調(diào)和點(diǎn)列與極點(diǎn)極線（解析幾何）（學(xué)生版）

線內(nèi)接四邊形兩對(duì)邊延長(zhǎng)線的交點(diǎn)軌跡等,是圓錐曲線的常考問(wèn)題,這些問(wèn)題大多和極點(diǎn)極線與調(diào)或點(diǎn)列A,C,B,D的交比.【證明】令線束O(a,b,c,d(分別交l于A,B,C,D,則=/=/=,,又因?yàn)楦鲗?duì)應(yīng)向量方向相同,故交比與所截直線無(wú)關(guān).【注】定理說(shuō)明，點(diǎn)列的交比與其對(duì)應(yīng)線束的交比是相同的.保A/,B/,C/,D/,可視為對(duì)l作射影變換,所得交比不變,由此說(shuō)明交比是射影不變量,具有射影不變性.定理1若交比為-1,則稱為調(diào)和比.交比為-1的線束稱為調(diào)和線束,點(diǎn)列稱為調(diào)和點(diǎn)列.一般地,(λ>0且λ≠1,則A,C,B,D四點(diǎn)構(gòu)成“調(diào)和點(diǎn)列”;線段AB.亦稱A,C,B,D為調(diào)和點(diǎn)列.線段端點(diǎn)和內(nèi)外分點(diǎn),依次構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列.②也可以以D,C為基點(diǎn),則四點(diǎn)D,B,C,A仍構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列,故稱A,B與C,D調(diào)和共軛.③如圖,若A,C,B,D構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列,O為直線AB外任意一點(diǎn),則四直線OA,OC,OB,OD為調(diào)和線束;若另一直線截此調(diào)和線束,則截得的四點(diǎn)A/,C/,B/,D/|CA||DA||CB||DB||AB|-|CA||DA|-||CA||DA||CB||DB||AB|-|CA||DA|-|AB||CA||DA||CA||DA||AC||AD||A若A,C,B,D構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列,則D,B,C,A也構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列.①==λ=-=l3,l4成調(diào)和線束.3均為正數(shù),其它情況同理可證.l3,l4與x軸分別交于A,B,C,D四點(diǎn),則2k2=k1+k3?=+?=?A,B,C,D成調(diào)和點(diǎn)列?l1,l3,l2,l4成調(diào)和線束.定理4已知F為橢圓的焦點(diǎn),l為F相應(yīng)的準(zhǔn)線,過(guò)F任作一直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),交l于點(diǎn)M,則A,B,F,M成調(diào)和點(diǎn)列.AF=AA1=分別為∠APB的內(nèi)外角平分線,則CP⊥DP,即P的軌跡為以CD為直徑的圓(圓心O為線段EF稱為其對(duì)角線.定理5完全四邊形對(duì)角線所在直線互相調(diào)和分割.即AGCH、BGDI、EHFI分別構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列.即=,所以EHFI為調(diào)和點(diǎn)列.其余的可由線束的交比不變性得到.如圖,P為不在圓錐曲線Γ上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P引兩條割線依次交圓錐曲線于四點(diǎn)E,F,G,H,連接EH,FG交于N,連接EG,FH交于M,我們稱點(diǎn)P為直線MN關(guān)于圓錐曲線Γ的極點(diǎn),稱直線MN為點(diǎn)P關(guān)于圓錐曲線Γ的極線.直線MN交圓錐曲線Γ于A,B兩點(diǎn),則PA,PB為圓錐曲線Γ的兩條切線.若P在圓錐曲線Γ上,則過(guò)點(diǎn)P的切線即為極線.(1)自極三角形：極點(diǎn)P一一極線MN；極點(diǎn)M一一極線PN;極點(diǎn)N一一極線MP;即△PMN中,(1)當(dāng)四邊形變成三角形時(shí)：曲線上的點(diǎn)E(F,M,N(對(duì)應(yīng)的極線,就是切線PE;.對(duì)于定點(diǎn)P(x0,y0(與非退化二次曲線Γ:Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0，過(guò)點(diǎn)P作動(dòng)直線與曲線Γ交于點(diǎn)A與點(diǎn)B,那么點(diǎn)P關(guān)于線段AB的調(diào)和點(diǎn)Q的軌跡是什么?P為直線l關(guān)于曲線Γ的極點(diǎn);相應(yīng)地,稱直線l為點(diǎn)P關(guān)于曲線Γ的極線.一般地,對(duì)于圓錐曲線Γ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，設(shè)極點(diǎn)P(x0,y0(,則對(duì)應(yīng)的極線為2→xx0,y2→yy0,xy→.(1)橢圓+=1(a>b>0)的三類極點(diǎn)極線(1)若極點(diǎn)P(x0,y0(在橢圓外,過(guò)點(diǎn)P作橢圓的兩條?線,切點(diǎn)為A,B,則極線為切點(diǎn)弦所在直線AB:x0x+y(2)若極點(diǎn)P(x0,y0(在橢圓上,過(guò)點(diǎn)P作橢圓的切線l,則極線為切線+=1;(3)若極點(diǎn)P(x0,y0(在橢圓內(nèi),過(guò)點(diǎn)P作橢圓的弦AB,分別過(guò)A,B作橢圓切線,則切線交點(diǎn)軌跡為極線+=1(2)對(duì)于雙曲線-=1,極點(diǎn)P(x0,y0(對(duì)應(yīng)的極線為-=1;(3)對(duì)于拋物線y2=2px,極點(diǎn)P(x0,y0(對(duì)應(yīng)的極線為y=p(x0+x(.(1)引理:已知橢圓方程為+=1(a>b>0),直線l的方程為+=1,點(diǎn)P(x0,y0(不與原點(diǎn)重合.過(guò)點(diǎn)P作直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),M點(diǎn)在直線AB上，則“點(diǎn)M在直線l上"的充要條件是"P,M調(diào)和分割A(yù),B",即=.【證明】先證必要性.設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,y1(,則有+=1.設(shè)直線AB的參數(shù)方程為與橢圓方程聯(lián)立,得+-1(t2+2+-1(t++-1(=0，即+-1t2++-1(=0,該方程有兩個(gè)不等實(shí)根,設(shè)為t1,t2,即P,M調(diào)和分割A(yù),B,也即=.設(shè)P是圓錐曲線Γ的一個(gè)極點(diǎn),它對(duì)應(yīng)的極線為l,過(guò)P任意引一條直線,交Γ于點(diǎn)A,B,交l于點(diǎn)Q,若點(diǎn)A是位于P,Q間的點(diǎn),結(jié)合引理可得如下極點(diǎn)和極線的三個(gè)調(diào)和性質(zhì):若P點(diǎn)關(guān)于圓錐曲線Γ的極線通過(guò)另一點(diǎn)Q,則Q點(diǎn)的極線也通過(guò)P,稱P、Q關(guān)于Γ調(diào)和共軛.=1.因?yàn)閘P過(guò)點(diǎn)Q,Q坐標(biāo)滿足方程+=1,即+=1;則P點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程+=1,這也說(shuō)明,也就是lQ過(guò)點(diǎn)P.在極線上.對(duì)于橢圓+=1,極點(diǎn)P(x0,y0((不是原點(diǎn))對(duì)應(yīng)的極線為+=1,有如下性質(zhì)：上時(shí)對(duì)應(yīng)的極線y=平行于x軸;特別地,當(dāng)極點(diǎn)P為橢圓的焦點(diǎn)時(shí),極線為相應(yīng)的準(zhǔn)線.k方向共軛.當(dāng)極點(diǎn)P(x0,y0(在橢圓內(nèi)時(shí)，極線l平行于以P為易證).設(shè)直線OP與橢圓相交于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作橢圓的切線l1,則以P為中點(diǎn)的弦所在直線R設(shè)圓錐曲線Γ的一個(gè)焦點(diǎn)為F,與F相應(yīng)的準(zhǔn)線為l,若過(guò)點(diǎn)F的直線與圓雉曲線Γ相交于MAP+kAQ=0.2+y2=1外,則直線ax+by=1與圓O的位置關(guān)系是()A.相切B.相交C.相離D.不確定在的直線方程.【例4】如圖,過(guò)直線l:5x-7y-70為M,N,連結(jié)MN.為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn),PA與E的另一交點(diǎn)為C,PB與E的另一交點(diǎn)為D.x軸交于點(diǎn)P,直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q.AD、BC相交于點(diǎn)N,連結(jié)MN.F2=,0).(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),證明:∠OMA=∠OMB.(2)設(shè)P(1,0),Q(4,0),過(guò)點(diǎn)∠BPQ引理:二次曲線Γ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0與直線PQ交于點(diǎn)P,Q,定點(diǎn)O在直線別交曲線Γ于點(diǎn)C,D,直線AB，CD分別交PQ于點(diǎn)M,N.則M,O,N,R成調(diào)和點(diǎn)列.【證明】延長(zhǎng)XO交BC于點(diǎn)E,由定理5可知：B,E,C,Y成調(diào)和點(diǎn)列(完全四邊形中的調(diào)和點(diǎn)列),故M,O,N,R也成調(diào)和點(diǎn)列(調(diào)和點(diǎn)列在射影變換下的不變性).交橢圓于點(diǎn)A,B.求證：直線AQ,PQ,BQ的斜率成等差數(shù)列.0,PQ平分∠AQB.F相應(yīng)的準(zhǔn)線于點(diǎn)M,P為過(guò)F與x軸垂直的直線上的任意一點(diǎn),則直線PA,PM,PB的斜率成等差數(shù)列.【例15】如下圖,橢圓+=1(a>b>0)的左右頂點(diǎn)為A1,B1,Q為直線x分別于橢圓交于點(diǎn)A