2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章等式與不等式單元測(cè)試卷一課一練含解析新人教B版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE1其次章單元測(cè)試卷一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.若a<b<0,則下列不等式成立的是()。A.1a>1b B.|a|<|C.ab<1 D.a2<b答案：A解析：若a<b<0,不妨設(shè)a=-2,b=-1代入各個(gè)選項(xiàng),錯(cuò)誤的是B,C,D,故選A。2.若a<b<0,c>d>0,則肯定有()。A.ad>bc B.aC.ad<bc D.a答案：C解析：因?yàn)閏>d>0,所以0<1c<1d,又因?yàn)閍<b<0,所以-a>-b>0,所以-ad>-bc。所以ad3.若x>0,y>0,且2x+8y=1,則xy有(A.最大值64 B.最小值1C.最小值12 D.最小值答案：D解析：因?yàn)閤>0,y>0,且2x+8y=1,所以1=2x+8y≥22x·8y=814.設(shè)集合A={x|(x+4)(x-4)>0},B={x|-2<x≤6},則A∩B等于()。A.(-2,4) B.(-4,-2)C.(-4,6) D.(4,6]答案：D解析：因?yàn)锳={x|(x+4)(x-4)>0}={x|x>4或x<-4},則A∩B=(4,6],故選D。5.若a,b∈R*,則下列結(jié)論:①2aba+b≤a+b2;②ab≤a+b2;③a2+b22<A.1 B.2 C.3 D.4答案：C解析：①a>0,b>0,∴a+b≥2ab,所以(a+b)2≥4ab,∴2aba+b≤a+b2,所以①正確;②a>0,b>0,∴a+b≥2ab,∴ab≤a+b2,所以②正確;③∵a2+b2≥2ab,∴2(a2+b2)≥(a+b)2,∴a+b2≤a2+b22,所以③錯(cuò)誤;④ba+ab-a6.關(guān)于x的不等式ax-b<0的解集是(2,+∞),關(guān)于x的不等式(ax+b)(x-3)<0解集是()。A.(-∞,-2)∪(3,+∞) B.(-2,3)C.(2,3) D.(-∞,2)∪(3,+∞)答案：A解析：∵關(guān)于x的不等式ax-b<0的解集是(2,+∞),∴a<0,且ba=2,則b=2a,∴關(guān)于x的不等式(ax+b)(x-3)<0,可化為(ax+2a)(x-3)<0,∵a<0,即(x+2)(x-3)>0,解得x>3或x<-2,∴所求不等式的解集為(-∞,2)∪(3,+∞)。故選A7.“ab<a2+b22”是“a>b>0A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案：B解析：∵a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立,∴ab<a2+b22?a≠b,a,b∈R,∴充分性不成立,又a>b>0?a2+b2>2ab,8.不等式x2+2x<ab+16ba對(duì)隨意a,b∈(0,+∞)恒成立,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是(A.(-2,0) B.(-∞,-2)∪(0,+∞)C.(-∞,-4)∪(2,+∞) D.(-4,2)答案：D解析：對(duì)隨意a,b∈(0,+∞),ab+16ba≥216=8?！郺b+16ba的最小值為8,因此x29.甲、乙兩人同時(shí)從家去學(xué)校且同時(shí)到達(dá)學(xué)校,甲一半路程步行,一半路程跑步;乙一半時(shí)間步行,一半時(shí)間跑步,若兩人步行,跑步的速度一樣,則家離學(xué)校較近的是()。A.甲 B.乙C.遠(yuǎn)近一樣 D.無(wú)法確定答案：A解析：設(shè)步行的速度為v1,跑步的速度為v2,甲家離學(xué)校的距離為s1,乙家離學(xué)校的距離為s2,甲乙所用時(shí)間均為t,則s12v1+s12v即s1=2v1v2tv所以s1s2=2因?yàn)関1≠v2,∴4v1v2<(v1+v2)2,所以s1s2<1,即s1<s10.若1a<1b<0,已知下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b;④ba+ab>2;⑤a2>b2其中正確的不等式個(gè)數(shù)是A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：∵1a<1b<0,∴b<a<0,∴③錯(cuò)誤;a+b<0,ab>0,∴①正確;∵b<a<0,∴|a|<|b|,a2<b2,∴②⑤錯(cuò)誤;∵a+b<0,∴(a-b)2=a2+b2-2ab>0,∴a2+b2>2ab,∴b2+a2ab>2,ba+ab=11.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿意1x+4y=1,且不等式x+y4<m2-3m有解,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(A.(-1,4) B.(-4,1)C.(-∞,-1)∪(4,+∞) D.(-∞,0)∪(3,+∞)答案：C解析：1x+4yx+y4=2+y4x+4xy≥2+2y4x·4xy=4(當(dāng)且僅當(dāng)y=4x時(shí)取等號(hào)),則x+y4≥4,則不等式x+y4<m12.已知隨意非零實(shí)數(shù)x,y滿意3x2+4xy≤λ(x2+y2)恒成立,則實(shí)數(shù)λ的最小值為()。A.4 B.5 C.115 D.答案：A解析：依題意,得3x2+4xy≤3x2+[x2+(2y)2]≤4(x2+y2)(當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)等號(hào)成立)。因此有3x2+4xyx2+y2≤4,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)等號(hào)成立,即3x2+4xyx2+y2二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分。把答案填在題中橫線上)13.有下列不等式:①已知a>0,b>0,則(a+b)1a+②a2+b2+3>2a+2b;③已知m>0,則ba<b④3+7<25。其中恒成立的是。(把全部成立不等式的序號(hào)都填上)

答案：①②④14.若不等式ax2+bx-2>0的解集為x-2<x<-14,答案：-13解析：因?yàn)椴坏仁絘x2+bx-2>0的解集為x|-2<x<14,所以-2與-14是ax2+bx-2=0的兩個(gè)根,所以-15.已知a>0,b>0,且滿意a+b=3,則1a+4b的最小值為答案：3解析：1a+4b=131a+4b(a+b)=135+4ab+16.當(dāng)x>0時(shí),x+ax+1(a>0)的最小值為3,則實(shí)數(shù)a的值為答案：4解析：因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí),x+ax+1=x+1+ax+1-1≥2a-1,x+ax+1(a>0)的最小值為3,所以2a-1=3,三、解答題(本大題共6小題,共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17.(本題10分)解不等式0<x2-x-2<4。答案：解:原不等式等價(jià)于x2-x-2<x<-1或2<x<3,所以原不等式的解集為{x|-2<x<-1或2<x<3}。18.(本題12分)設(shè)全集U=R,集合A={x|x2-4x-12<0},B={x|(x-a)(x-2a)<0}。(1)當(dāng)a=1時(shí),求集合A∩?UB;答案：當(dāng)a=1時(shí),B=(1,2),所以?UB=(-∞,1]∪[2,+∞),而A=(-2,6),故A∩?UB=(-2,1]∪[2,6)。(2)B?A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。答案：當(dāng)a=0時(shí),B=?,符合題意;當(dāng)a≠0時(shí),因?yàn)锽?A,所以-2≤a≤6,-2≤2a≤6解得-1≤a≤3且a≠19.(本題12分)做一個(gè)體積為32m3,高為2m的長(zhǎng)方體紙盒。(1)若用x表示長(zhǎng)方體底面一邊的長(zhǎng),S表示長(zhǎng)方體的表面積,試寫(xiě)出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;答案：由題意知,該長(zhǎng)方形的底面積為322=16(m2),故它的底面另一邊長(zhǎng)為16x∴S=22x+2×16x+2×16=4x+64(2)當(dāng)x取什么值時(shí),做一個(gè)這樣的長(zhǎng)方體紙盒用紙最少?最少用紙多少m2?答案：要運(yùn)用紙最少,只需使長(zhǎng)方體的表面積最小即可,也就是求S的最小值?！逽=4x+64x+32≥24x·64x+32=64,當(dāng)且僅當(dāng)4x=64x,即x=4時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)Smin=64。故當(dāng)x取4時(shí),20.(本題12分)已知命題p:“方程x2+mx+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根”,且命題p是真命題。(1)求實(shí)數(shù)m的取值集合M;答案：命題p:方程x2+mx+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根為真命題,∴Δ=m2-4>0,解得m>2或m<-2。∴M={m|m<-2或m>2}。(2)設(shè)不等式(x-a)(x-a-2)<0的解集為N,若x∈N是x∈M的充分條件,求a的取值范圍。答案：因?yàn)閤∈N是x∈M的充分條件,所以N?M,又N={x|a<x<a+2},∴a+2≤-2,a≥2。綜上,a≤-4或a≥2。21.(本題12分)某學(xué)校校辦工廠有毀壞的房屋一座,留有一面14m的舊墻,現(xiàn)打算利用這面墻的一段為一面墻,建立平面圖形為矩形且面積為126m2的廠房(不管墻高),工程的造價(jià)是:(1)修1m舊墻的費(fèi)用是造1m新墻費(fèi)用的25%;(2)用拆去1m舊墻所得的材料來(lái)建1m新墻的費(fèi)用是建1m新墻費(fèi)用的50%。問(wèn)如何利用舊墻才能使建墻的費(fèi)用最低?答案：解:設(shè)保留舊墻xm,且拆去舊墻(14-x)m修新墻,設(shè)建1m新墻費(fèi)用為a元,則修舊墻的費(fèi)用y1=25%·ax=14ax(元);拆除舊墻建新墻的費(fèi)用為y2=(14-x)·50%a=12a(14-x)(建新墻的費(fèi)用為y3=x+2×126x-(14-x)于是,所需的總費(fèi)用為y=y1+y2+y3=74x+252x-7當(dāng)且僅當(dāng)74x=252x,即x=12時(shí)“故保留12m的舊墻且折去2m的舊墻修新墻能使建墻的時(shí)總費(fèi)用最低。22.(本題12分)a>0,b>0且1a+1b=(1)求證:a4+b4≥8;答案：證明:a>