“概率”教材分析

“概率，，教材分析

概率論是從數(shù)量關(guān)系側(cè)面研究非確定性現(xiàn)象（也就是隨機現(xiàn)象）的規(guī)律性的學科。所謂概率,

通俗地講，就是在一定條件下，某一事件發(fā)生的可能性的大?。▽W生以往學習的都是一些確

定性的現(xiàn)象，而概率論研究的是非確定性現(xiàn)象，這給教師的教和學生的學帶來一定的難度）。

概率統(tǒng)計在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、科學技術(shù)中有著越來越廣泛的應用，成為研究自然現(xiàn)象、社會現(xiàn)象,

處理工程和公共事業(yè)問題的有力工具，在我國中學開設概率統(tǒng)計課程，是實現(xiàn)教育內(nèi)容現(xiàn)代

化的一個舉措，是勢在必行的（先期使用高中數(shù)學新教材的兩省、一市的2001年高考數(shù)學試

卷中有關(guān)概率的知識占了14分，近10%,是明顯高于其所占課時比例的）。

第十章中概率部分的知識要點是：隨機事件的概念、等可能事件的概率、互斥事件有一個發(fā)

生的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率（包括獨立重復試驗）。

第十章中概率部分的重點是：隨機事件的概念、古典概型、互斥事件有一個發(fā)生的概率、相

互獨立事件同時發(fā)生的概率與n次獨立重復試驗。

難點是：概率的定義、古典概率的計算、概率的加法公式與乘法公式，重復試驗中事件A

發(fā)生k次的概率公式以及概率的應用。

第十章中概率部分的教學要求是：（1）了解隨機事件的發(fā)生存在著規(guī)律性和隨機事件概率

的定義（統(tǒng)計定義）；（2）了解等可能事件的概率的定義及計算公式，會用排列組合的基

本公式計算一些等可能事件的概率；（3）了解互斥事件、相互獨立事件的意義，會用互斥

事件的概率加法公式與相互獨立事件概率的乘法公式計算一些事件的概率；（4）會計算事

件在n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率。

下面對“概率”部分的教學談一點認識。

一、高中數(shù)學新版“概率”教材的特點

1.將隨機事件、頻率、概率的統(tǒng)計定義等合并為一節(jié)，突出概率的統(tǒng)計定義。

2.對古典概率，注意挖掘概率的統(tǒng)計定義與古典定義的關(guān)系，不給古典概率下定義，只提

古典概型。

3.在概率的有關(guān)計算中，既介紹“排列組合計數(shù)法”，又介紹“枚舉法”，使“排列組合

計數(shù)法”與“枚舉法”相結(jié)合。

4.增加了閱讀材料從集合角度看排列、組合和概率，并結(jié)合介紹“容斥原理”（如,

Card（AUB）=Card（A）+Card（B）-Card（AAB）,等等）.

5.在“互斥事件有一個發(fā)生的概率”和“相互獨立事件同時發(fā)生的概率”的教學中，注意

聯(lián)系實際，注意采用數(shù)形結(jié)合的方法。

6.將“獨立重復試驗”作為“相互獨立事件同時發(fā)生”的一種推廣形式，并由此引入“貝

努時概型”。

二、關(guān)于隨機事件概率定義的教學

粗略地說，在一定的條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機事件（用字母A、B、

C…表示）。

如：（1）投擲一枚分幣，“正面朝上”這個事件（記作A）,是一個隨機事件；在該試驗

中，“正面朝下”（記作B）,也是一個隨機事件。

（2）投擲兩枚分幣，A="兩個都是正面朝上"、B="兩個都是正面朝下"、C="一個正面

朝上，一個正面朝下"、D=“至少有一個正面朝上”等，也都是隨機事件。

（3）從十個同類產(chǎn)品（其中有8個正品，2個次品）中，任意抽取3個，A="三個都是正

品"、B=“至少有一個是次品”，都是隨機事件。但對于事件“至少有一個是正品”和“三

個都是次品”，前者是必定要發(fā)生的，后者是不可能發(fā)生的。我們稱，在一定條件下，必定

要發(fā)生的事件為必然事件，用I表示；在一定條件下，不可能發(fā)生的事件為不可能事件，用

字母。表示。

對于隨機事件，在一次試驗中是否發(fā)生，我們雖然不能預先知道，但是它們在一次試驗中發(fā)

生的可能性是有大小之分的。如，（1）中，如果投擲的分幣是勻稱的，則隨機事件A="正

面朝上”和隨機事件B="正面朝下”發(fā)生的可能性是一樣的；（2）中，如果兩個分幣都是

勻稱的，則隨機事件A="兩個都是正面朝上”和隨機事件B="兩個都是正面朝下”發(fā)生的

可能性也是一樣的，并且它們比隨機事件C="一個正面朝上，一個正面朝下”發(fā)生的可能

性要小。

（1）中投擲分幣的試驗，是在一定的條件作用下的（如分幣是勻稱的，用規(guī)定的動作向上

拋，讓分幣自由地落在具有彈性的地面上，等等），而在該條件組的作用下，事件A（“正

面朝上”）是否發(fā)生是不確定的，這是問題的一個方面，但當該條件大量重復實現(xiàn)時，事件

A發(fā)生的次數(shù)（稱為頻數(shù)）能體現(xiàn)出一定的規(guī)律性，其約占總試驗次數(shù)的一半，即

事件A發(fā)生的頻率=頻數(shù)/試驗次數(shù)，接近1/2,而且投擲次數(shù)越多，頻率越接近0.5。

于是我們這樣定義：在不變的一組條件S下，重復作n次試驗，記m是n次試驗中事件A

發(fā)生的次數(shù)。當試驗的次數(shù)n很大時，如果頻率m/n穩(wěn)定在某一數(shù)值p附近擺動，而且一般

說來隨著試驗次數(shù)的增多，這種擺動的幅度愈變愈小，則稱A為隨機事件，并稱數(shù)值p為隨

機事件A在條件組S下發(fā)生的概率，記作P（A）=p。

簡單地說，“頻率具有穩(wěn)定性的事件稱為隨機事件，頻率的穩(wěn)定值稱為該隨機事件的概率”。

由于頻率m/n總介于0,1之間，因此由概率的定義知：對任意隨機事件A,有

OWP（A）W1；對必然事件I,顯然有P（D=1：對不可能事件力，顯然有P（4）=0。

“隨機事件概率的定義”的教學要求是:

(1)了解隨機事件、必然事件、不可能事件的概念。

(2)了解隨機事件頻率的意義及概率的定義。

(3)理解概率的性質(zhì)：OWP(A)Wl；P(D=1,即必然事件的概率為1；P(4>)=0,即不

可能事件的概率為0o

“隨機事件概率的定義”的教學建議是：

(1)教課前，要求學生復習初中“統(tǒng)計初步”一章中的頻數(shù)、頻率的概念。

(2)從具體到抽象引入隨機事件的概念，并教會學生用字母表示每一個事件，進而區(qū)分什

么是隨機事件，什么是必然事件與不可能事件。

(3)關(guān)于概率定義的教學，可采用電教手段，打出一些試驗的結(jié)果，通過觀察、分析、歸

納，得出概率的定義及概率的性質(zhì)。

三、關(guān)于等可能事件的概率的教學

上面介紹的概率的定義，它既是概念，同時又提供了近似計算概率的一般方法。但是在某種

情況下，并不需要在條件組作用下，臨時做多次試驗，從而得出概率的近似值，而是根據(jù)問

題本身所具有的某種“對稱性”，充分利用人類長期積累的關(guān)于“對稱性”的實際經(jīng)驗，分

析事件的本質(zhì)，就可以直接計算其概率。

如，(1)盒中裝有五個球(三個白球，二個黑球)，從中任取一個，問：取白球的概率是多

少？既然是“任取”一個，則五個球被取到的機會是等可能的，而白球有三個，因此，取到

白球的概率應是3/5。說得更清楚些，我們將五個球編上號(白球為1、2、3號，黑球為4、

5號)，因為是隨便取一個，所以“取到1號球”、“取到2號球”、“取到3號球”、

“取到4號球”、“取到5號球”，這些結(jié)果發(fā)生的機會一樣，而且是互相排斥的，并且

除此之外不可能有別的結(jié)果。注意到1、2、3號是白球，所以“取到白球”這個事件發(fā)生的

頻率會穩(wěn)定在3/5左右，因此按概率定義，它的概率是3/5。

(2)盒中有球的情況如上，現(xiàn)從中任取兩個，問兩個球全是白球的概率是多少？

將五個球同樣編號，因為是隨便取兩個，所以下列結(jié)果“1、2”，“1、3”，“1、4”，“1、

5”，“2、3”,“2、4”，“2、5”，“3、4”,“3、5”，“4、5”發(fā)生的機會一樣,

而且是相互排斥的，并且除此之外不可能有別的結(jié)果。再注意到，上列十種情況中，有且僅

有三種，即“1、2”,“1、3”,“2、3”為全白,因此“全白”發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在3/10

左右，于是它的概率是3/10。

于是我們這樣定義：若一個事件A、A、…、A具有下列三條性質(zhì):

(1)A、A、…、A發(fā)生的機會相同(等可能性)；

(2)在任一次試驗中，A、A、…、A至少有一個發(fā)生(即除此之外不可能有別的結(jié)果,

完備性)：

(3)在任一次試驗中，A、A、…、A至多有一個發(fā)生(即它們是互相排斥的，互不相容

性)。

則稱該事件組為等概基本事件組，其中任一事件A(i=l、2、…、n)稱為基本事件。

若A、A、…、A是一個等概基本事件組，而事件B由其中的某m個基本事件所組成，大

量試驗表明，事件B的概率應由公式：

P(A)=m/n(1)

來計算。

所謂古典概型就是利用公式(1)來討論隨機事件的概率的模型。

古典概型在概率理論中占有重要地位，對于初步接觸概率的學生來說，是深入學習概率的必

不可少的材料，其意義在于：

(1)有利于理解概率的概念。當研究這種概型時，頻率的穩(wěn)定性容易得到驗證，頻率的穩(wěn)

定值與理論上算出來的概率值的一致性可以得到驗證。但在教學中不要提出兩種定義

概率的統(tǒng)計定義與古典定義，以免學生被兩種定義所因擾。要使學生認識到，概率

是頻率的穩(wěn)定值，不是近似值，而是一個準確的數(shù)。古典概型中計算出來的概率值就是頻率

的穩(wěn)定值。

(2)有利于計算隨機事件的概率。在古典概型范圍內(nèi)研究問題，避免了進行重復試驗，而

且由于計算概率時，大量運用了前面所學的排列、組合知識，能充分使學生對這些知識的學

習得到運用和強化。

(3)古典概型的實際應用較廣，有利于學生運用所學知識解決有關(guān)的實際問題。

(4)P(A)=m/n是計算等可能事件概率的公式，根據(jù)這一公式計算概率時，關(guān)

鍵在于求出n和m。在求n時，應注意，這n種結(jié)果必須是等可能的，在這點上

是很容易出錯的。如，同時拋擲2枚均勻硬幣，共出現(xiàn)“正、正”，“正、反”，

“反、正”，“反、反”4種等可能結(jié)果，如果認為只有“正、正”，“反、反”，“一

正、一反"3種結(jié)果就錯了，因為這三種結(jié)果不是等可能的。在求m時，不僅此要用到排列、

組合知識，很多場合下要用到枚舉法，或容斥原理。

“等可能性事件的概率”的教學要求是:

(1)使學生了解等可能性事件的概念，掌握古典概型的特點，即：對于每次隨機試驗來說,

只可能出現(xiàn)有限個不同的試驗結(jié)果：對于上述所有不同的試驗結(jié)果，它們出現(xiàn)的可能性是相

等的；由于上述兩點，求事件的概率可以不通過大量重復試驗，而只需通過一次試驗中可能

的結(jié)果進行分析計算即可。

(2)掌握等可能事件的概率計算公式P(A)=m/n,掌握概率計算的三個步驟：用字母表示

事件；求m、n；計算P(A)o

(3)學會用枚舉法和排列組合計數(shù)法求m、n?

舉例如下：

1.關(guān)于用枚舉法求m、n：

枚舉法包括簡單列舉、列表、圖示三種。

例1同時拋擲三枚均勻的硬幣，則出現(xiàn)的基本事件的個數(shù)和恰有2個正面朝上的基本事件

的個數(shù)為

(A)3,3(B)4,3(C)6,3(D)8,3

解：本題可以用樹形圖求解：

正反

正反正反

正反正反正反正反

n=8,m=3,應選D。

例2從長度分別為3、4、5、7、9的五條線段中，任取3條，能構(gòu)成三角形的概率是

(A)3/10(B)1/2(C)3/5(D)2/5

解：易知n=C=10,而m的值可列舉出來：(3,4,5)、(4,5,7)、(5,7,

9)、(3,5,7)、(4,7,9)、(3,7,9),m=6。

因此能構(gòu)成三角形的概率為3/5o

2.關(guān)于用排列、組合計數(shù)法求m、n：

用排列組合公式和古典概型的概率計算公式，可以解決三方面的問題：(1)隨機取數(shù)；(2)

隨機摸球：(3)分房問題。大量的、形形式式的問題都可以歸為這三類問題。

(1)隨機取數(shù)

例3有十張卡片，分別標為1、2、…、10,從中任取一張，求取得的號碼為偶數(shù)的概率。

解：顯然本題的基本事件總數(shù)n=10。又人="取得的號碼為偶

數(shù)”={2}U{4}U{6}U{8}U{10},即A中含有5個基本事件，m=5,從而P(A)=m/n=l/2?

上述解答用的是枚舉法，本題也可用排列組合的方法作答：A=”取得的號碼為偶數(shù)”，其必

須從2、4、6、8、10中任取一個，有C種，即m=5。從而P(A)=1/2。

事實上，由^="取得的號碼為偶數(shù)”與="取得的號碼為奇數(shù)”的“對稱性”，即可得到

P(A)=1/2。

例4設有一批產(chǎn)品共100件，其中有5件次品，現(xiàn)從中任取50件，問：無次品的概率是多

少？

解：從100件產(chǎn)品中任取50件，共有C個不同的結(jié)果，每一個結(jié)果都是一個事件，且這

些事件是一個等概基本事件組。

又，A="任取50件其中無次品”，必須從95件正品中取出來，共有C個不同的結(jié)果。因

此，P(A)=C/C=0.028?

例5條件組同“例4”，問：恰有兩件次品的概率是多少？

解：由于等概基本事件組同“例4”，故總數(shù)n=C。而事件A=”恰有兩件次品”所包含的

基本事件數(shù)m=C,C。于是P(A)=m/n=C?C/C=0.32,即任取50件，恰有兩件

次品的概率是0.32。

(2)隨機摸球

例6有10件產(chǎn)品，其中4件次品，6件正品，每次取一件檢驗，測后不放回，直到4件次

品全部測出為止。求經(jīng)過5次測試，4件次品全部被測出的概率。

解：設A="經(jīng)過5次測試，4件次品全部被測出”，易知基本事件總數(shù)n=P。

下面用“定位法”求m：將其中的3件次品定在前4次被測出，第4個次品定在第5次被測

出，則m=CCP。

于是，P（A）=CCP/P=2/105。

例7有10件產(chǎn)品，其中4件次品，6件正品，每次取一件檢驗，測后不放回，一共測5次。

求第5次測得次品的概率。

解：本題與例6的提法不同，其不管前4次是否測得次品，只要第5次測得次品即可。

設A="測5次，第5次測得次品”，易知基本事件仍為n=P。

下面用“定位法”求m：將次品看作“球”，第5次出現(xiàn)球的方法為C，于是m=CP。

因此，P（A）=CP/P=4?P/10?P=0.4。

若將問題改為:每次測1件，測后不放回，一共測k次，求第k次測到次品的概率，則n=P,

m=C?P,P（A）=C?P/P=4?P/10?P=0.4。

這一事實表明，第1次、第2次、…、第10次測出次品的概率是相同的，都是0.4。如果

將“次品”看作“獎”，則抽簽中獎的概率是相同的，這就是人們通常所說的“抽簽不分先

后，一樣公平合理”的道理（對此，教材中按排了“閱讀材料抽簽有先有后，對各

人公平嗎？”）。

（3）分房問題

例8設有n個人，每個人都等可能地被分配到N個房間中的任意一間去?。╪WN）,求下

列事件的概率：

（1）指定的n個房間各有一人??；

（2）恰好有n個房間，其中每間各住一個人。

解：因為每一個人有N個房間可供選擇，所以n個人入住的方式有N種，它們是等可能的。

在第一個問題中，指定的n個房間各有一人去住，其可能總數(shù)為n個人的全排列n!,于是,

P（“指定的n個房間各有一人住"）=n!/N

如，有10個房間，分給10個人，每個人都等可能地被分配到10個房間中的任一間去住，

而且每間房里的人數(shù)不限，求不出現(xiàn)空房的概率：設人="10個房間分給10個人，不出現(xiàn)空

房"，則n=10,m=10!,P（A）=10!/10=9!/IO?

在第二個問題中，n個房間可以在N個房間中任意選取，其總數(shù)有C個，又對給定的n個

房間，按上述討論可知有n!種分配方式，于是，

P（“恰好有n個房間，其中每間各住一個人"）=C?n!/N=N!/N（N-n）!。

歷史上有名的“生日問題”就歸為“分房問題”，我們將在下面作介紹。

四、關(guān)于互斥事件有一個發(fā)生的概率

1.事件的包含與相等

設有事件A與事件B,如果A發(fā)生，則B必發(fā)生，就稱事件B包含事件A,并記作AB或

BA。例如投擲兩枚勻稱的分幣，記人=”正好一個正面朝上”，B=“至少一個正面朝上”，

顯然有ABo

如果事件B包含事件A,同時事件A也包含事件B,則稱事件A與事件B相等，記作A=B。

2.事件的和與積

在一次試驗中，如果事件A與事件B至少有一個發(fā)生，則這一事件叫做事件A與B的和，記

作A+Bo

事件的和可以推廣為n個事件的和：“A+A+-+A”，它表示在同一試驗中，A、A

A中至少有一個發(fā)生（有一個發(fā)生就表示該事件發(fā)生）。

在一次試驗中，如果事件A發(fā)生且事件B也發(fā)生，即事件A、B同時發(fā)生，則這一事件叫做

事件A與B的積，記作A?B。

事件的積可以推廣為n個事件的積：“A?A....A”，它表示在同一試驗中，A、

A、…、A同時發(fā)生。

例如，投擲兩枚均勻的分幣，A="正好一個正面朝上”，B="正好兩個正面朝上”，C="至

少一個正面朝上”，于是有A+B=C,A?C=A,B-C=B,A-B=<l>?

對此我們可以簡單表述為:“至少"“+"；“同時"。

3.互斥事件與對立事件

如果事件A和事件B不可能同時發(fā)生，即A?B=。，則稱A與B是互斥事件。例如，投擲兩

枚分幣，事件“兩個都是正面朝上”和“兩個都是正面朝下”是互斥事件；事件“正好一個

正面朝上”和“兩個都是正面朝上”也是互斥事件，因為投擲兩枚分幣時，事件“正好一個

正面朝上”和“兩個都是正面朝上”不可能同時發(fā)生。再如，袋中有4個球，其中2個紅球,

1個黃球，1個白球，每次抽1個，有放回地抽4次，設八=“全紅”、B=“全黃”、C="全

白”,則A、B、C是互斥事件，因為它們兩兩是互斥的(這里順便強調(diào)一下A、B、C三個事

件不能同時發(fā)生，與A、B、C兩兩互斥不是一回事。A、B、C三個事件不能同時發(fā)生，即

A,B,C=<1>，但有可能A,BW6，或8?C￥4>，或A,CW<1>；而八、131兩兩互斥是指A?B=4>,

且且A?C=。)o

在互斥事件概念的教學中，建議通過比較多的實例分析后，再給出互斥事件的定義.同時為

加強互斥事件概念的教學，教學時，建議舉一、兩個反例說明也有不互斥的事件。例如，甲、

乙兩人各射擊一次，A=“甲中靶"、B=“乙中靶"，顯然甲、乙兩人可以同時中靶，即A、

B兩個事件可以同時發(fā)生，故A、B不為互斥事件，這時稱事件A、B相容。

事件“非A”稱為A的對立事件，記為。例如，投擲兩枚分幣，事件“至少一個正面朝上”

是事件“兩個都是正面朝下”的對立事件。

教學中，要幫助學生理解互斥事件與對立事件的聯(lián)系與區(qū)別：

從定義理解：若A?B=6,則A與B是互斥事件，又A,=6,從而對立事件必為互斥事

件。反之，互斥事件不一定是對立事件，因為A+=1,而A、B互斥時，A+BI。

從邏輯學上進行解釋：互斥事件遵循“矛盾律”，而對立事件遵循“排中律”。

學習了互斥事件概率的加法公式之后還可以從概率計算中理解這兩種事件的聯(lián)系與區(qū)別：P

(A+B)=P(A)+P(B)<1,而P(A+)=P(A)+P()=1。

4.互斥事件概率的加法公式

如果事件A與B是互斥事件，則P(A+B)=P(A)+P(B)。(1)

公式(1)表達了概率的最重要的特性：可加性。它是從大量的實踐經(jīng)驗中概括出來的，成

為我們研究概率的基礎和出發(fā)點。從概率的定義看，這個公式的成立是很自然的。設想把條

件S重復實現(xiàn)了n次(n充分大)，其中事件A發(fā)生了m次，事件B發(fā)生了m次，由于事

件A與B互斥，故A+B發(fā)生了m+m次。根據(jù)概率的定義，m/n應該與P(A)很接近，

m/n應該與P(B)很接近，于是(m+m)/n自然應該與數(shù)值P(A)+P(B)很接近，而

(m+m)/n恰好又是事件A+B發(fā)生的概率，即當n充分大時，(m+m)/n與P(A+B)

很接近,因此P(A+B)應該與P(A+B)相等。

公式(1)不難推廣到n個事件的情形：設A、A、…、A是n個互斥事件，則

P(A+A+-+A)=P(A)+P(A)+…P(A).

使用互斥事件概率的加法公式(1)的前提條件是“兩個事件互斥”，教學時需要強調(diào)的是:

當A、B兩個事件不互斥時，不能用上面的公式。我們教師在教學中，特別是在選題或編題

時，也要注意這個問題。例如，擲骰子時，A="出現(xiàn)偶數(shù)點"，B="出現(xiàn)的點數(shù)不超過3”，

事件A與B不互斥，當出現(xiàn)點數(shù)2時，A與B同時發(fā)生！事實上，事件A+B表示出現(xiàn)點數(shù)2、

4、6、1、3,故P(A+B)=5/6,而P(A)=3/6=1/2,P(B)=3/6=1/2,可見P(A+B)WP

(A)+P(B)o

特別地，由互斥事件概率的加法公式有：P(A)+P()=P(A+)=P(I)=1,從而得

P()=1-P(A)o

上式雖然簡單，卻很有用。比如：袋中有紅、黃、白色球各一個，每次任取一個，有放回地

抽三次，設人="三個顏色全同”,B="三個顏色不全同"，求P(A)和P(B)o對于此例，

易得P(A)=(1+1+1)/27=1/9,又由于A與B是對立事件,故有P(B)=1-P(A)=lT/9=8/9。

“互斥事件有一個發(fā)生的概率”的教學要求是：

(1)理解互斥事件、對立事件的概念，了解互斥事件與對立事件的聯(lián)系與區(qū)別。

(2)掌握互斥事件概率的加法公式和對立事件的概率計算公式，并能用來解決

有關(guān)的實際問題。舉例如下：

例9從0、1、2、3四個數(shù)字中，任取3個進行排列，求取得的3個數(shù)字排成的數(shù)是三位數(shù)

且是偶數(shù)的概率。

解：設八="任取3個數(shù)組成三位偶數(shù)"，A="0在末位的三位數(shù)"，A="2在末位的三

位數(shù)"，則A=A+A。

由于A、A互斥，所以P(A)=P(A+A)=P(A)+P(A)=P/P+PP/P=5/12。

例10袋中有4個球，其中2個紅球，1個黃球，1個白球，每次任取1個，有放回地抽4

次，求下列事件的概率：

(1)全紅；(2)全白；(3)顏色全同；(4)顏色全不同；(5)顏色不全同。

解：(1)P(“全紅")=CCCC/4=1/16；

(2)P(“全白”)=CCCC/4=1/256；

(3)P(“顏色全同”)=P(“全紅”+“全黃”+“全白”)=P(“全紅”〉+P(“全黃”)

+P(“全白”)=1/16+1/256+1/256=9/128；

(4)P(“顏色全不同")=P(4>)=0；

(5)P(“顏色不全同")=1-P(“顏色全同")=l-9/128=119/128o

例11在10000張有獎明信片中，設有一等獎5個，二等獎10個，三等獎100個，從中買1

張，求：

(1)獲得一等獎、二等獎、三等獎的概率；

(2)未中獎的概率。

解:(1)設人="買一張中i等獎"(i=l,2,3),則

P(A)=5/10000=0.0005；P(A)=10/10000=0.001；P(A)=100/10000=0.010

(2)設人="買一張中獎”，則人=A+A+A?

因為A、A、A彼此互斥，所以P(A)=P(A+A+A)=P(A)+P(A)+P(A)

=0.0115,從而P()=1-P(A)=1-0.0115=0.9885。

例12某單位有n個人(nW365)問至少有兩人的生日在同一天的概率有多大？

解：這個問題屬于“分房問題”，假定一年按365天計算，將365天當作365個“房間”，

則問題就可以歸為“例8”，這時“n個人的生日全不相同”就相當于“例8”中的“恰有n

個房間，其中每間各住一人”。

設人=”n個人中至少有兩個人的生日相同"，貝IJ="n個人的生日全不相同”。

由“例8”得，P()=N!/N(N-n)!,而P(A)+P()=1,于是P(A)=1-N!/N(N-n)!,

(N=365)o

注：(1)本例如果直接求P(A)，則比較麻煩，而利用對立事件求解則比較容易。

(2)根據(jù)上式，對不同的n可計算出相應的P(A)的值，如：n=10,P(A)=0.12；n=23,

P(A)=0.51；n=50,P(A)=0.97。這說明“一個班級(單位)中至少有兩個人的生日相同”

這件事發(fā)生的概率，并不如多數(shù)人直覺中想象的那樣小，而是相當大。由計算可以看出，當

班級中的人數(shù)為23時，就有半數(shù)以上的班級會發(fā)生這件事；當班級人數(shù)為50時，竟有97%

的班級會發(fā)生這件事(當然要求班級的數(shù)目相當多，因為只有大數(shù)次重復下才可以理解為頻

率)。

五、關(guān)于相互獨立事件同時發(fā)生的概率

1.條件概率

上述對P(A)的討論都是相對于某組確定的條件S而言的。P(A)就是在條件組S實現(xiàn)之

下，事件A發(fā)生的概率(為簡略起見，“條件組S”通常不再提及)。若除了這組基本條件

“S”之外，還有附加的條件，即要求“在事件B已經(jīng)發(fā)生的前提下”事件A發(fā)生的概率，

這就是條件概率的問題。

例13盒中裝有16個球，其中6個是玻璃球隊，10個是木質(zhì)球。又玻璃球中有2個是紅色

的，4個是蘭色的；木質(zhì)球中有3個是紅色的，7個是蘭色的?，F(xiàn)從中任取一個(這就是所

謂“條件組S”),求：取到蘭球的概率，取到玻璃球的概率，在已知取到的是蘭球的前提

下，該球是玻璃球的概率。

解：設人=“取到蘭球"，B=”取到玻璃球”則由古典概型知P(A)=11/16,P(B)=6/16=3/8?

求“在已知取到的是蘭球的前提下，該球是玻璃球”的概率，也就是求在事件A已經(jīng)發(fā)生的

前提下事件B發(fā)生的概率(此概率記為P(B|A))。同樣可以用古典概型來解決：因為取

到的是蘭球，而蘭球共有11個且其中4個是玻璃球，所以P(BIA)=4/11。

例145個乒乓球(3個新球，2個舊球)，每次取1個，無放回地取2次。求：第一次取得

新球的概率，第二次取得新球的概率，在第一次取得新球的條件下第二次取得新球的概率。

解：設八="第一次取得新球"，B="第二次取得新球”，顯然P(A)=3/5。

P(B)=?

注意到B="第二次取得新球”，它對第一次取得什么球沒有限制或假定，因此回答P(B)

=2/4,或P(B)=3/4都是沒有根據(jù)的。其實，憑直觀，P(B)應等于3/5,否則“抽簽”

這個公認為公平的方法，就不公平了。

這個問題具體地可以用古典概型來解。基本事件總數(shù)n=P=20；用“定位法”求m：將其中

的1個新球定在第二次被取得，其方法數(shù)為P,于是m=P-P=12,則P(B)=12/20=3/5。

至于P(B|A),由條件概率的概念易求：既然A己發(fā)生，那么第二次取球時，盒中共有4

個球，其中有2個新球，因此按古典概型，這時B發(fā)生的概率應是2/4,即P(B|A)=l/2。

2.獨立性

將上面的例2改為：5個乒乓球(3個新球，2個舊球)，每次取1個，有放回地取2次。

記人="第一次取得新球"，B="第二次取得新球”，顯然有P(B|A)=P(B),即在A發(fā)

生的條件下B的條件概率就等于B的原概率，它表示A發(fā)生并不影響B(tài)發(fā)生的概率。

所謂A與B相互獨立，就是在同一次試驗中，事件A(B)的發(fā)生，對事件B(A)的發(fā)生的

概率沒有影響。

定義：對于任意的兩個事件A、B,若P(AB)=P(A)?P(B)成立，則稱事件A、B是相互

獨立的，簡稱獨立的。

3.需要強調(diào)的幾點：

(1)當A、B不互斥(即相容)時，事件A+B的概率計算公式為

P(A+B)=P(A)+P(B)—P(AB)

當A、B互斥時，P