2022屆江西省南昌市高三下學期5月第三次模擬測試數(shù)學文試題解析版

20220607項目第三次模擬測試卷文科數(shù)學本試卷共4頁，23小題，滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填涂在答題卡上，并在相應位置貼好條形碼.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案信息涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案.3.非選擇題必須用黑色水筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來答案，然后再寫上新答案，不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保證答題卡整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知復數(shù)滿足，則A. B.C. D.3.命題“若，都是奇數(shù)，則是偶數(shù)”的逆否命題是（）A.若不是偶數(shù)，則，都不是奇數(shù) B.若不是偶數(shù)，則，不都是奇數(shù)C.若，都是偶數(shù)，則是奇數(shù) D.若，都不是奇數(shù)，則不是偶數(shù)4.若直線與圓相交于，兩點，且（為坐標原點），則（）A1 B. C.2 D.5.第24屆冬奧會于2022年2月4日在國家體育場鳥巢舉行了盛大開幕式．在冬奧會的志愿者選拔工作中，某高校承辦了面試工作，面試成績滿分100分，現(xiàn)隨機抽取了80名候選者的面試成績并分為五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法錯誤的是（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點值為代表）（）A.直方圖中b的值為0.025B.候選者面試成績的中位數(shù)約為69.4C.在被抽取的學生中，成績在區(qū)間之間的學生有30人D.估計候選者的面試成績的平均數(shù)約為69.5分6.已知體積公式中的常數(shù)稱為“立圓率”.對于等邊圓柱（軸截面是正方形的圓柱），正方體，球也可利用公式求體積（在等邊圓柱中，表示底面圓的直徑；在正方體中，表示棱長，在球中，表示直徑）.假設運用此體積公式求得等邊圓柱（底面圓的直徑為），正方體（棱長為），球（直徑為）的“立圓率”分別為，，，則（）A. B.C. D.7.若角的終邊不在坐標軸上，且，則()A. B. C. D.8.某正方體被截去部分后得到的空間幾何體的三視圖如圖所示，則該空間幾何體的體積為（）A. B. C. D.9.已知實數(shù)滿足，則下列關系式不可能成立的是（）A. B.C. D.10.科學記數(shù)法是一種記數(shù)的方法.把一個數(shù)表示成與10的次冪相乘的形式，其中，.當時，.若一個正整數(shù)的15次方是11位數(shù)，那么這個數(shù)是（）（參考數(shù)據(jù)：，）A4 B.5 C.6 D.711.已知橢圓：的左、右焦點分別是，，是橢圓上的動點，和分別是的內(nèi)心和重心，若與軸平行，則橢圓的離心率為()A. B. C. D.12.已知是不為的正數(shù)，若不等式恒成立，則的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，則向量與的夾角為__________.14.已知實數(shù)，滿足約束條件，則的最小值為__________.15.已知函數(shù)的最大值為-1，則實數(shù)的取值范圍是__________.16.已知的內(nèi)角所對的邊分別為，，，,分別為線段上的動點，，則的最小值為__________.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答；第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，其前項和為，已知，.（1）求的通項公式；（2）設，若的前項和為，求證：.18.一個直三棱柱被平面所截得到如圖所示的幾何體，其中、、與平面垂直.，若，，是線段上靠近點A的四等分點．（1）求證：；（2）求此多面體體積.19.已知橢圓：的離心率為，點在橢圓上，與平行的直線交橢圓于，兩點，直線，分別于軸正半軸交于，兩點.（1）求橢圓的標準方程；（2）求證：為定值.20.碳中和，是指企業(yè)、團體或個人測算在一定時間內(nèi)，直接或間接產(chǎn)生的溫室氣體排放總量，通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放，實現(xiàn)二氧化碳的“零排放”.碳達峰，是指碳排放進入平臺期后，進入平穩(wěn)下降階段.簡單地說就是讓二氧化碳排放量“收支相抵”.中國政府在第七十五屆聯(lián)合國大會上提出：“中國將提高國家自主貢獻力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力爭于2030年前達到峰值，努力爭取2060年前實現(xiàn)碳中和.”減少碳排放，實現(xiàn)碳中和，人人都可出一份力．某中學數(shù)學教師組織開展了題為“家庭燃氣灶旋鈕的最佳角度”的數(shù)學建?；顒?實驗假設：①燒開一壺水有諸多因素，本建模的變量設定為燃氣用量與旋鈕的旋轉(zhuǎn)角度，其他因素假設一樣；②由生活常識知，旋轉(zhuǎn)角度很小或很大，一壺水甚至不能燒開或造成燃氣浪費，因此旋轉(zhuǎn)角度設定10°到90°間，建模實驗中選取5個代表性數(shù)據(jù)：18°，36°，54°，72°，90°．某支數(shù)學建模隊收集了“燒開一壺水”的實驗數(shù)據(jù)，如下表：項目旋轉(zhuǎn)角度開始燒水時燃氣表計數(shù)/dm3水燒開時燃氣表計數(shù)/dm318°9080921036°8958908054°8819895872°8670881990°84988670以x表示旋轉(zhuǎn)角度，y表示燃氣用量.（1）用列表法整理數(shù)據(jù)（x，y）；x（旋轉(zhuǎn)角度：度）1836547290y（燃氣用量：dm3）（2）假定x，y線性相關，試求回歸直線方程（注：計算結(jié)果精確到小數(shù)點后三位）（3）有隊員用二次函數(shù)進行模擬，得到的函數(shù)關系為．求在該模型中，燒開一壺水燃氣用量最少時的旋轉(zhuǎn)角度．請用相關指數(shù)R2分析二次函數(shù)模型與線性回歸模型哪種擬合效果更好？（注：計算結(jié)果精確到小數(shù)點后一位）參考數(shù)據(jù)：，，，，線性回歸模型，二次函數(shù)模型．參考公式：，，．21.已知函數(shù)，.（1）若與在處有相同的切線，求實數(shù)的值；（2）當，時，求證：（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程22.已知直線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），曲線的極坐標方程為：.（1）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）已知直線和曲線交于兩點，設點，求.選修4-5：不等式選講23.已知函數(shù)，已知不等式恒成立.（1）求的最大值；（2）設，，求證：.20220607項目第三次模擬測試卷文科數(shù)學本試卷共4頁，23小題，滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填涂在答題卡上，并在相應位置貼好條形碼.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案信息涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案.3.非選擇題必須用黑色水筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來答案，然后再寫上新答案，不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保證答題卡整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式，求出集合A和B，進而求出交集.【詳解】，解得：，所以，，解得：或，故，故故選：C2.已知復數(shù)滿足，則A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】設，則由已知有，所以，解得，所以，故，選A.3.命題“若，都是奇數(shù)，則是偶數(shù)”的逆否命題是（）A.若不是偶數(shù)，則，都不是奇數(shù) B.若不是偶數(shù)，則，不都是奇數(shù)C.若，都是偶數(shù)，則是奇數(shù) D.若，都不是奇數(shù)，則不是偶數(shù)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)逆否命題的概念即可選出答案.【詳解】因為命題“若，則”的逆否命題是“若，則”，所以命題“若，都是奇數(shù)，則是偶數(shù)”的逆否命題是“若不是偶數(shù)，則，不都是奇數(shù)”.故選：B.4.若直線與圓相交于，兩點，且（為坐標原點），則（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】先由余弦定理求出，即可得出圓心到直線的距離，即可求得答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為2，則在中，由余弦定理可得，即，所以圓心到直線的距離為，則，即.故選：B.5.第24屆冬奧會于2022年2月4日在國家體育場鳥巢舉行了盛大開幕式．在冬奧會的志愿者選拔工作中，某高校承辦了面試工作，面試成績滿分100分，現(xiàn)隨機抽取了80名候選者的面試成績并分為五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法錯誤的是（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點值為代表）（）A.直方圖中b的值為0.025B.候選者面試成績的中位數(shù)約為69.4C.在被抽取的學生中，成績在區(qū)間之間的學生有30人D.估計候選者的面試成績的平均數(shù)約為69.5分【答案】C【解析】【分析】利用頻率之和為求得，由此判斷A選項的正確性，根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)的求法判斷BD選項的正確性，通過計算成績在區(qū)間之間的頻數(shù)來判斷C選項的正確性.【詳解】對于A，∵，∴，故A正確；對于B，設候選者面試成績的中位數(shù)為x，則，解得，故B正確；對于C，成績在區(qū)間的頻率為，故人數(shù)有，故C錯誤；對于D，，故D正確．故選：C6.已知體積公式中的常數(shù)稱為“立圓率”.對于等邊圓柱（軸截面是正方形的圓柱），正方體，球也可利用公式求體積（在等邊圓柱中，表示底面圓的直徑；在正方體中，表示棱長，在球中，表示直徑）.假設運用此體積公式求得等邊圓柱（底面圓的直徑為），正方體（棱長為），球（直徑為）的“立圓率”分別為，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)體積公式分別求出“立圓率”即可得出.【詳解】因為，所以，因為，所以，因為，所以，所以.故選：A.7.若角的終邊不在坐標軸上，且，則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合易知條件和同角三角函數(shù)的平方關系即可求出cosα，從而求出sinα，根據(jù)即可求得結(jié)果．【詳解】或，∵的終邊不在坐標軸上，∴，∴，∴．故選：A．8.某正方體被截去部分后得到的空間幾何體的三視圖如圖所示，則該空間幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)幾何體的三視圖，可知該幾何體是棱長為2的正方體截去兩個小三棱錐，根據(jù)三棱錐的體積公式即可求解．【詳解】解：根據(jù)幾何體的三視圖，該空間幾何體是棱長為2的正方體截去兩個小三棱錐，由圖示可知，該空間幾何體體積為，故選：C.9.已知實數(shù)滿足，則下列關系式不可能成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】令，則表示與，，交點的橫坐標，采用數(shù)形結(jié)合的方式可得結(jié)論.【詳解】令，則表示與，，交點的橫坐標，不妨記，，，在平面直角坐標系中作出，，圖象，當與，，位置關系如下圖所示時，，即；當與，，位置關系如下圖所示時，，即；當與，，位置關系如下圖所示時，，即；綜上所述：關系式不可能成立的是.故選：D.10.科學記數(shù)法是一種記數(shù)的方法.把一個數(shù)表示成與10的次冪相乘的形式，其中，.當時，.若一個正整數(shù)的15次方是11位數(shù)，那么這個數(shù)是（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可得，再結(jié)合參考數(shù)據(jù)得，即可得出.【詳解】由題意可設，因為正整數(shù)的15次方是11位數(shù)，所以，所以，因為，所以，所以，則，則，所以，所以正整數(shù)為5.故選：B.11.已知橢圓：的左、右焦點分別是，，是橢圓上的動點，和分別是的內(nèi)心和重心，若與軸平行，則橢圓的離心率為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】連接PO，則三點共線，延長交軸于點，則由平行于軸得，從而可得，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)可得，從而可得離心率．【詳解】∵是的中點，G是的重心，∴三點共線，延長交軸于點，則由平行于軸知，，則,設內(nèi)切圓半徑為r，則，∴橢圓的離心率為．故選：A﹒12.已知是不為的正數(shù)，若不等式恒成立，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析】對不等式左右同時取對數(shù)，可得恒成立；令，利用導數(shù)可求得單調(diào)性，得到；令，利用導數(shù)可求得，由此可得，由此可得.【詳解】，，即恒成立；令，則，當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，；令，則，當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即；綜上所述：，，即的取值范圍為.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用導數(shù)研究恒成立問題，解題關鍵是能夠通過左右同時取對數(shù)的方式，將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，進而將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，則向量與的夾角為__________.【答案】##【解析】【分析】利用平面向量夾角公式求解.【詳解】解：因為，，所以，則，因為，所以，故答案為：14.已知實數(shù)，滿足約束條件，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合即可求出.【詳解】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，將化為，則由圖可得當直線經(jīng)過點時，取得最小值，聯(lián)立，解得，所以.故答案為：.15.已知函數(shù)的最大值為-1，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】求出f(x)在x>0時的值域，根據(jù)f(x)的最大值為-1可以確定f(x)在x<0時的值域，從而求出a的范圍．詳解】當x>0時，f(x)=，，∴當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；∴；∴要使f(x)的最大值為-1，則在x<0時恒成立，即在x<0時恒成立，令，，則，∴．故答案為：．16.已知的內(nèi)角所對的邊分別為，，，,分別為線段上的動點，，則的最小值為__________.【答案】##【解析】【分析】利用正弦定理可求得，進而得到；設，利用向量線性運算和數(shù)量積的運算律可將表示為關于的二次函數(shù)的形式，根據(jù)二次函數(shù)最小值的求法可求得最小值.【詳解】在中，由正弦定理得：，，，由正弦定理得：，；設，則，，，當時，，，即的最小值為.故答案為：.【點睛】思路點睛：本題考查平面向量與解三角形綜合應用問題，求解線段長度的基本思路是將其轉(zhuǎn)化為平面向量模長的求解問題，通過向量線性運算和向量數(shù)量積的運算律，將所求模長轉(zhuǎn)化為關于變量的函數(shù)的形式，利用函數(shù)最值的求解方法可求得結(jié)果.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答；第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，其前項和為，已知，.（1）求的通項公式；（2）設，若的前項和為，求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由可構造方程求得等差數(shù)列的公差，由等差數(shù)列通項公式可得；（2）由（1）可求得，采用裂項相消法可求得，結(jié)合可證得結(jié)論.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為，，，兩式作差得：，，，解得：，.【小問2詳解】由（1）得：，，，.18.一個直三棱柱被平面所截得到如圖所示的幾何體，其中、、與平面垂直.，若，，是線段上靠近點A的四等分點．（1）求證：；（2）求此多面體的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】(1)證明BM⊥平面即可；(2)取中點為E，靠近C的四等分點為D，連接、、DE，則該幾何體由直棱柱和四棱錐構成，據(jù)此即可求其體積．【小問1詳解】由題可知⊥平面ABC，∴⊥BM，∵∠BAC=60°，AM=1，AB=2，∴，，∵平面，∵平面，∴；【小問2詳解】如圖，取中點為E，靠近C的四等分點為D，連接、、DE，易知平面∥平面ABC，該幾何體由直棱柱和四棱錐構成，其中四棱錐的底面是直角梯形，由(1)知BM⊥平面，∴點到平面的距離為BM，∴幾何體體積為．19.已知橢圓：的離心率為，點在橢圓上，與平行的直線交橢圓于，兩點，直線，分別于軸正半軸交于，兩點.（1）求橢圓的標準方程；（2）求證：為定值.【答案】（1）（2）定值為4，證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列出式子求出即可得出；（2）設出直線方程，與橢圓聯(lián)立，表示出直線方程可得出點坐標，同理得出坐標，即可求解.【小問1詳解】由題意，解得，所以橢圓的標準方程為；【小問2詳解】因為直線的斜率為，則設直線的方程為，，聯(lián)立，得，則，解得或，，直線的方程為，令，則，同理可得，則.所以為定值.20.碳中和，是指企業(yè)、團體或個人測算在一定時間內(nèi)，直接或間接產(chǎn)生的溫室氣體排放總量，通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放，實現(xiàn)二氧化碳的“零排放”.碳達峰，是指碳排放進入平臺期后，進入平穩(wěn)下降階段.簡單地說就是讓二氧化碳排放量“收支相抵”.中國政府在第七十五屆聯(lián)合國大會上提出：“中國將提高國家自主貢獻力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力爭于2030年前達到峰值，努力爭取2060年前實現(xiàn)碳中和.”減少碳排放，實現(xiàn)碳中和，人人都可出一份力．某中學數(shù)學教師組織開展了題為“家庭燃氣灶旋鈕的最佳角度”的數(shù)學建?；顒?實驗假設：①燒開一壺水有諸多因素，本建模的變量設定為燃氣用量與旋鈕的旋轉(zhuǎn)角度，其他因素假設一樣；②由生活常識知，旋轉(zhuǎn)角度很小或很大，一壺水甚至不能燒開或造成燃氣浪費，因此旋轉(zhuǎn)角度設定在10°到90°間，建模實驗中選取5個代表性數(shù)據(jù)：18°，36°，54°，72°，90°．某支數(shù)學建模隊收集了“燒開一壺水”的實驗數(shù)據(jù)，如下表：項目旋轉(zhuǎn)角度開始燒水時燃氣表計數(shù)/dm3水燒開時燃氣表計數(shù)/dm318°9080921036°8958908054°8819895872°8670881990°84988670以x表示旋轉(zhuǎn)角度，y表示燃氣用量.（1）用列表法整理數(shù)據(jù)（x，y）；x（旋轉(zhuǎn)角度：度）1836547290y（燃氣用量：dm3）（2）假定x，y線性相關，試求回歸直線方程（注：計算結(jié)果精確到小數(shù)點后三位）（3）有隊員用二次函數(shù)進行模擬，得到的函數(shù)關系為．求在該模型中，燒開一壺水燃氣用量最少時的旋轉(zhuǎn)角度．請用相關指數(shù)R2分析二次函數(shù)模型與線性回歸模型哪種擬合效果更好？（注：計算結(jié)果精確到小數(shù)點后一位）參考數(shù)據(jù)：，，，，線性回歸模型，二次函數(shù)模型．參考公式：，，．【答案】（1）列表見解析；（2）；（3）38.7，二次函數(shù)擬合效果更好.【解析】【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)直接填表即可；（2）根據(jù)題中所給的數(shù)據(jù)和公式進行求解即可；（3）根據(jù)題中所給的公式，結(jié)合所給的函數(shù)關系進行求解判斷即可.【小問1詳解】整理數(shù)據(jù)如圖：x（旋轉(zhuǎn)角度：度）1836547290y（燃氣用量：dm3）130122139149172【小問2詳解】，，，，故回歸直線方程為；【小問3詳解】，即旋轉(zhuǎn)角約為38.7時，燒開一壺水燃氣用量最少.回歸直線與二次函數(shù)擬合兩者關系時，相關指數(shù)分別為，，則，.因為，所以二次函數(shù)擬合效果更好.21.已知函數(shù)，.（1）若與在處有相同的切線，求實數(shù)的值；（2）當，時，求證：.【答案】