2.2.1經(jīng)濟(jì)模型與應(yīng)用

新編經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)（微分學(xué)積分學(xué)）第五版PAGEPAGE12.2.1課題2.2.1經(jīng)濟(jì)模型與應(yīng)用（時(shí)間年月日教學(xué)目的要求重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)方法手段精講多練主要內(nèi)容時(shí)間分配常用的幾種經(jīng)濟(jì)模型20分鐘例題25分鐘其他常用的幾種應(yīng)用15分鐘例題30分鐘作業(yè)備注2.2.1經(jīng)濟(jì)模型與應(yīng)用1．財(cái)貿(mào)與金融方面的應(yīng)用（1）資本現(xiàn)值與投資問題若現(xiàn)有元貨幣，按年利率為作連續(xù)復(fù)利計(jì)算，則年后的價(jià)值為元；反過來，若年后有貨幣元，則按連續(xù)復(fù)利計(jì)算，現(xiàn)應(yīng)有元，這就稱為資本現(xiàn)值。設(shè)在時(shí)間區(qū)間內(nèi)時(shí)刻的單位時(shí)間的收入為,稱此為收入率，若按年利率為的連續(xù)復(fù)利計(jì)算，則在內(nèi)的總收入為若收入率（為常數(shù)），稱此為均勻收入率，如果年利率也為常數(shù)，則總收入的現(xiàn)值為若在時(shí)，一次投入的資金為，則在內(nèi)的純收入的貼現(xiàn)值（也稱投資效益）為即純收入的貼現(xiàn)值=總收入現(xiàn)值-總投資例1若連續(xù)3年內(nèi)保持收入率每年7500元不變，且利率為,問其現(xiàn)值是多少？解因均勻收入率元，,所以現(xiàn)值為(元)即現(xiàn)值為20150元。例2現(xiàn)對(duì)某企業(yè)給予一筆投資,經(jīng)測(cè)算，該企業(yè)在T年中可以按每年A的均勻收入率獲得收入，若年利率為，試求：（1）該投資的純收入貼現(xiàn)值：（2）收回該筆投資的時(shí)間。解（1）投資后T年中獲總收入的現(xiàn)值為從而投資獲得的純收入的貼現(xiàn)值為；（2）收回投資，即總收入的現(xiàn)值等于投資，故有由此解得收回投資的時(shí)間如果回收期為無限時(shí)期，則純收入的貼現(xiàn)值為顯然，的值越大，投資效益越好，除國家允許外，都應(yīng)避免的情況出現(xiàn)。例3若某企業(yè)投資萬元,年利率為，設(shè)在20年內(nèi)的均勻收入率200萬元/年，試求：（1）該投資的純收入貼現(xiàn)值：（2）收回該筆投資的時(shí)間為多少？解總收入的現(xiàn)值為（萬元），從而投資所得純收入為(萬元)，收回投資的時(shí)間為（年）。例4有一個(gè)大型投資項(xiàng)目，投資成本為（萬元），投資年利率為，每年的均勻收入率（萬元），求該投資為無限時(shí)期的純收入的貼現(xiàn)值。解由已知條件收入率（萬元），年利率為，故無限期的投資的總收入的貼現(xiàn)值為（萬元）從而投資為無限時(shí)期的純收入的貼現(xiàn)值為（萬元）。例5某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的購置設(shè)備成本費(fèi)用為50萬元，在10年中每年可收回20萬元，如果年利率為，并且假定購置的設(shè)備在10年中完全失去價(jià)值，求其投資效益。解由題意知，收入率（萬元），年利率為，投資（萬元），故投資效益為（萬元）.如果購置的設(shè)備不失去價(jià)值，每年的收入率仍為20萬元，則投資效益為（萬元）.（2）資本形成資本形成就是增加一定資本總量的過程，若此過程視為時(shí)間的連續(xù)過程，資本總量函數(shù)為時(shí)間的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)：，則資本形成率（資本形成的速度）為資本對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，此時(shí)，資本形成率也稱為在時(shí)間處的凈投資，記為,即由導(dǎo)數(shù)與不定積分的關(guān)系，有。設(shè)初始時(shí)刻時(shí)的資本，由積分上限函數(shù)的性質(zhì)知，資本函數(shù)可表為上式表明，在任意時(shí)刻，資本總量等于初始資本（或）加上從時(shí)刻起到時(shí)刻止所增加的資本數(shù)量。根據(jù)上式求出在時(shí)間間隔[]上資本形成的總量。即。例6設(shè)凈投資函數(shù)（單位：萬元/年），求：（1）第1年期間資本積累的總量：（2）若原始資本為100萬元，問從開始到第8年末的總資本是多少？解（1）第1年期間所積累的資本為6（萬元）（2）（萬元）2．會(huì)計(jì)與統(tǒng)計(jì)方面的應(yīng)用定積分在經(jīng)濟(jì)上有著廣泛的應(yīng)用，常見的有以下幾種類型。（1）由邊際函數(shù)求總函數(shù)由于總函數(shù)（如總成本，總收益、總利潤等）的導(dǎo)數(shù)就是邊際函數(shù)（如邊際成本，邊際收益、邊際利潤等），當(dāng)已知初始條件時(shí)，既可以用不定積分求出總函數(shù)，也可以用定積分求出總函數(shù)。例如：已知邊際成本，固定成本、邊際收益，則總成本函數(shù)，總收益函數(shù)，總利潤函數(shù)例7已知生產(chǎn)某種產(chǎn)品單位時(shí)，邊際收益為（元/單位）.求:（1）總收益函數(shù)和平均收益；（2）生產(chǎn)100個(gè)單位產(chǎn)品的總收益；（3）生產(chǎn)100個(gè)單位產(chǎn)品后再生產(chǎn)100個(gè)單位產(chǎn)品的總收益.解（1）,（元/單位）.（2）（元）（3）（元）.（2）由邊際函數(shù)求總量函數(shù)的極值設(shè)邊際收益，邊際成本，固定成本，已知=，即時(shí)利潤最大，則最大利潤為.例8某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品單位時(shí)，其邊際成本函數(shù)為，固定成本（單位：百元）。求：此產(chǎn)品從30個(gè)單位到50個(gè)單位所需的成本；總成本函數(shù)；若此產(chǎn)品的銷售單價(jià)為10（單位：百元），求總利潤函數(shù)；何時(shí)才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？解（1）從30個(gè)單位到50個(gè)單位所需的成本，就是邊際成本在區(qū)間上的定積分，于是所需的成本為（百元）（2）總成本函數(shù)為（3）設(shè)銷售單位商品得到的總收入為，依題意有因此，總利潤函數(shù)為（4）令，得，而，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，（百元）例9某種產(chǎn)品每天生產(chǎn)單位時(shí)的固定成本為元，邊際成本（元/單位），邊際收益（元/單位），求：（1）每天生產(chǎn)多少單位時(shí)利潤最大？最大利潤是多少？（2）從利潤最大時(shí)的產(chǎn)量又生產(chǎn)了10個(gè)單位的產(chǎn)品，總利潤是多少？解（1）由利潤最大原則知，當(dāng)時(shí)利潤最大，即從而得，即時(shí)利潤最大，最大利潤為（元）；（2）（元），即從最大利潤的生產(chǎn)量個(gè)單位，再生產(chǎn)10個(gè)單位的產(chǎn)品利潤減少30元.（3）收入預(yù)測(cè)例10中國人的收入正在逐年提高。據(jù)統(tǒng)計(jì)，深圳2002年的年人均收入為21914元（人民幣），假設(shè)這一人均收入以速度（單位：元/年）增長，這里是從2003年開始算起的年數(shù)，估算2009年深圳的年人均收入是多少？解因?yàn)樯钲谀耆司杖胍运俣龋▎挝唬涸?年）增長，由變化率求總改變量的方法，這7年間年人均收入的總變化為（元）。所以，2009年深圳的人均收入為（元）（4）國民生產(chǎn)總值例111999年我國的國民生產(chǎn)總值（GDP）為80423億元，如果我國能保持每年的相對(duì)增長率，問到2010年我國的GDP是多少？解（1）建立微分方程設(shè)第年我國的GDP為，代表1999年。由題意知，從1999年起，的相對(duì)增長率為，即，且(2)求通解分離變量得兩邊同時(shí)積分，得(3)求特解將代入通解，得，所以從1999年起第年我國GDP為.將代人上式，得2010年我國的GDP的預(yù)測(cè)值為（億元）3．經(jīng)濟(jì)管理與物流方面的應(yīng)用（1）一階常微分方程在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用有些經(jīng)濟(jì)問題往往可以轉(zhuǎn)化成微分方程來求解。下面通過實(shí)例來介紹常微分方程在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用例12已知某產(chǎn)品的純利潤對(duì)廣告費(fèi)的變化率與常數(shù)和純利潤之差成正比，當(dāng),時(shí),試求純利潤與廣告費(fèi)之間的函數(shù)關(guān)系.解由題意列出方程為分離變量積分得即(其中)所以,由初始條件,解得,所以純利潤與廣告費(fèi)的函數(shù)關(guān)系為.例13某商店統(tǒng)計(jì)其月售貨款額不超過元。在一個(gè)月內(nèi)前日累積售貨款額顯然是的增函數(shù)，已知的增長速度與成正比。本月共30天，已經(jīng)過了10天，前5日累積售貨款額為元，前10日累積售貨款額為元，預(yù)計(jì)本月售貨款額為多少？解設(shè)前t日累積售貨款額與的函數(shù)關(guān)系為,定義域?yàn)閧為正整數(shù)，}，把它擴(kuò)大為，從而的增長速度可以用表示。由題意知（1）其中，比例系數(shù)。所以，這個(gè)問題就轉(zhuǎn)化成求常微分方程（1）在初始條件為，的特解。再令，此時(shí)的值即為所求的貨款額。對(duì)方程（1）分離變量可得兩邊積分，得所以（為任意常數(shù)）于是方程（1）的通解為（，為任意常數(shù)）將，代入通解中得，根據(jù)初始條件得到方程（1）的特解（）當(dāng)時(shí)，（元）所以，預(yù)計(jì)本月售貨款額為元。例14(邏輯斯蒂曲線)在商品銷售預(yù)測(cè)中,時(shí)刻時(shí)的銷售量用表示.如果商品銷售的增長速度正比于銷售量用及與銷售接近飽和水平的程度之乘積(為飽和水平),求銷售量函數(shù).解根據(jù)題意建立微分方程(為比例因子)分離變量積分得,上式變形為.兩端積分得(為任意常數(shù))即(為任意常數(shù))從而可得通解為(為任意常數(shù))其中為任意常數(shù)將由給定的初始條件確定.例15(市場(chǎng)動(dòng)態(tài)均衡價(jià)格)設(shè)某種商品的市場(chǎng)價(jià)格隨時(shí)間變動(dòng)，其需求函數(shù)為，供給函數(shù)為。又設(shè)價(jià)格隨時(shí)間的變化率與超額需求成正比，求價(jià)格函數(shù)。解由題意，價(jià)格函數(shù)滿足微分方程：利用一階微分方程通解公式得根據(jù)初始條件，得，代入上式有由解的表達(dá)式可得，當(dāng)時(shí)，，稱為均衡價(jià)格，即當(dāng)時(shí)，價(jià)格將逐步趨向均衡價(jià)格。（2）生產(chǎn)效益計(jì)算生產(chǎn)效益指的是在一定條件下，生產(chǎn)了多少產(chǎn)品，得到了多少收入，獲得多少利潤，一般說來得到的（產(chǎn)量、收入、利潤）越多，生產(chǎn)效益就越高。已知某產(chǎn)品總產(chǎn)量的變化率為則該產(chǎn)品在時(shí)間區(qū)間內(nèi)的總產(chǎn)量為=例16（求生產(chǎn)的總費(fèi)用）已知某種產(chǎn)品每小時(shí)生產(chǎn)臺(tái)，總費(fèi)用的變化率為（千元/臺(tái)）（1）求總費(fèi)用；（2）如果該產(chǎn)品每臺(tái)售價(jià)3千元，每小時(shí)產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí)才能獲利最大？最大利潤是多少？解（1）設(shè)總費(fèi)用為，則，所以（2）由題意銷售該產(chǎn)品臺(tái)時(shí)的總收入于是令，得又因?yàn)樗援?dāng)每小時(shí)生產(chǎn)3臺(tái)時(shí)才能獲利最大，最大利潤為（千元）例17（商品銷售量）某種商品一年中的銷售速度為，（的單位：月；）,求此商品前3個(gè)月的銷售總量.解由變化率求總改變量知商品在前3個(gè)月的銷售總量為.（3）廣告策略例18某出口公司每月銷售額是1000000美元，平均利潤是銷售額的10%。根據(jù)公司以往的經(jīng)驗(yàn)，廣告宣傳期間月銷