2021-2022學(xué)年河南省鄭州市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題解析版

2021-2022學(xué)年河南省鄭州市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可將復(fù)數(shù)表示為一般形式，利用共軛復(fù)數(shù)的定義可得出結(jié)果.【詳解】，因此，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查共軛復(fù)數(shù)的計(jì)算，解答的關(guān)鍵就是利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算將復(fù)數(shù)表示為一般形式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2．已知直線a，b，平面，則下列命題中正確的是（

）A．，則B．，則C．，則D．a(chǎn)與b互為異面直線，，則【答案】D【分析】根據(jù)空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系判斷即可.【詳解】A選項(xiàng)中，只有直線a與兩平面的交線垂直的時(shí)候結(jié)論才成立；B選項(xiàng)中，還有可能；C選項(xiàng)中，兩直線a，b平行或異面；D選項(xiàng)中，過直線a上一點(diǎn)做，則相交直線a，確定一個(gè)平面，設(shè)為，易得且，所以；故選：D．3．已知，是兩個(gè)不共線的向量，且，，若，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C．1 D．4【答案】A【分析】由題意可設(shè)，進(jìn)而根據(jù)已知條件得，解方程組即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，又因?yàn)椋?，則，即，因此，解得，故選：A.4．廈門地鐵1號(hào)線從鎮(zhèn)海路站到文灶站有4個(gè)站點(diǎn).甲、乙同時(shí)從鎮(zhèn)海路站上車，假設(shè)每一個(gè)人自第二站開始在每個(gè)站點(diǎn)下車是等可能的，則甲乙在不同站點(diǎn)下車的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出甲乙在相同站點(diǎn)下車的概率，再求甲乙在不同站點(diǎn)下車的概率.【詳解】令事件為甲乙在相同站點(diǎn)下車，則則甲乙在不同站點(diǎn)下車的概率為故選：C5．2022年北京冬奧會(huì)拉開帷幕，動(dòng)作觀賞性強(qiáng)?視覺沖擊力大的自由式滑雪大跳臺(tái)是目前“冬奧大家族”中最年輕的項(xiàng)目.首鋼滑雪大跳臺(tái)實(shí)現(xiàn)了競賽場館與工業(yè)遺產(chǎn)再利用?城市更新的完整結(jié)合，見證了中外運(yùn)動(dòng)員在大跳臺(tái)“沖天一跳”的精彩表現(xiàn)和北京這座世界上獨(dú)一無二“雙奧之城”的無上榮光.如圖為大跳臺(tái)示意圖，為測(cè)量大跳臺(tái)最高處點(diǎn)的高度，小王在場館內(nèi)的兩點(diǎn)測(cè)得的仰角分別為（單位：），且，則大跳臺(tái)最高高度（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別在和中，求得OB，OA，然后在中，利用余弦定理求解.【詳解】解：在中，，在中，，在中，由余弦定理得，即，所以，解得，故選：C6．已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)投影向量的定義計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队盀椋韵蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄繛?故選：A7．根據(jù)氣象學(xué)上的標(biāo)準(zhǔn)，連續(xù)5天的日平均氣溫低于即為入冬，將連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是自然數(shù)）作為一組樣本，現(xiàn)有4組樣本①、②、③、④，依次計(jì)算得到結(jié)果如下：①平均數(shù)；②平均數(shù)且極差小于或等于3；③平均數(shù)且標(biāo)準(zhǔn)差；④眾數(shù)等于5且極差小于或等于4．則4組樣本中一定符合入冬指標(biāo)的共有（

）A．1組 B．2組 C．3組 D．4組【答案】B【分析】舉反例否定①；反證法證明②符合要求；舉反例否定③；直接法證明④符合要求.【詳解】①舉反例：，，，，，其平均數(shù)．但不符合入冬指標(biāo)；②假設(shè)有數(shù)據(jù)大于或等于10，由極差小于或等于3可知，則此組數(shù)據(jù)中的最小值為，此時(shí)數(shù)據(jù)的平均數(shù)必然大于7，與矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤.則此組數(shù)據(jù)全部小于10.符合入冬指標(biāo)；③舉反例：1，1，1，1，11，平均數(shù)，且標(biāo)準(zhǔn)差.但不符合入冬指標(biāo)；④在眾數(shù)等于5且極差小于等于4時(shí)，則最大數(shù)不超過9.符合入冬指標(biāo).故選：B．8．設(shè)為的內(nèi)心，且滿足，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．以上都不對(duì)【答案】A【分析】根據(jù)已知條件化簡得到，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)果.【詳解】解：由題意，所以，即，所以為等腰三角形.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查向量的和差化簡式子，判斷三角形形狀的問題，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.9．先后兩次拋擲同一個(gè)骰子，將得到的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b，則a，b，4能夠構(gòu)成鈍角三角形的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用乘法原理求出基本事件總數(shù)，然后按照分類討論的方法求出a，b，4能夠構(gòu)成鈍角三角形的基本事件數(shù)，然后利用古典概型的概率公式求解即可.【詳解】解：要使a，b，4能夠構(gòu)成鈍角三角形，則a，b，4需要滿足或或，且能夠滿足三角形中兩邊之和大約第三邊，兩邊之差小于第三邊；由乘法原理可知，基本事件的總數(shù)是36，結(jié)合已知條件可知，當(dāng)時(shí)，均不符合要求，有0種情況；當(dāng)時(shí)，符合要求，有2種情況；當(dāng)時(shí)，符合要求，有2種情況；當(dāng)時(shí)，符合要求，有1種情況；當(dāng)時(shí)，符合要求，有1種情況；當(dāng)時(shí)，符合要求，有2種情況，所以能構(gòu)成等腰三角形的共有8種情況，故a，b，4能夠構(gòu)成等腰三角形的概率.故選：D.10．疫情期間，某校為了了解學(xué)生在線學(xué)習(xí)情況，統(tǒng)計(jì)了該校A，B兩班2020年2月18日—2月26日每天在線學(xué)習(xí)人數(shù)情況，如下圖所示：下列說法不正確的是（

）A．A班每天在線學(xué)習(xí)人數(shù)的中位數(shù)為34B．記A班與B班每天在線學(xué)習(xí)人數(shù)的方差分別為，，則C．A班與B班每天在線學(xué)習(xí)人數(shù)之和不超過60的天數(shù)為3天D．從20日—23日，A班與B班每天在線學(xué)習(xí)人數(shù)都在逐日減少【答案】D【分析】根據(jù)圖象，利用中位數(shù)的概念以及方差的概念，逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)于A，根據(jù)中位數(shù)的概念，由圖可得，A班每天在線學(xué)習(xí)人數(shù)按小到大順序排列為：22，26，28，33，34，34，35,38，39，中位數(shù)34，故A正確；對(duì)于B，由圖可得，B班每天在線學(xué)習(xí)人數(shù)比A班每天在線學(xué)習(xí)人數(shù)要更穩(wěn)定，所以，記A班與B班每天在線學(xué)習(xí)人數(shù)的方差分別為，，則，故B正確；對(duì)于C，根據(jù)圖象，算出A班與B班每天在線學(xué)習(xí)人數(shù)之和，可知只有22、23、24三天人數(shù)和不超過60，C正確；對(duì)于D，根據(jù)圖象，22日到23日不合題意，D結(jié)論錯(cuò)誤；故選：D11．已知三棱錐的底面為等腰直角三角形，其頂點(diǎn)P到底面ABC的距離為3，體積為24，若該三棱錐的外接球O的半徑為5，則滿足上述條件的頂點(diǎn)P的軌跡長度為（

）A．6π B．30πC． D．【答案】D【分析】利用三棱錐的體積，求解底邊邊長，求出的外接圓半徑，以及球心到底面的距離，判斷頂點(diǎn)的軌跡是兩個(gè)不同截面圓的圓周，進(jìn)而求解周長即可．【詳解】依題意得，設(shè)底面等腰直角三角形的邊長為，三棱錐的體積解得：的外接圓半徑為球心到底面的距離為，又頂點(diǎn)P到底面ABC的距離為3，頂點(diǎn)的軌跡是一個(gè)截面圓的圓周當(dāng)球心在底面和截面圓之間時(shí)，球心到該截面圓的距離為，截面圓的半徑為，頂點(diǎn)P的軌跡長度為；當(dāng)球心在底面和截面圓同一側(cè)時(shí)，球心到該截面圓的距離為，截面圓的半徑為，頂點(diǎn)P的軌跡長度為；綜上所述，頂點(diǎn)P的軌跡的總長度為故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體外接球的問題以及軌跡周長的求法，考查空間想象能力、轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，題目具有一定的難度．12．在中，的平分線交AC于點(diǎn)D，，，則周長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等面積法得，進(jìn)而結(jié)合基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，再結(jié)合余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，進(jìn)而得周長最小值.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，因?yàn)?，，，所以，即，所以，因?yàn)楦鶕?jù)基本不等式有，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以周長的最小值為.故選：C二、填空題13．北京2022年冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會(huì)吉祥物“雪容融”很受歡迎，現(xiàn)工廠決定從10只“冰墩墩”，15只“雪容融”和20個(gè)北京2022年冬奧會(huì)會(huì)徽中，采用比例分配分層隨機(jī)抽樣的方法，抽取一個(gè)容量為n的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，若“冰墩墩”抽取了2只，則n為______．【答案】9【分析】利用分層抽樣中的比例列出方程，求出答案.【詳解】，解得：.故答案為：914．已知，若與的夾角為銳角，則的取值范圍為_______．【答案】【分析】先由與的夾角為銳角推出，由此解出的取值范圍，再把上述取值范圍內(nèi)使得與同向的的值去掉即可【詳解】因?yàn)榕c的夾角為銳角所以，解之得或若與同向，則（）即綜上，的取值范圍為故答案為：15．我國有著豐富悠久的“印章文化”，古時(shí)候的印章一般用貴重的金屬或玉石制成，本是官員或私人簽署文件時(shí)代表身份的信物，后因其獨(dú)特的文化內(nèi)涵，也被作為裝飾物來使用．圖1是明清時(shí)期的一個(gè)金屬印章擺件，除去頂部的環(huán)以后可以看作是一個(gè)正四棱柱和一個(gè)正四棱錐組成的幾何體，如圖2．已知正四棱柱和正四棱錐的高相等，且底面邊長均為2，若該幾何體的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球的表面上，則這個(gè)球的體積為______．【答案】【分析】設(shè)正四棱柱和正四棱錐的高為，依題可得，即可求解半徑，從而求得球的表面積．【詳解】設(shè)正四棱柱和正四棱錐的高為，則其外接球的半徑為,解得，所以,故球的體積為.故答案為：16．設(shè)非零向量和的夾角是，且，若，則的最小值為______．【答案】【分析】根據(jù)向量的模的平方等于向量的平方，得到，，由二次函數(shù)的最值求解方法可得答案.【詳解】解：∵，∴，∴，又∵向量和的夾角是，∴，整理得：.∵，∴的最小值為，∴的最小值為.故答案為：.三、解答題17．已知復(fù)數(shù)，，，i為虛數(shù)單位．(1)若是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求出，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念列式可求出；（2）根據(jù)求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則求出結(jié)果即可.【詳解】(1)，，所以，因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，得.(2)由（1）知，，因?yàn)?，所以，得，所以，，所?18．某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，從生產(chǎn)的正品中隨機(jī)抽取1000件，測(cè)得產(chǎn)品質(zhì)量差（質(zhì)量差＝生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量－標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量，單位mg）的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：(1)求樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)；(2)公司從生產(chǎn)的正品中按產(chǎn)品質(zhì)量差進(jìn)行分揀，若質(zhì)量差在范圍內(nèi)的產(chǎn)品為一等品，其余為二等品．其中，s分別為樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差，計(jì)算可得（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）．①若產(chǎn)品的質(zhì)量差為78mg，試判斷該產(chǎn)品是否屬于一等品；②假如公司包裝時(shí)要求，3件一等品和2件二等品裝在同一個(gè)箱子中，質(zhì)檢員每次從箱子中摸出2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，求摸出2件產(chǎn)品中至少有1件一等品的概率．【答案】(1)78.5(2)①該產(chǎn)品屬于一等品；②.【分析】（1）由于前3組的頻率和為，前4組的頻率和為，所以可知80%分位數(shù)一定位于[76，86）內(nèi)，從而可求得答案；（2）①先求出平均數(shù)，可得，從而可得結(jié)論；②方法一：利用列舉法求解，方法二：利用對(duì)立事件的概率的關(guān)系求解.【詳解】(1)解：因?yàn)轭l率，，所以，80%分位數(shù)一定位于[76，86）內(nèi)，所以．所以估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為78.5(2)解：（2）①所以，又，可知該產(chǎn)品屬于一等品．②記三件一等品為A，B，C，兩件二等品為a，b，這是古典概型，摸出兩件產(chǎn)品總基本事件共10個(gè)，分別為：，方法一：記A：摸出兩件產(chǎn)品中至少有一個(gè)一等品，A包含的基本事件共9個(gè)，分別是，所以.方法二：記事件A：摸出兩件產(chǎn)品中至少有一個(gè)一等品，A包含的基本事件共9個(gè)，：摸出兩個(gè)產(chǎn)品，沒有一個(gè)一等品，基本事件共一個(gè)（a，b）．所以.19．已知四棱錐的底面是正方形，平面．（Ⅰ）設(shè)平面平面，求證：；（Ⅱ）求證：平面平面．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析.【分析】（Ⅰ）由得線面平行，再由線面平行的性質(zhì)定理得線線平行；（Ⅱ）證明平面后可得面面垂直．【詳解】證明：（Ⅰ）因?yàn)?，平面，平面，所以平面，而平面平面，平面，所以．（Ⅱ）因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)樗睦忮F的底面是正方形，所以，而與相交，與都在平面內(nèi)，所以平面，又平面，所以平面平面．20．已知的內(nèi)角A，，的對(duì)邊分別為，，，向量．(1)求角；(2)若，且，求面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量平行的充要條件及正弦定理可求得，繼而求出角C.（2）利用余弦定理和正弦定理求出，利用三角形的面積公式即可求解.【詳解】(1)解：由題意得：，即又，即(2)又，，得由正弦定理：，得．．21．甲、乙、丙三人參加一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約．甲表示只要面試合格就簽約，乙、丙則約定；兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約．設(shè)甲面試合格的概率為，乙、丙每人面試合格的概率都是，且三人面試是否合格互不影響．求：(1)恰有一人面試合格的概率；(2)至多一人簽約的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率的加法公式可得答案；（2）事件E：至多一人簽約，事件F：恰好一人簽約，事件G：沒人簽約，根據(jù)互斥事件概率加法公式和相互獨(dú)立事件概率乘法公式可得．【詳解】(1)記事件A：甲面試合格，事件B：乙面試合格事件C：丙面試合格事件D：恰好有一人面試合格依題意，事件A、B、C相互獨(dú)立.(2)至多一人簽約包括甲簽約乙丙沒有簽約、三人都沒有簽約兩種情況，事件F：甲簽約乙丙沒有簽約，事件G：三人都沒有簽約，事件E：至多一人簽約，因?yàn)镕與G互斥，所以，，，，所以至多一人簽約的概率為．22．已知在正三棱柱中，，E是棱的中點(diǎn)．(1)設(shè)，求三棱錐的體積；(2)若把平面與平面所成的銳二面角為60°時(shí)的正三棱柱稱為“黃金棱柱”，請(qǐng)判斷此三棱柱是否為“黃金棱柱”，