4.2.4等差數(shù)列前n項和應用（課件）高二數(shù)學課件（人教A版2019選擇性）

等差數(shù)列的前n項和公式的應用

等差數(shù)列的前n項和公式:形式1:形式2:復習回顧復習回顧等差數(shù)列的前n項和性質:探究1：等差數(shù)列的前n項和公式的實際應用等差數(shù)列的前n項和公式的實際應用其實質是將實際問題轉化為__________問題，構建已知與待求之間的內在聯(lián)系．等差數(shù)列[大本例1]我國數(shù)學名著《增刪算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來爭三歲，共年二百又零七，借問長兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推．”大致意思是：一個老人有九個兒子，若問他們的生年是不知道的，但從老大的年齡開始排列，后面一個兒子比前面一個兒子小3歲，九個兒子共207歲，問老大是多少歲？(

)A．38

B．35C．32 D．291.本題屬于與等差數(shù)列前n項和有關的應用題，其關鍵在于構造合適的等差數(shù)列．

2．遇到與正整數(shù)有關的應用題時，可以考慮與數(shù)列知識聯(lián)系，建立數(shù)列模型，具體解決要注意以下兩點：(1)抓住實際問題的特征，明確是什么類型的數(shù)列模型．(2)深入分析題意，確定是求通項公式an，或是求前n項和Sn，還是求項數(shù)n.

1.北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層．上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊．下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)(

)A．3699塊 B．3474塊C．3402塊 D．3339塊C

當d=0時，Sn的圖象是一條直線上的均勻分布的點.

常數(shù)列你能畫出它們的圖像嗎？遞增或遞減數(shù)列知識探究2:等差數(shù)列前n項和公式的函數(shù)特點

它的幾何意義：是一條過坐標原點的拋物線上孤立的點

.（1）當d>0時，Sn的圖象是一條開口向上

的過坐標原點的拋物線上孤立的點.（2）當d<0時，Sn的圖象是一條開口向下

的過坐標原點的拋物線上孤立的點.

由

利用二次函數(shù)的對稱軸，求得最值及取得最值時的n的值.由利用二次函數(shù)的對稱軸，求得最值及取得最值時的n的值.1、數(shù)列{an}是有窮等差數(shù)列，則與首末兩項等距離的兩項之和都相等，且等于首末兩項之和，即a1＋an＝

＝

＝…＝ai＋1＋an－i＝….a2＋an－1a3＋an－2知識探究2:倒序相加法2、倒序相加法如果一個數(shù)列{an}中，與首末兩項等距離的兩項之和等于首末兩項之和，可將正著寫和倒著寫的兩個和式相加，就得到一常數(shù)列的和，這一求和方法叫做．倒序相加法[大本例4]已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象的對稱中心為(1011,2)．設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＝f(n)，n∈N*，求S2021.知識探究3:等差數(shù)列前n項和的最值問題小大注意：當數(shù)列中有數(shù)值為0時，n應有兩解.練習1:已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時,Sn取最大值.解法1由S3=S11得∴d=－2∴當n=7時,Sn取最大值49.n113Sn練習1:已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時,Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=－2<0∴當n=7時,Sn取最大值49.則Sn的圖象如圖所示又S3=S11所以圖象的對稱軸為(開口向下)n113Sn練習1:已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時,Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=－2∴當n=7時,Sn取最大值49.∴an=13+(n-1)×(-2)=－2n+15由得∴a7+a8=0練習1:已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時,Sn取最大值.解法4由S3=S11得∴當n=7時,Sn取最大值49.a4+a5+a6+……+a11=0而a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=－2<0,a1=13>0∴a7>0,a8<0[大本例2]在等差數(shù)列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n項和Sn的最大值．歸納:求等差數(shù)列前n項和最值的方