新高考江蘇省南通市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中備考試題Ⅰ

PAGE17-（新高考）江蘇省南通市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中備考試題Ⅰ留意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆干脆答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若復(fù)數(shù)滿意(為虛數(shù)單位)，則的共軛復(fù)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，可得，∴的共軛復(fù)數(shù)為，故選D．2．擲一枚骰子的試驗中，出現(xiàn)各點的概率均為，事務(wù)表示“出現(xiàn)小于5的偶數(shù)點”，事務(wù)表示“出現(xiàn)小于5的點數(shù)”，則一次試驗中，事務(wù)（表示事務(wù)的對立事務(wù)）發(fā)生的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】事務(wù)表示“小于5的點數(shù)出現(xiàn)”，的對立事務(wù)是“大于或等于5的點數(shù)出現(xiàn)”，表示事務(wù)是出現(xiàn)點數(shù)為5和6．事務(wù)表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”，它包含的事務(wù)是出現(xiàn)點數(shù)為2和4，，，，，故選C．3．若隨機變量，且，則的值是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為隨機變量，所以，解得，所以隨機變量，所以，故選D．4．若隨機變量，，則（）A．0．6 B．0．4 C．0．3 D．0．8【答案】A【解析】由題意，隨機變量，可得正態(tài)曲線的對稱軸，所以，故選A．5．的綻開式的常數(shù)項為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】的綻開式的通項公式為．令或，分別解得或．所以的綻開式的常數(shù)項為，故選B．6．五名學(xué)生和五名老師站成一排照相，五名老師不能相鄰的排法有（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意五名老師不能相鄰用插空法，排法數(shù)為，故選B．7．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，側(cè)面為正三角形，且平面平面，則下列說法正確的是（）平面平面 B．異面直線與所成的角為C．二面角的大小為 D．在棱上存在點使得平面【答案】D【解析】對于D，取的中點，連，，側(cè)面為正三角形，，又底面是的菱形，三角形是等邊三角形，，，平面，平面，平面，故D正確；對于B，平面，，即異面直線與所成的角為，故B錯誤；對于C，底面為菱形，，平面平面，平面，，，，則是二面角的平面角，設(shè)，則，，在直角三角形中，，即，故二面角的大小為，故C錯誤；對于A，平面，，所以平面，平面，所以面平面，明顯平面與平面不垂直，故A錯誤，故選D．8．若函數(shù)在其定義域上有兩個零點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】函數(shù)的定義域為，．（1）當時，對隨意的，，若，則；若，則，此時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．當時，；當時，，由于函數(shù)在其定義域上有兩個零點，則，解得；（2）當時，令，可得，．①若，即當時，對隨意的，恒成立，所以，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，至多一個零點，不合乎題意；②若，即當時，令，得或；令，得．此時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為．當時，；當時，，則有或，若，則，舍去；若，令，令，其中，．當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，則方程無解；③若，即當時，令，得或；令，得，此時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為．當時，；當時，，則有或，若，則，舍去；若，令，令，其中，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，，此時方程無解．綜上所述，實數(shù)的取值范圍是，故選A．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9．下列命題中，正確的命題是（）A．已知隨機變量聽從二項分布，若，，則B．已知，則C．設(shè)隨機變量聽從正態(tài)分布，若，則D．某人在10次射擊中，擊中目標的次數(shù)為，，則當時概率最大【答案】BCD【解析】對于選項A：隨機變量聽從二項分布，，，可得，，則，故選項A錯誤；對于選項B：依據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)的計算公式可得，，，因為，所以有，即，解得，故選項B正確；對于選項C：隨機變量聽從正態(tài)分布，則圖象關(guān)于軸對稱，若，則，即，故選項C正確；對于選項D：因為在10次射擊中，擊中目標的次數(shù)為，，當時，對應(yīng)的概率，所以當時，，由，得，即，因為，所以且，即時，概率最大，故選項D正確，故選BCD．10．下列等式正確的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】A．，故正確；B．，故正確；C．，故錯誤；D．，故正確，故選ABD．11．如圖直角梯形，，，，為中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且．則（）平面平面 C．二面角的大小為 D．與平面所成角的正切值為【答案】AC【解析】A中，，在三角形中，，所以，又，可得平面，平面，所以平面平面，A選項正確；B中，若，又，可得平面，則，而，明顯沖突，故B選項錯誤；C中，二面角的平面角為，依據(jù)折前著后不變知，故C選項正確；D中，由上面分析可知，為直線與平面所成角，在中，，故D選項錯誤，故選AC．12．設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，已知，，則下列結(jié)論中正確的是（）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．在上有極大值 D．在上有微小值【答案】ABD【解析】由，得，設(shè)，則，由，得；由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上有微小值，故選ABD．第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知復(fù)數(shù)z滿意：，則________．【答案】【解析】，故，故答案為．14．若的綻開式的二項式系數(shù)和為32，則綻開式中的系數(shù)為_______．【答案】【解析】依題意的綻開式的二項式系數(shù)和為，所以，即，二項式綻開式的通項公式為，令，，所以的系數(shù)為，故答案為．15．2024年初，湖北成為全國新冠疫情最嚴峻的省份，面臨醫(yī)務(wù)人員不足和醫(yī)療物資緊缺等諸多困難，全國人民心系湖北，志愿者紛紛馳援．若將5名醫(yī)生志愿者安排到兩家醫(yī)院(每人去一家醫(yī)院，每家醫(yī)院至少去1人)，則共有_______種安排方案．（用數(shù)字作答）【答案】30【解析】由題可知，先將5名醫(yī)生分成2組，有種，再安排的兩家醫(yī)院有種，即有30種安排方案，故答案為30．16．已知空間向量，，的模長分別為，，，且兩兩夾角均為，點為的重心，若，，，，則__________；__________．【答案】，【解析】取的中點，，又，空間向量，，的模長分別為，，，且兩兩夾角均為，，，，，．四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）如圖，在三棱錐中，側(cè)面是邊長為2的等邊三角形，，分別為，的中點，過的平面與側(cè)面交于．（1）求證：；（2）若平面平面，，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）因為，分別為，的中點，所以，又平面，平面，所以平面，因為平面平面，所以．（2）因為平面平面，取中點，連接，，因為是等邊三角形，所以，所以平面，故，又因為，所以，以為坐標原點，分別以，，為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，可得，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，，所以，，所以直線與平面所成角的正弦值為．18．（12分）某商場經(jīng)銷某商品，依據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采納的付款期數(shù)的分布列為：商場經(jīng)銷一件該商品，采納期付款，其利潤為元；分期或期付款，其利潤為元；分期或期付款，其利潤為元，表示經(jīng)銷一件該商品的利潤．（1）求事務(wù)：“購買該商品的位顧客中，至少有位采納期付款”的概率；（2）求的分布列、期望和方差．【答案】（1）；（2）分布列見解析，，．【解析】（1）購買該商品的位顧客中至少有位采納期付款的對立事務(wù)是購買該商品的位顧客中無人采納期付款，設(shè)表示事務(wù)“購買該商品的位顧客中至少有位采納期付款”．知表示事務(wù)“購買該商品的位顧客中無人采納期付款”，，∴．（2）依據(jù)顧客采納的付款期數(shù)的分布列對應(yīng)于的可能取值為元，元，元，得到變量對應(yīng)的事務(wù)的概率，，，，的分布列為：∴，∴．19．（12分）已知．（1）若函數(shù)在處的切線平行于軸，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，若在上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍．(其中為自然對數(shù)的底數(shù))【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）．【解析】（1），函數(shù)在處的切線平行于軸，則，即，此時，令，解得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2），定義域為，則，可得當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，又，所以在上有兩個零點只需，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍為．20．（12分）某學(xué)校八年級共有學(xué)生400人，現(xiàn)對該校八年級學(xué)生隨機抽取50名進行實踐操作實力測試，實踐操作實力測試結(jié)果分為四個等級水平，一、二等級水平的學(xué)生實踐操作實力較弱，三、四等級水平的學(xué)生實踐操作實力較強，測試結(jié)果統(tǒng)計如下表：等級水平一水平二水平三水平四男生/名48126女生/名6842（1）依據(jù)表中統(tǒng)計的數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表，并推斷是否有的把握認為學(xué)生實踐操作實力強弱與性別有關(guān)？實踐操作實力較弱實踐操作實力較強合計男生/名女生/名合計（2）現(xiàn)從測試結(jié)果為水平一的學(xué)生中隨機抽取4名進行學(xué)習(xí)力測試，記抽到水平一的男生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．下面的臨界值表供參考：0．150．100．050．0250．0100．0050．0012．0722．7063．8415．0246．6357．87910．828參考公式：，其中．【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有的把握認為；（2）分布列見解析，．【解析】（1）實踐操作實力較弱實踐操作實力較強合計男生/名121830女生/名14620合計262450所以，所以有的把握認為學(xué)生實踐操作實力強弱與性別有關(guān)．（2）的取值為0，1，2，3，4．，，，，．所以的分布列為01234所以．21．（12分）如圖，在直三棱柱中，點、分別為和的中點．（1）證明：平面；（2）若，，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）如圖，作線段中點，連接、，因為是線段中點，點為線段的中點，所以，因為是線段中點，點為線段的中點，三棱柱是直三棱柱，所以，因為，直線平面，直線平面，所以平面平面，因為平面，所以平面．（2）如圖，以為原點、為軸、為軸、為軸構(gòu)建空間直角坐標系，則，，，，，，，，設(shè)是平面的法向量，則，即，令，則，；設(shè)是平面的法向量，則，即，令，則，，令二面角為，則，故結(jié)合圖像易知，二面角的余弦值為．22．（12分）已知．（1）探討函數(shù)的極值；（2）若對，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，使得恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）見解析；（