第52講、立體幾何中的軌跡問題（教師版）

第52講立體幾何中的軌跡問題知識梳理立體幾何中的軌跡問題常用的五種方法總結：1、定義法2、交軌法3、幾何法4、坐標法5、向量法必考題型全歸納題型一：由動點保持平行求軌跡例1．（2024·貴州銅仁·高二貴州省銅仁第一中學?？奸_學考試）設正方體的棱長為1，點E是棱的中點，點M在正方體的表面上運動，則下列命題：

①如果，則點M的軌跡所圍成圖形的面積為；②如果∥平面，則點M的軌跡所圍成圖形的周長為；③如果∥平面，則點M的軌跡所圍成圖形的周長為；④如果，則點M的軌跡所圍成圖形的面積為．其中正確的命題個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由面，而面，則，又，又，面，則面，由面，則，同理，，面，則面，所以垂直于面所有直線，且面，若，則在邊長為的正△的邊上，故軌跡圖形面積為，①對；若分別為中點，連接，由正方體的性質易得，，所以共面，且為平行四邊形，故面即為面，由面，面，則面，同理可得面，，面，所以面面，要使∥平面，則在△的邊上，所以軌跡長為，②錯；若分別為的中點，連接，顯然，所以共面，即面，由，面，面，則面，又，同理可得面，，面，所以面面，故面內任意直線都與面平行，要使∥平面，則在四邊形的邊上運動，此時軌跡長為，③對；若分別是的中點，并依次連接，易知為正六邊形，顯然，，由面，面，則面，同理可得面，，面，所以面面，由面，則面，故垂直于面所有直線，要使，則在邊長為的正六邊形邊上運動，所以軌跡圖形面積為，④對；故選：C例2．（2024·遼寧沈陽·高一沈陽二十中校聯(lián)考期末）在棱長為1的正方體中，E在棱上且滿足，點F是側面上的動點，且面AEC，則動點F在側面上的軌跡長度為．【答案】【解析】如圖，取的中點，并連接、、，因為E在棱上且滿足，即E是棱的中點，所以，又平面，平面，所以平面，同理可證平面，又，所以平面平面，又平面，所以平面，所以動點F在側面上的軌跡即為，因為正方體的棱長為1，由勾股定理有：.故答案為：.例3．（2024·福建福州·高一福建省福州屏東中學?？计谀┤鐖D所示，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為所在棱的中點，P為平面內（包括邊界）一動點，且∥平面EFG，則P點的軌跡長度為

【答案】2【解析】因為∥，則四點共面，連接，因為E，F(xiàn)分別為所在棱的中點，則∥，且平面FGE，平面FGE，所以∥平面FGE，因為F，G分別為所在棱的中點，則∥，且平面FGE，平面FGE，所以∥平面FGE，，平面，所以平面FGE∥平面，且平面平面，可得當且僅當點P在棱BC上時，即平面，滿足∥平面EFG，所以點P的軌跡為線段BC，長度為2.故答案為：2.變式1．（2024·四川成都·高一成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學校考期末）如圖，在正三棱柱中，，，分別為，的中點．若側面的中心為，為側面內的一個動點，平面，且的軌跡長度為，則三棱柱的表面積為．

【答案】/【解析】連接交于，取的中點，過作，分別交于，連接，易得，因為平面，平面，所以平面，平面，因為，且都在面內，所以平面平面，所以的軌跡為線段，因為，所以，因為，所以，所以，故三棱柱的表面積為.故答案為：.變式2．（2024·江蘇揚州·高二統(tǒng)考期中）如圖，正方體的棱長為2，點是線段的中點，點是正方形所在平面內一動點，若平面，則點軌跡在正方形內的長度為.

【答案】【解析】取的中點，連接，如圖所示：因為，平面，平面，所以平面.因為，平面，平面，所以平面.又因為平面，，所以平面平面.因為平面，平面，所以點在平面的軌跡為.所以.故答案為：變式3．（2024·江蘇泰州·高二泰州中學?？茧A段練習）正方體的棱長為3，點，分別在線段和線段上，且，，點是正方形所在平面內一動點，若平面，則點的軌跡在正方形內的長度為.【答案】【解析】如圖，在上取點，使得，在上取點，使得，連接.根據(jù)正方體的性質可知，，.由已知可得，，又，所以.又，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，且.同理可得，，且，.根據(jù)正方體的性質可知，，且，所以，，且，所以，四邊形是平行四邊形，所以，.因為平面，平面，所以平面.同理可得，平面.因為平面，平面，，所以，平面平面.又平面平面，所以，根據(jù)面面平行的性質定理可知，只有在線段上運動時，滿足條件.過點作，垂足為，易知，且，，所以，.故答案為：.變式4．（2024·全國·高三專題練習）在邊長為2的正方體中，點M是該正方體表面及其內部的一動點，且平面，則動點M的軌跡所形成區(qū)域的面積是．【答案】【解析】如圖，邊長為2的正方體中，動點M滿足平面，由面面平行的性質得：當始終在一個與平面平行的面內，即滿足題意，連接，，，因為且，所以四邊形為平行四邊形，所以，同理，又平面，平面，所以平面，因為平面，平面，所以平面，又因平面，所以平面平面，又平面，所以動點M的軌跡所形成區(qū)域為，，，所以動點M的軌跡所形成區(qū)域的面積是.故答案為：.變式5．（2024·全國·高三專題練習）如圖，已知正方體的棱長為分別是棱的中點，點為底面四邊形內（包括邊界）的一動點，若直線與平面無公共點，則點在四邊形內運動所形成軌跡的長度為.【答案】【解析】取的中點，連接，如圖所示：分別是棱的中點，所以，又因為平面平面，所以平面.因為，所以四邊形為平行四邊形，所以.又因為平面平面，所以平面.因為，所以平面平面.因為點為底面四邊形內（包括邊界）的一動點，直線與平面無公共點，所以的軌跡為線段，則.故答案為：.變式6．（2024·全國·高三專題練習）如圖所示，正方體的棱長為分別為，的中點，點是正方體表面上的動點，若平面，則點在正方體表面上運動所形成的軌跡長度為．【答案】/【解析】取的中點的中點，連結．正方體的棱長為2．為中點，所以，所以且．因為為分別為的中點，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以．因為面面，所以面．同理可證：面．又面面，所以面面．所以點在正方體表面上運動所形成的軌跡為三角形．因為正方體的棱長為2，所以，所以三角形的周長為．故答案為：.變式7．（2024·全國·高三專題練習）已知棱長為的正四面體，為的中點，動點滿足，平面經過點，且平面平面，則平面截點的軌跡所形成的圖形的周長為.【答案】【解析】設的外心為，的中點為，過作的平行線，則以為坐標原點，可建立如圖所示空間直角坐標系，為等邊三角形，，，，，，，設，由得：，整理可得：，動點的軌跡是以為球心，為半徑的球；延長到點，使得，，，則，，又平面，平面，平面，平面，由，平面，平面平面，即平面為平面，則點到平面的距離即為點到直線的距離，，，，即，點到直線的距離，截面圓的半徑，球被平面截得的截面圓周長為，即平面截點的軌跡所形成的圖形的周長為.故答案為：.題型二：由動點保持垂直求軌跡例4．（2024·湖南株洲·高三株洲二中?？茧A段練習）在棱長為4的正方體中，點P、Q分別是，的中點，點M為正方體表面上一動點，若MP與CQ垂直，則點M所構成的軌跡的周長為.【答案】【解析】如圖，只需過點P作直線CQ的垂面即可，垂面與正方體表面的交線即為動點M的軌跡.分別取，的中點R，S，由，知，易知，又，，平面ABRS，所以平面ABRS，過P作平面ABRS的平行平面，點M的軌跡為四邊形，其周長與四邊形ABRS的周長相等，其中，，所以點M所構成的軌跡的周長為.故答案為：例5．（2024·湖南長沙·長郡中學?？级＃┰谡睦庵?，，E為中點，為正四棱柱表面上一點，且，則點的軌跡的長為.【答案】/【解析】如圖，連接，，由題可知，，平面.因平面，則.又平面，平，，則平面.又平面，則；如圖，過E做平行線，交于F，則F為中點.連接，過做垂線，交于G.由題可得，平面，又，則平面.因平面，則.又平面，平面，，則平面.因平面，則；因平面，平面，，則平面.連接，則點P軌跡為平面與四棱柱的交線，即.注意到，，則，故.則點的軌跡的長為.故答案為：.例6．（2024·全國·唐山市第十一中學?？寄M預測）已知為正方體的內切球球面上的動點，為的中點，，若動點的軌跡長度為，則正方體的體積是.【答案】【解析】如圖所示：正方體，設，則內切球的半徑，其中為的中點，取的中點，連接,則有：,又,平面，所以平面，所以動點的軌跡是平面截內切球的交線，即平面截內切球的交線，因為正方體，，如圖所示：連接,則有且，，且，設到平面的距離為：，則在三棱錐中，有，所以，即，解得：，截面圓的半徑，所以動點的軌跡長度為：，即，解得，所以，正方體的體積：，故答案為：.變式8．（2024·全國·高三專題練習）已知直三棱柱的所有棱長均為4，空間內的點滿足，且，則滿足條件的所形成曲線的軌跡的長度為.【答案】/【解析】設的中點為，的中點為，易知，因為，且，所以點在以，為直徑的球上，球心分別為，，半徑分別為，，即，，又，所以，即，過作，垂足為，則，因為兩球的交線為圓，所以點軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，所以軌跡長度為.故答案為：.變式9．（2024·四川成都·三模）如圖，AB為圓柱下底面圓O的直徑，C是下底面圓周上一點，已知，，圓柱的高為5．若點D在圓柱表面上運動，且滿足，則點D的軌跡所圍成圖形的面積為．【答案】10【解析】作母線，，連接，因為，所以共面，是圓柱的一個截面，平面，平面，所以，又由已知得，而，平面，所以平面，由得，所以平面，矩形即為點軌跡，，則，又，所以矩形的面積為．故答案為：10.變式10．（2024·全國·高三專題練習）如圖，為圓柱下底面圓的直徑，是下底面圓周上一點，已知，圓柱的高為5．若點在圓柱表面上運動，且滿足，則點的軌跡所圍成圖形的面積為．【答案】10【解析】因為是圓柱下底面圓的直徑，所以，又，，平面，所以平面，設過的母線與上底面的交點為，過的母線與上底面的交點為，連，因為平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，所以點在平面內，又點在圓柱的表面，所以點的軌跡是矩形，依題意得，，，所以，所以矩形的面積為.故點的軌跡所圍成圖形的面積為.故答案為：.變式11．（2024·浙江寧波·高一慈溪中學校聯(lián)考期末）如圖，在直三棱柱中，，，，動點在內（包括邊界上），且始終滿足，則動點的軌跡長度是.【答案】【解析】在直三棱柱中，平面，因為平面，所以，，又因為，，、平面，所以，平面，因為平面，所以，，因為，，則四邊形為菱形，所以，，又因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，.在平面內，過點作，垂足為點，因為平面，平面，則，因為，，、平面，所以，平面，因為平面，則，因為，、平面，所以，平面，由于動點又在內，所以動點在平面與平面的交線上，因為，，，所以，，由等面積法可得，因此，動點的軌跡長度是.故答案為：.變式12．（2024·山東棗莊·高一統(tǒng)考期末），分別是棱長為1的正方體的棱的中點，點在正方體的表面上運動，總有，則點的軌跡所圍成圖形的面積為.

【答案】【解析】取中點，連接，設，則，，，所以，所以，因為，所以，所以，即，因為正方體中面，面，所以，因為面，，所以面，因為正方體中面，面，所以，所以點的軌跡為矩形，在直角中，所以矩形面積為.即點的軌跡所圍成圖形的面積為.故答案為：變式13．（2024·四川廣元·高二廣元中學?？计谥校┤鐖D，為圓柱下底面圓的直徑，是下底面圓周上一點，已知，，圓柱的高為5．若點在圓柱表面上運動，且滿足，則點的軌跡所圍成圖形的面積為．

【答案】【解析】因為是圓柱下底面圓的直徑，所以，又，，，平面，所以平面，設過A的母線與上底面的交點為，過的母線與上底面的交點為，連，，，則四邊形為矩形，因為平面，平面，所以，因為，，平面，所以平面，所以點在平面內，又點在圓柱的表面，所以點的軌跡所圍成圖形是矩形，依題意得，，，所以，所以矩形的面積為，故點的軌跡所圍成圖形的面積為．故答案為：．變式14．（2024·陜西榆林·高二校考階段練習）如圖，正方體的棱長為，點是棱的中點，點是正方體表面上的動點．若，則點在正方體表面上運動所形成的軌跡的長度為（

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A． B．C． D．【答案】C【解析】取的中點，的中點，連接、、、、，設，如下圖所示．因為四邊形是正方形，又點是棱的中點，點是的中點，則，，，所以，，所以，，所以，，所以，，即．在正方體中，平面，又平面，所以，又，、平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，，又，、平面，所以，平面．所以點在正方體表面上運動所形成的軌跡為的三邊，因為正方體的棱長為，由勾股定理可得，同理可得，，所以的周長為．故選：C．題型三：由動點保持等距（或定長）求軌跡例7．（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中?？计谀┰诶忾L為1的正方體中，點Q為側面內一動點（含邊界），若，則點Q的軌跡長度為．【答案】/【解析】由題意，在面的軌跡是以為圓心，半徑為的四分之一圓弧，所以軌跡長度為.故答案為：例8．（2024·湖北武漢·高一湖北省水果湖高級中學校聯(lián)考期末）已知正方體的棱長為3，動點在內，滿足，則點的軌跡長度為.【答案】【解析】在正方體中，如圖，平面，平面，則，而，，，平面，于是平面，又平面，則，同理，而，，平面，因此平面，令交平面于點，由，得，即，解得，而，于是，因為點在內，滿足，則，因此點的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓在內的圓弧，而為正三角形，則三棱錐必為正三棱錐，為正的中心，于是正的內切圓半徑，則，即，，所以圓在內的圓弧為圓周長的，即點的軌跡長度為故答案為：例9．（2024·河北邯鄲·高一大名縣第一中學校考階段練習）已知正方體的棱長為1，點P在該正方體的表面上運動，且則點P的軌跡長度是．【答案】【解析】當時，如圖，點的軌跡是在面，，三個面內以1為半徑，圓心角為的三段弧，所以此時點點P在該正方體的表面上運動的軌跡的長度為，故答案為：變式15．（2024·貴州銅仁·統(tǒng)考模擬預測）已知正方體的棱長為4，點P在該正方體的表面上運動，且，則點P的軌跡長度是．【答案】【解析】因為，所以點可能在平面內，可能在平面內，可能在平面內.當點在平面內時，由平面，平面，可知，所以，所以，所以點到的距離為，所以點的軌跡為以點為圓心，為半徑的圓與正方形邊界及其內部的交線.如上圖，，，則的長，所以，當點在平面內時，點P的軌跡長度是.同理可得，當點在平面內時，點P的軌跡長度也是.當點在平面時，點P的軌跡長度也是.綜上所述，點P的軌跡長度為.故答案為：.變式16．（2024·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）表面積為36π的球M表面上有A，B兩點，且為等邊三角形，空間中的動點P滿足，當點P在所在的平面內運動時，點P的軌跡是；當P在該球的球面上運動時，點P的軌跡長度為.【答案】圓【解析】設球的半徑為r，則，解得r＝3，在平面內，動點P的軌跡組成一個圓，以線段AB所在直線為x軸，以靠近點B且長度為1處為坐標原點，則，，此時動點P的軌跡方程為，設其圓心為，則在空間中，z軸和xOy坐標平面垂直，動點P的軌跡為xOy平面中的圓繞x軸旋轉一周形成球的球面，如圖所示，所以點P的軌跡是兩個球面的交線，這兩個球分別是以M和為球心，在中，結合余弦定理得到.設交線所圍成的圓半徑為R.則，解得.所以交線的長度為.故答案為：圓；變式17．（2024·全國·高三專題練習）已知正四棱柱的體積為16，是棱的中點，是側棱上的動點，直線交平面于點，則動點的軌跡長度的最小值為．【答案】【解析】如圖取的中點，連接交于點，連接、交于點，連接、，因為是棱的中點，所以，則為的四等分點且，由正四棱柱的性質可知且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，所以、、、四點共面，所以平面平面，連接交于點，因為是側棱上的動點，直線交平面于點，所以線段即為點的軌跡，如圖在平面中，過點作，交于點，因為，所以，所以，所以，設、，，依題意，，所以，要求動點的軌跡長度的最小值，即求的最小值，即求的最小值，因為，所以，所以，當且僅當，即、時取等號，所以，所以，即動點的軌跡長度的最小值為.故答案為：變式18．（2024·全國·高三專題練習）已知棱長為8的正方體中，平面ABCD內一點E滿足，點P為正方體表面一動點，且滿足，則動點P運動的軌跡周長為．【答案】【解析】，則在的延長線上，且，由正方體性質知平面，當在平面上時，平面，，由得，因此點軌跡是以為圓心，2為半徑的圓在正方形內的部分即圓周的，弧長為，從而知點在以為頂點的三個面內．當在棱上時，，，因此點在面時，點軌跡是以為圓心，為半徑的圓在正方形內的圓弧，圓弧的圓心角為，弧長為，同理點在面內的軌跡長度也為，所以所求軌跡長度為．故答案為：．變式19．（2024·全國·高三專題練習）如圖，已知棱長為2的正方體A′B′C′D′－ABCD，M是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D內（包括邊界）的動點，滿足PM=PD，則點P的軌跡長度為．【答案】【解析】如圖建立空間直角坐標系，則設平面的法向量則有，令，則則設，則∵，則又∵PM=PD，則整理得：聯(lián)立方程，則可得，可得當時，，當時，在空間中，滿足PM=PD的P為過MD的中點且與MD垂直的平面兩個平面的公共部分為直線，即點P的軌跡為平面A′C′D，則故答案為：．變式20．（2024·河南許昌·高三統(tǒng)考階段練習）三棱錐的體積為，底面三角形是邊長為的正三角形且其中心為，三棱錐的外接球球心到底面的距離為2，則點的軌跡長度為.【答案】【解析】三棱錐的體積為，底面三角形是邊長為的正三角形，設三棱錐的高為所以，故，又正三角形的外接圓半徑為，則，又三棱錐的外接球球心到底面的距離為2，所以三棱錐的外接球半徑，即，又因為頂點到底面的距離為，所以頂點的軌跡是一個截面圓的圓周（球心在底面和截面圓之間）且球心到該截面圓的距離為，所以截面圓的半徑為，故頂點的軌跡長度是．故答案為：．變式21．（2024·全國·高三專題練習）在三棱錐中，，二面角的大小為，在側面內(含邊界)有一動點，滿足到的距離與到平面的距離相等，則動點的軌跡的長度為．【答案】【解析】如圖，過作于，平面于，過作于，連接，則為二面角的平面角，由，得．又，所以，在中，以所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標系，則直線的方程為，直線的方程為，所以直線與的交點坐標為，所以的軌跡為線段，長度為．故答案為：．題型四：由動點保持等角（或定角）求軌跡例10．（2024·山東·高三專題練習）如圖所示，在平行四邊形中，E為中點，，，.沿著將折起，使A到達點的位置，且平面平面.設P為內的動點，若，則P的軌跡的長度為.【答案】【解析】建立如圖示空間直角坐標系，則,設則∴\,∵∴,∴整理化簡得：∴P的軌跡為圓，交于,于,則∴所對應的圓心角，∴弧長為．故答案為：．例11．（2024·全國·高三專題練習）在棱長為6的正方體中，點是線段的中點，是正方形（包括邊界）上運動，且滿足，則點的軌跡周長為.【答案】/【解析】如圖，在棱長為6的正方體中，則平面，平面，又，在平面上，，，又，，，即，如圖，在平面中，以為原點，分別為軸建立平面直角坐標系，則，，，由，知，化簡整理得，，圓心，半徑的圓，所以點的軌跡為圓與四邊形的交點，即為圖中的其中，，，則由弧長公式知故答案為：.例12．（2024·湖北省直轄縣級單位·統(tǒng)考模擬預測）已知正方體的棱長為2，M為棱的中點，N為底面正方形ABCD上一動點，且直線MN與底面ABCD所成的角為，則動點N的軌跡的長度為．【答案】【解析】如圖所示，取BC中點G，連接MG，NG，由正方體的特征可知MG⊥底面ABCD，故MN與底面ABCD的夾角即，∴，則，故N點在以G為原點為半徑的圓上，又N在底面正方形ABCD上，即N的軌跡為圖示中的圓弧，易知，所以長為.故答案為：.變式22．（2024·陜西·高三陜西省榆林中學校聯(lián)考階段練習）已知正方體的棱長為2，點為平面內的動點，設直線與平面所成的角為，若，則點的軌跡所圍成的周長為．【答案】【解析】如圖所示，連接交平面于，連接，因為平面，所以，又，且與相交，所以平面，所以，同理可得，又，所以平面，∴是平面所成的角，∴．由可得，，即．在四面體中，，平面，所以，所以為的中心，又，．∴四面體為正三棱錐，如圖所示：在等邊三角形中，，，∵，∴，即在平面內的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，∴周長為.故答案為：變式23．（2024·全國·高三專題練習）已知點P是棱長為2的正方體的表面上一個動點，若使的點P的軌跡長度為a；使直線平面BDC的點P的軌跡長度為b；使直線AP與平面ABCD所成的角為45°的點P的軌跡長度為c．則a，b，c的大小關系為．（用“＜”符號連接）【答案】b＜c＜a【解析】若點到點的距離為2，則點的軌跡為球的表面與正方體交軌，在平面內，的軌跡為以為圓心，2為半徑的圓弧，由對稱性知，這樣的圓弧同樣在平面內和平面內，故的軌跡長度；若平面，則點的軌跡為過點且平行于平面的平面與正方體交軌，而平面平面，所以點的軌跡長度為三角形的周長（除掉點，不影響周長），故，若直線與平面所成的角為，則點的軌跡為圓錐的側面與正方體交軌，在平面內，點的軌跡為對角線（除掉點，不影響）；在平面內，點的軌跡為對角線（除掉點，不影響）；在平面內是以點為圓心2為半徑的圓弧，如圖，故點的軌跡長度為，∵，∴，即．故答案為：．變式24．（2024·全國·高三專題練習）已知正方體中，，點E為平面內的動點，設直線與平面所成的角為，若，則點E的軌跡所圍成的面積為．【答案】【解析】如圖所示，連接交平面于，連接，由題意可知平面，所以是與平面所成的角，所以＝.由可得，即.在四面體中，,,所以四面體為正三棱錐，為的重心，如圖所示：所以解得，,又因為，所以，即在平面內的軌跡是以O為圓心，半徑為1的圓，所以.故答案為:.變式25．（2024·山西大同·高一統(tǒng)考期中）已知是半徑為2的球面上的四點，且．二面角的大小為，則點形成的軌跡長度為．【答案】【解析】由題意，為等腰直角三角形，且外接圓半徑，圓心為中點，又外接球半徑，球心，則，易知：為等腰直角三角形，又二面角的大小為，由為外接圓直徑，且面面，則與面所成角為，所以到外接圓圓心距離，故外接圓的半徑為，注意：根據(jù)二面角大小及球體的對稱性，如上圖示，軌跡在大球冠對應外接圓優(yōu)弧的一側，在小球冠對應外接圓劣弧的一側，所以軌跡長度為.故答案為：變式26．（2024·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）粽子是端午節(jié)期間不可缺少的傳統(tǒng)美食，銅仁的粽子不僅餡料豐富多樣，形狀也是五花八門，有竹筒形、長方體形、圓錐形等，但最常見的還是“四角粽子”，其外形近似于正三棱錐．因為將粽子包成這樣形狀，既可以節(jié)約原料，又不失飽滿，而且十分美觀．如圖，假設一個粽子的外形是正三棱錐，其側棱和底面邊長分別是8cm和6cm，是頂點在底面上的射影．若是底面內的動點，且直線與底面所成角的正切值為，則動點的軌跡長為．

【答案】【解析】由題意可知是底面等邊三角形的的中心，所以,進而,連接,由于底面，所以即為直線與底面所成的角，所以,因此點在以為圓心，半徑為的圓上運動，所以的軌跡長為,故答案為：變式27．（2024·廣東佛山·高二校聯(lián)考期中）如圖，正方體的棱長為1，點P為正方形內的動點，滿足直線BP與下底面ABCD所成角為的點P的軌跡長度為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】直線BP與下底面ABCD所成角等于直線BP與上底面所成角，連接，因為⊥平面，平面，所以⊥，故為直線BP與上底面所成角，則，因為，所以，故點P的軌跡為以為圓心，為半徑，位于平面內的圓的，故軌跡長度為.故選：B變式28．在正方體中，動點M在底面內運動且滿足，則動點M在底面內的軌跡為（

）A．圓的一部分 B．橢圓的一部分C．雙曲線一支的一部分 D．前三個答案都不對【答案】A【解析】因為，故在圓錐面上，該圓錐以為軸，為頂點，而M在底面內，故動點M在底面內的軌跡是以D為圓心的四分之一圓弧．故選：A.題型五：投影求軌跡例13．（2024·安徽滁州·高三?？茧A段練習）如圖，在中，，，，D為線段BC（端點除外）上一動點.現(xiàn)將沿線段AD折起至，使二面角的大小為120°，則在點D的移動過程中，下列說法錯誤的是（）A．不存在點，使得B．點在平面上的投影軌跡是一段圓弧C．與平面所成角的余弦值的取值范圍是D．線段的最小值是【答案】D【解析】過點B作AD的垂線,交AD于點E,連接,,過點作BE的垂線,交BE于點H,易知,則平面,所以為二面角的平面角的補角,即,所以,即H為BE的中點,易知平面平面,又,所以平面ABC,所以在平面ABC上的投影為點H,對于選項A,若,連接CH,則,而這是不可能成立的,故A正確；對于選項B,因為,所以點E的軌跡為以AB為直徑的一段圓弧,又H為BE的中點,所以點H的軌跡也為一段圓弧,故B正確；對于選項C,連接AH,則與平面ABC所成的角為,設,則,所以由,得,所以,所以,所以,所以,故C正確；對于選項D,設,則,,,其中,故,故D錯誤,故選:D例14．（2024·江蘇徐州·高二徐州市第一中學?？茧A段練習）如圖，在等腰中，，，為的中點，為的中點，為線段上一個動點（異于兩端點），沿翻折至，點在平面上的投影為點，當點在線段上運動時，以下說法不正確的是（

）．A．線段為定長 B．C． D．點的軌跡是圓弧【答案】B【解析】翻折后的立體圖形，如圖所示．對A，因為點在平面上的投影為點，所以平面，又平面，所以，故為直角三角形，又為斜邊的中點，所以為定長.故A正確．對C，當在處時，此時點在平面上的投影為點與重合，故，又在中，，因為為線段上一個動點（異于兩端點），所以.故C正確．對D，因為，為的中點，所以點的軌跡是圓?。蔇正確．故選：B．例15．（2024·江西贛州·高二南康中學校考階段練習）在等腰直角中，，，為中點，為中點，為邊上一個動點，沿翻折使，點在平面上的投影為點，當點在上運動時，以下說法錯誤的是A．線段為定長 B．C．線段的長 D．點的軌跡是圓弧【答案】B【解析】如圖所示，對于A中，在為直角三角形，ON為斜邊AC上的中線，為定長，即A正確；對于C中，點D在M時，此時點O與M點重合，此時，，此時，即正確；對于D，由A可知，根據(jù)圓的定義可知，點O的軌跡是圓弧，即D正確；故選B．變式29．（2024·全國·高三專題練習）如圖，已知水平地面上有一半徑為4的球，球心為，在平行光線的照射下，其投影的邊緣軌跡為橢圓O．如圖，橢圓中心為O，球與地面的接觸點為E，．若光線與地面所成角為，橢圓的離心率．【答案】/【解析】連接,因為，所以,所以,在照射過程中，橢圓的短半軸長是球的半徑，即，如圖，橢圓的長軸長是，過點向作垂線，垂足為，由題意得，因為，所以，所以，得，所以橢圓的離心率為，故答案為：變式30．（2024·浙江嘉興·高三嘉興一中?？计谥校┤鐖D，在中，，，.過的中點的動直線與線段交于點.將沿直線向上翻折至，使得點在平面內的投影落在線段上.則點的軌跡長度為.【答案】【解析】因為翻折前后長度不變，所以點可以在空間中看做以為球心，AC為直徑的球面上，又因為的投影始終在上，所以點所在的面垂直于底面，故點軌跡為垂直于底面ABC的豎直面去截球所得圓面的圓弧，這個圓弧的直徑為時，的長度（由余弦定理可得，所以此時），如圖，以底面點B為空間原點建系，根據(jù)底面幾何關系，得點，點，設點，翻折后點的投影在軸上，所以點縱坐標為0，即由，，根據(jù)空間兩點之間距離公式可得軌跡：，又因為動點要符合空間面翻折結論：，即，其中，又動點N在線段AB上動，設，故，且，由，可計算得橫坐標范圍為，且點在上方，由，計算可得圓弧所在扇形圓心角為，所以弧長為.故答案為：.變式31．（2024·北京·高三專題練習）如圖，在矩形中，，，為線段上一動點，現(xiàn)將沿折起得到，當二面角的平面角為，點在平面上的投影為，當從運動到，則點所形成軌跡的長度為.【答案】【解析】根據(jù)折疊關系找出與有關的幾何關系，得出點的軌跡為圓的一部分，再考慮在運動過程中掃過的弧長即可求解.在折疊后的圖中，作垂足為，連接，根據(jù)三垂線定理，，所以就是二面角的平面角為，，根據(jù)折疊關系，與全等，對應邊上的高位置相同，即在線段上，且是線段的中點，取的中點，連接，則，所以點的軌跡為以為直徑的圓的一部分，當從運動到，點在圓周上從點運動到，這段弧所對圓心角為，這段弧長為.故答案為：題型六：翻折與動點求軌跡例16．（2024·全國·高三專題練習）在矩形中，是的中點，，將沿折起得到，設的中點為，若將繞旋轉，則在此過程中動點形成的軌跡長度為.【答案】/【解析】如圖，設的中點為，繞旋轉，此時平面平面，取中點，中點，中點，連接.，，和是等腰直角三角形，且在旋轉過程中保持形狀大小不變，故動點的軌跡是以為圓心，為半徑的一段圓弧，又面，面，面，同理面，又，面面，又平面平面，故面面，又面面，，故面，又面，，故動點形成的軌跡長度為.故答案為：.例17．（2024·全國·高三專題練習）矩形ABCD中，，E為AB中點，將△ADE沿DE折起至△A'DE，記二面角A'-DE-C=θ，當θ在范圍內變化時，點A'的軌跡長度為【答案】；【解析】取的中點為，連接，則，故在以球心，為半徑的球面上.過作，垂足為，連接，則.在矩形中，，故，故，而，故平面，故在過且垂直于的平面上，所以在以為圓心，為半徑的圓上，而為二面角的平面角，故，故點的軌跡長度為，故答案為：.例18．（2024·全國·高三專題練習）如圖所示，在平行四邊形中，為中點，，，.沿著將折起，使到達點的位置，且平面平面.若點為內的動點，且滿足，則點的軌跡的長度為.【答案】【解析】因平面平面，平面平面，，于是得平面，而，則平面，從而得PE，PD分別是PB，PD在平面內的射影，如圖，，，而，則，在所在平面內以點E為原點，射線ED、分別為x，y軸非負半軸建立平面直角坐標系，如圖，則，設，于是得，整理得，從而得點P的軌跡是以為圓心，4為半徑的圓，圓M交分別于Q，N，顯然，圓M在內的部分是圓心角所對的弧，弧長為，所以點的軌跡的長度為.故答案為：變式32．（2024·全國·高三專題練習）已知菱形ABCD的邊長為2，.將菱形沿對角線AC折疊成大小為60°的二面角.設E為的中點，F(xiàn)為三棱錐表面上動點，且總滿足，則點F軌跡的長度為.【答案】【解析】連接AC、BD，交于點O，連接OB′，ABCD為菱形，∠ABC＝60°，所以AC⊥BD，OB′⊥AC，△ABC、△ACD、△AB′C均為正三角形，所以∠B′OD為二面角B'﹣AC﹣D的平面角，于是∠B′OD＝60°，又因為OB′＝OD，所以△B′OD為正三角形，所以B′D＝OB′＝OD＝，取OC中點P，取CD中點Q，連接EP、EQ、PQ，所以PQ∥OD、EP∥OB′，所以AC⊥EP、AC⊥PQ，所以AC⊥平面EPQ，所以在三棱錐B'﹣ACD表面上，滿足AC⊥EF的點F軌跡的△EPQ，因為EP＝OB′，PQ＝OD，EQ＝B′Q，所以△EPQ的周長為，所以點F軌跡的長度為．故答案為：變式33．（2024·江蘇連云港·高二?？茧A段