高考數學大一輪復習核心考點精講精練(新高考專用)專題2.1不等式的性質及常見不等式解法【原卷版+解析】

專題2.1不等式的性質及常見不等式解法【核心素養(yǎng)】1.結合命題的真假判斷、大小比較等，考查不等式的性質及其應用，凸顯數學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．2.考查二次函數的圖象和性質，凸顯直觀想象、數學運算的核心素養(yǎng)．3.結合“三個二次”間的關系，考查一元二次方程、一元二次不等式的解法，考查轉化與化歸能力，凸顯數學抽象的核心素養(yǎng)．4.以實際問題為背景，考查應用不等式性質、一元二次不等式、二次函數的圖象和性質解決問題的能力，凸顯數學建模、數學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)．知識點一知識點一實數的大小(1)數軸上的任意兩點中，右邊點對應的實數比左邊點對應的實數大.(2)對于任意兩個實數a和b，如果a－b是正數，那么a>b；如果a－b是負數，那么a<b；如果a－b等于零，那么a＝b.知識點二知識點二不等關系與不等式我們用數學符號“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”連接兩個數或代數式，以表示它們之間的不等關系，含有這些符號的式子，叫做不等式.知識點三知識點三不等式的性質(1)性質1：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b?b<a.(2)性質2：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c?a>c.(3)性質3：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)性質4：①如果a>b，c>0那么ac>bc.②如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)性質5：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)性質6：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)性質7：如果a>b>0，那么an>bn，(n∈N，n≥2)．(8)性質8：如果a>b>0，那么eq\r(n,a)>eq\r(n,b)，(n∈N，n≥2)．知識點四知識點四一元二次不等式的概念及解法(1)概念：我們把只含有一個未知數，并且知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式．(2)形式：①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．(3)一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某個一元二次不等式成立的x的值叫做這個不等式的解，一元二次不等式的所有解組成的集合叫做這個一元二次不等式的解集.（4）解一元二次不等式的一般步驟①化：把不等式變形為二次項系數大于零的標準形式．②判：計算對應方程的判別式．③求：求出對應的一元二次方程的根，或根據判別式說明方程有沒有實根．④寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集．知識點五知識點五分式不等式的解法定義：分母中含有未知數，且分子、分母都是關于x的多項式的不等式稱為分式不等式.eq\f(fx,gx)>0?f(x)g(x)>0，eq\f(fx,gx)<0?f(x)·g(x)<0.eq\f(fx,gx)≥0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fxgx≥0，,gx≠0.))?f(x)·g(x)>0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝0,gx≠0)).eq\f(fx,gx)≤0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx·gx≤0，,gx≠0))?f(x)·g(x)<0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝0,gx≠0.))知識點六知識點六絕對值不等式的解法1．形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用兩邊平方的形式轉化為二次不等式求解．2．形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式(1)絕對值不等式|x|>a與|x|<a的解集(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)．知識點七知識點七常用結論1．倒數性質的幾個必備結論(1)a>b，ab>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(2)a<0<b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(3)a>b>0,0<c<d?eq\f(a,c)>eq\f(b,d).(4)0<a<x<b或a<x<b<0?eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).2．兩個重要不等式若a>b>0，m>0，則(1)eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)．(2)eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．3.如果a，b是實數，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，當且僅當ab≥0時，等號成立．?？碱}型剖析?？碱}型剖析題型一：用不等式表示不等關系【典例分析】例1-1.用一段長為30的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園,墻長18,要求菜園的面積不小于216,靠墻的一邊長為,其中的不等關系可用不等式(組)表示為________.

例1-2．（浙江高考真題）某商家一月份至五月份累計銷售額達3860萬元，預測六月份銷售額為500萬元，七月份銷售額比六月份遞增x%，八月份銷售額比七月份遞增x%，九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等，若一月至十月份銷售總額至少至少達7000萬元，則，x的最小值_______【規(guī)律方法】用不等式(組)表示實際問題中不等關系的步驟：①審題．通讀題目，分清楚已知量和待求量，設出待求量．找出體現不等關系的關鍵詞：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超過”“不超過”等．②列不等式組：分析題意，找出已知量和待求量之間的約束條件，將各約束條件用不等式表示．【變式訓練】變式1-1.（2023秋·甘肅酒泉·高一統考期末）鐵路總公司關于乘車行李規(guī)定如下：乘坐動車組列車攜帶品的外部尺寸長、寬、高之和不超過130cm，且體積不超過，設攜帶品外部尺寸長、寬、高分別記為a，b，c（單位：cm），這個規(guī)定用數學關系式可表示為（

）A．且 B．且C．且 D．且變式1-2.（北京高考真題）如圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡化模型，在某高峰時段，單位時間進出路口,的機動車輛數如圖所示，圖中分別表示該時段單位時間通過路段的機動車輛數（假設：單位時間內，在上述路段中，同一路段上駛入與駛出的車輛數相等），則（

）A． B． C． D．題型二：比較數或式子的大小例2-1.【多選題】（2023·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習）若，，且，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．例2-2.（2023·高三課時練習）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求證：；（2）設x，，比較與的大小.【規(guī)律方法】1.比較大小的常用方法(1)作差法一般步驟：①作差；②變形；③定號；④結論．其中關鍵是變形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式．當兩個式子都為正數時，有時也可以先平方再作差．(2)作商法一般步驟：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關系；④結論．(3)函數的單調性法將要比較的兩個數作為一個函數的兩個函數值，根據函數的單調性得出大小關系．【變式訓練】變式2-1.（2023春·山東濱州·高二?？茧A段練習）若，若，則m與n的大小關系是（）A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．m≥m變式2-2.【多選題】（2023·黑龍江齊齊哈爾·統考一模）已知a，b，，則下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C． D．題型三：不等式性質的應用【典例分析】例3-1.【多選題】（2023·海南·?？谑协偵饺A僑中學校聯考模擬預測）如果，那么下列不等式錯誤的是（

）A． B．C． D．例3-2．（2023·全國·高三專題練習）設且，，則的范圍為_______.【規(guī)律方法】1．判斷不等式的真假．(1)首先要注意不等式成立的條件，不要弱化條件．(2)解決有關不等式選擇題時，也可采用特值法進行排除，注意取值要遵循以下原則：一是滿足題設條件；二是取值要簡單，便于驗證計算．(3)若要判斷某結論正確，應說明理由或進行證明，推理過程應緊扣有關定理、性質等，若要說明某結論錯誤，只需舉一反例．2．證明不等式(1)要在理解的基礎上，記準、記熟不等式的性質并注意在解題中靈活準確地加以應用．(2)應用不等式的性質進行推證時，應注意緊扣不等式的性質成立的條件，且不可省略條件或跳步推導，更不能隨意構造性質與法則．3．求取值范圍(1)建立待求范圍的代數式與已知范圍的代數式的關系，利用不等式的性質進行運算，求得待求的范圍．(2)同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)，這種轉化不是等價變形，如果在解題過程中多次使用這種轉化，就有可能擴大其取值范圍．4．掌握各性質的條件和結論．在各性質中，乘法性質的應用最易出錯，即在不等式的兩邊同時乘(除)以一個數時，必須能確定該數是正數、負數或零，否則結論不確定．【變式訓練】變式3-1.（2023·全國·高三專題練習）已知，，的取值范圍是_______________變式3-2.（2023·全國·高三專題練習）已知，則的取值范圍是__________題型四：一元二次不等式的解法【典例分析】例4-1.（2023·河北張家口·統考二模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．例4-2.（2020·全國·高三專題練習）若不等式的解集是.(1)求實數的值；(2)求不等式的解集.【規(guī)律方法】含有參數的不等式的求解，往往需要對參數進行分類討論．(1)若二次項系數為常數，首先確定二次項系數是否為正數，再考慮分解因式，對參數進行分類討論，若不易分解因式，則可依據判別式符號進行分類討論．(2)若二次項系數為參數，則應先考慮二次項系數是否為零，確定不等式是不是二次不等式，然后再討論二次項系數不為零的情形，以便確定解集的形式．(3)對方程的根進行討論，比較大小，以便寫出解集．【易錯警示】忽視二次項系數的符號致誤【變式訓練】變式4-1.（遼寧高考真題）定義在上的運算：.若不等式對任意實數都成立，則（

）A． B． C． D．變式4-2.（北京高考真題）若關于x的不等式的解集為，則實數a的取值范圍是____________；若關于x的不等式的解集不是空集，則實數a的取值范圍是____________．題型五：絕對值不等式的解法【典例分析】例5-1.（2017天津，文2）設，則“”是“”的（）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件例5-2．（廣東高考真題（理））不等式的解集為.【規(guī)律方法】形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三種解法：(1)分段討論法：利用絕對值號內式子對應方程的根，將數軸分為(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此處設a<b)三個部分，在每個部分上去掉絕對值號分別列出對應的不等式求解，然后取各個不等式解集的并集．(2)幾何法：利用|x－a|＋|x－b|>c(c>0)的幾何意義：數軸上到點x1＝a和x2＝b的距離之和大于c的全體，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.(3)圖象法：作出函數y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的圖象，結合圖象求解．【變式訓練】變式5-1.（2023·四川成都·成都七中統考模擬預測）已知集合，，則（

）A． B． C． D．變式5-2.（2023·上海崇明·上海市崇明中學校考模擬預測）若集合，則______.題型六：絕對值不等式的應用【典例分析】例6-1.（陜西高考真題）不等式若關于x的不等式存在實數解，則實數的取值范圍是_____【規(guī)律方法】1.兩類含絕對值不等式的證明問題一類是比較簡單的不等式，往往可通過平方法、換元法去掉絕對值符號轉化為常見的不等式證明題，或利用絕對值三角不等式性質定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通過適當的添、拆項證明；另一類是綜合性較強的函數型含絕對值的不等式，往往可考慮利用一般情況成立，則特殊情況也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法來證明．2.含絕對值不等式的應用中的數學思想(1)利用“零點分段法”求解，體現了分類討論的思想；(2)利用函數的圖象求解，體現了數形結合的思想．3.求f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|和f(x)＝|x＋a|－|x＋b|的最值的三種方法(1)轉化法：轉化為分段函數進而利用分段函數的性質求解.(2)利用絕對值三角不等式進行“求解”，但要注意兩數的“差”還是“和”的絕對值為定值.(3)利用絕對值的幾何意義.【變式訓練】變式6-1.（2020·陜西省西安中學高二期中（文））若關于x的不等式有實數解，則實數a的取值范圍是（）A．或 B． C． D．一、單選題1．（河北省2023屆高三適應性考試數學試題）若集合，，則（

）A． B． C． D．2．（2023·湖北武漢·統考模擬預測）下列不等式正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，，則D．若，，，且，則3．（2023·江蘇南通·模擬預測）已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2023·北京海淀·101中學?？寄M預測）已知關于x的不等式的解集是，則下列四個結論中錯誤的是（

）A．B．C．若關于x的不等式的解集為，則D．若關于x的不等式的解集為，且，則5．（2023·全國·高三專題練習）已知，，，則下列中正確的是（

）A． B．C． D．二、填空題6.（2023·高一課時練習）雷電的溫度大約是，比太陽表面溫度的倍還要高．設太陽表面溫度為，那么應滿足的關系式是______．7．（2023·全國·高三專題練習）已知正實數滿足，求的最小值為___________．8.（2023·上海徐匯·統考二模）命題“若，則”是真命題，實數的取值范圍是__________.9．（2023·全國·高三專題練習）已知，，則的取值范圍為________.10．（2023春·上海·高三上海市實驗學校?？茧A段練習）若正數，滿足，則的最大值為__________．11．（2023·全國·高一專題練習）已知全集，集合，，則______，______.三、解答題12.（2023·全國·高一專題練習）已知函數．(1)若關于x的不等式的解集為，求a，b的值；(2)當時，解關于x的不等式．專題2.1不等式的性質及常見不等式解法【核心素養(yǎng)】1.結合命題的真假判斷、大小比較等，考查不等式的性質及其應用，凸顯數學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．2.考查二次函數的圖象和性質，凸顯直觀想象、數學運算的核心素養(yǎng)．3.結合“三個二次”間的關系，考查一元二次方程、一元二次不等式的解法，考查轉化與化歸能力，凸顯數學抽象的核心素養(yǎng)．4.以實際問題為背景，考查應用不等式性質、一元二次不等式、二次函數的圖象和性質解決問題的能力，凸顯數學建模、數學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)．知識點一知識點一實數的大小(1)數軸上的任意兩點中，右邊點對應的實數比左邊點對應的實數大.(2)對于任意兩個實數a和b，如果a－b是正數，那么a>b；如果a－b是負數，那么a<b；如果a－b等于零，那么a＝b.知識點二知識點二不等關系與不等式我們用數學符號“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”連接兩個數或代數式，以表示它們之間的不等關系，含有這些符號的式子，叫做不等式.知識點三知識點三不等式的性質(1)性質1：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b?b<a.(2)性質2：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c?a>c.(3)性質3：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)性質4：①如果a>b，c>0那么ac>bc.②如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)性質5：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)性質6：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)性質7：如果a>b>0，那么an>bn，(n∈N，n≥2)．(8)性質8：如果a>b>0，那么eq\r(n,a)>eq\r(n,b)，(n∈N，n≥2)．知識點四知識點四一元二次不等式的概念及解法(1)概念：我們把只含有一個未知數，并且知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式．(2)形式：①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．(3)一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某個一元二次不等式成立的x的值叫做這個不等式的解，一元二次不等式的所有解組成的集合叫做這個一元二次不等式的解集.（4）解一元二次不等式的一般步驟①化：把不等式變形為二次項系數大于零的標準形式．②判：計算對應方程的判別式．③求：求出對應的一元二次方程的根，或根據判別式說明方程有沒有實根．④寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集．知識點五知識點五分式不等式的解法定義：分母中含有未知數，且分子、分母都是關于x的多項式的不等式稱為分式不等式.eq\f(fx,gx)>0?f(x)g(x)>0，eq\f(fx,gx)<0?f(x)·g(x)<0.eq\f(fx,gx)≥0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fxgx≥0，,gx≠0.))?f(x)·g(x)>0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝0,gx≠0)).eq\f(fx,gx)≤0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx·gx≤0，,gx≠0))?f(x)·g(x)<0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝0,gx≠0.))知識點六知識點六絕對值不等式的解法1．形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用兩邊平方的形式轉化為二次不等式求解．2．形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式(1)絕對值不等式|x|>a與|x|<a的解集(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)．知識點七知識點七常用結論1．倒數性質的幾個必備結論(1)a>b，ab>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(2)a<0<b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(3)a>b>0,0<c<d?eq\f(a,c)>eq\f(b,d).(4)0<a<x<b或a<x<b<0?eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).2．兩個重要不等式若a>b>0，m>0，則(1)eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)．(2)eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．3.如果a，b是實數，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，當且僅當ab≥0時，等號成立．?？碱}型剖析?？碱}型剖析題型一：用不等式表示不等關系【典例分析】例1-1.用一段長為30的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園,墻長18,要求菜園的面積不小于216,靠墻的一邊長為,其中的不等關系可用不等式(組)表示為________.

【答案】【解析】矩形菜園靠墻的一邊長為,則另一邊長為,即,根據已知得例1-2．（浙江高考真題）某商家一月份至五月份累計銷售額達3860萬元，預測六月份銷售額為500萬元，七月份銷售額比六月份遞增x%，八月份銷售額比七月份遞增x%，九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等，若一月至十月份銷售總額至少至少達7000萬元，則，x的最小值_______【答案】20【詳解】把一月份至十月份的銷售額相加求和,列出不等式,求解.七月份:500(1+x%),八月份:500(1+x%)2.所以一月份至十月份的銷售總額為:3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7000,解得1+x%≤-2.2(舍)或1+x%≥1.2,所以xmin=20.【規(guī)律方法】用不等式(組)表示實際問題中不等關系的步驟：①審題．通讀題目，分清楚已知量和待求量，設出待求量．找出體現不等關系的關鍵詞：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超過”“不超過”等．②列不等式組：分析題意，找出已知量和待求量之間的約束條件，將各約束條件用不等式表示．【變式訓練】變式1-1.（2023秋·甘肅酒泉·高一統考期末）鐵路總公司關于乘車行李規(guī)定如下：乘坐動車組列車攜帶品的外部尺寸長、寬、高之和不超過130cm，且體積不超過，設攜帶品外部尺寸長、寬、高分別記為a，b，c（單位：cm），這個規(guī)定用數學關系式可表示為（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】C【分析】根據數量關系列不等式，“不超過”不等號為“小于等于”.【詳解】由長、寬、高之和不超過130cm得，由體積不超過得.故選：C.變式1-2.（北京高考真題）如圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡化模型，在某高峰時段，單位時間進出路口,的機動車輛數如圖所示，圖中分別表示該時段單位時間通過路段的機動車輛數（假設：單位時間內，在上述路段中，同一路段上駛入與駛出的車輛數相等），則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據每個三岔路口駛入與駛出相應的環(huán)島路段的車輛數列出等量關系，即可比較出大?。驹斀狻恳李}意，有，所以，同理，，所以，同理，，所以，所以．故選：C．題型二：比較數或式子的大小例2-1.【多選題】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習）若，，且，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用比差法比較的大小判斷A，利用比差法比較的大小判斷B，利用基本不等式比較的大小，判斷C，舉反例判斷D.【詳解】因為，，且，所以，，對于A：，當且僅當時等號成立，所以，A正確；對于B：，因為，所以，所以，即，B錯誤；對于C：，當且僅當時等號成立，又，所以等號不成立，C正確；對于D：令，，滿足條件，，且，但是，D錯誤.故選：AC.例2-2.（2023·高三課時練習）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求證：；（2）設x，，比較與的大小.【答案】（1）證明見解析（2）答案見解析【分析】（1）由不等式的性質即可證明.（2）要比較與的大小，將兩式做差展開化簡，得到即可判斷正負并比較出結果.【詳解】（1）由a＞b＞0，c＜d＜0，得－c＞－d＞0，a－c＞b－d＞0，從而得.又a＞b＞0，所以.（2）因為，當且僅當x＝y時等號成立，所以當x＝y時，；當時，.【規(guī)律方法】1.比較大小的常用方法(1)作差法一般步驟：①作差；②變形；③定號；④結論．其中關鍵是變形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式．當兩個式子都為正數時，有時也可以先平方再作差．(2)作商法一般步驟：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關系；④結論．(3)函數的單調性法將要比較的兩個數作為一個函數的兩個函數值，根據函數的單調性得出大小關系．【變式訓練】變式2-1.（2023春·山東濱州·高二?？茧A段練習）若，若，則m與n的大小關系是（）A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．m≥m【答案】A【分析】利用作差法分析判斷.【詳解】由題意可得：，∵，則，∴，即，故選：A.變式2-2.【多選題】（2023·黑龍江齊齊哈爾·統考一模）已知a，b，，則下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C． D．【答案】BC【分析】通過舉反例可判斷A項，通過構造函數研究其單調性可判斷B項，運用基本不等式可判斷C項，方法1：通過舉反例，方法2：作差法可判斷D項.【詳解】對于A項，例如，，，滿足，，但不滿足，故A項不成立；對于B項，因為,，，所以冪函數在上為增函數，所以，故B項正確；對于C項，因為，，，所以，當且僅當時等號成立，故C項正確；對于D項，方法1：當，時，，，則，故D項錯誤．方法2：作差法，，因為，，所以，所以，故D項錯誤．故選：BC.題型三：不等式性質的應用【典例分析】例3-1.【多選題】（2023·海南·?？谑协偵饺A僑中學校聯考模擬預測）如果，那么下列不等式錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】利用不等式的性質，特殊值法即可判定.【詳解】對于A項，因為，所以，故，即A正確；對于B項，不妨令，顯然，即B錯誤；對于C項，若，則，即C錯誤；對于D項，若，顯然D錯誤.故選：BCD例3-2．（2023·全國·高三專題練習）設且，，則的范圍為_______.【答案】【分析】根據題意整理可得，，分析可得，是方程的兩個不等的實根，利用判別式分析運算.【詳解】由且，得，，且①，又因為，可得②，由①②可知：，是方程的兩個不等的實根，于是，解得：，且，則，則，所以的范圍為.故答案為：.【規(guī)律方法】1．判斷不等式的真假．(1)首先要注意不等式成立的條件，不要弱化條件．(2)解決有關不等式選擇題時，也可采用特值法進行排除，注意取值要遵循以下原則：一是滿足題設條件；二是取值要簡單，便于驗證計算．(3)若要判斷某結論正確，應說明理由或進行證明，推理過程應緊扣有關定理、性質等，若要說明某結論錯誤，只需舉一反例．2．證明不等式(1)要在理解的基礎上，記準、記熟不等式的性質并注意在解題中靈活準確地加以應用．(2)應用不等式的性質進行推證時，應注意緊扣不等式的性質成立的條件，且不可省略條件或跳步推導，更不能隨意構造性質與法則．3．求取值范圍(1)建立待求范圍的代數式與已知范圍的代數式的關系，利用不等式的性質進行運算，求得待求的范圍．(2)同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)，這種轉化不是等價變形，如果在解題過程中多次使用這種轉化，就有可能擴大其取值范圍．4．掌握各性質的條件和結論．在各性質中，乘法性質的應用最易出錯，即在不等式的兩邊同時乘(除)以一個數時，必須能確定該數是正數、負數或零，否則結論不確定．【變式訓練】變式3-1.（2023·全國·高三專題練習）已知，，的取值范圍是_______________【答案】【分析】設，解出，再利用不等式的可加性求解即可得出．【詳解】設，即，∴，解得.∴，∵，∴①，∵，∴②，①②，得，即的取值范圍.故答案為：.變式3-2.（2023·全國·高三專題練習）已知，則的取值范圍是__________【答案】【分析】先根據求出的范圍，利用的范圍可得的取值范圍.【詳解】因為，所以或，即或；當時，，所以；當時，，所以；故答案為：.題型四：一元二次不等式的解法【典例分析】例4-1.（2023·河北張家口·統考二模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知求出，然后根據補集的運算得出，根據并集的運算求解即可得出答案.【詳解】，，即，，所以，，，所以，.故選：C.例4-2.（2020·全國·高三專題練習）若不等式的解集是.(1)求實數的值；(2)求不等式的解集.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知不等式的解集得到的兩個實數根為和2，利用韋達定理即可求出的值；（2）代入的值，由一元二次不等式的求解即可得解．【詳解】（1）依題意可得：的兩個實數根為和2，由韋達定理得：，解得：；（2）由（1）不等式，即，解得：，故不等式的解集是．【規(guī)律方法】含有參數的不等式的求解，往往需要對參數進行分類討論．(1)若二次項系數為常數，首先確定二次項系數是否為正數，再考慮分解因式，對參數進行分類討論，若不易分解因式，則可依據判別式符號進行分類討論．(2)若二次項系數為參數，則應先考慮二次項系數是否為零，確定不等式是不是二次不等式，然后再討論二次項系數不為零的情形，以便確定解集的形式．(3)對方程的根進行討論，比較大小，以便寫出解集．【易錯警示】忽視二次項系數的符號致誤【變式訓練】變式4-1.（遼寧高考真題）定義在上的運算：.若不等式對任意實數都成立，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】化簡得對任意實數都成立，再解不等式即得解.【詳解】不等式可化為，即對任意實數都成立，，解得.故選：B變式4-2.（北京高考真題）若關于x的不等式的解集為，則實數a的取值范圍是____________；若關于x的不等式的解集不是空集，則實數a的取值范圍是____________．【答案】【分析】根據不等式與方程的關系，分別計算和，解不等式得到答案.【詳解】不等式的解集為，則，解得；不等式的解集不是空集，即，故，解得或.故答案為：；題型五：絕對值不等式的解法【典例分析】例5-1.（2017天津，文2）設，則“”是“”的（）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】【解析】，則，，則，，據此可知：“”是“”的的必要的必要不充分條件，本題選擇B選項.例5-2．（廣東高考真題（理））不等式的解集為.【答案】.【解析】令，則，（1）當時，由得，解得，此時有；（2）當時，，此時不等式無解；（3）當時，由得，解得，此時有；綜上所述，不等式的解集為.【規(guī)律方法】形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三種解法：(1)分段討論法：利用絕對值號內式子對應方程的根，將數軸分為(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此處設a<b)三個部分，在每個部分上去掉絕對值號分別列出對應的不等式求解，然后取各個不等式解集的并集．(2)幾何法：利用|x－a|＋|x－b|>c(c>0)的幾何意義：數軸上到點x1＝a和x2＝b的距離之和大于c的全體，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.(3)圖象法：作出函數y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的圖象，結合圖象求解．【變式訓練】變式5-1.（2023·四川成都·成都七中統考模擬預測）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合、，利用并集的定義可求得集合.【詳解】因為，由可得且，解得，則，因此，.故選：D.變式5-2.（2023·上海崇明·上海市崇明中學?？寄M預測）若集合，則______.【答案】【分析】分別求出集合，由交集的定義即可得出答案.【詳解】或，，.故答案為：.題型六：絕對值不等式的應用【典例分析】例6-1.（陜西高考真題）不等式若關于x的不等式存在實數解，則實數的取值范圍是_____【答案】【詳解】先確定的取值范圍，再使得能取到此范圍內的值即可．當時，；當時，；當時，；綜上可得，所以只要，解得或，即實數的取值范圍是．【規(guī)律方法】1.兩類含絕對值不等式的證明問題一類是比較簡單的不等式，往往可通過平方法、換元法去掉絕對值符號轉化為常見的不等式證明題，或利用絕對值三角不等式性質定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通過適當的添、拆項證明；另一類是綜合性較強的函數型含絕對值的不等式，往往可考慮利用一般情況成立，則特殊情況也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法來證明．2.含絕對值不等式的應用中的數學思想(1)利用“零點分段法”求解，體現了分類討論的思想；(2)利用函數的圖象求解，體現了數形結合的思想．3.求f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|和f(x)＝|x＋a|－|x＋b|的最值的三種方法(1)轉化法：轉化為分段函數進而利用分段函數的性質求解.(2)利用絕對值三角不等式進行“求解”，但要注意兩數的“差”還是“和”的絕對值為定值.(3)利用絕對值的幾何意義.【變式訓練】變式6-1.（2020·陜西省西安中學高二期中（文））若關于x的不等式有實數解，則實數a的取值范圍是（）A．或 B． C． D．【答案】A【解析】分析：利用絕對值的幾何意義求得最小值為，再由不等式有解可得實數的取值范圍．詳解：由于表示數軸上的對應點到和對應點的距離之差，其最小值為，最大值為，因為關于的不等式有實數解，可得，即，解得或.故選：A.一、單選題1．（河北省2023屆高三適應性考試數學試題）若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據集合的交集運算即可求解.【詳解】，，因此，.故選：A.2．（2023·湖北武漢·統考模擬預測）下列不等式正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，，則D．若，，，且，則【答案】D【分析】舉例說明選項ABC錯誤；利用作差法證明選項D正確.【詳解】對于A，當，，時滿足，但，所以A錯誤；對于B，當，，時，滿足，但，所以B錯誤；對于C，由不等式的基本性質易知，當，，時滿足，，但，所以C錯誤；對