考研數(shù)學(xué)二分類模擬題33

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題33解答題1.

求微分方程的通解．正確答案：[解]由得，

令u=siny，則，令u-1=z，則

解得

則

2.

求微分方程滿足初始條件y(e)=2e的特解．正確答案：[解]方法一由，得，

令，得，解得u2=ln2+C，由y(e)=2e，得C=2，所求的通解為y2=x2lnx2+2x2．

方法二由，得，令z=y2，則

解得，由初始條件得C=2，則原方程的通解為y2=x2lnx2+2x2．

3.

求微分方程x2y'+xy=y2滿足初始條件y(1)=1的特解．正確答案：[解]由x2y'+xy=y2得，令，則有，

兩邊積分得，即，

因?yàn)閥(1)=1，所以C=-1，再把代入得原方程的特解為

4.

求微分方程的通解．正確答案：[解]由得，則

5.

求微分方程的通解．正確答案：[解]令x+y=u，則，于是有，變量分離得，兩邊積分得u-arctanu=x+C，所以原方程的通解為y-arctan(x+y)=C．

6.

設(shè)y=ex為微分方程xy'+P(x)y=x的解，求此微分方程滿足初始條件y(ln2)=0的特解．正確答案：[解]把y=ex代入微分方程xy'+P(x)y=x，得P(x)=xe-x-x，原方程化為y'+(e-x-1)y=1，則y=[∫1×e∫(e-x-1)dxdx+C]e-∫(e-x-1)dx=Cex+e-x+ex，

將y(ln2)=0代入y=Cex+e-x+ex中得，故特解為

7.

設(shè)，其中f(x)連續(xù)，求f(x)．正確答案：[解]由，得兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得，兩邊再對(duì)x求導(dǎo)得f"(x)+f(x)=ex，其通解為．在中，令x=0得f(0)=1，在中，令x=0得f'(0)=1，于是有，故

8.

求微分方程xy"+3y'=0的通解．正確答案：[解]令y'=p，則或，

解得，即，則

9.

設(shè)當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)滿足，求f(x)．正確答案：[解]由，兩邊求導(dǎo)得f(x)-f'(x)=1，解得f(x)=Cex+1，而f(1)=-1，所以f(x)=1-2ex-1．

10.

求滿足初始條件y"+2x(y')2=0，y(0)=1，y'(0)=1的特解．正確答案：[解]令y'=p，則，代入方程得，解得

由y'(0)=1得C1=1，于是，y=arctanx+C2，再由y(0)=1得C2=1，所以y=arctanx+1．

11.

求微分方程yy"=y'2滿足初始條件y(0)=y'(0)=1的特解．正確答案：[解]令y'=p，則，代入原方程得或．當(dāng)p=0時(shí)，y=1為原方程的解；當(dāng)p≠0時(shí)，由得，解得，

由y(0)=y'(0)=1得C1=1，于是，解得y=C2e-∫-dx=C2ex，由y(0)=1得C2=1，所以原方程的特解為y=ex．

12.

求微分方程y"-y'-6y=0的通解．正確答案：[解]特征方程為λ2-λ-6=0，特征值為λ1=-2，λ2=3，則原方程的通解為y=C1e-2x+C2e3x．

13.

求微分方程y"+4y'+4y=0的通解．正確答案：[解]特征方程為λ2+4λ+4=0，特征值為λ1=λ2=-2，則原方程的通解為y=(C1+C2x)e-2x．

14.

求微分方程y"-y'+2y=0的通解．正確答案：[解]特征方程為λ2-λ+2=0，特征值為，則原方程的通解為

15.

設(shè)二階常系數(shù)齊次線性微分方程以y1=e2x，y2=2e-x-3e2x為特解，求該微分方程．正確答案：[解]因?yàn)閥1=e2x，y2=2e-x-3e2x為特解，所以e2x，e-x也是該微分方程的特解，故其特征方程的特征值為λ1=-1，λ2=2，特征方程為(λ+1)(λ-2)=0即λ2-λ-2=0，所求的微分方程為y"-y'-2y=0．

16.

求微分方程y"+2y'-3y=(2x+1)ex的通解．正確答案：[解]特征方程為λ2+2λ-3=0，特征值為λ1=1，λ2=-3，則y"+2y'-3y=0的通解為y=C1ex+C2e-3x．令原方程的特解為y0=x(ax+b)ex，代入原方程得

所以原方程的通解為

17.

求y"-2y'-e2x=0滿足初始條件y(0)=1，y'(0)=1的特解．正確答案：[解]原方程化為y"-2y'=e2x．

特征方程為λ2-2λ=0，特征值為λ1=0，λ2=2，y"-2y'=0的通解為y=C1+C2e2x．

設(shè)方程y"-2y'=e2x的特解為y0=Axe2x，代入原方程得，

原方程的通解為．

由y(0)=1，y'(0)=1得解得

故所求的特解為

18.

求微分方程y"+4y'+4y=eax的通解．正確答案：[解]特征方程為λ2+4λ+4=0，特征值為λ1=λ2=-2，原方程對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的通解為y=(C1+C2x)e-2x．

(1)當(dāng)a≠-2時(shí)，因?yàn)閍不是特征值，所以設(shè)原方程的特解為y0(x)=Aeax，代入原方程得，則原方程的通解為；

(2)當(dāng)a=-2時(shí)，因?yàn)閍=-2為二重特征值，所以設(shè)原方程的特解為y0(x)=Ax2e-2x，

代入原方程得，則原方程的通解為

19.

求微分方程y"+y=x2+3+cosx的通解．正確答案：[解]特征方程為λ2+1=0，特征值為λ1=-i，λ2=i，方程y"+y=0的通解為y=C1cosx+C2sinx．

對(duì)方程y"+y=x2+3，特解為y1=x2+1；

對(duì)方程y"+y=cosx，特解為，原方程的特解為，

則原方程的通解為

20.

設(shè)單位質(zhì)點(diǎn)在水平面內(nèi)作直線運(yùn)動(dòng)，初速度v|t=0=v0．已知阻力與速度成正比(比例系數(shù)為1)，問(wèn)t為多少時(shí)此質(zhì)點(diǎn)的速度為?并求到此時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程．正確答案：[解]設(shè)t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度為v(t)，阻力，則有解此微分方程得v(t)=v0e-t．由得t=ln3，從開(kāi)始到t=ln3的時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程為

21.

設(shè)f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，且f(0)＞0，設(shè)f(x)在[0，x]上的平均值等于f(0)與f(x)的幾何平均數(shù)，求f(x)．正確答案：[解]根據(jù)題意得，令，則有，兩邊求導(dǎo)得即，令，則有解得

22.

設(shè)曲線L位于xOy平面的第一象限內(nèi)，L上任意一點(diǎn)M處的切線與y軸總相交，交點(diǎn)為A，已知|MA|=|OA|，且L經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求L的方程．正確答案：[解]設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則切線MA:Y-y=y'(X-x)．

令X=0，則Y=y-xy'，故A點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，y-xy')．

由|MA|=|OA|，得

即，或者

則

因?yàn)榍€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以C=3，再由曲線經(jīng)過(guò)第一象限得曲線方程為

23.

在上半平面上求一條上凹曲線，其上任一點(diǎn)P(x，y)處的曲率等于此曲線在該點(diǎn)的法線段PQ的長(zhǎng)度的倒數(shù)(Q為法線與x軸的交點(diǎn))，且曲線在點(diǎn)(1，1)處的切線與x軸平行．正確答案：[解]設(shè)所求曲線為y=y(x)，該曲線在點(diǎn)P(x，y)的法線方程為

令Y=0，得X=x+yy'，該點(diǎn)到x軸法線段PQ的長(zhǎng)度為

由題意得，即yy"=1+y'2

令y'=p，則，則有，或者，兩邊積分得，由y(1)=1，y'(1)=0得C1=1，所以，變量分離得，兩邊積分得，由y(1)=1得

所以，即

又，所以

兩式相加得

24.

一半球形雪堆融化速度與半球的表面積成正比，比例系數(shù)為k＞0，設(shè)融化過(guò)程中形狀不變，設(shè)半徑為r0的雪堆融化3小時(shí)后體積為原來(lái)的，求全部融化需要的時(shí)間．正確答案：[解]設(shè)t時(shí)刻雪堆的半徑為r，則有

，則，于是有，由r(0)=r0，，得C0=r0，，于是，令r=0得t=6，即6小時(shí)雪堆可以全部融化．

25.

設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)且滿足f(0)=1，f'(x)-f(x)=a(x-1)．y=f(x)，x=0，x=1，y=0