2022-2023學年廣東省深圳市普通高中高一下學期期末數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省深圳市普通高中2022-2023學年高一下學期期末數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由集合，根據集合交集的概念與運算，可得.故選：B.2.設復數滿足（是虛數單位），則（）A. B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，所以.故選：D.3.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A．4.某戶居民今年上半年每月的用水量（單位：t）如下：月份1月2月3月4月5月6月用水量9.09.614.95.94.077小明在錄入數據時，不小心把一個數據9.6錄成96，則這組數據中沒有發(fā)生變化的量是（）A.平均數 B.中位數 C.極差 D.標準差〖答案〗B〖解析〗實際數據從小到大排序為4.0，5.9，7.7，9.0，9.6，14.9，其平均數為：，中位數為：，極差為：，錄錯數據從小到大排序為4.0，5.9，7.7，9.0，14.9，96，其平均數為：，中位數為：，極差為：，根據標準差的含義，標準差反映數據的離散程度可知，錯誤的錄入一個非常大的數據會導致數據的標準差變化，所以這組數據中沒有發(fā)生變化的量是中位數.故選：B.5.已知m，n是空間兩條不重合的直線，是兩個不重合的平面，則下列命題錯誤的是（）A.，，，則B.，，，則C.，，，則D.，，，則〖答案〗C〖解析〗對于由線面平行的性質定理可知正確；對于,，，或者，又則，故正確；對于,由，，，則或者與相交或者異面，則不一定成立，故錯誤；對于,若，，，則與一定不平行，否則有，與已知矛盾，通過平移使與相交，設與確定的平面為，則與和的交線所成的角即為和所成的角，又，所以與所成的角為，故正確.故選：.6.在梯形中，若，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，，化簡得，即，則.故選：A.7.已知正實數m，n滿足，則下列不等式恒成立的為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗對于A，，當且僅當時，取等號，所以，故A錯誤；對于B，因為，所以，所以，當且僅當時，取等號，所以，故B錯誤；對于C，，當且僅當，即時，取等號，所以，故C正確；對于D，因為，所以，所以，當且僅當時，取等號，所以，故D錯誤.故選：C.8.已知函數，則不等式的解集為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗函數的定義域為，且，即是偶函數，當時，，構造，，令，則在上單調遞增，又也是增函數，則在上單調遞增，又是定義域內的增函數，故在上單調遞增，不等式等價于，即，平方得：，解得且，則不等式的解集為.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知函數，則（）A.的最小正周期為 B.的圖象關于對稱C.的圖象關于對稱 D.在上單調遞減〖答案〗AC〖解析〗由題意，在中，，A正確；∵函數關于對稱，∴在中，，解得：，當時，，故B錯誤；在函數中，函數關于對稱，在中，，解得：，當時，，C正確；在函數中，函數在上單調遞減，在中，當函數單調遞減時，，解得：，∴在上單調遞減，在在上單調遞增，D錯誤.故選：AC.10.將一枚質地均勻的骰子拋擲兩次，記事件“第一次出現奇數點”，事件“兩次點數之積為偶數”，事件“兩次點數之和為5”，則（）A.事件是必然事件 B.事件與事件是互斥事件C.事件包含事件 D.事件與事件是相互獨立事件〖答案〗ACD〖解析〗事件A的基本事件有：，事件B的基本事件有：，事件C的基本事件有：，事件AC的基本事件有：，A：事件是必然事件，故正確；B：因為，所以事件與事件不是互斥事件，故錯誤；C：因為，所以事件包含事件，故正確；D：因為，所以，所以事件與事件是相互獨立事件，故正確.故選：ACD.11.用表示不超過的最大整數，例如，，.已知，則（）A. B.為奇函數C.，使得 D.方程所有根的和為〖答案〗AD〖解析〗對于A，，正確；對于B，舉反例，當時，，而，所以，故函數不是奇函數，錯誤；對于C，根據的定義，可知對，有，所以，所以，錯誤；對于D，即，所以，即，又，所以，解得，當時，滿足方程，即是方程的根，當時，，方程化為，解得，故方程所有根的和為，正確.故選：AD.12.在直三棱柱中，，且，為線段上的動點，則（）A.B.三棱錐的體積不變C.的最小值為D.當是的中點時，過三點的平面截三棱柱外接球所得的截面面積為〖答案〗ABD〖解析〗連接，如圖所示，直三棱柱中，，為正方形，，，平面，平面，，平面，，平面，平面，，A選項正確；由直三棱柱的結構特征，，故三棱錐的體積為定值，B選項正確；設，，，，，，其幾何意義是點和點到點的距離之和，最小值為點到點的距離，為，C選項錯誤；當是的中點時，，，，，，，，設點到平面的距離為，由，得，，直三棱柱是正方體的一半，外接球的球心為的中點，外接球的半徑，點到平面的距離為，則過三點的平面截三棱柱外接球所得截面圓的半徑為，截面面積為，D選項正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.______.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.14.母線長為的圓錐，其側面展開圖是圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為_____________.〖答案〗〖解析〗設圓錐的底面半徑為，由題意，圓錐的母線長為，且其側面展開圖是圓心角為的扇形，則底面周長為，解得，則該圓錐的體積為.故〖答案〗為：.15.高中數學興趣小組計劃測量某大廈的高度，選取與底部在同一水平面內的兩個基測點與.現測得，，米，在點測得大廈頂的仰角，則該大廈高度_____________米（精確到1米）.參考數據：，.〖答案〗〖解析〗在中，，，米，則，因為，所以米，在中，，則，所以米.故〖答案〗為：.16.四邊形中，點分別是的中點，，，，點滿足，則的最大值為______.〖答案〗〖解析〗因為，，又點分別是的中點，所以，所以，，又，所以，又點分別是的中點，所以，因為，所以，即，設，，則，所以，所以，所以當即時，有最大值1，即有最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數，其中，且.（1）求；（2）若，求的值域.解：（1），，得.（2），，，當時，即，函數取得最小值，當時，即，函數取得最大值，所以函數值域是.18.在中，角所對的邊分別為，且.（1）求；（2）若，，求的面積.解：（1）因為中，，由正弦定理可得，得，因為，所以，因為，所以.（2）由余弦定理得，因為，，所以，所以，因為，所以，，所以的面積為.19.已知函數（且）在上的最大值為.（1）求的值；（2）當時，，求實數的取值范圍.解：（1）當時，函數在上單調遞增，則，解得；當時，函數在上單調遞減，則，舍去；綜上可知，.（2）由（1）得，，當時，，即，化簡得，，構造，，和分別在上單調遞增，在上單調遞增，，故實數的取值范圍是.20.某工廠引進了一條生產線，為了解產品的質量情況，現從生產線上隨機抽取100件產品，測量其技術參數，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）由頻率分布直方圖，估計樣本技術參數的平均數和75%分位數（精確到0.1）；（2）現從技術參數位于區(qū)間，，的三組中，采用分層抽樣的方法抽取6件產品，再從這6件產品中任選3件產品，記事件“這3件產品中技術參數位于區(qū)間內的產品至多1件”，事件“這3件產品中技術參數位于區(qū)間內的產品至少1件”，求事件的概率.解：（1）由頻率分布直方圖知，樣本技術參數的平均數，因為前三組頻率之和為，第四組的頻率為，，所以第75百分位數一定在第四組，設第75百分數為x，則，解得，所以第75百分數約為.（2）采用分層抽樣的方法，從技術參數唯一區(qū)間，，三組的產品中抽取6件產品，則從技術參數位于區(qū)間的產品應抽取件，記為，從技術參數位于區(qū)間產品應抽取件，記為，從技術參數位于區(qū)間的產品應抽取件，記為，從這6件產品中任選3件產品，樣本空間，則，事件包含了三類，一是在這三組分別抽取1件，1件，1件；二是在這三組分別抽取0件，2件，1件；三在這三組分別抽取1件，2件，0件，則，，所以.21.如圖，三棱錐的三個頂點在圓上，為圓的直徑，且，，，平面平面，點是的中點.（1）證明：平面平面；（2）點是圓上的一點，且點與點位于直徑的兩側.當平面時，畫出二面角的平面角，并求出它的正切值.解：（1）因為點C在圓O上，,因此，又，即，所以是等腰直角三角形，由平面平面PBC，平面平面，所以平面PBC，平面PBC，所以可得，又，平面PAC，平面PAC，平面PAC，又平面ABC，所以平面平面ABC.（2）解法一：取AC的中點M，連接PM，則，由（1）可知平面平面ABC，平面平面，平面ABC，連接OM，OE，OF，則OM是中BC邊的中位線，，平面ABC，，即PM，AC，OM兩兩垂直，以M為原點，AC，OM，PM分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系如下圖：由于O，E分別是AB，PB的中點，連接BM，取BM的中點N，連接EN，則有，平面ABC，平面ABC，平面ABC，，過N點作FB的垂線，得垂足S，平面ENS，平面ENS，，就是二面角的平面角；平面PAC，平面PAC，平面PAC，又平面，平面平面PAC，又平面EFO，平面PAC，又平面平面，平面，，其中，，，設平面的一個法向量為，則，，令，得，可得；顯然平面ABC的一個法向量，設平面ABC與平面EFB的二面角為，則，綜上，二面角的余弦值為，正切值為.解法二：取的中點，連接，如下圖所示：又點是的中點，所以，平面，平面，所以平面；又是的中點，所以，平面，平面，所以平面；平面，所以可知平面平面，又平面平面，平面平面，所以，又平面，所以平面，又在平面內，所以三點共線，即；所以四邊形為直角梯形，易知，作于點，如下圖所示：則，，所以；取的中點為，連接，作交于點，連接，由（1）可知平面，平面，所以，又，所以，且，平面，所以平面，平面，所以；所以即為二面角的平面角，也即的平面角；在四邊形中，交于點，如下圖所示：易知，，，可得，所以；又，所以；即二面角的正切值為.22.已知函數，，與的圖象恰有三個交點.（1）求實數的取值范圍；（2）用表示中的最大值，設函數，用M，m分別表示的最大值與最小值，求M，m，并求出的取值范圍.解：（1）由題意得，顯然，且是函數與的圖象的一個交點，當時，在上恒成立，與的圖象無交點，在上，與的圖象至多有1個交點，不合要求，舍去；當時，與的圖象有且僅有2個交點，不合要求，舍去；當時，若函數與的圖象有3個交點，則方程均有正根，解得，由，可得，所以實數的取值范圍是.（2）由（1）可知，當時，與的圖象有3個交點，兩個非零交點的橫坐標分別為，當時，，，當時，，，當時，，，當時，，，，，，當時，，，在上為增函數，且為增函數，故在上為增函數，，，，當時，，，且在上為增函數，在上為減函數，在上為增函數，，，故，，；當時，，，且在上為增函數，在上為減函數，在上為增函數，，，故，，；綜上，當時，；當時，；當時，；當時，，的取值范圍為.廣東省深圳市普通高中2022-2023學年高一下學期期末數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由集合，根據集合交集的概念與運算，可得.故選：B.2.設復數滿足（是虛數單位），則（）A. B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，所以.故選：D.3.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A．4.某戶居民今年上半年每月的用水量（單位：t）如下：月份1月2月3月4月5月6月用水量9.09.614.95.94.077小明在錄入數據時，不小心把一個數據9.6錄成96，則這組數據中沒有發(fā)生變化的量是（）A.平均數 B.中位數 C.極差 D.標準差〖答案〗B〖解析〗實際數據從小到大排序為4.0，5.9，7.7，9.0，9.6，14.9，其平均數為：，中位數為：，極差為：，錄錯數據從小到大排序為4.0，5.9，7.7，9.0，14.9，96，其平均數為：，中位數為：，極差為：，根據標準差的含義，標準差反映數據的離散程度可知，錯誤的錄入一個非常大的數據會導致數據的標準差變化，所以這組數據中沒有發(fā)生變化的量是中位數.故選：B.5.已知m，n是空間兩條不重合的直線，是兩個不重合的平面，則下列命題錯誤的是（）A.，，，則B.，，，則C.，，，則D.，，，則〖答案〗C〖解析〗對于由線面平行的性質定理可知正確；對于,，，或者，又則，故正確；對于,由，，，則或者與相交或者異面，則不一定成立，故錯誤；對于,若，，，則與一定不平行，否則有，與已知矛盾，通過平移使與相交，設與確定的平面為，則與和的交線所成的角即為和所成的角，又，所以與所成的角為，故正確.故選：.6.在梯形中，若，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，，化簡得，即，則.故選：A.7.已知正實數m，n滿足，則下列不等式恒成立的為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗對于A，，當且僅當時，取等號，所以，故A錯誤；對于B，因為，所以，所以，當且僅當時，取等號，所以，故B錯誤；對于C，，當且僅當，即時，取等號，所以，故C正確；對于D，因為，所以，所以，當且僅當時，取等號，所以，故D錯誤.故選：C.8.已知函數，則不等式的解集為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗函數的定義域為，且，即是偶函數，當時，，構造，，令，則在上單調遞增，又也是增函數，則在上單調遞增，又是定義域內的增函數，故在上單調遞增，不等式等價于，即，平方得：，解得且，則不等式的解集為.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知函數，則（）A.的最小正周期為 B.的圖象關于對稱C.的圖象關于對稱 D.在上單調遞減〖答案〗AC〖解析〗由題意，在中，，A正確；∵函數關于對稱，∴在中，，解得：，當時，，故B錯誤；在函數中，函數關于對稱，在中，，解得：，當時，，C正確；在函數中，函數在上單調遞減，在中，當函數單調遞減時，，解得：，∴在上單調遞減，在在上單調遞增，D錯誤.故選：AC.10.將一枚質地均勻的骰子拋擲兩次，記事件“第一次出現奇數點”，事件“兩次點數之積為偶數”，事件“兩次點數之和為5”，則（）A.事件是必然事件 B.事件與事件是互斥事件C.事件包含事件 D.事件與事件是相互獨立事件〖答案〗ACD〖解析〗事件A的基本事件有：，事件B的基本事件有：，事件C的基本事件有：，事件AC的基本事件有：，A：事件是必然事件，故正確；B：因為，所以事件與事件不是互斥事件，故錯誤；C：因為，所以事件包含事件，故正確；D：因為，所以，所以事件與事件是相互獨立事件，故正確.故選：ACD.11.用表示不超過的最大整數，例如，，.已知，則（）A. B.為奇函數C.，使得 D.方程所有根的和為〖答案〗AD〖解析〗對于A，，正確；對于B，舉反例，當時，，而，所以，故函數不是奇函數，錯誤；對于C，根據的定義，可知對，有，所以，所以，錯誤；對于D，即，所以，即，又，所以，解得，當時，滿足方程，即是方程的根，當時，，方程化為，解得，故方程所有根的和為，正確.故選：AD.12.在直三棱柱中，，且，為線段上的動點，則（）A.B.三棱錐的體積不變C.的最小值為D.當是的中點時，過三點的平面截三棱柱外接球所得的截面面積為〖答案〗ABD〖解析〗連接，如圖所示，直三棱柱中，，為正方形，，，平面，平面，，平面，，平面，平面，，A選項正確；由直三棱柱的結構特征，，故三棱錐的體積為定值，B選項正確；設，，，，，，其幾何意義是點和點到點的距離之和，最小值為點到點的距離，為，C選項錯誤；當是的中點時，，，，，，，，設點到平面的距離為，由，得，，直三棱柱是正方體的一半，外接球的球心為的中點，外接球的半徑，點到平面的距離為，則過三點的平面截三棱柱外接球所得截面圓的半徑為，截面面積為，D選項正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.______.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.14.母線長為的圓錐，其側面展開圖是圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為_____________.〖答案〗〖解析〗設圓錐的底面半徑為，由題意，圓錐的母線長為，且其側面展開圖是圓心角為的扇形，則底面周長為，解得，則該圓錐的體積為.故〖答案〗為：.15.高中數學興趣小組計劃測量某大廈的高度，選取與底部在同一水平面內的兩個基測點與.現測得，，米，在點測得大廈頂的仰角，則該大廈高度_____________米（精確到1米）.參考數據：，.〖答案〗〖解析〗在中，，，米，則，因為，所以米，在中，，則，所以米.故〖答案〗為：.16.四邊形中，點分別是的中點，，，，點滿足，則的最大值為______.〖答案〗〖解析〗因為，，又點分別是的中點，所以，所以，，又，所以，又點分別是的中點，所以，因為，所以，即，設，，則，所以，所以，所以當即時，有最大值1，即有最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數，其中，且.（1）求；（2）若，求的值域.解：（1），，得.（2），，，當時，即，函數取得最小值，當時，即，函數取得最大值，所以函數值域是.18.在中，角所對的邊分別為，且.（1）求；（2）若，，求的面積.解：（1）因為中，，由正弦定理可得，得，因為，所以，因為，所以.（2）由余弦定理得，因為，，所以，所以，因為，所以，，所以的面積為.19.已知函數（且）在上的最大值為.（1）求的值；（2）當時，，求實數的取值范圍.解：（1）當時，函數在上單調遞增，則，解得；當時，函數在上單調遞減，則，舍去；綜上可知，.（2）由（1）得，，當時，，即，化簡得，，構造，，和分別在上單調遞增，在上單調遞增，，故實數的取值范圍是.20.某工廠引進了一條生產線，為了解產品的質量情況，現從生產線上隨機抽取100件產品，測量其技術參數，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）由頻率分布直方圖，估計樣本技術參數的平均數和75%分位數（精確到0.1）；（2）現從技術參數位于區(qū)間，，的三組中，采用分層抽樣的方法抽取6件產品，再從這6件產品中任選3件產品，記事件“這3件產品中技術參數位于區(qū)間內的產品至多1件”，事件“這3件產品中技術參數位于區(qū)間內的產品至少1件”，求事件的概率.解：（1）由頻率分布直方圖知，樣本技術參數的平均數，因為前三組頻率之和為，第四組的頻率為，，所以第75百分位數一定在第四組，設第75百分數為x，則，解得，所以第75百分數約為.（2）采用分層抽樣的方法，從技術參數唯一區(qū)間，，三組的產品中抽取6件產品，則從技術參數位于區(qū)間的產品應抽取件，記為，從技術參數位于區(qū)間產品應抽取件，記為，從技術參數位于區(qū)間的產品應抽取件，記為，從這6件產品中任選3件產品，樣本空間，則，事件包含了三類，一是在這三組分別抽取1件，1件，1件；二是在這三組分別抽取0件，2件，1件；三在這三組分別抽取1件，2件，0件，則，，所以.21.如圖，三棱錐的三個頂點在圓上，為圓的直徑，且，，，平面平面，點是的中點.（1）證明：平面平面；（2）點是圓上的一點，且點與點位于直徑的兩側.當平面時，畫出二面角的平面角，并求出它的正切值.解：（1）因為點C在圓O上，,因此，又，即，所以是等腰直角三角形，由平面平面PBC，平面平面，所以平面PBC，平面PBC，所以可得，又，平面PAC，平面PAC，平面PAC，又平面ABC，所以平面平面ABC.（2）解法一：取AC的中點M，連接PM，則，由（1）可知平面平面ABC，平面平面，平面ABC，連接OM