江蘇省常州市西夏墅高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期初調(diào)研 數(shù)學(xué)試題含答案

常州市西夏墅高級(jí)中學(xué)2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期期初調(diào)研高三年級(jí)數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間120分鐘本試卷共22題滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．2．已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為1，那么（

）A． B． C． D．3．在同一個(gè)坐標(biāo)系中，函數(shù)，，的圖象可能是（

）A． B． C． D．4．使得“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”成立的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．5．已知，則（

）A． B． C． D．26．已知函數(shù)，存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．在中，角的對(duì)邊分別為，已知，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形8．已知角是銳角，角是第四象限角,且，，，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知點(diǎn)P是的中線BD上一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）且，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．的最小值是910．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若是的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，則（

）A．的最小正周期為 B．在上單調(diào)遞增C．函數(shù)的最大值為 D．方程在上有5個(gè)實(shí)數(shù)根11．已知，，分別是的三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，其中正確的命題有（

）A．已知，，，則有兩解B．若是銳角三角形，，，設(shè)的面積為S，則C．若，，，內(nèi)有一點(diǎn)使得與夾角為，與夾角為，則D．已知，，設(shè)，若是鈍角三角形，則的取值范圍是三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．12．若，則.13．如圖，在中，點(diǎn)P滿足，過點(diǎn)P的直線與所在的直線分別交于點(diǎn)M，N，若，，，則的最小值為.14．在，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，交AC于點(diǎn)，且，則的最小值為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知函數(shù)(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求a的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間16．已知函數(shù)的一段圖象過點(diǎn)0,1，如圖所示．(1)求函數(shù)的表達(dá)式；(2)將函數(shù)y=fx的圖象向右平移個(gè)單位，得函數(shù)y=gx的圖象，求y=gx在區(qū)間(3)若，求的值.17．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，已知向量，滿足.(1)求；(2)若角的平分線交邊于點(diǎn)，求面積的最小值.18．已知是奇函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求函數(shù)在上的值域；（3）令，求不等式的解集．19．當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)為的“費(fèi)馬點(diǎn)”；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為的“費(fèi)馬點(diǎn)”.已知在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，P是的“費(fèi)馬點(diǎn)”.(1)若，，.①求；②設(shè)的周長(zhǎng)為，求的值；(2)若，，求實(shí)數(shù)的最小值.1．C【分析】利用集合之間的包含關(guān)系求解即可.【詳解】，，故.故選：C2．D【分析】利用向量的數(shù)量積定義即可求解.【詳解】因?yàn)榈冗吶切蔚倪呴L(zhǎng)為1，所以.故選：D.3．C【分析】先根據(jù)的單調(diào)性相反排除AD，然后根據(jù)冪函數(shù)圖象判斷出的范圍，由此可得答案.【詳解】因?yàn)樵谕蛔鴺?biāo)系中，所以函數(shù)，的單調(diào)性一定相反，且圖象均不過原點(diǎn)，故排除AD；在BC選項(xiàng)中，過原點(diǎn)的圖象為冪函數(shù)的圖象，且由圖象可知，所以單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故排除B，所以C正確.故選：C.4．D【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性列不等式組求解的范圍，再求解使其成立的一個(gè)充分不必要條件.【詳解】解：令，，因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減且恒成立，所以，解得，因?yàn)?，所以使成立的一個(gè)充分不必要條件為.故選：D5．A【分析】先根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求的值，再用倍角公式求，再利用二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)即可求值.【詳解】由及，得.所以，所以.故選：A6．A【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，無最小值，根據(jù)題意，存在最小值，所以，即.故選：A.7．D【分析】先用二倍角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合正弦定理和三角形內(nèi)角和定理化簡(jiǎn)判斷三角形形狀；【詳解】化簡(jiǎn)得：，，根據(jù)正弦定理整理可得，因?yàn)榧矗曰?，可得或?所以等腰三角形或直角三角形．故選：D．8．C【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出所有三角函數(shù)值，利用兩角和的余弦公式判斷A；利用兩角和的正弦公式判斷B；利用二倍角公式結(jié)合兩角和的正切公式判斷C；利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系結(jié)合給定條件判斷D即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)榻鞘卿J角，角是第四象限角，，因?yàn)椋獾茫?因?yàn)?，所以，解得，因?yàn)?，所以，解得，由兩角和的余弦公式得，故A正確，由兩角和的正弦公式得，故B正確，因?yàn)?，，所以，故D正確，由二倍角公式得，由兩角和的正切公式得，故C錯(cuò)誤.故選：C9．ACD【分析】利用三點(diǎn)共線證明.所以選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；利用基本不等式證明選項(xiàng)C和選項(xiàng)D正確.【詳解】因?yàn)?，所以，又三點(diǎn)共線，所以.所以選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以選項(xiàng)C正確；因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以選項(xiàng)D正確.故選：ACD10．ACD【分析】根據(jù)函數(shù)平移規(guī)則得出解析式，根據(jù)單調(diào)區(qū)間代入特殊點(diǎn)即可求出，即可得出和解析式，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)即可選出答案.【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到，所以的最小正周期為，則是的半個(gè)最小正周期，又是的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，所以，即，，解得，，因?yàn)椋?，故，的最小正周期，故A正確；令，，解得，，即的遞增區(qū)間為，，所以在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；，所以，所以函數(shù)的最大值為，故C正確；當(dāng)時(shí)，令，則、、、、，即方程在上有5個(gè)實(shí)數(shù)根，故D正確.故選：ACD.11．BCD【分析】對(duì)A，由余弦定理可計(jì)算出有唯一解；對(duì)B，先利用正弦定理求出，再根據(jù)銳角三角形的面積求出的范圍，再根據(jù)面積公式以及輔助角公式即可求解；對(duì)C，設(shè)，由余弦定理可得，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解；對(duì)D，分為鈍角及為鈍角，結(jié)合直角的臨界狀態(tài)計(jì)算即可得.【詳解】解：對(duì)A，由余弦定理得：，即，解得：，又，故，故有唯一解，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由正弦定理得：，解得：，又為銳角三角形，，解得：，則的面積為：，，，即,即，即，故B對(duì)；對(duì)C：設(shè)，則在直角三角形中，，，在中，有，即，即有，整理可得，即，故C正確；對(duì)D：若為鈍角，如圖，作于點(diǎn)，有，即，即，若為鈍角，如圖，作于點(diǎn)，有，即，即，綜上所述：的取值范圍是，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D選項(xiàng)中關(guān)鍵點(diǎn)在于分為鈍角及為鈍角，分別找出直角的臨界情況求出范圍.12．2【分析】借助誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值即可得.【詳解】原式.故答案為：.13．【分析】先由題意得，進(jìn)而由共線定理得，接著結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】由題意知，又因，，所以，，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：14．##【分析】根據(jù)面積公式和，求出，故利用基本不等式“1”的代換求出最值，得到答案.【詳解】，，，，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故答案為：15．(1)(2)答案不唯一，具體見解析【分析】（1）求導(dǎo)根據(jù)直線垂直得到，解得答案.（2）求導(dǎo)得到，考慮和兩種情況，討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋€在點(diǎn)處的切線與直線垂直，所以．即．（2）由于．當(dāng)時(shí)，對(duì)于x∈0,+∞，有在定義域上恒成立，即在0,+∞上是增函數(shù)．當(dāng)時(shí)，由，得．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．綜上所述：時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．16．(1)(2)(3)【分析】（1）通過三個(gè)連續(xù)零點(diǎn)的值可以求出函數(shù)的周期，根據(jù)最小正周期公式可以求出的值，將特殊點(diǎn)代入解析式中，可以求出，的值，進(jìn)而確定函數(shù)解析式；（2）根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象變換特點(diǎn)可以求出y=gx的解析式，由可求出，進(jìn)而得到y(tǒng)=gx的值域；（3）根據(jù)可求出，由此求出，進(jìn)而得到的值.【詳解】（1）由圖知，，則.由圖可得，在處最大值，又因?yàn)閳D象經(jīng)過，故，所以，故，又因?yàn)?，所以，函?shù)又經(jīng)過0,1，故，得.所以函數(shù)的表達(dá)式為．（2）由題意得，，因?yàn)椋?，則，所以，所以y=gx在區(qū)間上的值域?yàn)?（3）因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，所以，由，所?所以，所以.17．(1)(2)【分析】（1）由向量平行可以列出等式，然后用正弦定理將角化邊，再用余弦定理即可;（2）由題可知，分別利用面積公式即可得到關(guān)于的等式，再用基本不等式求解即可.【詳解】（1），，即，，，，，.（2），，，,，即，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即面積的最小值為.18．（1）見解析；（2）①當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?,+∞；②當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?；?）.【分析】（1）由奇函數(shù)得，可解出；（2）先換元（），則，，再結(jié)合二次函數(shù)的圖像討論其值域；（3）先證到也為奇函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)證得在上單調(diào)增，將等價(jià)轉(zhuǎn)化為，所以，解出答案即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)闉槠婧瘮?shù)，由可知，，所以，即a=?1；當(dāng)a=?1時(shí)，，此時(shí)為奇函數(shù)所以a=?1．（2）令（），所以

所以，對(duì)稱軸，①當(dāng)時(shí)，，所求值域?yàn)?；②?dāng)時(shí)，，所求值域?yàn)?；?）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以所以為奇函數(shù)，

所以等價(jià)于，又當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，所以在上單調(diào)增，所以，即，又，所以或．所以不等式的解集是．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性得綜合應(yīng)用，指數(shù)復(fù)合型函數(shù)的值域，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題.19．(1)①；②(2)【分析】（1）①利用正弦定理將題目中的條件.轉(zhuǎn)換成僅含有角的值，再利用副助角公式求解出；②在中，由余弦定理得到的關(guān)系，再結(jié)合等面積法建立的另外一個(gè)等式關(guān)系，進(jìn)而求解出所要求的等量關(guān)系.（2）先利用角的三角函數(shù)的關(guān)系，判斷出三角形是直角三角形，接著設(shè)，，，仿照第一小問的思路找到的等量關(guān)系，然后利用基本不等式求解出最值，又根據(jù)，即有，從而得解.【詳解】（1