第56講、立體幾何解答題（學(xué)生版）

第56講立體幾何解答題必考題型全歸納題型一：非常規(guī)空間幾何體為載體例1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正四棱臺(tái)的體積為，其中.

(1)求側(cè)棱與底面所成的角；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)P，使得？若存在請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.例2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在三棱臺(tái)中，為中點(diǎn)，，，.(1)求證：平面；(2)若，，平面與平面所成二面角大小為，求三棱錐的體積.例3．（2024·重慶萬(wàn)州·高三重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正四棱臺(tái)中，，，，為棱，的中點(diǎn)，棱上存在一點(diǎn)，使得平面．

(1)求；(2)當(dāng)正四棱臺(tái)的體積最大時(shí)，求與平面所成角的正弦值．變式1．（2024·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在三棱臺(tái)中，，，，，．

(1)證明：平面平面；(2)設(shè)是的中點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值．變式2．（2024·安徽·高三安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，圓錐的高為，是底面圓的直徑，四邊形是底面圓的內(nèi)接等腰梯形，且，點(diǎn)是母線上一動(dòng)點(diǎn).

(1)證明：平面平面；(2)若二面角的余弦值為，求三棱錐的體積.變式3．（2024·云南·云南師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，A，為底面圓上兩點(diǎn)，，為中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.

(1)證明：平面平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.變式4．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考三模）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，為底面圓的直徑，在母線上，且，，．

(1)求證：平面平面；(2)設(shè)點(diǎn)為線段上動(dòng)點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值的最大值．變式5．（2024·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，線段是圓柱的母線，是圓柱下底面⊙O的內(nèi)接正三角形，．(1)劣弧上是否存在點(diǎn)D，使得平面？若存在，求出劣弧的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)求平面和平面所成角的正弦值．題型二：立體幾何存在性問(wèn)題例4．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖，如圖1，在直角梯形中，．把沿對(duì)角線折起到的位置，如圖2所示，使得點(diǎn)P在平面上的正投影H恰好落在線段上，連接，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段，的中點(diǎn)．

(1)求證：平面//平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)在棱上是否存在一點(diǎn)M，使得M到點(diǎn)四點(diǎn)的距離相等？請(qǐng)說(shuō)明理由．例5．（2024·上海長(zhǎng)寧·上海市延安中學(xué)?？既＃┮阎退诘钠矫婊ハ啻怪?，，，，，是線段的中點(diǎn)，.(1)求證：；(2)設(shè)，在線段上是否存在點(diǎn)（異于點(diǎn)），使得二面角的大小為.例6．（2024·湖南邵陽(yáng)·邵陽(yáng)市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在中，，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，交于點(diǎn)，現(xiàn)將沿翻折至.(1)證明：平面平面；(2)若，且，線段上是否存在一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），使得銳二面角的余弦值為，若存在求出的值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.變式6．（2024·福建廈門(mén)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）箏形是指有一條對(duì)角線所在直線為對(duì)稱軸的四邊形．如圖，四邊形為箏形，其對(duì)角線交點(diǎn)為，將沿折到的位置，形成三棱錐．

(1)求到平面的距離；(2)當(dāng)時(shí)，在棱上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．變式7．（2024·湖北襄陽(yáng)·襄陽(yáng)四中?？寄M預(yù)測(cè)）斜三棱柱的各棱長(zhǎng)都為，點(diǎn)在下底面的投影為的中點(diǎn).

(1)在棱（含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)使？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)求點(diǎn)到平面的距離.變式8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面PAD，△PAD為等邊三角形，//，，平面PBC交平面PAD直線l，E、F分別為棱PD，PB的中點(diǎn)．

(1)求證：∥；(2)求平面AEF與平面PAD所成銳二面角的余弦值；(3)在棱PC上是否存在點(diǎn)G，使得∥平面AEF？若存在，求的值，若不存在，說(shuō)明理由．變式9．（2024·湖北襄陽(yáng)·襄陽(yáng)四中?？寄M預(yù)測(cè)）在三棱錐P-ABC中，若已知，，點(diǎn)P在底面ABC的射影為點(diǎn)H，則(1)證明：(2)設(shè)，則在線段PC上是否存在一點(diǎn)M，使得與平面所成角的余弦值為，若存在，設(shè)，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.變式10．（2024·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐中，底面為矩形，，為等腰直角三角形，平面平面，為中點(diǎn).(1)在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為.若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由；(2)求二面角的正弦值.變式11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，，分別為的中點(diǎn)，平面與底面的交線為.(1)證明：平面.(2)若三棱錐的體積為，試問(wèn)在直線上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角為，異面直線所成角為，且滿足？若存在，求出線段的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.變式12．（2024·安徽淮北·統(tǒng)考二模）如圖所示，四棱錐中，底面為菱形，.(1)證明：面；(2)線段上是否存在點(diǎn)，使平面與平面夾角的余弦值為？若存在，指出點(diǎn)位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.題型三：立體幾何折疊問(wèn)題例7．（2024·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在圖1中，為等腰直角三角形，，，為等邊三角形，O為AC邊的中點(diǎn)，E在BC邊上，且，沿AC將進(jìn)行折疊，使點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F的位置，如圖2，連接FO，F(xiàn)B，F(xiàn)E，使得．

(1)證明：平面．(2)求二面角的余弦值．例8．（2024·廣東深圳·校考二模）如圖1所示，等邊的邊長(zhǎng)為，是邊上的高，，分別是，邊的中點(diǎn)．現(xiàn)將沿折疊，如圖2所示.

(1)證明：；(2)折疊后若，求二面角的余弦值.例9．（2024·四川南充·高三閬中中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖甲所示的正方形中，對(duì)角線分別交于點(diǎn)，將正方形沿折疊使得與重合，構(gòu)成如圖乙所示的三棱柱(1)若點(diǎn)在棱上，且，證明：∥平面；(2)求二面角的余弦值.變式13．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知如圖甲所示，直角三角形SAB中，，，C，D分別為SB，SA的中點(diǎn)，現(xiàn)在將沿著CD進(jìn)行翻折，使得翻折后S點(diǎn)在底面ABCD的投影H在線段BC上，且SC與平面ABCD所成角為，M為折疊后SA的中點(diǎn)，如圖乙所示.(1)證明：平面SBC；(2)求平面ADS與平面SBC所成銳二面角的余弦值.變式14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖1，在直角梯形BCDE中，，，A為DE的中點(diǎn)，且，，將沿AB折起，使得點(diǎn)E到達(dá)P處（P與D不重合），記PD的中點(diǎn)為M，如圖2．(1)在折疊過(guò)程中，PB是否始終與平面ACM平行？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)當(dāng)四棱錐P-ABCD的體積最大時(shí)，求CD與平面ACM所成角的正弦值．變式15．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，四邊形中，，E，F(xiàn)分別在，上，，現(xiàn)將四邊形沿折起，使．(1)若，在折疊后的線段上是否存在一點(diǎn)P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．(2)求三棱錐的體積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)F到平面的距離．變式16．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，四邊形中，是等腰直角三角形，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，以為折痕，將向一方折疊到的位置，使D點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在上，再將向另一方折疊到的位置，使平面平面，形成幾何體.（1）若點(diǎn)F為的中點(diǎn)，求證：平面；（2）求平面與平面所成角的正弦值.變式17．（2024·四川瀘州·瀘縣五中?？既＃┤鐖D1，在梯形中，，且，是等腰直角三角形，其中為斜邊.若把沿邊折疊到的位置，使平面平面，如圖2.（1）證明：；（2）若為棱的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離.變式18．（2024·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙一中?？家荒＃┤鐖D1，四邊形為直角梯形，，，，，，為線段上一點(diǎn)，滿足，為的中點(diǎn)，現(xiàn)將梯形沿折疊（如圖2），使平面平面.（1）求證：平面平面；（2）能否在線段上找到一點(diǎn)（端點(diǎn)除外）使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.題型四：立體幾何作圖問(wèn)題例10．（2024·云南昆明·高三校考階段練習(xí)）已知正四棱錐中，O為底面ABCD的中心，如圖所示．(1)作出過(guò)點(diǎn)O與平面PAD平行的截面，在答題卡上作出該截面與四棱錐表面的交線，寫(xiě)出簡(jiǎn)要作圖過(guò)程及理由；(2)設(shè)PD的中點(diǎn)為G，，求AG與平面PAB所成角的正弦值．例11．（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知平行六面體的底面是菱形，，，且.(1)試在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作直線，使得直線平面，說(shuō)明作圖方法，并證明：直線；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.例12．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知平行六面體的底面是菱形，，且.(1)試在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作直線，使得直線平面，說(shuō)明作圖方法，并證明：直線；(2)求點(diǎn)到平面的距離.變式19．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖多面體中，面面，為等邊三角形，四邊形為正方形，，且，，分別為，的中點(diǎn).（1）求二面角的余弦值；（2）作平面FHG與平面ABCD的交線，記該交線與直線AB交點(diǎn)為P，寫(xiě)出的值（不需要說(shuō)明理由，保留作圖痕跡）.變式20．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，.,且平面，，點(diǎn)分別是線段上的中點(diǎn)，在上.且.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面的成角的正弦值；（Ⅲ）請(qǐng)畫(huà)出平面與四棱錐的表面的交線，并寫(xiě)出作圖的步驟.變式21．（2024·安徽六安·安徽省舒城中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知多面體EABCDF的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，且.

(1)記線段的中點(diǎn)為，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作一條直線與平面平行，要求保留作圖痕跡，但不要求證明；(2)求直線與平面所成角的正弦值.變式22．（2024·廣西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形.

(1)（如圖1）若點(diǎn)為內(nèi)任一點(diǎn)，作出與面的交點(diǎn)（作出圖象并寫(xiě)出簡(jiǎn)單的作圖過(guò)程，不需證明）；(2)（如圖2）若面面，求二面角的余弦值.變式23．（2024·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）是邊長(zhǎng)為2的正三角形，P在平面上滿足，將沿AC翻折，使點(diǎn)P到達(dá)的位置，若平面平面ABC，且．(1)作平面，使得，且，說(shuō)明作圖方法并證明；(2)點(diǎn)M滿足，求二面角的余弦值．變式24．（2024·四川綿陽(yáng)·高三綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知四棱錐的底面是平行四邊形，側(cè)棱平面，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)是在棱上的動(dòng)點(diǎn)（不為端點(diǎn)）.（如圖所示）(1)若是棱中點(diǎn)，（i）畫(huà)出的重心（保留作圖痕跡），指出點(diǎn)與線段的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（ii）求證：平面；(2)若四邊形是正方形，且，當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，直線與平面所成角的正弦值取最大值.題型五：立體幾何建系繁瑣問(wèn)題例13．（2024·福建福州·福建省福州格致中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC=，∠B1BD=，（1）求證：直線AC⊥平面BDB1；（2）求直線A1B1與平面ACC1所成角的正弦值.例14．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直三棱柱中，側(cè)面為正方形，M，N分別為的中點(diǎn)，．(1)證明：平面；(2)若，三棱錐的體積為2，求二面角的余弦值．例15．（2024·江西撫州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在幾何體中，，已知平面平面，平面平面，平面ABC，AD⊥DE．(1)證明：平面；(2)若，設(shè)為棱上的點(diǎn)，且滿足，求當(dāng)幾何體的體積取最大值時(shí)，與所成角的余弦值．變式25．（2024·黑龍江佳木斯·高一建三江分局第一中學(xué)校考期末）如圖，已知三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是矩形，分別為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，過(guò)和的平面交于，交于．（1）證明：平面；（2）設(shè)為的中心，若平面，且，求直線與平面所成角的正弦值．變式26．（2024·黑龍江哈爾濱·哈九中校考三模）如圖，已知三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是矩形，，分別為，的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，過(guò)和的平面交于，交于.（1）證明：，且平面平面；（2）設(shè)為的中心，若，平面，且，求四棱錐的體積.變式27．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？计谥校┤鐖D，在平行六面體中，每一個(gè)面均為邊長(zhǎng)為2的菱形，平面底面，，分別是，的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若側(cè)棱與底面所成的角為60°，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.變式28．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知四棱錐中，平面，，，，，．(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)線段上是否存在一點(diǎn)M，使得平面？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．變式29．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，三棱柱的底面為等邊三角形，，點(diǎn)D，E分別為AC，的中點(diǎn)，，．(1)求點(diǎn)到平面BDE的距離；(2)求二面角的余弦值．變式30．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知兩個(gè)四棱錐與的公共底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，頂點(diǎn)，在底面的同側(cè)，棱錐的高，，分別為AB，CD的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)E，與交于點(diǎn)F.(1)求證：點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)；(2)求這兩個(gè)棱錐的公共部分的體積.變式31．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書(shū)》中最重要的一部，成于公元一世紀(jì)左右.它是一本綜合性的歷史著作，是當(dāng)時(shí)世界上最簡(jiǎn)練有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.《九章算術(shù)》中將由四個(gè)直角三角形組成的四面體稱為“鱉臑”，已知在三棱錐中，平面.

（1）從三棱錐中選擇合適的兩條棱填空：________________，則三棱錐為“鱉臑”；（2）如圖，已知，垂足為，，垂足為，.（i）證明：平面平面；（ii）設(shè)平面與平面交線為，若，，求二面角的大小.變式32．（2024·浙江金華·高一浙江金華第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，四面體ABCD中，等邊三角形，，且.

(1)記AC中點(diǎn)為M，若面面ABD，求證：面ADC；(2)當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求直線AD與平面BCD所成角的正弦值.變式33．（2024·河北衡水·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知四面體，，，且平面平面．(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的大小．題型六：兩角相等（構(gòu)造全等）的立體幾何問(wèn)題例16．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，，點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)，連接BP，DP證明：平面平面BDP；若，，求三棱錐的體積．例17．（2024·高二校考單元測(cè)試）如圖,在三棱錐中,是等邊三角形,,點(diǎn)是的中點(diǎn),連接．（1）證明:平面平面;（2）若,且二面角為,求直線與平面所成角的正弦值．例18．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面為邊長(zhǎng)是2的正方形，，分別是，的中點(diǎn)，，，且二面角的大小為.(1)求證：；(2)求二面角的余弦值.變式34．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，，.（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)直線與平面所成的角為30°時(shí)，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.變式35．（2024·廣東陽(yáng)江·高二統(tǒng)考期中）如圖，在四面體ABCD中，是正三角形，是直角三角形，，AB=BD．(1)求證：平面平面ABC；(2)若，二面角的余弦值為，求m．變式36．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四面體中，已知，，(1)求證：；(2)若平面平面，且，求二面角的余弦值.題型七：利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系例19．（2024·河北·高三河北衡水中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體，平面與平面所成角為.(1)若，求直線與平面所成角的余弦值（用表示）；(2)將矩形沿旋轉(zhuǎn)度角得到矩形，設(shè)平面與平面所成角為，請(qǐng)證明：.例20．（2024·全國(guó)·唐山市第十一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在四棱錐中，，，，，平面平面.(1)證明：；(2)若是棱上一點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求的大小.例21．（2024·安徽·高三校聯(lián)考期末）如圖，在四棱錐中，，E是PB的中點(diǎn)．(1)求CE的長(zhǎng)；(2)設(shè)二面角平面角的補(bǔ)角大小為，若，求平面PAD和平面PBC夾角余弦值的最小值．變式37．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，是線段的中點(diǎn)，設(shè)平面與平面的交線為.(1)證明∥平面BCM(2)已知，為上的點(diǎn)，若與平面所成角的正弦值為是，求線段的長(zhǎng).(3)在（2）的條件下，求二面角的正弦值.變式38．（2024·江西撫州·高二臨川一中校考期中）如圖，直線平面，直線平行四邊形ABCD，四棱錐P-ABCD的頂點(diǎn)在平面上，，，，，分別是與的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.變式39．（2024·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，側(cè)面SAD為等邊三角形，，．

(1)證明：平面平面；(2)側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)P（P不在端點(diǎn)處），使得直線BP與平面SAC所成角的正弦值等于？若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．變式40．（2024·吉林長(zhǎng)春·高二?？计谀┤鐖D，四棱錐中，底面為矩形，底面，，.點(diǎn)在側(cè)棱上，°.（1）證明：是側(cè)棱的中點(diǎn)；（2）求二面角的余弦值.變式41．（2024·四川綿陽(yáng)·高三綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）三棱柱的底面是等邊三角形，的中點(diǎn)為，底面，與底面所成的角為，點(diǎn)在棱上，且.（1）求證：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.變式42．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高三齊齊哈爾市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，三棱錐P-ABC所有棱長(zhǎng)都等，PO⊥平面ABC，垂足為O．點(diǎn)，分別在平面PAC，平面PAB內(nèi)，線段，都經(jīng)過(guò)線段PO的中點(diǎn)D．(1)證明：平面ABC；(2)求直線AP與平面所成角的正弦值．變式43．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知四棱錐中，平面，平面平面，且，，，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰為的重心.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.變式44．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，平面平面，菱形平面，，為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn).(1)若平面，間的距離為，設(shè)直線，與平面所成的角分別為，，，求動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影的一個(gè)軌跡方程；(2)若點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為，證明：直線與平面所成的角與的大小無(wú)關(guān).題型八：空間中的點(diǎn)不好求例22．（2024·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知三棱錐ABCD，D在面ABC上的投影為O，O恰好為△ABC的外心．，.(1)證明：BC⊥AD；(2)E為AD上靠近A的四等分點(diǎn)，若三棱錐A-BCD的體積為，求二面角的余弦值．例23．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，，，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且為三角形的重心.(1)證明：平面；(2)若，，四棱錐的體積為，求直線與平面所成角的正弦值.例24．（2024·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，平行六面體中，點(diǎn)P在對(duì)角線上，，平面平面．(1)求證：O，P，三點(diǎn)共線；(2)若四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，，，求二面角大小的余弦值．變式45．（2024·江西·校聯(lián)考二模）正四棱錐中，，E為中點(diǎn)，，平面平面，平面.(1)證明：當(dāng)平面平面時(shí)，平面(2)當(dāng)時(shí)，T為表面上一動(dòng)點(diǎn)（包括頂點(diǎn)），是否存在正數(shù)m，使得有且僅有5個(gè)點(diǎn)T滿足，若存在，求m的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.變式46．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)M是正方體的中心，將四棱錐繞直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到四棱錐．(1)若，求證：平面平面；(2)是否存在，使得直線平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．變式47．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知菱形ABCD中，，四邊形BDEF為正方形，滿足，連接AE，AF，CE，CF．(1)證明：；(2)求直線AE與平面BDEF所成角的正弦值．題型九：創(chuàng)新定義例25．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽（圖a）為研究球體的體積公式，創(chuàng)造了一個(gè)獨(dú)特的立體圖形“牟合方蓋”，它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一圓柱的側(cè)面上．如圖，將兩個(gè)底面半徑為1的圓柱分別從縱橫兩個(gè)方向嵌入棱長(zhǎng)為2的正方體時(shí)（如圖b），兩圓柱公共部分形成的幾何體（如圖c）即得一個(gè)“牟合方蓋”，圖d是該“牟合方蓋”的直觀圖（圖中標(biāo)出的各點(diǎn)，，，，，均在原正方體的表面上）．(1)由“牟合方蓋”產(chǎn)生的過(guò)程可知，圖d中的曲線為一個(gè)橢圓，求此橢圓的離心率；(2)如圖c，點(diǎn)在橢圓弧上，且三棱錐的體積為，求二面角的正弦值．例26．（2024·遼寧沈陽(yáng)·東北育才學(xué)校?？家荒＃┓浞渴亲匀唤缱钌衿娴摹敖ㄖ敝?，如圖1所示.蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截去三個(gè)相等的三棱錐，，，再分別以，，為軸將，，分別向上翻轉(zhuǎn)，使，，三點(diǎn)重合為點(diǎn)所圍成的曲頂多面體（下底面開(kāi)口），如圖2所示.蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來(lái)刻畫(huà)，定義其度量值等于蜂房頂端三個(gè)菱形的各個(gè)頂點(diǎn)的曲率之和，而每一頂點(diǎn)的曲率規(guī)定等于減去蜂房多面體在該點(diǎn)的各個(gè)面角之和（多面體的面角是多面體的面的內(nèi)角，用弧度制表示）.例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為.(1)求蜂房曲頂空間的彎曲度；(2)若正六棱柱底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)