第36講、平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算（教師版）

第36講平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一．平面向量的數(shù)量積（1）平面向量數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即=，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義①向量的投影：叫做向量在方向上的投影數(shù)量，當(dāng)為銳角時(shí)，它是正數(shù)；當(dāng)為鈍角時(shí)，它是負(fù)數(shù)；當(dāng)為直角時(shí)，它是0．②的幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在方向上射影的乘積．③設(shè)，是兩個(gè)非零向量，它們的夾角是與是方向相同的單位向量，，過的起點(diǎn)和終點(diǎn)，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．記為．知識(shí)點(diǎn)二．?dāng)?shù)量積的運(yùn)算律已知向量、、和實(shí)數(shù)，則：①；②；③．知識(shí)點(diǎn)三．?dāng)?shù)量積的性質(zhì)設(shè)、都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則①．②．③當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，．特別地，或．④．⑤．知識(shí)點(diǎn)四．?dāng)?shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算已知非零向量，，為向量、的夾角．結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模數(shù)量積夾角的充要條件的充要條件與的關(guān)系（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）知識(shí)點(diǎn)五、向量中的易錯(cuò)點(diǎn)（1）平面向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，可正、可負(fù)、可為零，且．（2）當(dāng)時(shí)，由不能推出一定是零向量，這是因?yàn)槿我慌c垂直的非零向量都有．當(dāng)時(shí)，且時(shí)，也不能推出一定有，當(dāng)是與垂直的非零向量，是另一與垂直的非零向量時(shí)，有，但．（3）數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即，這是因?yàn)槭且粋€(gè)與共線的向量，而是一個(gè)與共線的向量，而與不一定共線，所以不一定等于，即凡有數(shù)量積的結(jié)合律形式的選項(xiàng)，一般都是錯(cuò)誤選項(xiàng)．（4）非零向量夾角為銳角（或鈍角）．當(dāng)且僅當(dāng)且（或，且【解題方法總結(jié)】（1）在上的投影是一個(gè)數(shù)量，它可以為正，可以為負(fù)，也可以等于0．（2）數(shù)量積的運(yùn)算要注意時(shí)，，但時(shí)不能得到或，因?yàn)闀r(shí)，也有．（3）根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：，，等，所以平面向量數(shù)量積可以用來解決有關(guān)長度、角度、垂直的問題．（4）若、、是實(shí)數(shù)，則（）；但對于向量，就沒有這樣的性質(zhì)，即若向量、、滿足（），則不一定有，即等式兩邊不能同時(shí)約去一個(gè)向量，但可以同時(shí)乘以一個(gè)向量．（5）數(shù)量積運(yùn)算不適合結(jié)合律，即，這是由于表示一個(gè)與共線的向量，表示一個(gè)與共線的向量，而與不一定共線，因此與不一定相等．必考題型全歸納題型一：平面向量的數(shù)量積運(yùn)算例1．（2024·吉林四平·高三四平市第一高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎蛄浚瑵M足，且與的夾角為，則（

）A．6 B．8 C．10 D．14【答案】B【解析】`由，且與的夾角為，所以.故選：B.例2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，，向量在方向上投影向量是，則為（

）A．12 B．8 C．-8 D．2【答案】A【解析】在方向上投影向量為，，.故選：A例3．（2024·湖南長沙·周南中學(xué)?？级＃┮阎庑蜛BCD的邊長為1，，G是菱形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】在菱形ABCD，菱形ABCD的邊長為1，，所以，所以，則為等邊三角形，因?yàn)?，所以，設(shè)點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，則，所以，所以G，A，M三點(diǎn)共線，所以AM為BC的中線，所以，同理可得點(diǎn)AB，AC的中線過點(diǎn)G，所以點(diǎn)G為的重心，故，在等邊中，M為BC的中點(diǎn)，則，所以.故選：A

變式1．（2024·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知單位向量，且，若，，則（

）A．1 B．12 C．或2 D．或1【答案】D【解析】由題意單位向量，且，可知與的夾角為，因?yàn)椋曰?，故?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故選：D.變式2．（2024·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）將向量繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)橄蛄坷@坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，所以向量與向量的夾角為，且，所以.故選：B變式3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）正方形的邊長是2，是的中點(diǎn)，則（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【解析】方法一：以為基底向量，可知，則，所以；方法二：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，可得，所以；方法三：由題意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故選：B.變式4．（2024·天津和平·高三耀華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，為上一點(diǎn)，且滿足，若，，則的值為（

）.

A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，即且，∴，又C、P、D共線，有，即，即，而，∴∴=.故選：C變式5．（2024·陜西西安·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知向量，滿足同向共線，且，，則（

）A．3 B．15 C．或15 D．3或15【答案】D【解析】因?yàn)橄蛄浚瑵M足同向共線，所以設(shè)，又因?yàn)?，，所以，所以或，即?①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；所以的值為3或15.故選：D.變式6．（2024·吉林長春·東北師大附中校考模擬預(yù)測）在矩形中，與相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】建立如圖所示直角坐標(biāo)系：

則，設(shè)，則且，，解得，，在矩形中，為的中點(diǎn)，所以，由，所以，，故選：D.【解題方法總結(jié)】（1）求平面向量的數(shù)量積是較為常規(guī)的題型，最重要的方法是緊扣數(shù)量積的定義找到解題思路．（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義及坐標(biāo)表示，分別突出了它的幾何特征和代數(shù)特征，因而平面向量數(shù)量積是中學(xué)數(shù)學(xué)較多知識(shí)的交匯處，因此它的應(yīng)用也就十分廣泛．（3）平面向量的投影問題，是近幾年的高考熱點(diǎn)問題，應(yīng)熟練掌握其公式：向量在向量方向上的投影為．（4）向量運(yùn)算與整式運(yùn)算的同與異（無坐標(biāo)的向量運(yùn)算）同：；；公式都可通用異：整式：，僅僅表示數(shù)；向量：（為與的夾角），使用范圍廣泛，通常是求模或者夾角．，通常是求最值的時(shí)候用．題型二：平面向量的夾角例4．（2024·河南駐馬店·統(tǒng)考二模）若單位向量，滿足，則向量，夾角的余弦值為____________．【答案】/【解析】設(shè)向量，的夾角為，因?yàn)?，所以．又，所以，所以．故答案為：?．（2024·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若是夾角為的兩個(gè)單位向量，則與的夾角大小為________.【答案】/【解析】是夾角為的兩個(gè)單位向量，則，，，，，，.故答案為：例6．（2024·重慶·高三重慶一中校考階段練習(xí)）已知向量和滿足：，，，則與的夾角為__________．【答案】/【解析】記向量和的夾角為，將平方得到：或，又因?yàn)椋矗蚀鸢笧椋?變式7．（2024·上海楊浦·復(fù)旦附中?？寄M預(yù)測）若向量與不共線也不垂直，且，則向量夾角________.【答案】【解析】由題意可得：，故：，即向量與的夾角為.故答案為：變式8．（2024·上海長寧·上海市延安中學(xué)?？既＃┮阎峭粋€(gè)平面上的向量，若，且，則__________.【答案】【解析】設(shè)，則，，故，，則，，，故，設(shè)，，則，又，解得，故.故答案為：.變式9．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，滿足，，，則向量與的夾角大小為___________.【答案】【解析】由于，所以，所以，所以為銳角，所以.故答案為：變式10．（2024·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知向量，，，則向量與的夾角為______．【答案】【解析】，則，則，又，則故答案為：.變式11．（2024·湖南長沙·雅禮中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知向量，，若非零向量與，的夾角均相等，則的坐標(biāo)為___（寫出一個(gè)符合要求的答案即可）【答案】（1，1），答案不唯一，只需滿足橫縱坐標(biāo)相等即可.【解析】設(shè)，因?yàn)?，，所以，，因?yàn)榕c，的夾角均相等，所以，所以，化簡得，所以，因?yàn)闉榉橇阆蛄?，可取，此時(shí).故答案為：（1，1），答案不唯一，只需滿足橫縱坐標(biāo)相等即可.【解題方法總結(jié)】求夾角，用數(shù)量積，由得，進(jìn)而求得向量的夾角．題型三：平面向量的模長例7．（2024·湖北·荊門市龍泉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知平面向量，，滿足，，且.若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，則，可得，所以.故選：A例8．（2024·陜西咸陽·武功縣普集高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知，是非零向量，，，向量在向量方向上的投影為，則________.【答案】2【解析】∵，∴，∴，∵向量在向量方向上的投影為，∴，∴，∴，∴.故答案為：2例9．（2024·海南·高三校聯(lián)考期末）已知向量，滿足，，，則__________．【答案】【解析】因?yàn)?，，，則，所以，所以，解得：，.故答案為：.變式12．（2024·四川南充·閬中中學(xué)?？级＃┮阎獮閱挝幌蛄?，且滿足，則______.【答案】【解析】為單位向量，且滿足，所以，即，解得，所以.故答案為：.變式13．（2024·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）已知平面向量滿足,且，則=_________________．【答案】【解析】由,得,所以.故答案為：變式14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知向量滿足，，則______．【答案】【解析】由，得，即①．又由，得，即，代入①，得，整理，得，所以．故答案為：變式15．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，點(diǎn)P在線段AB上，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為______．【答案】【解析】由題知，，設(shè)，，，，，，，，，則直線方程為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，求解可得，，，即點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：變式16．（2024·廣西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，若，則______．【答案】【解析】因?yàn)?，且，所以，解得，所以，所以，所?故答案為：【解題方法總結(jié)】求模長，用平方，．題型四：平面向量的投影、投影向量例10．（2024·上海寶山·高三上海交大附中?？计谥校┮阎蛄浚?，則在方向上的數(shù)量投影為______.【答案】【解析】因?yàn)橄蛄?，，所以在方向上的?shù)量投影為.故答案為：.例11．（2024·上海虹口·華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)?？既＃┮阎粝蛄吭谙蛄糠较蛏系臄?shù)量投影為，則實(shí)數(shù)_______．【答案】3【解析】由條件可知，向量在向量方向上的數(shù)量投影為，解得：.故答案為：3例12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，為單位向量，當(dāng)向量、的夾角等于時(shí)，則向量在向量上的投影向量是________．【答案】【解析】因?yàn)橄蛄?、的夾角等于，所以向量在向量上的投影向量是，故答案為：.變式17．（2024·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知向量，向量，則向量在向量方向上的投影為_________.【答案】【解析】.故答案為：變式18．（2024·新疆喀什·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知向量，滿足，，，則向量在向量方向上的投影為______.【答案】2【解析】因?yàn)?，所以，又，，所以，所以，所以向量在向量方向上的投影?故答案為：變式19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知非零向量滿足，且向量在向量方向的投影向量是，則向量與的夾角是________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，即?因?yàn)橄蛄吭谙蛄糠较虻耐队跋蛄渴?，所?所以②，將①代入②得，，又，所以.故答案為：變式20．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知向量，則向量在向量上的投影向量為__________.【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)樗运詣t向量在向量上的投影向量為：.故答案為：.【解題方法總結(jié)】設(shè)，是兩個(gè)非零向量，它們的夾角是與是方向相同的單位向量，，過的起點(diǎn)和終點(diǎn)，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．記為．題型五：平面向量的垂直問題例13．（2024·四川巴中·南江中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知向量，若，則___________.【答案】/【解析】由題意可得，因?yàn)?，則，解得.故答案為：例14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，，，其中，為單位向量，且，若______，則.注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形.【答案】1（答案不唯一）【解析】因?yàn)槭窍嗷ゴ怪钡膯挝幌蛄浚环猎O(shè)，即，，即，即向量的端點(diǎn)在圓心為，半徑為的圓周上，故可以取，即；故答案為：1.例15．（2024·江西宜春·高三校聯(lián)考期末）設(shè)非零向量，的夾角為．若，且，則____________．【答案】60°/【解析】由題設(shè)，所以，又，所以.故答案為：變式21．（2024·江西南昌·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知兩單位向量的夾角為，若，且，則實(shí)數(shù)_________．【答案】/-0.8【解析】因?yàn)閱挝幌蛄康膴A角為，所以；因?yàn)?，所以，所以．故答案為?變式22．（2024·海南·校考模擬預(yù)測）已知為單位向量，向量在向量上的投影向量是，且，則實(shí)數(shù)的值為______．【答案】/【解析】因?yàn)橄蛄吭谏系耐队跋蛄繛?，所以，又為單位向量，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，故，故答案為?變式23．（2024·全國·模擬預(yù)測）向量，且，則實(shí)數(shù)_________．【答案】【解析】因?yàn)橄蛄?，所以，又，所以，得，解得．故答案為?變式24．（2024·全國·高三專題練習(xí)）非零向量，，若，則______.【答案】/-0.5【解析】因?yàn)?，所以，由題易知，，所以.故答案為：變式25．（2024·河南開封·校考模擬預(yù)測）已知向量，若，則________．【答案】【解析】因?yàn)?，，所以，又，所以，解?故答案為：變式26．（2024·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知向量，不共線，，，寫出一個(gè)符合條件的向量的坐標(biāo)：______.【答案】（答案不唯一）【解析】由題意得，，則，設(shè)，得，且，滿足條件的向量的坐標(biāo)可以為（答案不唯一或者）.故答案為：（答案不唯一）變式27．（2024·河南開封·統(tǒng)考三模）已知向量，，若，則______.【答案】13【解析】∵，，，又∵，∴，解得.故答案為：13【解題方法總結(jié)】題型六：建立坐標(biāo)系解決向量問題例16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)的夾角為，，，，，，又，不妨設(shè)，，，所以，即，，由，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有最小值．故選：B例17．（2024·安徽合肥·合肥市第七中學(xué)校考三模）以邊長為2的等邊三角形ABC每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成曲邊三角形，已知P為弧AC上的一點(diǎn)，且，則的值為（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖所示，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線BC為x軸，過點(diǎn)B且垂直于BC的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，由，得，所以，，所以．

故選：C.例18．（2024·黑龍江哈爾濱·哈師大附中?？寄M預(yù)測）下圖是北京2022年冬奧會(huì)會(huì)徽的圖案，奧運(yùn)五環(huán)的大小和間距如圖所示．若圓半徑均為12，相鄰圓圓心水平路離為26，兩排圓圓心垂直距離為11．設(shè)五個(gè)圓的圓心分別為、、、、，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，做軸于點(diǎn)，所以，由已知可得，，，所以，，，所以.故選：B.

變式28．（2024·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在圓內(nèi)接四邊形中，.若為的中點(diǎn)，則的值為（

）A．-3 B． C． D．3【答案】C【解析】連接，由余弦定理知，所以.由正弦定理得，所以為圓的直徑，所以，所以，從而，又，所以為等邊三角形，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，所在直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.則，所以.故選：C.變式29．（2024·安徽合肥·合肥市第八中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，已知是面積為的等邊三角形，四邊形是面積為2的正方形，其各頂點(diǎn)均位于的內(nèi)部及三邊上，且恰好可在內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，則當(dāng)時(shí)，（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槭敲娣e為的等邊三角形，記邊長為，所以，解得，記內(nèi)切圓的半徑為，根據(jù)，可得：，解得，因?yàn)檎叫蔚拿娣e為2，所以正方形邊長為，記正方形外接圓半徑為，所以其外接圓直徑等于正方形的對角線2，即，根據(jù)正方形的對稱性和等邊三角形的對稱性可知.正方形外接圓即為等邊三角形的內(nèi)切圓，因?yàn)檎叫慰稍趦?nèi)任意旋轉(zhuǎn)，可知正方形各個(gè)頂點(diǎn)均在該的內(nèi)切圓上，以的底邊為軸，以的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示：故可知，圓的方程為，故設(shè)，即，，，

故選:A.變式30．（2024·河南安陽·統(tǒng)考三模）已知正方形的邊長為為正方形的中心，是的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，所以故選：C.【解題方法總結(jié)】邊長為的等邊三角形已知夾角的任意三角形正方形矩形平行四邊形直角梯形等腰梯形圓建系必備（1）三角函數(shù)知識(shí)；（2）向量三點(diǎn)共線知識(shí)．設(shè)，是兩個(gè)非零向量，它們的夾角是與是方向相