模型04 相交線與平行線-鉛筆頭模型-解析版

相交線與平行線模型（四）——鉛筆頭模型◎結(jié)論1：如圖所示，AB∥CD，則∠B+∠BOC+∠C=360°【證明】如圖，過點(diǎn)O作OE//AB.∵AB∥CD,OE//AB//CD.∴∠B+∠1=180°,∠C+∠2=180°,∴∠B+∠1+∠2+∠C=360°，∴∠B＋∠BOC+∠C=360°.◎結(jié)論2：如圖所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，則AB∥CD.【證明】如圖，過點(diǎn)O作EF//AB，則∠B＋∠1=180°，∵∠B+∠BOC+∠C=360°,∴∠C+∠2=180°,∴EF∥CD，又∵EF//AB，∴AB//CD.“異形”鉛筆頭：拐點(diǎn)數(shù)n,∠A+...+∠C=180°×（n+1）拐點(diǎn)數(shù)：1拐點(diǎn)數(shù)：2拐點(diǎn)數(shù)：n1．（2022·全國·七年級）如圖，已知，，，則的度數(shù)是（

）A．80° B．120°C．100° D．140°【答案】C【分析】過E作直線MN//AB，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可求出∠1，進(jìn)而可求出∠2，然后根據(jù)平行于同一條直線的兩直線平行可得MN//CD，根據(jù)平行線性質(zhì)從而求出∠C．【詳解】解：過E作直線MN//AB，如下圖所示，∵M(jìn)N//AB，∴∠A+∠1＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∴∠1＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°，∵，∴∵M(jìn)N//AB，AB//CD，∴MN//CD，∴∠C+∠2＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∴∠C＝180°﹣∠2＝180°﹣80°＝100°，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查的是平行線的判定及性質(zhì)，掌握構(gòu)造平行線的方法是解決此題的關(guān)鍵．2．（2022·貴州六盤水·七年級期中）如圖所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，應(yīng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過C作CD∥AB，過M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，即可得出答案．【詳解】過C作CD∥AB，過M作MN∥EF，∵AB∥EF，∴AB∥CD∥MN∥EF，∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，∴=∠BCD+∠DCM=，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查了學(xué)生的推理能力．3．（2022·湖南·永州市劍橋?qū)W校七年級階段練習(xí)）如圖所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，則∠3的度數(shù)為()A．55° B．60° C．65° D．70°【答案】C【分析】首先過點(diǎn)A作AB∥l1，由l1∥l2，即可得AB∥l1∥l2，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可求得∠4與∠5的度數(shù)，又由平角的定義，即可求得∠3的度數(shù)．【詳解】解：過點(diǎn)A作AB∥l1，∵l1∥l2，∴AB∥l1∥l2，∴∠1+∠4=180,∠2+∠5=180，∵∠1=105,∠2=140，∴∠4=75,∠5=40，∵∠4+∠5+∠3=180，∴∠3=65.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握平行線的性質(zhì).1．（2022·湖南·新田縣云梯學(xué)校七年級階段練習(xí)）①如圖1，，則；②如圖2，，則；③如圖3，，則；④如圖4，直線EF，點(diǎn)在直線上，則．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】①過點(diǎn)E作直線EFAB，由平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可得出結(jié)論；②如圖2，先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠1＝∠C+∠P，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可作出判斷；③如圖3，過點(diǎn)E作直線EF∥AB，由平行線的性質(zhì)可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；④如圖4，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的關(guān)系解答即可．【詳解】解：①如圖1，過點(diǎn)E作直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠AEC＝360°，故①錯(cuò)誤；②如圖2，∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠P＝∠A﹣∠C，故②正確；③如圖3，過點(diǎn)E作直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，故③錯(cuò)誤；④如圖4，∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，∵∠BOF＝∠COF+∠β，∴∠COF＝∠α﹣∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故④正確；綜上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．2．（2021·甘肅·北京師范大學(xué)慶陽實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級期中）如圖，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝___°．【答案】540【分析】過點(diǎn)E作，過點(diǎn)F作，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可作答．【詳解】過點(diǎn)E作，過點(diǎn)F作，如圖，∵，，，∴，，∴∠B+∠BFN=180°，∠FEM+∠EFN=180°，∠D+∠DEM=180°，∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BFN+∠EFN，∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BFN+∠FEM+∠EFN+∠D+∠DEM=540°，故答案為：540．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，即兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．構(gòu)造輔助線，是解答本題的關(guān)鍵．3．（2022·全國·七年級）如圖，若直線l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°則∠2的度數(shù)為___．【答案】150°##150度【分析】延長AB交l2于E，根據(jù)平行線的判定可得AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)先求得∠3的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠2的度數(shù)．【詳解】解：延長AB交l2于E，∵∠α=∠β，∴AB∥CD，∴∠2+∠3=180°∵l1∥l2，∴∠3=∠1=30°，∴∠2=180°-∠3=150°．故答案為：150°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)和判定定理是解題的關(guān)鍵．4．（2022·江蘇鹽城·七年級期中）如圖，直線a與∠AOB的一邊射線OA相交，∠1＝130°，向下平移直線a得到直線b，與∠AOB的另一邊射線OB相交，則∠2+∠3＝___．【答案】【分析】過點(diǎn)O作，利用平移的性質(zhì)得到，可得判斷，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，，可得到，從而得出的度數(shù)．【詳解】解：過點(diǎn)O作，∵直線a向下平移得到直線b，∴，∴，∴，，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，過拐點(diǎn)作已知直線的平行線是解題的關(guān)鍵．1．（2022·江西贛州·七年級期中）根據(jù)下列敘述填依據(jù)．(1)已知如圖1，，求∠B+∠BFD+∠D的度數(shù)．解：過點(diǎn)F作所以∠B+∠BFE=180°（

）因?yàn)?、（已知）所以?/p>

）所以∠D+∠DFE=180°（

）所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD+∠D=360°(2)根據(jù)以上解答進(jìn)行探索．如圖（2）（3）ABEF、∠D與∠B、∠F有何數(shù)量關(guān)系（請選其中一個(gè)簡要證明）備用圖：(3)如圖（4）ABEF，∠C=90°，∠與∠、∠有何數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)果，不需要說明理由）【答案】(1)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；，平行于同一直線的兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)(2)見解析(3)【分析】（1）過點(diǎn)F作，得到∠B+∠BFE=180°，再根據(jù)、得到，∠D+∠DFE=180°，最后利用角度的和差即可得出答案；（2）類比問題（1）的解題方法即可得解；（3）類比問題（1）的解題方法即可得解．（1）解：過點(diǎn)F作，如圖，∴∠B+∠BFE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角相等），∵、（已知）∴（平行于同一直線的兩直線平行），∴∠D+∠DFE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∴∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD+∠D=360°；故答案為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；，平行于同一直線的兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（2）解：選圖（2），∠D與∠B、∠F的數(shù)量關(guān)系為：∠BDF+∠B=∠F；理由如下：過點(diǎn)D作DC//AB，∴∠B=∠BDC，∵，，∴，∴∠CDF=∠F，∴∠BDF+∠BDC=∠F，即∠BDF+∠B=∠F；選圖（3），∠D與∠B、∠F的數(shù)量關(guān)系：∠BDF+∠B=∠F過點(diǎn)D作，∴∠B=∠BDC，∵，，∴，∴∠CDF=∠F，∴∠BDF+∠BDC=∠F，即∠BDF+∠B=∠F∠BDF+∠B=∠F；（3）解：如圖（4）所示，過點(diǎn)C作，過D作，∴，，∵，，∴，∴，∵，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系和平行線公理推論的運(yùn)用，熟練掌握平行線的性質(zhì)和平行線公理推論的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．2．如圖，已知AB∥CD．（1）如圖1所示，∠1+∠2＝；（2）如圖2所示，∠1+∠2+∠3＝；并寫出求解過程．（3）如圖3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如圖4所示，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+?+∠n＝．【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180°【分析】（1）由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可得答案；（2）過點(diǎn)E作AB的平行線，轉(zhuǎn)化成兩個(gè)圖1，同理可得答案；（3）過點(diǎn)E，點(diǎn)F分別作AB的平行線，轉(zhuǎn)化成3個(gè)圖1，可得答案；（4）由（2）（3）類比可得答案．【詳解】解：（1）如圖1，∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．故答案為：180°；（2）如圖2，過點(diǎn)E作AB的平行線EF，∵A