2.5.2向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示2.5.3利用數(shù)量積計(jì)算長(zhǎng)度與角度課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

第二章平面向量及其應(yīng)用5.2向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示5.3利用數(shù)量積計(jì)算長(zhǎng)度與角度高中同步學(xué)案優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI北師大版

數(shù)學(xué)

必修第二冊(cè)目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo)表示求數(shù)量積、模和夾角.2.掌握向量垂直條件的坐標(biāo)表示,并能靈活運(yùn)用.3.會(huì)利用數(shù)量積計(jì)算長(zhǎng)度與角度.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)知識(shí)點(diǎn)一

向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示數(shù)量積的坐標(biāo)表示:已知兩個(gè)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=

,即兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.

名師點(diǎn)睛數(shù)量積的坐標(biāo)形式的推導(dǎo)在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)i,j分別是x軸和y軸方向上的單位向量,則a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i·i+x1y2i·j+x2y1j·i+y1y2j·j.因?yàn)閕·i=j·j=1,i·j=j·i=0,所以a·b=x1x2+y1y2.x1x2+y1y2過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1y2+x2y1.(

)(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a⊥b?x1y2-x2y1=0.(

)(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a⊥b的充要條件為x1y1-x2y2=0.(

)2.[蘇教版教材例題]已知a=(2,-1),b=(3,-2),求(3a-b)·(a-2b).×××解

因?yàn)閍·b=2×3+(-1)×(-2)=8,a2=22+(-1)2=5,b2=32+(-2)2=13,所以(3a-b)·(a-2b)=3a2-7a·b+2b2=3×5-7×8+2×13=-15.知識(shí)點(diǎn)二

向量的模與夾角的坐標(biāo)表示2.兩向量的夾角公式:設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),a與b的夾角為θ,則a·b=|a||b|cosθ=x1x2+y1y2,特別地,a⊥b?

.

x1x2+y1y2=0名師點(diǎn)睛投影數(shù)量的坐標(biāo)表示過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a⊥b?x1y2-x2y1=0.(

)(2)若A(1,0),B(0,-1),則(3)若兩個(gè)非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)滿足x1x2+y1y2=0,則向量a與b的夾角為0°.(

)(4)若向量a=(1,0),b,則|a|=|b|.(

)×√××2.[2023浙江余姚]已知a=(1,),b=(cosθ,sinθ),則|a+2b|的取值范圍是

.

[0,4]重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算角度1.數(shù)量積的基礎(chǔ)坐標(biāo)運(yùn)算【例1】

已知向量a=(-1,2),b=(3,2).(1)求a·(a-b);(2)求(a+b)·(2a-b);(3)若c=(2,1),求(a·b)·c,a·(b·c).解

(1)a·(a-b)=a·a-a·b=(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4.(2)因?yàn)閍+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4),2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2),所以(a+b)·(2a-b)=(2,4)·(-5,2)=2×(-5)+4×2=-2.(3)(a·b)·c=[(-1,2)·(3,2)](2,1)=(-1×3+2×2)(2,1)=(2,1).a·(b·c)=(-1,2)[(3,2)·(2,1)]=(-1,2)(3×2+2×1)=8(-1,2)=(-8,16).角度2.數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算在幾何圖形中的應(yīng)用【例2】

在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,點(diǎn)M,N分別在DC,BC上,且5規(guī)律方法

數(shù)量積運(yùn)算的途徑及注意點(diǎn)(1)進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算,前提是牢記有關(guān)的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì).解題時(shí)通常有兩條途徑:一是先將各向量用坐標(biāo)表示,直接進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算;二是先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將原式展開,再依據(jù)已知計(jì)算.(2)對(duì)于以圖形為背景的向量數(shù)量積運(yùn)算的題目,只需把握?qǐng)D形的特征,建立平面直角坐標(biāo)系,寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解.變式訓(xùn)練1已知點(diǎn)A(1,2),B(2,3),C(-2,5),則

等于(

)A.-1 B.0 C.1 D.2B探究點(diǎn)二利用坐標(biāo)運(yùn)算解決模的問題【例3】

已知向量a=(1,2),b=(3,-1).(1)求|a-2b|;(2)求與a垂直的單位向量;(3)求與b平行的單位向量.規(guī)律方法

1.求向量的模的兩種基本策略(1)字母表示下的運(yùn)算:利用|a|2=a·a,將向量模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量與向量的數(shù)量積的運(yùn)算.(2)坐標(biāo)表示下的運(yùn)算:若a=(x,y),則|a|2=a·a=x2+y2,于是有2.與已知向量垂直或平行的單位向量

變式訓(xùn)練2若向量a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),則|a+b|的最小值為(

)C探究點(diǎn)三利用坐標(biāo)運(yùn)算解決夾角與垂直問題【例4】

已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且a∥b,a⊥c.(1)求b與c;(2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m,n的夾角的大小.解

(1)因?yàn)閍∥b,所以3x=4×9,即x=12.因?yàn)閍⊥c,所以3×4+4y=0,所以y=-3.故b=(9,12),c=(4,-3).(2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4),n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1).設(shè)m,n的夾角為θ,變式探究本例中,其他條件不變,若向量d=(2,1),且c+td與d的夾角為45°,求實(shí)數(shù)t的值.規(guī)律方法

解決向量夾角問題的方法及注意事項(xiàng)

探究點(diǎn)四向量的坐標(biāo)運(yùn)算在平面幾何中的應(yīng)用【例5】

如圖,已知在直角梯形ABCD中,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E,M為CE的中點(diǎn),用向量的方法證明D,M,B三點(diǎn)共線.證明

如圖,以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸,EC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.規(guī)律方法

向量幾何法和坐標(biāo)法是解決此類問題的基本方法,在直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形、直角梯形等特殊圖形中,利用建立直角坐標(biāo)系,轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算較為簡(jiǎn)單.變式訓(xùn)練3已知在直角三角形ABC中,A為直角,AB=1,BC=2,若AM是BC邊上的高,點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部或邊界上運(yùn)動(dòng),求

的取值范圍.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示;(2)a⊥b?x1x2+y1y2=0(a,b為非零向量);2.方法歸納:轉(zhuǎn)化與化歸.3.常見誤區(qū):兩個(gè)向量夾角的余弦公式易記錯(cuò);a⊥b與a∥b的坐標(biāo)形式的充要條件易混淆.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)12345678910111213141516A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.(多選)設(shè)向量a=(2,0),b=(1,1),則下列結(jié)論中正確的是(

)A.|a|=b2 B.a·b=0C.a∥b

D.(a-b)⊥bAD解析

|a|=b2=2,故A正確,B,C顯然錯(cuò)誤,a-b=(1,-1),所以(a-b)·b=1-1=0,所以(a-b)⊥b,故D正確.123456789101112131415162.[2023遼寧丹東模擬]已知向量a=(2,1),b=(3,2),則a·(a-b)=(

)A.-5 B.-3 C.3 D.5B解析

∵a=(2,1),b=(3,2),∴a-b=(-1,-1),則a·(a-b)=2×(-1)+1×(-1)=-3.故選B.12345678910111213141516A.-3 B.-2 C.2 D.3C12345678910111213141516A.30° B.45° C.60° D.120°A123456789101112131415165.(多選)設(shè)向量a=(k,2),b=(1,-1),則下列說法錯(cuò)誤的是(

)A.若k<-2,則a與b的夾角為鈍角B.|a|的最小值為2CD12345678910111213141516123456789101112131415166.[2021全國(guó)乙,文13]已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,則λ=

.

123456789101112131415167.已知三點(diǎn)A(1,2),B(0,1),C(-2,5),則△ABC的形狀為

三角形.

直角123456789101112131415168.已知向量a=(x+1,),b=(1,0),a·b=-2,則向量a+b與b的夾角為

.

123456789101112131415169.已知向量a=(-1,2),b=(3,-1).(1)求a+2b的坐標(biāo)與|a-b|;(2)求向量a與a-b的夾角的余弦值.解(1)a=(-1,2),b=(3,-1),則a+2b=(5,0),a-b=(-4,3),12345678910111213141516B級(jí)關(guān)鍵能力提升練10.設(shè)x,y∈R,向量a=(x,1),b=(2,y),c=(-1,1),a⊥c,b∥c,則|a+b|2=(

)D解析

由題意可得-x+1=0,-y-2×1=0,解得x=1,y=-2.所以a=(1,1),b=(2,-2),所以a+b=(3,-1),所以|a+b|2=32+(-1)2=10.故選D.1234567891011121314151611.已知非零向量m,n滿足|m|=2|n|,m,n夾角的余弦值是,若(tm+n)⊥n,則實(shí)數(shù)t的值是(

)A12345678910111213141516ABC123456789101112131415161234567891011121314151613.[2023北京西城期中]已知點(diǎn)P(cosθ,sinθ),點(diǎn)A(-2,0),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則21234567891011121314151614.已知向量a=(2,1),|b|=,a·b=2,那么向量a與b夾角的余弦值為

.

12345678