山東省德州市實驗中學2024-2025學年高一數(shù)學下學期期中試題

PAGE高一數(shù)學試題第2頁共2頁PAGE6山東省德州市試驗中學2024-2025學年高一數(shù)學下學期期中試題一、單項選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分）1．若向量＝(3，m)，＝(2，－1)，＝0，則實數(shù)m的值為()A．－eq\f(3,2)B．eq\f(3,2)C．2D．62．tan17°＋tan28°＋tan17°tan28°等于()A．－eq\f(\r(2),2)B．eq\f(\r(2),2)C．－1 D．13.已知向量，，滿意=1,=-1,則=()A.4 B.3 C.2 D.04．，是非零向量且滿意，，則與的夾角θ是()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(5π,6)5．如圖所示是曾經(jīng)在北京召開的國際數(shù)學家大會的會標，它是由4個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中較小的銳角為θ，大正方形的面積是1，小正方形的面積是eq\f(1,25)，則cos2θ的值等于()A．1B．－eq\f(24,25)C．eq\f(7,25) D．－eq\f(7,25)6.下列四個函數(shù)中,以π為最小正周期,且在區(qū)間QUOTE上單調(diào)遞減的是()A.y=cosx B.y=2|sinx|C.y=cosQUOTE D.y=tanx7.為了得到函數(shù)y=sin3x+cos3x的圖象,可以將函數(shù)y=QUOTEcos3x的圖象()A.向右平移QUOTE個單位B.向右平移QUOTE個單位C.向左平移QUOTE個單位D.向左平移QUOTE個單位8.已知2tanθ–tan(θ＋)＝7，則tanθ＝（）A.–2 B.–1 C.1 D.2多項選擇題：(本題共4小題，每小題5分，共20分，漏選3分)9.若α為第四象限角，則下列命題不正確的是（）A.cos2α＞0 B.cos2α＜0 C.sin2α＞0D.sin2α＜010．下列計算正確的是()A．eq\f(2tan22.5°,1－tan222.5°)＝1B．1－2sin275°＝eq\f(\r(3),2)C．cos4eq\f(π,8)－sin4eq\f(π,8)＝eq\f(\r(2),2)D．cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°＝eq\f(5,4)11．△ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量，滿意eq\o(AB,\s\up7(→))＝2，eq\o(AC,\s\up7(→))＝，則下列結(jié)論不正確的是()A．＝1B．C．＝1D．⊥eq\o(BC,\s\up7(→))12.已知函數(shù)=2sinxcosx-2sin2x,給出下列四個選項正確的有()A.函數(shù)的最小正周期是πB.函數(shù)在區(qū)間QUOTE上是減函數(shù)C.函數(shù)的圖象關(guān)于點QUOTE對稱D.函數(shù)的圖象可由函數(shù)y=QUOTEsin2x的圖象向右平移QUOTE個單位,再向下平移1個單位得到三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知＝，則的值是____.14.tan255°=______15.設(shè)，為單位向量，且，則______________.16.已知正方形的邊長為2，點P滿意，則_________；=_________．四、解答題：（本題共6小題，共70分。應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．(本小題滿分10分)已知向量，．（1）求向量與的夾角；（2）若，且，求m的值18．(本小題滿分12分)已知向量＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx，\f(3,2)))，＝(cosx，－1)．(1)當∥時，求2cos2x－sin2x的值；(2)求f(x)＝在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))上的最大值．19.(本小題滿分12分)已知sinα=QUOTE,α∈QUOTE.(1)求sinQUOTE的值;(2)若tanβ=QUOTE,求tan(2α-β)的值.20.(本小題滿分12分)已知向量=QUOTE,=(QUOTEcosx,cos2x),函數(shù)=(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間.(2)將函數(shù)y=的圖象向左平移QUOTE個單位,得到函數(shù)y=的圖象,求在QUOTE上的值域.21.(本小題滿分12分)如圖所示,在平面直角坐標系中,銳角α、β(β>α)的終邊分別與單位圓交于A,B兩點,點AQUOTE.(1)若點BQUOTE,求cos(α+β)的值:(2)若·=QUOTE,求sinβ.22.(本小題滿分12分)已知函數(shù)=Asin(ωx+φ)+BA>0,ω>0,|φ|<QUOTE的一系列對應(yīng)值如表:x-QUOTEy-24-24(1)依據(jù)表格供應(yīng)的數(shù)據(jù)求函數(shù)的解析式.(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和對稱中心.(3)當x∈QUOTE時,方程=m+1恰有兩個不同的解,求實數(shù)m的取值范圍.

高一期中考試數(shù)學試題答案一、單項選擇題：DDBBCBAD1．[a·b＝6－m＝0，∴m＝6.]2．[tan17°＋tan28°＋tan17°tan28°＝tan(17°＋28°)(1－tan17°tan28°)＋tan17°tan28°＝1－tan17°tan28°＋tan17°tan28°＝1.]3.因為|a|=1,a·b=-1,所以a·(2a-b)=2a2-a·b=2×1-(-1)=3.4．[因為a2－2a·b＝0，b2－2a·b＝0，所以a2＝b2＝2a·b，|a|所以cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\f(1,2)a2,|a|2)＝eq\f(1,2)，所以θ＝eq\f(π,3).]5．[依題意可知拼圖中的每個直角三角形的長直角邊長cosθ，短直角邊為sinθ，小正方形的邊長為cosθ－sinθ，因小正方形的面積是eq\f(1,25)，即(cosθ－sinθ)2＝eq\f(1,25)，得cosθ＝eq\f(4,5)，sinθ＝eq\f(3,5).即cos2θ=cos2θ-sin2θ＝eq\f(7,25).]6.對于A,y=cosx的最小正周期為2π,所以A不符合題意;對于B,結(jié)合函數(shù)圖象可知y=2QUOTE的最小正周期為π,在QUOTE上單調(diào)遞減,所以B符合題意;對于C,y=cosQUOTE的最小正周期為4π,所以C不符合題意;對于D,y=tanx的最小正周期為π,在區(qū)間QUOTE上單調(diào)遞增,所以D不符合題意.7.y=sin3x+cos3x=QUOTEsinQUOTE=QUOTEsinQUOTE.又y=QUOTEcos3x=QUOTEsinQUOTE=QUOTEsinQUOTE.所以應(yīng)向右平移QUOTE個單位.8.，，令，則，整理得，解得，即.多項選擇題：9.ABC10.ACD11.ABC12.AB9.方法一：由α為第四象限角，可得，所以此時的終邊落在第三、四象限及軸的非正半軸上，所以方法二：當時，，選項B錯誤；當時，，選項A錯誤；由在第四象限可得：，則，選項C錯誤；10．[對于選項A，eq\f(2tan22.5°,1－tan222.5°)＝tan45°＝1；對于選項B,1－2sin275°＝cos150°＝－eq\f(\r(3),2)；對于選項C，cos4eq\f(π,8)－sin4eq\f(π,8)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2\f(π,8)＋sin2\f(π,8)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2\f(π,8)－sin2\f(π,8)))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)；對于選項D，原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋eq\f(1,2)sin30°＝1＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,4).]11．[在△ABC中，由eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2.又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos120°＝－1，所以(4a＋b)·eq\o(BC,\s\up7(→))＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥eq\o(BC,\s\up7(→)).]12.因為fQUOTE=2sinxcosx-2sin2x+1-1=sin2x+cos2x-1=QUOTEsinQUOTE-1,對A,因為ω=2,所以fQUOTE的最小正周期T=π,結(jié)論正確.對B,當x∈QUOTE時,2x+QUOTE∈QUOTE,則fQUOTE在QUOTE上是減函數(shù),結(jié)論正確.對C,因為fQUOTE=-1,得到函數(shù)fQUOTE圖象的一個對稱中心為QUOTE,結(jié)論不正確.對D,函數(shù)fQUOTE的圖象可由函數(shù)y=QUOTEsin2x的圖象向左平移QUOTE個單位再向下平移1個單位得到,結(jié)論不正確.三、填空題：13.14.15.16.(1).(2).13.14.tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=15.因為為單位向量，所以所以解得：,所以16.以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，則點、、、，，則點，，，因此.四、解答題：17.解：（1）依據(jù)題意，，，則，………………2分，，………………4分設(shè)向量與的夾角為θ，則，………5分又由θ∈[0，π]，，即向量與的夾角為………………6分（2）依據(jù)題意，，，則，若，則，又由，則有（﹣4）×3+3m＝0，………………9分解可得m＝4．………………10分18.解：(1)因為a∥b，所以eq\f(3,2)cosx＋sinx＝0，所以tanx＝－eq\f(3,2)，………………2分2cos2x－sin2x＝eq\f(2cos2x－2sinxcosx,sin2x＋cos2x)＝eq\f(2－2tanx,1＋tan2x)＝eq\f(20,13).………………5分(2)f(x)＝(a＋b)·b＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).………………8分因為－eq\f(π,2)≤x≤0，所以－eq\f(3π,4)≤2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(π,4)，所以－1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))≤eq\f(\r(2),2)，所以－eq\f(\r(2),2)≤f(x)≤eq\f(1,2)，………………11分所以f(x)max＝eq\f(1,2).………………12分19.解：(1)因為sinα=QUOTE,α∈QUOTE,所以cosα=QUOTE=QUOTE=QUOTE,………………2分所以sinQUOTE=sinαcosQUOTE+cosαsinQUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.………5分由(1)tanα=QUOTE得tan2α=QUOTE=QUOTE=QUOTE,………………8分所以tan(2α-β)=QUOTE=QUOTE=QUOTE.………………12分20.解：(1)f(x)=QUOTEsinxcosx-QUOTEcos2x=QUOTEsin2x-QUOTEcos2x=sinQUOTE,………………4分所以f(x)的最小正周期T=QUOTE=π,由-QUOTE+2kπ≤2x-QUOTE≤QUOTE+2kπ,k∈Z,得-QUOTE+kπ≤x≤QUOTE+kπ,所以增區(qū)間為QUOTEk∈Z.………………6分(2)由(1)得f(x)=sinQUOTE將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移QUOTE個單位得到y(tǒng)=sinQUOTE=sinQUOTE的圖象,………………9分因此g(x)=sinQUOTE,又x∈QUOTE,所以2x+QUOTE∈QUOTE,sinQUOTE∈QUOTE,故g(x)在QUOTE上的值域為QUOTE.………………12分21.解：(1)因為α是銳角,且AQUOTE,BQUOTE,QUOTE在單位圓上,所以sinα=QUOTE,cosα=QUOTE,sinβ=QUOTE,cosβ=QUOTE,………………3分所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=-QUOTE.………………5分(2)因為·=QUOTE,所以||·||cos(β-α)=QUOTE,且==1,所以,cos(β-α)=QUOTE,………………8分可得:sin(β-α)=QUOT