1,an－2)(n≥3)，則a5＝()A.eq\f(55,12) B.eq\f(13,3)C．4 D．5[答案]A[解析]令n＝3,4,5，求a5即可．2．已知數(shù)列{an}中，an＋1＝an＋2＋an，a1＝2，a2＝5，則a6＝()A．－3 B．－4C．－5 D．2[答案]A[解析]由an＋1＝an＋2＋an得a3＝3，a4＝－2，a5＝－5，a6＝－3.3．正項數(shù)列{an}中，an＋1＝eq\f(an,1＋3an)，a1＝2，則a4＝()A.eq\f(16,5) B.eq\f(2,19)C.eq\f(8,5) D.eq\f(8,7)[答案]B[解析]由遞推關(guān)系可得a2＝eq\f(2,7)，a3＝eq\f(2,13)，a4＝eq\f(2,19).4．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝1，以后各項由公式a1·a2·a3·…·an＝n2給出，則a3＋a5等于()A.eq\f(25,9) B.eq\f(25,16)C.eq\f(61,16) D.eq\f(31,15)[答案]C[解析]∵a1·a2·a3·…·an＝n2，∴a1·a2·a3＝9，a1·a2＝4，∴a3＝eq\f(9,4).同理a5＝eq\f(25,16)，∴a3＋a5＝eq\f(9,4)＋eq\f(25,16)＝eq\f(61,16).5．已知數(shù)列{an}滿足a1＝x，a2＝y(tǒng)，且an＋1＝an－an－1(n≥2)，則a2007＝()A．x B．yC．y－x D．－x[答案]C[解析]根據(jù)遞推關(guān)系可得x，y，y－x，－x，－y，x－y，這6個數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)a2007＝a334×6＋3＝a3.6．觀察下圖，并閱讀圖形下面的文字，像這樣10條直線相交，交點的個數(shù)最多的是()A．40個 B．45個C．50個 D．55個[答案]B[解析]交點個數(shù)依次組成數(shù)列為1,3,6，即eq\f(2×1,2)，eq\f(2×3,2)，eq\f(3×4,2)，由此猜想an＝eq\f(nn－1,2)，∴a10＝eq\f(10×9,2)＝45.二、填空題7．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝nan－1(n≥2)，則a5＝________.[答案]120[解析]因為an＝nan－1，且n≥2，所以當(dāng)n＝2時，a2＝2a1＝2；當(dāng)n＝3時，a3＝3a2＝6；當(dāng)n＝4時，a4＝4a3＝24；當(dāng)n＝5時，a5＝5a4＝120.故a5＝120.8．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝3n－1(n∈N*)，通過公式bn＝eq\f(an＋1,an)構(gòu)造一個新數(shù)列{bn}，那么{bn}的前五項為________________．[答案]eq\f(5,2)，eq\f(8,5)，eq\f(11,8)，eq\f(14,11)，eq\f(17,14)[解析]∵an＝3n－1(n∈N*)，∴an＋1＝3(n＋1)－1＝3n＋2，∴bn＝eq\f(an＋1,an)＝eq\f(3n＋2,3n－1).∴b1＝eq\f(5,2)，b2＝eq\f(8,5)，b3＝eq\f(11,8)，b4＝eq\f(14,11)，b5＝eq\f(17,14).三、解答題9．一老漢為感激梁山好漢除暴安良，帶了些千里馬要送給梁山好漢，見過宋江后，宋江把老漢帶來的馬匹的一半和另外一匹馬作為回禮送給了他，老漢又去見盧俊義，把現(xiàn)有剩馬的一半送給盧俊義，盧俊義也把老漢送的馬匹的一半和另一匹馬作為回禮送給老漢……一直送到108名好漢的最后一名是這樣的，老漢下山回家時還剩兩匹馬，你知道老漢上山時一共帶了多少匹千里馬嗎？[解析]設(shè)老漢上山一共帶了a1匹千里馬，送給宋江后還剩a2匹，則a2＝eq\f(1,2)a1＋1，再送給盧俊義后還剩下a3匹，則a3＝eq\f(1,2)a2＋1.依次地進(jìn)行下去，送給第k個人后還剩下ak＋1＝eq\f(1,2)ak＋1，按照題目要求應(yīng)有a109＝eq\f(1,2)a108＋1＝2.∵a109＝2，∴a108＝2.依次代入遞推關(guān)系可得a1＝a2＝a3＝…＝2.即老漢最初上山帶了兩匹千里馬.一、選擇題1．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an－1(n∈N*)，則a1000＝()A．1 B．1999C．1000 D．－1[答案]A[解析]a1＝1，a2＝2×1－1＝1，a3＝2×1－1＝1，a4＝2×1－1＝1，…，可知an＝1(n∈N*)．2．已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，an＋1＝eq\f(an－\r(3),\r(3)an＋1)(n∈N＋)，則a20＝()A．0 B．－eq\r(3)C.eq\r(3) D.eq\f(\r(3),2)[答案]B[解析]∵a1＝0，a2＝eq\f(a1－\r(3),\r(3)a1＋1)＝－eq\r(3)，a3＝eq\f(a2－\r(3),\r(3)a2＋1)＝eq\r(3)，a4＝eq\f(a3－\r(3),\r(3)a3＋1)＝0，….至此可知：數(shù)列{an}的各項的值依次為0，－eq\r(3)，eq\r(3)，0，－eq\r(3)，eq\r(3)，0，…，周而復(fù)始．∵20＝3×6＋2，∴a20＝a2＝－eq\r(3).二、填空題3．已知數(shù)列{an}滿足a1＝－2，an＋1＝2＋eq\f(2an,1－an)，則a6＝________.[答案]－eq\f(14,3)[解析]an＋1＝2＋eq\f(2an,1－an)＝eq\f(2,1－an)，a1＝－2，∴a2＝eq\f(2,1－a1)＝eq\f(2,3)，a3＝eq\f(2,1－a2)＝6，a4＝－eq\f(2,5)，a5＝eq\f(10,7)，a6＝－eq\f(14,3).4．設(shè)f(n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)＝________.[答案]eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋2)[解析]f(n＋1)＝eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋eq\f(1,n＋4)＋…＋eq\f(1,2n)＋eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)，∴f(n＋1)－f(n)＝eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋2).三、解答題5．(1)已知數(shù)列{an}的第1項是1，第2項是2，以后各項由an＝an－1＋an－2(n≥3)給出，寫出這個數(shù)列的前5項；(2)用上面的數(shù)列{an}，通過公式bn＝eq\f(an,an＋1)構(gòu)造一個新的數(shù)列{bn}，寫出數(shù)列{bn}的前5項．[解析](1)∵a1＝1，a2＝2，an＝an－1＋an－2(n≥3)，∴a3＝a1＋a2＝3，a4＝a2＋a3＝5，a5＝a3＋a4＝8.(2)∵a6＝a4＋a5＝13，bn＝eq\f(an,an＋1)，∴b1＝eq\f(a1,a2)＝eq\f(1,2)，b2＝eq\f(a2,a3)＝eq\f(2,3)，b3＝eq\f(a3,a4)＝eq\f(3,5)，b4＝eq\f(a4,a5)＝eq\f(5,8)，b5＝eq\f(a5,a6)＝eq\f(8,13).6．一輛郵車每天從A地往B地運(yùn)送郵件，沿途(包括A、B)共有8站，從A地出發(fā)時，裝上發(fā)往后面7站的郵件各一個，到達(dá)后面各站后缷下前面各站發(fā)往該站的一個郵件，同時裝上該站發(fā)往下面各站的郵件各一個，試寫出郵車在各站裝卸完畢后剩余郵件個數(shù)所成的數(shù)列，畫出該數(shù)列的圖象，并判斷該數(shù)列的增減性．[解析]將A、B之間所有站按序1,2,3,4,5,6,7,8編號，通過計算，上面各站剩余郵件數(shù)依次排成數(shù)列：7,12,15,16,15,12,7,0.填寫下表：站號12345678剩余郵件數(shù)7121516151270該數(shù)列的圖象如圖所示．它在{1,2,3,4}上是遞增的，在{4,5,6,7,8}上是遞減的．7．某林區(qū)改變植樹計劃，第一年植樹增長率200%，以后每年的植樹增長率都是前一年植樹增長率的eq\f(1,2).(1)假設(shè)成活率為100%，經(jīng)過4年后，林區(qū)的樹木量是原來的樹木量的多少倍？(2)如果每年都有5%的樹木死亡，那么經(jīng)過多少年后，林區(qū)的樹木量開始下降？[解析](1)設(shè)林區(qū)原有的樹木量為a，調(diào)整計劃后，第n年的樹木量為an(n＝1,2,3，…)，則a1＝a(1＋200%)＝3a，a2＝a1(1＋100%)＝2a1＝6a，a3＝a2(1＋eq\f(1,2))＝eq\f(3,2)a2＝9a，a4＝a3(1＋eq\f(1,4))＝eq\f(5,4)a3＝eq\f(45,4)a.所以經(jīng)過四年后，林區(qū)樹木量是原來樹木量的eq\f(45,4)倍．(2)若每年損失樹木量的5%，則第n年后的樹木量與第(n－1)年的樹木量之間的關(guān)系為：an＝an－1(1＋eq\f(1,2n－2))(1－5%)＝eq\f(19,20)(1＋eq\f(1,2n－2))an－1(n≥2)．設(shè)第n年后樹木量開始減少，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1,an≥an＋1))，即eq\b\lc\{\rc\(\