高中數(shù)學(xué) 3.3模擬方法 概率的應(yīng)用檢測(cè)試題 北師大版必修3

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)3.3模擬方法概率的應(yīng)用檢測(cè)試題北師大版必修3一、選擇題1．如圖，在地面上放置一個(gè)塑料圓盤，吉克將一粒玻璃球丟到該圓盤中，則玻璃球落在A區(qū)域內(nèi)的概率是()A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,8)C.eq\f(1,4) D．1[答案]A[解析]玻璃球丟在該圓盤內(nèi)，玻璃球落在各個(gè)區(qū)域內(nèi)是隨機(jī)的，也是等可能的，并且在該圓盤的任何位置是無限多種，因此該問題是幾何概型．由于A區(qū)域占整個(gè)圓形區(qū)域面積的eq\f(4,8)，所以玻璃球落入A區(qū)的概率為eq\f(1,2).2．在500mL的水中有一個(gè)草履蟲，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2mL水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率是()A．0.001 B．0.002C．0.004 D．0.005[答案]C[解析]P＝eq\f(2,500)＝0.004.3．在長為10cm的線段AB上任取一點(diǎn)P，并以線段AP為邊作正方形，這個(gè)正方形的面積介于25cm2與49cm2之間的概率為()A.eq\f(2,5) B．eq\f(1,5)C.eq\f(4,5) D．eq\f(3,10)[答案]B[解析]可以判斷屬于幾何概型．記正方形的面積介于25cm2與49cm2之間為事件A，那么正方形的邊長為[5,7]內(nèi)，則事件A構(gòu)成的區(qū)域長度是7－5＝2(cm)，全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度是10cm，則P(A)＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).4．在5萬km2的某海域里有表面積達(dá)40km2的大陸架儲(chǔ)藏著石油．若在這海域里隨意選定一點(diǎn)鉆探，則鉆到石油的概率是()A.eq\f(1,1250) B．eq\f(1,250)C.eq\f(1,8) D．eq\f(1,125)[答案]A[解析]P＝eq\f(40,50000)＝eq\f(1,1250).5.將一個(gè)長與寬不等的矩形沿對(duì)角線分成四個(gè)區(qū)域(如右圖)，并涂上四種顏色，中間裝個(gè)指針，使其可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)．對(duì)該指針在各區(qū)域停留的可能性下列說法正確的是()A．一樣大 B．藍(lán)白區(qū)域大C．紅黃區(qū)域大 D．由指針轉(zhuǎn)動(dòng)圈數(shù)決定[答案]B[解析]由題意可知這是一個(gè)幾何概型問題，因?yàn)橹羔樧杂赊D(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指向哪個(gè)區(qū)域是等可能的，但由于矩形的長與寬不等，顯然藍(lán)白相對(duì)的角度比紅黃相對(duì)的角度大些，據(jù)幾何概型概率公式，可知指針落在藍(lán)白區(qū)域的概率要大于指針落在紅黃區(qū)域的概率．6．在區(qū)間[－1,1]上隨機(jī)地任取兩個(gè)數(shù)x、y，則滿足x2＋y2<eq\f(1,4)的概率是()A.eq\f(π,16) B．eq\f(π,8)C.eq\f(π,4) D．eq\f(π,2)[答案]A[解析]由于在區(qū)間[－1,1]上任取兩數(shù)x，y有無限種不同的結(jié)果，且每種結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)率是均等的，因此，本題為幾何概型．由條件知－1≤x≤1，－1≤y≤1，∴點(diǎn)(x，y)落在邊長為2的正方形內(nèi)部及邊界上，即Ω＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，∴μΩ＝4.記事件A＝“x2＋y2<eq\f(1,4)”，則μA＝eq\f(π,4)，∴P(A)＝eq\f(μA,μΩ)＝eq\f(π,16)，故選A.二、填空題7．(·福建文，13)如圖，在邊長為1的正方形中隨機(jī)撒1000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為________．[答案]0.18[解析]由幾何概型的概率可知，所求概率P＝eq\f(S陰,S正)＝eq\f(180,1000)＝0.18，∵S正＝1×1＝1，∴S陰＝0.18×1＝0.18.8．甲、乙兩位同學(xué)玩擲飛鏢的游戲，他們分別用如圖中(1)、(2)所示的兩個(gè)靶子，甲用的等邊三角形的靶子被其三條角平分線分割成A、B、C三部分；乙用的圓形的靶子被互相垂直的直徑和半徑也分割成A、B、C三部分．在三角形靶子中，飛鏢隨機(jī)地落在區(qū)域A、B、C中的概率分別是________；在圓形靶子中，飛鏢沒有落在區(qū)域C中的概率是________．[答案]eq\f(1,3)、eq\f(1,3)、eq\f(1,3)eq\f(3,4)[解析]由等邊三角形的性質(zhì)知三條角平分線將等邊三角形分成面積相等的三部分，則P(落在區(qū)域A中)＝eq\f(1,3)，P(落在區(qū)域B中)＝eq\f(1,3)，P(落在區(qū)域C中)＝eq\f(1,3)；而在圓形靶子中，區(qū)域C的面積是圓面積的eq\f(1,4)，則P(沒有落在區(qū)域C中)＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).三、解答題9．已知單位正方形ABCD，在正方形內(nèi)(包括邊界)任取一點(diǎn)M，求：(1)△AMB面積大于等于eq\f(1,4)的概率；(2)AM的長度不小于1的概率．[解析](1)如圖，取BC、AD的中點(diǎn)E、F，連接EF，當(dāng)M在CEFD內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，△ABM的面積大于等于eq\f(1,4)，由幾何概型定義得P＝eq\f(S矩形CDFE,S正方形)＝eq\f(1,2).(2)如圖，以AB為半徑作圓弧，M在陰影部分時(shí)，AM的長度大于等于1，由幾何概率的意義知P＝eq\f(S陰影,S正方形)＝1－eq\f(1,4)×π×12＝1－eq\f(π,4).一、選擇題1.如圖，已知O(0,0)，A(30,0)，B(30,30)，C(0,30)，E(12,0)，F(xiàn)(30,18)，P(18,30)，Q(0,12)，在正方形OABC內(nèi)任意取一點(diǎn)，則該點(diǎn)在區(qū)域OEFBPQ內(nèi)的概率為()A.eq\f(3,5) B．eq\f(1,3)C.eq\f(16,25) D．eq\f(41,50)[答案]C[解析]依題意可得正方形OABC的面積為900，區(qū)域OEFBPQ的面積為900－2×eq\f(1,2)×182＝576.記“該點(diǎn)在區(qū)域OEFBPQ內(nèi)”為事件A，所以P(A)＝eq\f(576,900)＝eq\f(16,25).2．函數(shù)f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任取一點(diǎn)x0∈[－5,5]使f(x0)≤0的概率是()A．1 B．eq\f(2,3)C.eq\f(3,10) D．eq\f(2,5)[答案]C[解析]任取一點(diǎn)x0∈[－5,5]的結(jié)果有無限多個(gè)，屬于幾何概型．畫出函數(shù)f(x)的圖像(圖略)，由圖像得當(dāng)x0∈[－1,2]時(shí)，f(x0)≤0.設(shè)“使f(x0)≤0”為事件A，則事件A構(gòu)成的區(qū)域長度是2－(－1)＝3，全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度是5－(－5)＝10，則P(A)＝eq\f(3,10).故選C.二、填空題3．在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)集合Ω＝{(x，y)|0≤x≤1,0≤y≤1}，在區(qū)域Ω內(nèi)任取一點(diǎn)P(x，y)，則滿足x＋y≤1的概率等于________．[答案]eq\f(1,2)[解析]集合Ω＝{(x，y)|0≤x≤1,0≤y≤1}所表示的平面區(qū)域是邊長為1的正方形及其內(nèi)部的點(diǎn)，如圖所示，其面積為1，點(diǎn)P所表示的平面區(qū)域?yàn)榈妊苯侨切渭捌鋬?nèi)部的點(diǎn)，其直角邊長為1，面積為eq\f(1,2)，則滿足x＋y≤1的概率為P＝eq\f(1,2).4．點(diǎn)A為周長等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則劣弧eq\x\to(AB)的長度小于1的概率為________.[答案]eq\f(2,3)[解析]如圖，點(diǎn)B可落在優(yōu)弧eq\x\to(CAD)上，其弧長為2，由幾何概型知概率為eq\f(2,3).三、解答題5．(1)向面積為6的△ABC內(nèi)任投一點(diǎn)P，求△PBC的面積小于2的概率．(2)在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點(diǎn)P，求△PBC的面積大于eq\f(S,4)的概率．[解析](1)取△ABC邊BC上的高AE的三等分點(diǎn)M，過點(diǎn)M作BC的平行線，當(dāng)點(diǎn)P落在圖中陰影部分時(shí)，△PBC的面積小于2，故概率為eq\f(1－\f(4,9),1)＝eq\f(5,9).(2)據(jù)題意基本事件空間可用線段AB的長度來度量，事件“△PBC的面積大于eq\f(S,4)”可用距離A長為eq\f(3,4)AB的線段的長度來度量，故其概率為eq\f(\f(3,4)|AB|,|AB|)＝eq\f(3,4).6．設(shè)有一個(gè)等邊三角形網(wǎng)格，其中各個(gè)最小等邊三角形的邊長都是4eq\r(3)cm，現(xiàn)用直徑等于2cm的硬幣投擲到此網(wǎng)格上，求硬幣落下后與格線沒有公共點(diǎn)的概率．[解析]記A＝{硬幣落下后與格線沒有公共點(diǎn)}，如右圖所示，在等邊三角形內(nèi)作小等邊三角形，使其三邊與原等邊三角形三邊距離都為1，則小等邊三角形的邊長為4eq\r(3)－2eq\r(3)＝2eq\r(3)，由幾何概型的概率公式得P(A)＝eq\f(\f(\r(3),4)×2\r(3)2,\f(\r(3),4)×4\r(3)2)＝eq\f(1,4).7．如圖所示，面積為S的正方形ABCD中有一個(gè)不規(guī)則的圖形M，可按下面方法估計(jì)M的面積：在正方形ABCD中隨機(jī)投擲n個(gè)點(diǎn)，若n個(gè)點(diǎn)中有m個(gè)點(diǎn)落入M中，則M的面積的估計(jì)值為eq\f(m,n)·S，假設(shè)正方形ABCD的邊長為2，M的面積為1，并向正方形ABCD中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，求落入M中的點(diǎn)的數(shù)目．[解析]記“點(diǎn)落入M中”