2025屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)課時作業(yè)48直線的傾斜角與斜率直線方程含解析蘇教版

PAGEPAGE1課時作業(yè)48直線的傾斜角與斜率、直線方程一、選擇題1．直線x＝eq\f(π,4)的傾斜角等于(C)A．0 B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,2) D．π解析：由直線x＝eq\f(π,4)，知傾斜角為eq\f(π,2).2.如圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則(D)A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1D．k1<k3<k2解析：直線l1的傾斜角α1是鈍角，故k1<0，直線l2與l3的傾斜角α2與α3均為銳角且α2>α3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2.3．若三點P(1,1)，A(2，－4)，B(x，－9)共線，則(B)A．x＝－1 B．x＝3C．x＝eq\f(9,2) D．x＝1解析：三點P(1,1)，A(2，－4)，B(x，－9)共線?eq\o(PA,\s\up16(→))∥eq\o(PB,\s\up16(→))，eq\o(PA,\s\up16(→))＝(1，－5)，eq\o(PB,\s\up16(→))＝(x－1，－10)，得1×(－10)＝－5(x－1)?x＝3.故選B．4．過點(2,1)且傾斜角比直線y＝－x－1的傾斜角小eq\f(π,4)的直線方程是(A)A．x＝2 B．y＝1C．x＝1 D．y＝2解析：∵直線y＝－x－1的斜率為－1，則傾斜角為eq\f(3π,4)，依題意，所求直線的傾斜角為eq\f(3π,4)－eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，∴斜率不存在，∴過點(2,1)的直線方程為x＝2.5．(2024·湖南衡陽月考)已知直線l的傾斜角為θ且過點(eq\r(3)，1)，其中sin(θ－eq\f(π,2))＝eq\f(1,2)，則直線l的方程為(B)A．eq\r(3)x－y－2＝0 B．eq\r(3)x＋y－4＝0C．x－eq\r(3)y＝0 D．eq\r(3)x＋3y－6＝0解析：∵sin(θ－eq\f(π,2))＝eq\f(1,2)，∴cosθ＝－eq\f(1,2)，θ＝eq\f(2π,3)，則tanθ＝－eq\r(3)，直線的方程為y－1＝－eq\r(3)(x－eq\r(3))，即eq\r(3)x＋y－4＝0，故選B．6．(2024·安徽四校聯(lián)考)直線l經(jīng)過點(1,3)且與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形面積為6，則直線l的方程是(A)A．3x＋y－6＝0 B．3x－y＝0C．x＋3y－10＝0 D．x－3y＋8＝0解析：解法1：設(shè)直線l的斜率為k(k<0)，則直線l的方程為y－3＝k(x－1)．x＝0時，y＝3－k；y＝0時，x＝1－eq\f(3,k).所以直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積S＝eq\f(1,2)×(3－k)(1－eq\f(3,k))＝6，整理得k2＋6k＋9＝0，解得k＝－3，所以直線l的方程為y－3＝－3(x－1)，即3x＋y－6＝0，故選A．解法2：依題意，設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)，則可得eq\f(1,a)＋eq\f(3,b)＝1且ab＝12，解得a＝2，b＝6，則直線l的方程為eq\f(x,2)＋eq\f(y,6)＝1，即3x＋y－6＝0，故選A．7．(2024·鄭州模擬)已知直線l的斜率為eq\r(3)，在y軸上的截距為另一條直線x－2y－4＝0的斜率的倒數(shù)，則直線l的方程為(A)A．y＝eq\r(3)x＋2 B．y＝eq\r(3)x－2C．y＝eq\r(3)x＋eq\f(1,2) D．y＝－eq\r(3)x＋2解析：∵直線x－2y－4＝0的斜率為eq\f(1,2)，∴直線l在y軸上的截距為2，∴直線l的方程為y＝eq\r(3)x＋2，故選A．8．若直線l與直線y＝1，x＝7分別交于點P，Q，且線段PQ的中點坐標(biāo)為(1，－1)，則直線l的斜率為(B)A．eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C．－eq\f(3,2) D．eq\f(2,3)解析：依題意，設(shè)點P(a,1)，Q(7，b)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋7＝2，,b＋1＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－5，,b＝－3，))從而可知直線l的斜率為eq\f(－3－1,7＋5)＝－eq\f(1,3).9．已知點P(x，y)在直線x＋y－4＝0上，則x2＋y2的最小值是(A)A．8 B．2eq\r(2)C．eq\r(2) D．16解析：∵點P(x，y)在直線x＋y－4＝0上，∴y＝4－x，∴x2＋y2＝x2＋(4－x)2＝2(x－2)2＋8，當(dāng)x＝2時，x2＋y2取得最小值8.10．(2024·焦作模擬)過點A(3，－1)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線有(B)A．1條 B．2條C．3條 D．4條解析：①當(dāng)所求的直線與兩坐標(biāo)軸的截距都不為0時，設(shè)該直線的方程為x＋y＝a，把(3，－1)代入所設(shè)的方程得a＝2，則所求直線的方程為x＋y＝2，即x＋y－2＝0；②當(dāng)所求的直線與兩坐標(biāo)軸的截距為0時，設(shè)該直線的方程為y＝kx，把(3，－1)代入所設(shè)的方程得k＝－eq\f(1,3)，則所求直線的方程為y＝－eq\f(1,3)x，即x＋3y＝0.綜上，所求直線的方程為x＋y－2＝0或x＋3y＝0，故選B．11．已知函數(shù)f(x)＝asinx－bcosx(a≠0，b≠0)，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋x))，則直線ax－by＋c＝0的傾斜角為(C)A．eq\f(π,4) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(3π,4)解析：由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋x))知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x＝eq\f(π,3)對稱，所以f(0)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))，所以a＝－eq\r(3)b，由直線ax－by＋c＝0知其斜率k＝eq\f(a,b)＝－eq\r(3)，所以直線的傾斜角為eq\f(2π,3)，故選C．二、填空題12．已知三角形的三個頂點A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，則BC邊上中線所在的直線方程為x＋13y＋5＝0.解析：BC的中點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)))，∴BC邊上的中線所在直線方程為eq\f(y－0,－\f(1,2)－0)＝eq\f(x＋5,\f(3,2)＋5)，即x＋13y＋5＝0.13．過點(2，－3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為3x＋2y＝0或x－y－5＝0.解析：若直線過原點，則直線方程為3x＋2y＝0；若直線不過原點，則斜率為1，方程為y＋3＝x－2，即為x－y－5＝0，故所求直線方程為3x＋2y＝0或x－y－5＝0.14．設(shè)點A(－1,0)，B(1,0)，直線2x＋y－b＝0與線段AB相交，則b的取值范圍是[－2,2]．解析：b為直線y＝－2x＋b在y軸上的截距，如圖，當(dāng)直線y＝－2x＋b過點A(－1,0)和點B(1,0)時，b分別取得最小值和最大值．∴b的取值范圍是[－2,2]．15．曲線y＝x3－x＋5上各點處的切線的傾斜角的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).解析：設(shè)曲線上隨意一點處的切線的傾斜角為θ(θ∈[0，π))，因為y′＝3x2－1≥－1，所以tanθ≥－1，結(jié)合正切函數(shù)的圖象可知，θ的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).16．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，P是線段AB上的點，則P到AC，BC的距離的乘積的最大值為3.解析：以C為坐標(biāo)原點，CB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系(如圖所示)，則A(0,4)，B(3,0)，直線AB的方程為eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1.設(shè)P(x，y)(0≤x≤3)，所以P到AC，BC的距離的乘積為xy，因為eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)≥2eq\r(\f(x,3)·\f(y,4))，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(x,3)＝eq\f(y,4)＝eq\f(1,2)時取等號，所以xy≤3，所以xy的最大值為3.17．(2024·武漢市調(diào)研測試)在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，A(8,0)，以O(shè)A為直徑的圓與直線y＝2x在第一象限的交點為B，則直線AB的方程為(A)A．x＋2y－8＝0 B．x－2y－8＝0C．2x＋y－16＝0 D．2x－y－16＝0解析：如圖，由題意知OB⊥AB，因為直線OB的方程為y＝2x，所以直線AB的斜率為－eq\f(1,2)，因為A(8,0)，所以直線AB的方程為y－0＝－eq\f(1,2)(x－8)，即x＋2y－8＝0，故選A．18．(2024·河南鄭州模擬)數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理，三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，重心是三角形三條中線的交點，垂心是三角形三條高線的交點)依次位于同始終線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點B(－1,0)，C(0,2)，AB＝AC，則△ABC的歐拉線方程為(D)A．2x－4y－3＝0 B．2x＋4y＋3＝0C．4x－2y－3＝0 D．2x＋4y－3＝0解析：∵B(－1,0)，C(