2025千題百煉-高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題（二）：第62煉 點(diǎn)線面位置關(guān)系含答案

2025千題百煉——高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題（二）：第62煉點(diǎn)線面位置關(guān)系含答案第62煉點(diǎn)線面位置關(guān)系的判定一、基礎(chǔ)知識(shí)（一）直線與直線位置關(guān)系：1、線線平行的判定（1）平行公理：空間中平行于同一直線的兩條直線平行（2）線面平行性質(zhì)：如果一條直線與平面平行，則過這條直線的平面與已知平面的交線和該直線平行（3）面面平行性質(zhì)：2、線線垂直的判定（1）兩條平行直線，如果其中一條與某直線垂直，則另一條直線也與這條直線垂直直線與平面位置關(guān)系：（2）線面垂直的性質(zhì)：如果一條直線與平面垂直，則該直線與平面上的所有直線均垂直（二）直線與平面的位置關(guān)系1、線面平行判定定理：（1）若平面外的一條直線與平面上的一條直線平行，則（2）若兩個(gè)平面平行，則一個(gè)平面上的任一直線與另一平面平行2、線面垂直的判定：（1）若直線與平面上的兩條相交直線垂直，則（2）兩條平行線中若其中一條與平面垂直，則另一條直線也與該平面垂直（3）如果兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面上垂直于交線的直線與另一平面垂直（三）平面與平面的位置關(guān)系1、平面與平面平行的判定：（1）如果一個(gè)平面上的兩條相交直線均與另一個(gè)平面平行，則兩個(gè)平面平行（2）平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行2、平面與平面垂直的判定如果一條直線與一個(gè)平面垂直，則過這條直線的所有平面均與這個(gè)平面垂直（四）利用空間向量判斷線面位置關(guān)系1、刻畫直線，平面位置的向量：直線：方向向量平面：法向量2、向量關(guān)系與線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化：設(shè)直線對(duì)應(yīng)的法向量為，平面對(duì)應(yīng)的法向量為（其中在外）（1）∥∥（2）（3）∥（4）（5）（6）3、有關(guān)向量關(guān)系的結(jié)論（1）若，則平行+平行→平行（2）若，則平行+垂直→垂直（3）若，則的位置關(guān)系不定。4、如何用向量判斷位置關(guān)系命題真假（1）條件中的線面關(guān)系翻譯成向量關(guān)系（2）確定由條件能否得到結(jié)論（3）將結(jié)論翻譯成線面關(guān)系，即可判斷命題的真假二、典型例題：例1：已知是兩個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，現(xiàn)給出下列命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則．其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A．0B．1C．2D．3思路：①為面面平行的判定，要求一個(gè)平面上兩條相交直線，而①中不一定相交。所以無法判定面面平行；②為面面垂直的性質(zhì)，要求一個(gè)平面上垂直交線的直線，才與另一平面垂直。而②中不一定與交線垂直。所以不成立；③可用向量判定，設(shè)對(duì)應(yīng)法向量為，直線方向向量為，則條件轉(zhuǎn)換為：，可推得，即，③正確；④為線面平行判定，要求在外，所以④錯(cuò)誤；綜上只有1個(gè)命題正確答案：B例2：已知是不同的直線，是不同的平面，以下命題正確的是（）A．②③B．③④C．②④D．③思路：題目中涉及平行垂直較多，所以考慮利用正方體（舉反例）或向量判斷各個(gè)命題①兩平面各選一條直線，兩直線平行不能判斷出兩個(gè)平面平行，例如在正方體中在平面和平面中，雖然，但兩個(gè)平面不平行，所以①錯(cuò)誤②例如：平面∥平面，，但與不垂直，所以②錯(cuò)誤③考慮利用向量幫助解決：，所以可以推斷，所以可得④考慮利用向量解決：，由垂直關(guān)系不能推出，所以④錯(cuò)誤答案：D例3：對(duì)于直線和平面，的一個(gè)充分條件為（）A.B.C.D.思路：求的充分條件，即從A,B,C,D中選出能判定的條件，A選項(xiàng)：例如正方體中的平面和平面可知雖然平面，平面，但這兩個(gè)平面不平行。B選項(xiàng)：也可利用A選項(xiàng)的例子說明無法推出，C選項(xiàng)可用向量模型進(jìn)行分析：，所以可得：，即；D選項(xiàng)可利用A選項(xiàng)的例子：，可知平面，平面，但這兩個(gè)平面不平行，綜上所述，只有C為的一個(gè)充分條件答案：C例4：給定下列四個(gè)命題：①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；②若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直．其中，為真命題的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④思路：分別判斷四個(gè)命題：①必須是一個(gè)平面內(nèi)兩條“相交”直線與另一個(gè)平面平行，才可判定兩平面平行，所以①錯(cuò)誤；②該命題為面面垂直的判定，正確；③空間中垂直同一條直線的兩條直線不一定平行，例如正方體中交于一點(diǎn)的三條棱；④可用反證法確定，假設(shè)該直線與另一平面垂直，則必然垂直該平面上所有的直線，包括兩平面的交線。所以與條件矛盾。假設(shè)不成立。綜上所述，正確的命題是②和④答案：D例5：已知，表示兩條不同直線，表示平面，下列說法中正確的是（）A．若，，則B．若∥，∥則∥C．若，，則∥D．若∥，，則思路：A選項(xiàng)若直線與平面垂直，則直線與這個(gè)平面上的所有直線均垂直，所以A正確B選項(xiàng)可用向量判斷，∥，∥，由，無法判斷出的關(guān)系，所以不能推出∥；C選項(xiàng)并沒有說明直線是否在平面上，所以結(jié)論不正確；D選項(xiàng)也可用向量判斷，∥，，同理由無法判斷的情況，所以無法推斷出，綜上所述：A正確答案：A例6：給出下列命題，其中正確的兩個(gè)命題是（）①直線上有兩點(diǎn)到平面的距離相等，則此直線與平面平行。②夾在兩個(gè)平行平面間的兩條異面線段的中點(diǎn)連線平行于這兩個(gè)平面；③直線平面，直線，則；④是異面直線，則存在唯一的平面，使它與都平行且與距離相等A.①②B.②③C.③④D.②④答案：D思路：①到平面距離相等的點(diǎn)可能位于平面的同側(cè)或是異側(cè)，如果是同側(cè)，則兩點(diǎn)所在直線與平面平行，如果異側(cè)，則直線與平面相交，且交點(diǎn)為這兩點(diǎn)的中點(diǎn)。②正確，證明如下：如圖，平面，且分別為的中點(diǎn)，過作交于，連接，設(shè)是的中點(diǎn)平面③命題中沒有說明直線是否在上，所以不正確；④正確，設(shè)為異面直線的公垂線段，為中點(diǎn)，過作的平行線，從而由確定的平面與平行且與的距離相等。所以該平面即為所求。答案：D例7：下列命題正確的個(gè)數(shù)是（）①若直線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則∥②若直線∥，則與平面內(nèi)的任意一條直線都平行③如果兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行④若直線∥，則與平面內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn)A.0B.1C.2D.3思路：①“無數(shù)個(gè)點(diǎn)”只是強(qiáng)調(diào)數(shù)量多，并不等同于“任意點(diǎn)”，即使直線與平面相交，直線上也有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)。所以①不正確；②若∥，說明與沒有公共點(diǎn)，所以與上任意一條直線都沒有公共點(diǎn)，但即使無公共點(diǎn)，的位置關(guān)系不只是有平行，還有可能異面，所以②不正確；③線面平行的前提是直線在平面外，而命題③中沒有說明“另一條”直線是否在平面上，所以③不正確；命題④可由②得知，與上任意一條直線都沒有公共點(diǎn)，命題④正確，綜上所述，正確的有1個(gè)答案：B例8：直線為兩異面直線，下列結(jié)論正確的是（）A.過不在上的任何一點(diǎn)，可作一個(gè)平面與都平行B.過不在上的任何一點(diǎn)，可作一個(gè)直線與都相交C.過不在上的任何一點(diǎn)，可作一個(gè)直線與都平行D.過有且只有一個(gè)平面與平行思路：A選項(xiàng)中，如果點(diǎn)與確定的平面與平行，則此平面只和平行，在此平面上，所以這樣的是無法作出符合條件的平面；B選項(xiàng)由A所構(gòu)造出的平面可得，若過的直線與相交，則也在該平面上，所以與無公共點(diǎn)；若過的直線與相交，則無法與相交，綜上所述對(duì)于這樣的點(diǎn)無法作出符合條件的直線；C選項(xiàng)如果過的直線與均平行，則由平行公理可知，與已知條件矛盾，所以C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，如果異面，則過只能做出一個(gè)平面與平行。在上取兩點(diǎn)分別作的平行線，則所唯一確定的平面和平行，且在此平面上。所以D正確答案：D例9：設(shè)是兩條異面直線，是空間任意一點(diǎn)，則下列命題正確的是（）A.過點(diǎn)必存在平面與兩異面直線都垂直B.過點(diǎn)必存在平面與兩異面直線都平行C.過點(diǎn)必存在直線與兩異面直線都垂直D.過點(diǎn)必存在直線與兩異面直線都平行思路：A選項(xiàng)，若平面與均垂直，則推得，與異面矛盾；B選項(xiàng)如果點(diǎn)位于某條直線上，則平面無法與該直線平行；C選項(xiàng)中直線的垂直包括異面垂直，所以可以講平移至共面，過的直線只需與這個(gè)平面線面垂直，即和都垂直，所以C正確；D選項(xiàng)如果直線與均平行，則由平行公理可得，與異面矛盾。所以C正確答案：C例10：設(shè)是不同的直線，是不重合的平面，則下列命題不正確的是（）A.若∥，∥，在外，則∥B.若，則C.若∥，則∥D.若，且，則∥思路：A選項(xiàng)可通過向量來判斷：，由此可得：，因?yàn)樵谕?，所以可判定∥，A正確；B選項(xiàng)設(shè)，則上所有點(diǎn)的投影落在中，上所有點(diǎn)的投影落在中，因?yàn)?，所以上所有點(diǎn)的投影均在的交點(diǎn)上，即，所以B正確；C選項(xiàng)符合面面平行的性質(zhì)，即兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，則交線平行，所以C正確；D選項(xiàng)中若A,C位于同側(cè)，則命題成立；但如果位于兩側(cè)，則滿足條件的與相交。故不正確答案：D三、歷年好題精選1、（2016，山東膠州高三期末）設(shè)為不同的平面，為不同的直線，則的一個(gè)充分條件為（）A.B.C.D.2、給出下面四個(gè)命題：①“直線∥直線”的充要條件是“平行于所在的平面”；②“直線⊥平面α內(nèi)所有直線”的充要條件是“⊥平面”；③“直線，為異面直線”的充分不必要條件是“直線，不相交”；④“平面∥平面”的必要不充分條件是“內(nèi)存在不共線三點(diǎn)到的距離相等”．其中正確命題的序號(hào)是()A．①②B．②③C．③④D．②④3、（2016，大連二十中期中考試）已知三個(gè)互不重合的平面，且，給出下列命題（）①若，則②若，則③若，則④若，則其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)4、（江西中南五校聯(lián)考）已知是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（）A.若B.若C.若D.若5、（2016，寧波高三期末）已知平面與平面交于直線,且直線,直線,則下列命題錯(cuò)誤的是（）A．若，且與不垂直，則B．若，，則C．若，，且與不平行，則D．若，，則6、（2016，上海閘北12月月考）已知是兩條不同直線，是兩個(gè)不同平面，給出下列四個(gè)命題：①若垂直于同一平面，則與平行②若平行于同一平面，則與平行③若不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線④若不平行，則與不可能垂直于同一平面其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．17、設(shè)為兩條直線，為兩個(gè)平面，則下列四個(gè)命題中，正確的命題是（）A.若，則B.∥∥，∥，則∥C.若∥，∥，則∥D.若∥，則8、（2015，廣東文）若直線是異面直線，在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，是平面與平面的交線，則下列命題正確的是（）A.至少與中的一條相交B.與都相交C.至多與中的一條相交D.與都不相交9、（2014，遼寧）已知表示兩條不同的直線，表示平面，下列說法正確的是（）A.若，，則B.若，則C.若，則D.若，，則習(xí)題答案：1、答案：D解析：A選項(xiàng)若不在上，則無法判定；B選項(xiàng)：若，則，所以無法判定；C選項(xiàng)，如果來兩兩垂直，則無法判定；D選項(xiàng)，如果，則，再由可判定2、答案：D解析：①若平行于所在的平面，則的關(guān)系為平行或異面，所以不是充要條件；②由線面垂直定義可知：直線⊥平面當(dāng)且僅當(dāng)直線⊥平面α內(nèi)所有直線，所以②正確；③中若直線不相交，則可能平行。所以不能得到“直線，為異面直線”，③錯(cuò)誤；④若平面∥平面，則內(nèi)所有點(diǎn)到的距離相等，當(dāng)內(nèi)存在不共線三點(diǎn)到的距離相等，則兩平面可能相交，這三點(diǎn)位于的兩側(cè)。所以“內(nèi)存在不共線三點(diǎn)到的距離相等”是“平面∥平面”的必要不充分條件3、答案：C解析：當(dāng)三個(gè)平面兩兩相交，交線平行或交于一點(diǎn)，所以若，則三條交線交于一點(diǎn)，即，若，則三條交線平行，，所以②④正確；當(dāng)三條交線交于一點(diǎn)時(shí)，，則夾角不確定，所以①錯(cuò)誤；若，因?yàn)榫谏?，所以可知，綜上所述，②③④正確4、答案：C解析：A選項(xiàng)：垂直同一平面的兩個(gè)平面可以平行，也可以相交，所以A錯(cuò)誤B選項(xiàng)：在正方體中，右側(cè)面的棱與底面上的棱平行，但是這兩個(gè)面不平行，所以B錯(cuò)誤C選項(xiàng)：將條件轉(zhuǎn)化為向量：，可推出，即，C正確D選項(xiàng)：若直線上，也滿足題目條件，但不平行5、答案：D解析：A選項(xiàng)：可知在上的投影為，若與不垂直，且與不垂直，則由三垂線定理可推得不垂直，與已知矛盾，所以A正確B選項(xiàng)：由，可得，所以C選項(xiàng)：由不平行可知，因?yàn)?，由面面垂直判定定理可得D選項(xiàng)：兩個(gè)平面上的直線與交線垂直并不能判定兩個(gè)平面垂直，故D錯(cuò)誤6、答案：D解析：①正方形的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，所以垂直于同一平面的兩平面不一定平行，①錯(cuò)誤②正方形上底面的直線均與下底面平行，但這些直線不一定平行，②錯(cuò)誤③正方形的下底面與側(cè)面不平行，但是底面平行于交線的直線與側(cè)面平行，③錯(cuò)誤④考慮其逆否命題為“若與垂直同一平面，則平行”為真命題，所以原命題為真命題，④正確綜上所述，正確的只有④7、答案：A解析：利用空間向量判斷，對(duì)應(yīng)的方向向量記為，對(duì)應(yīng)的法向量記為A：條件轉(zhuǎn)化為，所以A正確B:條件轉(zhuǎn)化為，無法得到∥C:∥，∥只能得到，無法推出∥D:條件轉(zhuǎn)化為：，無法推出所以只有A正確8、答案：A解析：至少與中的一條相交，考慮反證法，若與都不相交，因?yàn)榕c分別共面，所以，則平行，與已知矛盾。所以原命題成立9、答案：B解析：A選項(xiàng)，平行于同一個(gè)平面的兩條直線可以有各種位置關(guān)系，A錯(cuò)誤B選項(xiàng)，符合線面垂直的定義，即若直線與平面垂直，則與該平面上任意一條直線均垂直，所以B正確C選項(xiàng)，直線可以在平面上，所以不正確D選項(xiàng)，正方形上底面的相互垂直的兩條棱均與底面平行，所以不正確綜上所述：B正確第63煉立體幾何解答題的建系設(shè)點(diǎn)問題在如今的立體幾何解答題中，有些題目可以使用空間向量解決問題，與其說是向量運(yùn)算，不如說是點(diǎn)的坐標(biāo)運(yùn)算，所以第一個(gè)階段：建系設(shè)點(diǎn)就顯得更為重要，建立合適的直角坐標(biāo)系的原則有哪些？如何正確快速寫出點(diǎn)的坐標(biāo)？這是本文要介紹的內(nèi)容。一、基礎(chǔ)知識(shí)：（一）建立直角坐標(biāo)系的原則：如何選取坐標(biāo)軸1、軸的選取往往是比較容易的，依據(jù)的是線面垂直，即軸要與坐標(biāo)平面垂直，在幾何體中也是很直觀的，垂直底面高高向上的即是，而坐標(biāo)原點(diǎn)即為軸與底面的交點(diǎn)2、軸的選?。捍藶樽鴺?biāo)是否易于寫出的關(guān)鍵，有這么幾個(gè)原則值得參考：（1）盡可能的讓底面上更多的點(diǎn)位于軸上（2）找角：軸要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直條件（3）找對(duì)稱關(guān)系：尋找底面上的點(diǎn)能否存在軸對(duì)稱特點(diǎn)3、常用的空間直角坐標(biāo)系滿足軸成右手系，所以在標(biāo)軸時(shí)要注意。4、同一個(gè)幾何體可以有不同的建系方法，其坐標(biāo)也會(huì)對(duì)應(yīng)不同。但是通過坐標(biāo)所得到的結(jié)論（位置關(guān)系，角）是一致的。5、解答題中，在建立空間直角坐標(biāo)系之前，要先證明所用坐標(biāo)軸為兩兩垂直（即一個(gè)線面垂直底面兩條線垂直），這個(gè)過程不能省略。6、與垂直相關(guān)的定理與結(jié)論：（1）線面垂直：①如果一條直線與一個(gè)平面上的兩條相交直線垂直，則這條直線與該平面垂直②兩條平行線，如果其中一條與平面垂直，那么另外一條也與這個(gè)平面垂直③兩個(gè)平面垂直，則其中一個(gè)平面上垂直交線的直線與另一個(gè)平面垂直④直棱柱：側(cè)棱與底面垂直（2）線線垂直（相交垂直）：①正方形，矩形，直角梯形②等腰三角形底邊上的中線與底邊垂直（三線合一）③菱形的對(duì)角線相互垂直④勾股定理逆定理：若，則（二）坐標(biāo)的書寫：建系之后要能夠快速準(zhǔn)確的寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，按照特點(diǎn)可以分為3類1、能夠直接寫出坐標(biāo)的點(diǎn)（1）坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，例如在正方體（長度為1）中的點(diǎn)，坐標(biāo)特點(diǎn)如下：軸：軸：軸：規(guī)律：在哪個(gè)軸上，那個(gè)位置就有坐標(biāo)，其余均為0（2）底面上的點(diǎn)：坐標(biāo)均為，即豎坐標(biāo)，由于底面在作立體圖時(shí)往往失真，所以要快速正確寫出坐標(biāo)，強(qiáng)烈建議在旁邊作出底面的平面圖進(jìn)行參考：以上圖為例：則可快速寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，位置關(guān)系清晰明了2、空間中在底面投影為特殊位置的點(diǎn)：如果在底面的投影為，那么（即點(diǎn)與投影點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相同）由這條規(guī)律出發(fā)，在寫空間中的點(diǎn)時(shí)，可看下在底面的投影點(diǎn)，坐標(biāo)是否好寫。如果可以則直接確定了橫縱坐標(biāo)，而豎坐標(biāo)為該點(diǎn)到底面的距離。例如：正方體中的點(diǎn)，其投影為，而所以，而其到底面的距離為，故坐標(biāo)為以上兩個(gè)類型已經(jīng)可以囊括大多數(shù)幾何體中的點(diǎn)，但總還有一些特殊點(diǎn)，那么就要用到第三個(gè)方法：3、需要計(jì)算的點(diǎn)①中點(diǎn)坐標(biāo)公式：，則中點(diǎn)，圖中的等中點(diǎn)坐標(biāo)均可計(jì)算②利用向量關(guān)系進(jìn)行計(jì)算（先設(shè)再求）：向量坐標(biāo)化后，向量的關(guān)系也可轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而可以求出一些位置不好的點(diǎn)的坐標(biāo)，方法通常是先設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，再選取向量，利用向量關(guān)系解出變量的值，例如：求點(diǎn)的坐標(biāo)，如果使用向量計(jì)算，則設(shè)，可直接寫出，觀察向量，而，二、典型例題：例1：在三棱錐中，平面，，分別是棱的中點(diǎn)，，試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系并確定各點(diǎn)坐標(biāo)解：平面兩兩垂直以為軸建立直角坐標(biāo)系坐標(biāo)軸上的點(diǎn)：中點(diǎn)：中點(diǎn)中點(diǎn)中點(diǎn)綜上所述：小煉有話說：本講中為了體現(xiàn)某些點(diǎn)坐標(biāo)的來歷，在例題的過程中進(jìn)行詳細(xì)書寫。這些過程在解答題中可以省略。例2：在長方體中，分別是棱上的點(diǎn)，，，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)思路：建系方式顯而易見，長方體兩兩垂直，本題所給的是線段的比例，如果設(shè)等，則點(diǎn)的坐標(biāo)都含有，不便于計(jì)算。對(duì)待此類問題可以通過設(shè)單位長度，從而使得坐標(biāo)都為具體的數(shù)。解：因?yàn)殚L方體兩兩垂直以為軸如圖建系，設(shè)為單位長度例3：如圖，在等腰梯形中，，，平面，且，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并確定各點(diǎn)坐標(biāo)。思路：本題直接有一個(gè)線面垂直，所以只需在平面找過的相互垂直的直線即可。由題意，不是直角。所以可以以其中一條邊為軸，在底面上作垂線即可構(gòu)造出兩兩垂直的條件，進(jìn)而可以建立坐標(biāo)系方案一：（選擇為軸），連結(jié)可知在中由可解得平面以為坐標(biāo)軸如圖建系：方案二（以為軸）過作的垂線平面以為坐標(biāo)軸如圖建系：（同方案一）計(jì)算可得：小煉有話說：建立坐標(biāo)系的最重要的條件就是線面垂直（即軸），對(duì)于軸的選取，如果沒有已知線段，可以以垂足所在的某一條直線為坐標(biāo)軸，然后作這條軸的垂線來確定另一條軸，本題中的兩個(gè)方案就是選過垂足的直線為軸建立的坐標(biāo)系。例4：已知四邊形滿足，是中點(diǎn)，將翻折成，使得平面平面，為中點(diǎn)思路：在處理翻折問題時(shí)，首先要確定在翻折的過程中哪些量與位置關(guān)系不變，這些都是作為已知條件使用的。本題在翻折時(shí)，是等邊三角形，四邊形為的菱形是不變的，尋找線面垂直時(shí)，根據(jù)平面平面，結(jié)合是等邊三角形，可取中點(diǎn)，則可證平面，再在四邊形找一組過的垂線即可建系解：取中點(diǎn)，連結(jié)是等邊三角形平面平面平面，連結(jié)四邊形為的菱形為等邊三角形兩兩垂直如圖建系，設(shè)為單位長度為中點(diǎn)例5：如圖，已知四棱錐的底面是菱形，對(duì)角線交于點(diǎn)，且平面，點(diǎn)為的三等分點(diǎn)（靠近），建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并求各點(diǎn)坐標(biāo)思路：由平面，可得作為軸，在底面上可利用菱形對(duì)角線相互垂直的性質(zhì)，選取作為軸。在所有點(diǎn)中只有的坐標(biāo)相對(duì)麻煩，對(duì)于三等分點(diǎn)可得，從而轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系即可求出坐標(biāo)解：平面菱形兩兩垂直以為坐標(biāo)軸如圖建系可得：設(shè)由可得：小煉有話說：（1）底面是菱形時(shí)要注意對(duì)角線相互垂直的性質(zhì)（2）對(duì)于一條線段上的某點(diǎn)分線段成比例，可以利用向量關(guān)系將該點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算出來例6：如圖所示的多面體中，已知正方形與直角梯形所在的平面互相垂直，，試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系并確定各點(diǎn)坐標(biāo)思路：題目已知面面垂直，從而可以找到與底面垂直，再由底面是正方形，可選為軸，圖中點(diǎn)坐標(biāo)相對(duì)麻煩，可以用投影法和向量法計(jì)算得到解：平面平面又因?yàn)橹苯翘菪纹矫嬲叫蝺蓛纱怪币詾檩S建立直角坐標(biāo)系坐標(biāo)軸上的點(diǎn)：底面上的點(diǎn)：點(diǎn)兩種確定方式：①可看其投影，落在中點(diǎn)處，且高度為1，所以②設(shè)綜上所述：例7：如圖，在三棱柱中，是正方形的中心，平面，，建立適當(dāng)?shù)?/p>