四川省瀘州市敘永第一中學(xué)校高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

2024年秋期高2022級高三開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題注意事項：1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效.第I卷（選擇題58分）一、選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.設(shè)全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用集合的交并補運算即可得解.【詳解】因為全集，集合，所以，又，所以，故選：A.2.使不等式成立的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分不必要條件的知識確定正確答案.【詳解】不等式成立的一個充分不必要條件是，是的必要不充分條件，是的非充分非必要條件，是的充分必要條件.故選：A3.命題“有一個偶數(shù)是素數(shù)”的否定是（）A.任意一個奇數(shù)是素數(shù) B.任意一個偶數(shù)都不是素數(shù)C.存在一個奇數(shù)不是素數(shù) D.存在一個偶數(shù)不是素數(shù)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題，否定為，即可解得正確結(jié)果.【詳解】由于存在量詞命題，否定為.所以命題“有一個偶數(shù)是素數(shù)”的否定是“任意一個偶數(shù)都不是素數(shù)”.故選：B4.若，則的最小值是（）A. B.1C.2 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定等式，利用均值不等式變形，再解一元二次不等式作答.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此，即，解得，所以當(dāng)時，取得最小值2.故選：C5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角恒等變換得到，再利用誘導(dǎo)公式求出答案.【詳解】因為，即，所以．故選：D6.如圖所示，四邊形是正方形，分別，的中點，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由平面向量的線性運算可得，即可求出，進而求出的值.【詳解】，所以，所以，所以，.故選：D.7.已知數(shù)列的前n項和為，且，則使得成立的n的最大值為（）A.32 B.33 C.44 D.45【答案】C【解析】【分析】分奇偶項討論，根據(jù)題意利用并項求和求，運算求解即可.【詳解】當(dāng)為偶數(shù)時，，令，且n為偶數(shù)，解得，故n的最大值為44；當(dāng)為奇數(shù)時，，令，且為奇數(shù)，解得，故n的最大值為43；綜上所述：n的最大值為44.故選：C.【點睛】方法點睛：并項求和適用的條件和注意事項：1.適用條件：數(shù)列中出現(xiàn)等形式時，常用利用并項求和求；2.注意分類討論的應(yīng)用，比如奇偶項，同時還需注意起止項的處理.8.已知函數(shù)的定義域為R，且，則（）A. B. C.0 D.1【答案】A【解析】【分析】法一：根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個周期為，求出函數(shù)一個周期中的的值，即可解出．【詳解】[方法一]：賦值加性質(zhì)因為，令可得，，所以，令可得，，即，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個周期為．因為，，，，，所以一個周期內(nèi)的．由于22除以6余4，所以．故選：A．[方法二]：【最優(yōu)解】構(gòu)造特殊函數(shù)由，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式，可設(shè)，則由方法一中知，解得，取，所以，則，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故選：A．【整體點評】法一：利用賦值法求出函數(shù)的周期，即可解出，是該題的通性通法；法二：作為選擇題，利用熟悉的函數(shù)使抽象問題具體化，簡化推理過程，直接使用具體函數(shù)的性質(zhì)解題，簡單明了，是該題的最優(yōu)解.二、多項選擇題（每小題6分，共3小題，共18分.在每個小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.已知復(fù)數(shù)均不為0，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】設(shè)出、，結(jié)合復(fù)數(shù)的運算、共軛復(fù)數(shù)定義及復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)逐個計算即可得.【詳解】設(shè)、；對A：設(shè)，則，，故A錯誤；對B：，又，即有，故B正確；對C：，則，，，則，即有，故C正確；對D：，，故，故D正確.故選：BCD.10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.C.的圖象關(guān)于點對稱D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象，先求得，然后求得，根據(jù)三角函數(shù)的對稱性、單調(diào)性確定正確答案.【詳解】，，由于，所以，所以A選項正確，B選項錯誤.，當(dāng)時，得，所以關(guān)于對稱，C選項正確，，當(dāng)時，得在上遞增，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以D選項正確.故選：ACD11.在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點逆時針旋轉(zhuǎn)后，所得曲線仍然是某個函數(shù)的圖象，則稱為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.那么（）A.存在旋轉(zhuǎn)函數(shù)B.旋轉(zhuǎn)函數(shù)一定是旋轉(zhuǎn)函數(shù)C.若為旋轉(zhuǎn)函數(shù)，則D.若為旋轉(zhuǎn)函數(shù)，則【答案】ACD【解析】【分析】對A，舉例說明即可；對B，舉反例判斷即可；根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義逐個判斷即可；對CD，將旋轉(zhuǎn)函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與任意斜率為1的函數(shù)最多一個交點，再聯(lián)立函數(shù)與直線的方程，分析零點個數(shù)判斷即可.【詳解】對A，如滿足條件，故A正確；對B，如傾斜角為的直線是旋轉(zhuǎn)函數(shù)，不是旋轉(zhuǎn)函數(shù)，故B錯誤；對C，若為旋轉(zhuǎn)函數(shù)，則根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得，逆時針旋轉(zhuǎn)后，不存在與軸垂直的直線，使得直線與函數(shù)有1個以上的交點.故不存在傾斜角為的直線與的函數(shù)圖象有兩個交點.即與至多1個交點.聯(lián)立可得.當(dāng)時，最多1個解，滿足題意；當(dāng)時，的判別式，對任意的，都存在使得判別式大于0，不滿足題意，故.故C正確；對D，同C，與的交點個數(shù)小于等于1，即對任意的，至多1個解，故為單調(diào)函數(shù)，即為非正或非負(fù)函數(shù).又，故，即恒成立.即圖象在上方，故，即.當(dāng)與相切時，可設(shè)切點，對求導(dǎo)有，故，解得，此時，故.故D正確.故選：ACD第二卷非選擇題（92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案直接填在答題卡中的橫線上.）12.已知，則的值為_________．【答案】##1.5【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，化簡求值，即得答案.【詳解】由題意知，則,故答案為：13.若實數(shù)，且，則______.【答案】0【解析】【分析】由，可得，據(jù)此可得答案.【詳解】因，則，，又由換底公式推論可得，設(shè)，則，故，由換底公式，則.故答案為：014.已知函數(shù)（e為自然對數(shù)底數(shù)），若關(guān)于x的方程有且僅有四個不同的解，則實數(shù)k的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，由題可得當(dāng)時，有兩個零點，進而可得有兩個正數(shù)解，利用數(shù)形結(jié)合即可求得的取值范圍.【詳解】令，可得，所以函數(shù)為偶函數(shù)，由題意可知當(dāng)時，有兩個零點，當(dāng)時，，，即當(dāng)時，，由，可得，即方程在上有兩個正數(shù)解，∵函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為在上恒成立，∴作出函數(shù)與直線大致圖象如下圖∵方程在上有兩個正數(shù)解，恒過點，∴，由相切，設(shè)切點為，由可得，故切線的斜率為，所以切線的方程為，由切線過，可得，解得或（舍去），故切線的斜率為，即，所以當(dāng)時，直線與曲線由兩個交點，綜上可得實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)零點（方程根）的個數(shù)，求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：（1）直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法，先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．一是轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題，畫出兩個函數(shù)的圖象，其交點的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù)，二是轉(zhuǎn)化為的交點個數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題．四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知函數(shù)的部分圖象如圖.（1）求函數(shù)的解析式;（2）將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時，求值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)圖象由函數(shù)最值求得，由函數(shù)周期求得，由特殊點求得，即可求得解析式；（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換求得的解析式，再利用整體法求函數(shù)值域即可.【小問1詳解】由圖象可知，的最大值為，最小值為，又，故，周期，，，則，從而，代入點，得，則，，即，，又，則..【小問2詳解】將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，故可得；再將所得圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象故可得；，，，.16.的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求角；（2）若角的平分線交于點，求的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理及兩角和的正弦定理整理得到，再利用三角形的內(nèi)角及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）利用正弦定理得出，再由余弦定理求出，，再根據(jù)三角形的面積建立等式求解．【小問1詳解】由，根據(jù)正弦定理可得，則，所以，整理得，因均為三角形內(nèi)角，所以，因此，所以．【小問2詳解】因為是角的平分線，，所以在和中，由正弦定理可得，，因此，即，所以，又由余弦定理可得，即，解得，所以．又，即，即，所以．17.已知等差數(shù)列的公差，且，，，成等比數(shù)列，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設(shè)，求證.【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）列關(guān)于首項與公差的方程組，求解首項與公差，可得數(shù)列的通項公式，再由，可得當(dāng)時，，聯(lián)立求得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）知，驗證時，；當(dāng)時，利用可證結(jié)論．【詳解】（1）數(shù)列是等差數(shù)列，依題知：，解得或（舍．．，①當(dāng)時，，②①②得，．又當(dāng)時，滿足上式，；證明：（2）由（1）知．當(dāng)時，；當(dāng)時，．．綜上，．【點睛】本題考查數(shù)列遞推式，考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列的通項公式以及裂項相消法求和，訓(xùn)練了利用放縮法證明數(shù)列不等式，是中檔題．18.已知，，為偶函數(shù).（1）求的解析式；（2）求證：時，有且只有一個根，且；（3）若恒成立，求a.【答案】（1）（2）證明見解析（3）1【解析】【分析】（1）兩式相加可得，即可根據(jù)偶函數(shù)求解，（2）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性，即可結(jié)合零點存在性定理求解，（2）分離參數(shù)，構(gòu)造，求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性，即可求解.【小問1詳解】由，可得，由于為偶函數(shù)，故，進而可得，由于不恒為0，故，解得，故【小問2詳解】令，當(dāng)時，則，令，則，令則，故在0,+∞單調(diào)遞增，故，故hx在0,+∞又，故存在唯一的，且，得證，【小問3詳解】由可得當(dāng)時，，當(dāng)時，，令，則，故單調(diào)遞減，在0,+∞單調(diào)遞減，故時，，此時，故，當(dāng)時，，此時，故，要使對任意的，都有成立，故，故，【點睛】方法點睛：對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.19.對于一個四元整數(shù)集，如果它能劃分成兩個不相交的二元子集和，滿足，則稱這個四元整數(shù)集為“有趣的”．（1）寫出集合的一個“有趣的”四元子集：（2）證明：集合不能劃分成兩個不相交的“有趣的”四元子集：（3）證明：對任意正整數(shù)，集合不能劃分成個兩兩不相交的“有趣的”四元子集．【答案】（1）（符合要求即可）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)四元整數(shù)集定義寫出即可；（2）假設(shè)可以劃分成兩個不相交的“有趣的”四元子集，再根據(jù)每個子集中均有兩個偶數(shù)證明不成立即可；（3）假設(shè)可以劃分為個兩兩不相交的“有趣的”四元子集，再根據(jù)每個子集中均有兩個偶數(shù)證明不成立即可.【小問1詳解】（符合要求即可）：小問2詳解】假設(shè)可以